线段（数轴）上的动点探究问题（4大题型）解析版-2025-2026学年七年级数学上学期（人教版）

线段（数轴）上的动点探究问题（4大题型）

目录

A题型建模•专项突破

题型一、线段上含动点求线段长问题.............................................................1

题型二、线段上含动点求定值问题...............................................................5

题型三、线段上含动点求时间问题..............................................................13

题型四、线段上含动点的新定义型问题..........................................................17

B综合攻坚•能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、线段上含动点求线段长问题

1.如图，点。在射线48上，且在点48之间,48=18,AC=2BC.动点P从C出发，以每秒I个单

位长度的速度沿射线Q?向右匀速运动：同时动点。从月出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线48运动,

遇到点尸时按原速返回点C停止运动.当点。停止运动时，点P也随之停止运动，设点。的运动时间为

心）.

AQCFB

（1）4C=_.

（2）当点P是线段8C的中点时，求也的长.

【答案】（1）12

（2）6

【分析】本题考查了线段的和差倍分的计算，运动问题，一元一次方程的应用，熟练掌握线段的关系，是

解题的关键.

（1）根据/C=2BC,且4C+C8=/18=I8,代入计算即可.

（2）根据题意，得/。二夕，CP=t,当点尸是线段AC的中点时，确定运动时间，后计算即可.

【详解】（1）解：•••根据AC=28C,且4C+C8=48=18,

.•.2C8+C8=18,

•••CB-6,

：.AC=2BC=2x6=\2,

故答案为：12.

1/43

(2)解：•.•动点尸从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线。向右匀速运动；同时动点。从力出发,

以每秒3个单位长度的速度沿射线力8运动，设运动时间为，，

得/Q=3f,CP=i,

当点尸是线段8c的中点时，CP=#B=3,

故此时/=3,

AQ=9,CP=3,

.-.PQ=JC-J2+CP=12-9+3=6.

2.探究题：如图，已知线段48=12cm,点C为46上的一个动点，点。、上分别是力C和8c的中点.

II111

ADCEB

(1)若点。恰好是中点，则。E=;

(2)若力C=4cm,求。£的长；

(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论力。取何值(不超过12cm),OE的长不变.

【答案】(1)6

(2)DE=6cm

(3)见解析

【分析】本题考查了线段中点的有关计算.

(1)由点。、E分别是力。和BC的中点，C点为AB的中点、,求出力C,BC,CD,CE的长度，运用

DE=CD+CE即可.得出答案.

(2)先求出8C,再利用中点关系求出CD,"即可得出。E的长.

(3)设4C=acm,由点。、E分别是4c和3c的中点，根据。E=CQ+CE即可得出不论力C取何值(不

超过12cm),OE的长不变，

【详解】(1)vAB=\2cmt。点为⑷?的中点,

AC=BC=6cm.

•:点D、8分别是AC和8C的中点，

:.CD=CE=3cm,

/.DE=6cm.

故答案为：6；

(2)vAB=12cm,AC=4cm,

:.BC=8cm.

♦:点D、8分别是jC和8c的中点，

/.CD=2cm,CE=4cm,

DE=6cm；

2/43

(3)设4C=acm,5l!]BC-AB-AC=(12—a)cm,

•・•点。、8分别是4c和8c的中点,

.•.CD=-JC=-cm,C£：=-5C=^^cm

2222

DE=CD+CE=—AB=6cm,

2

二大论4。取何值(不超过12cm),力月的长不变：

3.点/,3在数轴上的位置如图所示，点F是数轴上的一动点.

AB

-------------1----------'-----------------------------1-►

-206

⑴若PB=3,则点P表示的是什么数？

(2)若P8=3,且点。是力尸的中点，求线段力。的长.

(3)是否存在点尸，使4+H?的值最小？若存在，则点户在数轴上的什么位置？4+P4的最小值是多少？

【答案】(1)3或9

(2)2.5或5.5

(3)有在，P在4、8两点之间，8

【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键.

(1)分点P在点5的左边和右边两种情况，分别求出点。表示的数即可；

(2)先分点0在点8的左边和右边两种情况，先分别的长，再根据点。是力广的中点，求得线段力。的

长即可；

(3)根据图示，可得当点P在48两点之间时，4+P4的值最小，据此判断并求解即可.

【详解】(1)解：①点尸在点3的左边时，

•:PB=3,6-3=3,

•••点尸表示的是3.

②点产在点8的右边时，

,:PB=3,6+3=9,

•••点P表示的是9.

综上，可得点尸表示的是3或9.

AB

-------------1----------1------------------------------1->

一206

(2)解：v6-(-2)=8,

••・线段的长度是8.

①点尸在点8的左边时，

;.AP=4B-PB=8—3=5,

3/43

:点。是4P的中点，

,-.AQ=^AP=2.5t

.•・线段4。的长是2.5.

②点产在点8的右边时，

•••AP=AB+PB=S+3=1\,

,•,点Q是工P的中点，

...尸=5.5,

.•・线段力。的长是5.5.

综上，可得线段力。的长是2.5或5.5.

（3）解：如图：当点P在4、8两点之间时，尸4+尸5的值最小,

此时"+08=48=8,

所以21+PA的最小值是8.

AB

------------------1-------------1-----------------------------------------1-►

-206

4.如图，数轴上点48分别表示数a,〃，其中。<0,b>0.

AOB

_______________I________I_______________________________I___________________

（1）当。=-3/=7时，线段48的中点表示的数是；

（2）若数轴上另有一点M表示数3.

①若点M在线段上，且求式子〃+23+2024的值；

②点尸为线段44上一动点，点。为线段。必上一动点，当方=4+6时，线段产。的最大长度为5,求。的值.

【答案】（1）2

⑵①2033：②°=-1或〃=-2

【分析】（1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可；

（2）①点历表示数3,点”在线段月B上，且得出a+2%=9,再计算代数式的值即可；②

根据A=a+6,得出力5=方一。=。+6-。=6,说明点4在点M的左侧或在点A/处时，电的最小佰为6,

不符合题意，说明点8必须在点〃的右侧，然后分两种情况求出。的值即可.

【详解】（1）解：••・a=-3,b=7,

••・线段的长度为7-（-3）=10

•••线段”3的中点。表示的数c=7-gxl0=7-5=2；

故答案为：2.

（2）①•••点河表示数3,点M在线段力〃上，且/A/=2BW,

4/43

3-q=2(6-3),

整理得：。+26=9,

:.a+2b+2024=9+2024=2033；

(2)'：b=a+6,

•••AB-b-a=a+6-i7=6,

当点8在点M的左侧或在点切处时，AW3,当点尸在点4处，点。在点M处时，尸。最大,

AB—6,

此时尸。的最大值大于5,

•••尸。的最大值为5,

二点B不可能在点M的左侧或M处；

当点4在点M的右侧，点户在点力处，点。在点M处时，尸。最大，则此时3-a=5,

解得：a=-2；

当点3在点M的右侧，点P在点8处，点。在点O处时，尸。最大，则此时6-0=5,

解得：b=5,

二a+6=5,

：.a=—\,

综上分析可知：。=-1或。=-2.

题型二、线段上含动点求定值问题

5.如图，线段/仍=10,动点。在线段48上，点。是线段力。的中点，点£是线段上一点.

I][」]【111]

ADCEBADCEB

图1图2

(1)如图1,当点£是线段6c的中点时，

①若40=3,则属二;

②点C在线段48上运动的过程中，线段。E的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请

说明理由.

(2)如图2,当点七是线段4。的中点时，点。在运动的过程中，是否存在和点E重合的可能？如果存在，求

出重合时线段4C的长度；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1X52；②是定值，其值为5

(2)存在，y

【分析】本题考查线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握线段的数量关系，根据题意，得

到线段之间的数量关系，得到一元一次方程，进行解答，即可.

(1)①根据题意，求出力。=6,根据44=10,求出4。=4,即可得到£8=2；②根据题意，可得

5/43

CD=^AC,CE=；BC,再根据OE=g（/lC+5C）=；/l8=5,即可；

（2）根据题意，DE=BE=；BD,设/力=CO=x,得到。E=8E=；（10—x）=5—；x,当点C和点E重合

时，DE=CD=x,推出5-'x=x,解出x,即可.

2

【详解】（1）解：①•••点O是线段/C的中点，

AD=DC=-AC=3

2f

AC—6,

•••点E是线段8c的中点，

：.CE=EB=-CB,

2

v=10,

：.AC+CB=AB,

.•.8C=4,

:.EB=2,

故答案为：2；

②是定值，理由如下：

•••点0是线段4C的中点，

.-.CD=-JC,

2

•••点£是线段6c的中点，

：.CE=-BC,

2

：.DE=^（AC+BC）=^AB=5,

即OE是一个定值，其值为5.

（2）解：存在，理由如下：

•.•点£是8。的中点，

：.DE=BE=-BD,

2

设NO=CO=x,

.-.£）£=BE=1（10-x）=5-1x,

当点。和点E重合时，DE=CD=x,

U1

5—x=x,

2

6/43

解得x=¥

...4C=2x=弓，即当点。和点E重.合时，/1C的长为日.

6.如图，8是线段力。上一动点，沿力f力的路线以2cm；s的速度往返运动1次，C是线段6。的中

点，/1£>=10cm,设点8的运动时间为，s(0W，W10).

ABCD

⑴当/=2时，则线段48=cm,线段C0=cm；

(2)当［为何值时，AB=CD2

(3)点〃从点/出发的同时，点E也从点力出发，以“cm/s(()<a<2)的速度向点£>运动，若当运动时间/满足

0K/K5时，线段次?的长度始终是一个定值，求这个定值和〃的值.

【答案】(1)4；3

⑵手5或525S

(3)口=1,定值为5

【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系

(1)根据f=2可求出力3的长以及8C的长，再由C是线段3。的中点，即可求得；

(2)分情况讨论，当Xf力时，存在力B=CD；当。->N时，存在=考虑两种情况即可;

(3)根据点8和点E的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段EC,即可求得.

【详解】(1)解：力=IOcm,点8以2cm/s的速度运动，

.,./=2时，AB=4cm,BD=6cm,

••・C是线段8。的中点，

BC=CD=3cm

故答案为：4,3

(2)解：是线段8。的中点，

:.BC=CD=-BD,

2

•••AB=CD,

AB=BC=CD,

,3,48=10,AB=CD=竽cm,

当点6从力时，

,10.5,、

t=——+2=-(s)

33')

当点6从OfZ时，

7/43

•.•点8沿4f。f4的路线需要(10+10)+2=10(s)

525zv

故z=10—；=1(s)

综二所述，当/为(5或g25s时，A8=CD.

(3)解：如图，

由题意得：点E的速度是“cm/s,点片速度为2cm/s

v0<a<2,

.••点B在点E右侧,

由题意可知AB=2t,AE=at,BD=\0-2t

:.EB—"It—at

•••C是线段8。的中点

.'.BC=-BD=5-t

2

EC=EB¥BC=2f-at+5-t

•••线段EC的长度始终是一个定值

EC=(l-a)/+5

故1-。=0解得a=l,定值为5

IIIII

AEBCD

7.如图，线段44=24,动点户从/出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，运动时间为/秒〃>0),

M为力产的中点.

AMPB-

(1)用含/的代数式表示P8的长度为.

(2)在点P运动的过程中，当，为多少时，PB=；AM?

(3)在点P运动的过程中，点N为3P的中点，证明线段MN的长度不变，并求出其值.

(4)当点尸在45延长线上运动时，当M、N、4三点中的一个点是以另两个点为端点的线段中点时，直接

写出f值.

【答案】(1)悟4一24

48

⑵：-或/=16

(3)MN的长度不变，其值为12

(4)；=18或1=36

【分析】(1)分两种情况讨论，当点P在线段48上和点P在的延长线上时，即可求解；

8/43

（2）根据尸8=建立关于f的方程，解方程即可：

（3）分两种情况讨论，当点。在线段//上和点。在的延长线上时，根据线段中点的定义夕导出

PM=；AP=l,PN=gpB=l2-i.再根据MN=AW-PN即可求解；

（4）根据（3）可得出N点在M,B的右侧，不能为中点，分两种情况讨论，①当8是MN的中点时，②当

M是相的中点，根据线段MN=12,结合图形列出方程，解方程，即可求解.

24

【详解】（1）解：当P运动到点6时，，=丁=12

当点?在线段上，即0VY12时，

8P=AB-4P=24-2t；

当点P在28的延长线上时,即Z>12时,

BP=4P-4B=2t-24,

•••PB的长度为|24-24

故答案为:|24-2f|.

（2）解:是线段/尸的中点，

,'.AM=-AP=t,

2

-：PB=-AM,

2

.•.24-2/=L或2/-24=L,

22

48

解得/=三或f=16；

481

t--或1=16秒时，PB=-AM；

52

（3）解：MN的长度不变，其值为12,证明如下：

当0V/K12时，如图所示，

A―M―PNB一尸8=24-2/

••,N是线段3尸的中点，

PN=；PB=；（24-21）=12T,

•.♦A/是线段力/）的中点，

PM=-AP=t,

2

9/43

MN=PM+PN=t+\2T=V2,

•・•A/V的长度是一个常数，

・•.〃N的长度不变，其值为12；

当1>12时,如图所示，

AMBNPPB=2l-24

••,N是线段8尸的中点，

PN=BN=；PB=-24)=1-12,

•••A/是线段40的中点，

PM=—AP=t,

2

MN=PM-PN=i-Q-12)=12,

二•MN的长度不变，其值为12；

(4)解：点?在力6延K线上运动时，”12,

由(3)可得依=2-24,MN=12

：.PM—PN=MN=12>0,PB-PN=2t-24-(t-\2)=t-[2>0

••.N点在时,8的右侧，不能为中点，

分两种情况讨论，

①当8是MN的中点时，如图所示，

AMBNP

:.BM=BN=、MN=6

2

=AM=3BM=18

vAM=PM=t

,f=18；

②当M是NB的中点，如图所示，

ABMNP

:.BM=MN=V2,

：.BN=2MN=24,

是线段8P的中点，

:.PB=2t-24=2BN=48,

解得：z=36,

综上所述，/=18或£=36.

10/43

【点睛】本题考查了线段的中点的性质，线段和差的计算，列代数式，一元••次方程的应用：数形结合，

分类讨论是解题的关键.

8.如图，点彳和点8在数轴上对应的数分别为a和4(a+2)2+|b-4|=0.点。为数轴上一动点，其对应

的数为x.

——।--------1---------------------1-►

AOB

(1)①若点夕为线段44的中点，则此时点尸对应的数勺=；

②若点P到点4、点8的距离之和为8,则此时点尸对应的数与=:

(2)若点P在移动的过程中，满足BP=尸0+尸力，求此时点「对应的数大〃的值：

(3)记线段4的中点为点线段尸8的中点为点M若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向

左运动.

①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由.

②没运动/秒后，点尸到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出/值.

【答案】⑴①1；②%一-3或%-5

⑵g或-6

(3)①3；②/=1或f=g或z=g.

【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值的应用；

(1)①利用非负数的性质先求解。=-2,6=4：结合数轴上线段中点对应的数的规律列式计算即可；②

由题意可得|x+2|+|x-4|=8,再分情况解方程即可；

(2)由点P在移动的过程中，满足3尸=尸。+",可得|x-4|=|x|+k+2],再解方程即可；

⑶①设运动时间为乙可得f对应的数为5-3乙M对应的数为与一=]-全，N对应的数为

土产=白?，再计算距离即可.②由①得：”对应的数为m-■!，，N对应的数为

33739313

PM=5-3r--+-r=---t,PN=5-3/-一+-/=----1,当尸M=2PN时，当尸N=2PM时，再建立

22222222

方程求解即可.

【详解】(1)解：①•••(°+2『+b-4|=0,

,a+2=0,h—4=0,

解得：a=-2,6=4；

•••点/和点8在数轴上对应的数分别为-2和4；

点产为线段的中点，则此时点P对应的数=苦心=1；

11/43

②,••点P到点4、点8的距离之和为8,

.♦.|x+2|+|x-4|=8,

当】＜-2时，-x-2-x+4=8,

解得：x=-3,即此时点。对应的数与=-3,

当-2KxK4时，x+2+4-X=6K8,

当工＞4时，x+2+x-4=8,

解得：x=5,此时点产对应的数与=5,

综上：勺=-3或马=5；

（2）解：•••点尸在移动的过程中，满足8尸=。。+尸4,

.-.|x-4|=|x|+|x+2|,

当xN4时，x-4=x+x+2,

解得：x=-6,不符合题意，舍去；

当（）Kx＜4t时，4—x=x+x+2,

2

解得：x=],

当-2Wx＜0时，4-x=-x+x+2,

解得：x=2,不符合题意，舍去，

当I＜一2时，4-x=-x-x-2,

解得：x=-6,

综上：此时点尸对应的数写为1或-6.

（3）解：①点用到点N的距离不变为3,理由如下：

•・•点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设运动时间为

・•.P对应的数为5-3乙

记线段总的中点为点“，线段尸8的中点为点M

••.乂对应的数为注F—心N对应的数为空

222222

9333

•••点M到点N的距离为5一不"不+不"=P|=3.

②由①得：M对应的数为：-予，N对应的数为

当PM=2，W时,

12/43

7_3\__373

即5-毛=|1-孙

2~22~2

解得：，=-1|舍去；或1=1；

当PN=2PM时,

731_33

二2——，即|7-3«=

222~22~2

解得：或，=:；

135

综上：E或，石或与.

题型三、线段上含动点求时间问题

9.如图，0是线段44上一点，ZB=18cm,C,。两动点分别从点P,B同时出发沿射线历1向左运动，到

达点力处即停止运动.

◄---------<---------

AC~PDB

(1)若点C,。的速度分别是lcm/s,2cm/s.

①当动点C,。运动了2s,且点。仍在线段28上时，AC+PD=cm；

②若点C到达力2中点时，点。也刚好到达80的中点，则：P4=；

(2)若动点C,。的速度分别是Icm/s,3cm/s,点C,。在运动时，总有尸。=3/C,求月P的长

【答案】⑴①12；②1:2

9

⑵5cm

【分析】(1)①先分别求出PC=2cm,30=4cm,再根据4C+PZ)=48-PC-8Z)即可得；

②女运动时间为is,则PC=/cm,BD=2/cm,再根据线段中点的定义可得AP=2PC=2/cm,BP=2BD=4/cm,

由此即可得；

(2)设运动时间为g，则PC=xcm,BQ=3xcm,从而可得&)=3尸C,再根据尸O=3/C可得尸8=3/P,

从而可得4P=44B,由此即可得.

4

【详解】⑴解:①依题意得：PC=lx2=2(cm),8O=2x2=4(cm),

•.•/14=18cm,点。仍在线段尸8上，

13/43

JC+PZ)=^5-PC-5Z)=18-2-4=12(cm),

故答案为：12；

②女运动时间为，s,则PC=tcm,BD=2tcm,

••・当点C到达AP中点时，点。也刚好到达8P的中点，

AP=2PC=2/cm,BP=2BD=4/cm,

：.AP:PB=k2,

故答案为；1:2.

(2)解：设运动时间为内，则尸。=X51,8。=3犹01,

BD=3PC,

•:PD=3AC,

：.PB=BD+PD=3PC+3AC=3(PCAC)=3APt

vPB+AP=AB,

.-.3AP+AP=AB,

iio

:.J/>=—J2?=—xl8=—(cm).

【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系

是解题的关键.

10.如图，在长方形48C。中，JZ?=12cm,8c=6cm,动点P沿力8边从点力开始，向点8以2cm/s的速

度运动；同时，动点。沿D4边从点。开始，向点4以lcm/s的速度运动；设运动时间为7.

I)C

Q

I

Ap―►B

⑴当/为何值时，AQ=AP2

(2)当,为何值时，4。+力。等于长方形周长的《？

(3)如果点P到达点8后沿8c方向继续运动，点。达到点力后沿//方向继续运动，当点尸到达点。时，

求点。的位置.

【答案】(1)2秒

⑵3秒

(3)在线段AB上距离A点3cm处

【分析】(1)由点。在力。边上运动且运动时间为zs时，表示乂。、”,令其相等，即可求出，值；

(2)由点。在力。边上运动时，点尸在边上运动时，表示力。、AP,利用力。+力夕等于长方形周长

的！,建立关于，的一元一次方程，解之即可得出结论；

4

14/43

(3)先求解尸运动到C的时间，再求解。的运动路程，从而可得答案.

【详解】(1)解：当点。在力。边上运动，运动时间为人时，

AQ=6-t,AP=2t,

根据题意得：6-/=2/,

解得：f=2.

答：/为2s时，AQ=AP.

(2)由点。在力。边上运动时，

此时40=67,AP=2t,

根据题意得：6-/+2/=lx2(6+12),

解得：f=3：

(3)当点尸到达点。时，此时运动时间为等=9(s),

的运动路程为：lx9=9(cm),

vAD=BC=6cm,

••・。在48上，与力距离为3cm.

【点睛】本题考查的是几何动点问题，一元一次方程的应用，确定相等关系，建立方程求解是关键.

11.如图，48=12,线段。在线段力〃上，点。在点。的右边，且8=3.动点P从/出发，以每秒3

个单位长度的速度沿力4向终点8匀速运动：同时线段。。从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿历1

匀速运动，当点。与点4重合时，停止运动.设点。的运动时间为〃s).

APDCB

(1)当点尸与点彳重合时，AD=_.

(2)当点尸与点。相遇时，求/的值.

(3)求尸。的长(用含/的代数式表示).

(4)取。的中点当力8=2尸E时，直接写出f的值.

【答案】(1)9

(2)1.8

(3)PD=|9-5/|

(4)3.3或0.9

【分析】(1)利用线段的和与差田可得解；

(2)根据“路程和=9”列方程求解即可：

(3)根据“数轴上两点之间的距离公式”列式即可；

(4)根据已知条件“AB=2PE”列方程求解即可.

【详解】(1)解：当Z=O时，AD=AB-CD=\2-3=9,

15/43

故答案为：9；

(2)解：由题意可得：

3-2-3,

解得：f=1.8；

(3)解：设点力表示原点，则点P表示的数为：3f,点。表示的数为：9-2/,

则户。=»_2，_34=|9_刈；

(4)解：点E表示的数为：9+1.5-2r=10.5-2z,

.­.2x|10.5-2/-3r|=12,

解得：Z=3.3或0.9.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用(行程问题与几何问题)，线段的和与差，数轴上两点之间的

距离，列代数式等知识点，根据题中的等量关系正确列出方程或代数式是解题的关键.

12.如图，NZO8的边3上有一动点P,从距离。点18cm的点M处出发，沿线段射线。8运动,

速度为3cm/s：动点。从点O出发，沿射线06运动，速度为2cm/s,点P、。同时出发，设运动时间是/

(s).

⑴当点P在A/O上运动时，，为何值，能使"=O0?

(2)若点。运动到距离。点16cm的点N处停止，在点0停止运动前，点尸能否追上点。？如果能，求出/

的值；如果不能，请说出理由；

(3)若尸、。两点不停止运动，当尸、。均在射线08上，，为何值时，它们相距1cm.

【答案】(1"=3.6

(2)不能，见解析

(3)/=17或1=19

【分析】(1)根据题意可得。尸=18-3/,。。="，然后由。尸=。。可得关于/的方程，解方程即得答案；

(2)先计算点。停止运动时用的时间，然后求出点户运动的路程，再比较即得结论；

(3)根据题意可得：由此构建关于/的方程求解即可.

【详解】(1)运动时间是/(s)时，。p=18-3八0。=2/,

若0P=0Q,则。-3f=2f,

解得：/=3.6；

16/43

(2)点。停止运动时，用的时间为16+2=8秒，

此时点P运动的路程为3x8=24,24-18=6v16,

二点P不能追上点。；

(3)当P、。均在射线04上，它们相距1cm时，

根据题意得：PQ=\OP-OQ\=\t

Up|3/-18-2r|=l,

解得：，=17或1=19.

题型四、线段上含动点的新定义型问题

13.如图1，点C在线段力4上，组中有三条线段，分别为线段.48,4。和〃C,若其中一条线段的长度是另

外一条线段长度的2倍，则称点C是线段48的“巧点”.

I11

ACB

图1

力图28

⑴线段的中点这条线段的“巧点”，线段的三等分点这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”

(2)若线段48=18cm,点C为线段的“巧点”，则力。=；

(3)如图2,已知./18=18cm,动点尸从点4出发，以2cm/s的速度沿48向点8运动，点。从点8出发,

以lcm/s的速度沿比I向点力运动，点尸、。同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间

为1秒，当/为何值时，点尸为线段力。的“巧点”？并说明理由.

【答案】(1)是；是

(2)6cm或9cm或12cm

1Q1QO

⑶手或与S或三，理由见解析

【分析】本题主要考查了•元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行

分类讨论.

(1)根据线段“巧点”的定义进行判断即可；

(2)根据点C为线段48的中点或三等分点时，点C是线段43的“巧点”进行解答即可；

!|2

(3)分三种情况：当力夕=440时，当加＞=不力。时，当初=,40时，分别列出方程求出结果即可.

【详解】(1)解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧

点”；

故答案为：是；是.

(2)解：•••当点C为线段力8的中点或三等分点时，点C是线段48的“巧点”，

17/43

AC==ixl8=9(cm),

或4c==-jx!8=6(cm),

22

或4(7=5/8=5x18=12(011).

故答案为：6cm或9cm或12cm.

(3)解：由题意得：AP=2t,BQ=t,力。=18-，/的范围应该在0〜9秒之间，

•・•点尸为)。的巧点,

.•.点。应该在点。的左边，/的范围应该在0~6秒之间，

当/尸=；力。时，尸为力。的巧点，

解得:/=y；

当/夕=^力。时，尸为力。的巧点，

1O

解得：，=£;

2

当=时，夕为力。的巧点，

2

.-.2/=y(18-t),

9

解得：

1Q1QO

所以当/为学或亲或六时，点。为线段力。的“巧点”.

14.定义：若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点.

AMBJ(C)B(D)

图1图2

(1)如图1,点胡是线段48的一个三等分点，满足励/=243，若/A=9cm,则4M=cm；

2

(2)如图2,已知44=9cm,点C从点力出发，点。从点8出发，两点同时出发，都以每秒5cm的速度沿射

线48方向运动/秒.

①当，为何值时，点C是线段力。的三等分点

②在点。，点。开始出发的同时，点E也从点8山发，以某一速度沿射线41方向运动，在运动过程中，

18/43

当点。是线段4E的三等分点时，点〃也是线段力。的三等分点，请直接写此时出线段房的长度.

【答案】⑴3

⑵①子•或27；②5cm或^cm或/cm

【分析】本题考杳线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键:

(1)根据AB=AM+BM,进行计算即可；

⑵①分CZ)=2/C和力。=2。两种情况进行计算即可；②点C,点E分别是力£,仞的三等分点，可

以分四种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：vBM=1AM,AB=AM+BM,

.，.3AM=9,

:.AM—3cm:

⑵①由题意，得：4）=（9+|,cm,4c=|/cm,

当。0=24。时，则：3AC=AD,

22

.•.3J=9+T

33

27

・"F

当NC=2OC时，则：3AC=2AD,

3K—/=2x（9+§/）,

.•"=27；

综上：，=一27或f=27；

4

②女点£的速度为每秒xcm,由题意得：BE=xcm,则/£=（9-x）cm,Z）E=（gf+jcm,

•・•点C，点E分别是4E,力。的三等分点，

二可以分四种情况讨论：

11212"2、

当4c=-4E,DE=—4D时,则二/=_（9—x）,-/+x=-9+-f,

33333313J

分别解得：f=；（9-x）,f=；（27-9x）,

...；（9r）=；（27-9x）

解得：x=19

222222，2、

当/。=一4旦。月=一力。时，则一f=-（9-x）,-t+x=-9+-t,

333333\3；

19/43

分别解得：，=9TJ=5(54—9X),

...9-X=1(54-9X)

解得：X~~Y'

io7i22，2、

当/0=鼻4瓦QE=刀力。时，则可/=1(9―k，-Z+x=-9+-J,

分别解得：f=J(97),f=；(54-9x),

乙乙

.«.l(9-x)=l(54-9x)

45

解得：x=—；

O

21222\(2\

当NC=_/E,OE=_4O时，则_f=_(9-x),-Z+x=-9+-ZL

33333313J

分别解得：，=9—x,f=；(27—9x),

...9-x=；(27-9x)

9

解得：x=，(舍去)；

J

综上：点C,点E分别是4E,力。的三等分点，鹿的长为三9地或3彳6cm或4一5cm.

778

15.已知点C在线段44上，若力C=53C或4c=54C,则称点C是线段48的“五美点

【理解定义】

(1)若线段=6,C是线段48的“五美点”，则；

【解决问题】

(2)如图，£在射线。历上，OE=\2.

O~~DKK~EM

6EA/

(备用图)

①若点。、E均为线段位的“五美点”，且OD<O产，又K为线段OE的中点，求线段K/7的长度；

②点夕从点。出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线。M向右运动，同时点。从点E出发，以每秒2个

单位长度的速度也沿射线OM向右运动，运动时间为，秒，点P追上点。时•，两点同时停止运动，请问当

P、E、。三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，/的值是多少？请直接写出答案，不必写过程.

【答案】(1)5或1,(2)①K尸=3；②/=：或或片?或片获

J7J/

20/43

【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义，

对于（1）,先根据+=结合C是线段的“五美点”，可得=:4C或8c=54C,然后根据

的长度得出答案；

对「（2）①，先根据点。、”均为线段0E的“五美点”，旦ODvOF,可得OE=10,00=2,即可得

EF,QE,再根据K为线段QE的中点得出KE,然后根据K/=KE-E/得出答案；

②先根据点P，点0在数轴上表示的数，及点P追上点。时，求出，=4,

分两种情况：点月是线段尸。的“五美点”，可得EP=Q。或EP=；P。,再列出方程，求出解即可；点尸

是线段E。的“五美点”，可得==或=再列出方程，求出解即可.

66

【详解】解：（1）•.（在线段48二，

.'.AC+BC=AB.

•••C是线段"的“五美点”，

.'.AC=5BC^BC=5AC,BPBC=^AC^BC=5AC.

：.AC=-AB^AC=-AB.

66

又・；AB=6,

••.4C=5或1.

故答案为：5或1；

（2）①•••点。、/均为线段O七的“五美点”，且0。＜0尸，

.'.OF=-OE=\Of0D=-0E=2t

66

:.EF=OE-OF=2,DE=OE-OD=10,

••・K为线段。E的中点，

：.KE=-DE=5,

2

••.KF=KE-EF=5-2=3；

②由题意得：点?在数轴上表示的数为，，点0在数轴上表示的数为12+21,点。追上点。时，

5/=12+2/,

解得：f=4,

I、点£是线段。。的“五美点”，则EP=：P。或碇=!。。，

66

0PE-QM

.•.12-51=上乂（12+2—5。或12-5/二J乂（12+2/-5/）,

66

21/43

4T20

解得：/=-=—；

n、点P是线段E。的“五美点”，则E0=wE。或EP=zE0，

66

解得：”蓝或f=£,

_,4T20-18f18

综上：/=不或工=-^■或■或1=亍

JyD，

16.数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的

内在联系，它是''数形结合”的基础.

AB

II

-10

MOMP必

图2

0M

备用图

（1）【知识呈现】

数轴上的点彳，点C所表示的数如图I所示：若点6与点力表示的数互为相反数，则点8表示的数是一，点/1

与点C之间的距离4C=_,点〃与点。的中