圆与圆的位置关系（九大题型）-2025-2026学年人教A版高二数学上册选择性必修第一册（解析版）

2.5.2圆与圆的位置关系

题型一判断圆与圆的位置关系

1.圆弓：/+(k3)2=5与圆。2：/+/-8工+10=0的位置关系为()

A.外离B.外切C.相交D.内切

【答案】A

【分析】由圆心距和半径和、差的关系即可判断.

【详解】由题意知0(0,3),&(4,0),两圆的半径分别为G,x/6,

所以|CC|="2+32=5＞石+",故两圆外离.

故选：A.

2.已知圆+/一2x+2〃r+l=0(〃Z£R)的面积被直线x+2y+l=。平分，圆

2

Q:(x+3『+(y-2)=16,则圆G与圆G的位置关系是.

【答案】外切

【分析】根据圆的方程可得圆心和半径；由直线平分圆G面积可知直线过圆心C,

由此可求得小的值；根据圆心距和两圆半径之间关系可确定两圆位置关系.

【详解】由圆C方程知：圆心G(1,T〃)，半径彳=；"+一4=帆,

由圆g方程知I：圆心6(-3,2),半径4=4；

二圆G的面积被直线“+2尹1=0平分，.•・直线x+2y+l=0过圆心

/.l-2m+l=O,解得:w=l,.口=1；

•••圆心距|CG|=J(1+3)2+(-1-2)2=5=彳+4，

.••圆C；与圆G的位置关系是外切.

故答案为：外切.

3.已知圆G"(y+(2=4和圆G：(x-2)2+(y-l)2=4.

(1)判断G和G的位置关系;

(2)求G与G的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长.

【答案】(1)相交

⑵x+y-1=0,2V2

【分析】(1)首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断;

(2)两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程，利用点到直线距离公式

以及弦长公式求得正确答案.

【详解】(1)根据题意，圆C：，+(y+»=4的圆心为(0「1),半径丁2,

圆G：*-2)2+()，-1尸=4,圆心为(2,1),半径R=2,

所以圆心距/=J4+4=20，因为R-r</〈/?+〃，

故圆a和圆G相交.

(2)将两圆方程相减,有x+y-l=o,

所以两圆公共弦所在直线的方程为K+y-l=0,

圆心G到X+)，-1=0的距离d=埠型=72,

VI+1

故公共弦的弦长为2xg=2忘.

题型二求两圆的交点坐标

4.圆/+)，2一］(比_10),=0和圆/+),2一6犬+2)，-40=0的交点坐标是()

A.(10,-2)和(0,4)B.(10,0)和(-24)C.(0,-2)和(10,4)D.(4,-2)和(0,10)

【答案】B

【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得

交点坐标.

【详解】圆一+9-10工-10,，=0和圆/+)，2-6*+2)，-40=0,

两圆方程相减可得公共弦方程为X+3)」10=0,

x+3y-10=0x=10

联立方程,解得或，

x2+y2-10x-l0.y=0y=4y=0

可得两圆的交点坐标为(1。，。)和(-2,4),

故选：B.

5.已知圆炉+)，2-2犬=0和圆三+),2一43，=(),观察可得它们都经过坐标原点(0,0),

除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是.

84

--

595

【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标.

,_8

丫2I.,2_O_Ay—Qq

、:二一八，解得一「或:

｛X、y-_4y=0(>'=0/

/'=5

即可得这点的坐标为［ft).

84]

故答案为:

555>

6.己知圆C：/+/一2%-3=0,圆。2：x2+.y2+4x-6y+3=0.

(1)证明：圆C1与圆G相交;

(2)若圆财经过圆G与圆C2的交点，且圆心材在y轴上，求圆步的方程.

【答案】(D证明见解圻；

(2)/+()，-叶=2.

【分析】(1)求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证.

(2)联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程.

【详解】(1)圆G的标准方程为(1-1)2+)，2=4,圆心0(1,0),半径4=2；

圆G的标准方程为(工+2)2+()，-3)2=10,圆心G(T3),半径4=而；

于是|CG|=3&w(布—2,715+2),即<|GG|<(+G，

所以圆G与圆C：相交.

Lr+/-2x-3=0

®L?+y2+4x-6v+3=0得y=x+l,

将y=x+l代入圆a得：X=±l,当x=l时，y=2；当x=_l时，y=0,

则圆G与圆G的交点为A(l，2),B(-I,o),线段初的中点坐标为(0,1),

而圆心材在P轴上，因此圆心」/为(04)，所以圆"的方程为丁+()，-1)2=2.

题型三由圆的位置关系确定参数或范围

7.如果圆ca-mf+G，-〃"=16上总存在两个点到原点的距离为2,则实数〃，的

取值范围是()

A.(一3©-码J(0,3应)B.(->/2,())u(0,5/2)

C.(-3"@D.卜3a,3a)

【答案】A

【分析】将问题转化为圆与圆相交，根据圆与圆位置关系判断即可求实数，”的取

值范围.

【详解】因圆C：(x-"+()一〃/=]6上总存在两人点到原点的距离为2,

则圆C:(x-〃?)2+()，一根)~=16和圆。:/+),2=4相交，

又圆C(x-+(y—哺=]6的圆心为c(m,m),半径为“=4

两圆圆心距|CO\=yj(fn-O)2+(w-0)2=>/2网,

由酸2|<卬<《+2得4_2<阳小4+2,

解得应<帆v3夜，即小e(-3V2,-V2)u(V2,3>/2).

故选：A.

8.圆/+>,2=4与圆/+),2一6%+8)，+”?+15=。夕卜切，贝1]，〃=.

【答案】1

【分析】根据圆与圆的外切关系，让圆心距等于两圆半径之和即可求解.

【详解】圆丁+炉=4,圆心(0,0),半径2,

圆炉+/一6%+、y+m+15=。化为标准方程(“一3:+(丁+4)2=1。一吐,

圆心(3,-4),半径「1()-“1,易知两圆圆心距为5,

根据两圆外切可得5="0-+2,

10-/??>0,rn<1(),/.777=1.

故答案为：1

9.已知圆G:（x-4『+V=4,圆G：（%-2a+2）2+（Y-a1=1.

（1）若圆G与圆G外切，求实数〃的值；

⑵设。=2时，圆G与圆G相交于A、B两点,求|明.

【答案】（1）3或2.

⑵|相呼

【分析】（1）根据两圆外切的条件直接可得；

（2）将两圆的公共弦转化为直线与圆的相交弦问题，进而可得.

【详解】（1）因圆G：（x-4『+y2=4,得圆心G（4.0）,半径「2.

又圆G：（X-2々+2）'=1,得圆心G（2〃-2,a）,半径G=l.

所以圆心距|GCj=］（2〃-2-4『+〃2=，5/-24々+36,4+弓=3,

因圆G与圆G外切，所以|。£|=4+4，得，5/-24〃+36=3,

0

解得a=3或a=§.

故实数〃的值为3或，

（2）当。=2时，圆G：（x-2）2+（y-2）2=l,此时两圆的圆心距仁G|=2上＜3,此

时两圆相交.

将两圆方程相减得直线A8的方程为4X-4），-5=0,

所以圆心G（4,0）到直线A8的距离d=--/,J=口/，且半径，i=2,

V4-+4-x

由圆的弦长公式得|A6|=2，E=23%=坐.

故网=*

题型四由圆的位置关系确定圆的方程

10.已知半径为1的动圆与圆（］-5）2+（），+7）2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程

是（）

A.(X-5)2+(J-7)2=25

B.(X-5)2+(),-7)2=17或(XT)?+(y+7)L15

C.(X-5)2+(J-7)2=9

D.(x-5)2+(y+7)2=25^(x-5)2+(y+7)2=9

【答案】D

【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可.

【详解】由(X-5)2+()，+7)2=16,圆心为(5,-7),半径为4,

设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切，则加二7毋而'=4+1，

BP(x-5)2+(y+7)2=25;

若动圆与已知圆内切，则J(x-5)2+(y+7)2=4一1,

E|J(x-5)2+(y+7)2=9.

综上所述，动圆圆心的轨迹方程是(X-5)2+()，+7)2=25或(X-5『+G，+7)2=9.

故选：D.

11.已知圆G经过点M(3,T),且与圆G:.12+,2+21―6)，+5=()相切于点'(1,2),

则圆3的标准方程为

，处安、，2()、2"15r845

【C条】(1—)+(y——)=--

7•14196

【分析】求出线段防V的中垂线方程与直线GN的方程联立，求出点G的坐标，

进而求出圆半径即可.

【详解】圆&：(x+l)2+()=3)2=5的圆心G(-l,3),半径「=不，

_17q

由点M(3,-l),点N(l,2),直线MN的斜率七”=三・二-9，

3-12

线段MN的中垂线过点(251)，且斜率为23方程为)，_1：=2[(尸2),即)，=’9—，S

23Z33o

2-315

直线GN的方程为>-3=:7不。+1)，即尸一”十1

1一(-1)22

2520

V=—x——x=一

6

由J5,得上

V=——V=一

r2x+2—-14

则所求圆的圆心半径为IC2M上樽一货+(3+川=廉,

所以圆c2的标准方程为(A■-当2+(y-乡2

714196

故答案为：(,♦纱+G-守=需

12.已知过点”(6,1)的直线/与圆。:炉+/2-61-3+9=0相切.

(1)求直线/的方程；

(47、

⑵若圆P经过点,且与圆C外切于点N(-1.2),求圆P的方程.

【答案】(l)3x-4y-14=0

⑵,+耳二]

<5J\5>

【分析】(1)根据题意，求得圆C圆心43,5),再由M(6,l)满足圆C的方程，得

到点M(6,l)在圆。上，利用切线的性质，求得直线/的斜率，进而求得直线/的方

程：

(2)设圆尸的圆心坐标为(。,勿，半径为「，根据题意，列出方程组，求得《外•的

值，即可求得圆尸的方程.

【详解】(1)由圆C：』+y2_6x-10)，+9=0,可化为(1-3)2+()，-»=25,

可得圆心以3,5),半径为5,

又由点"(6,1)满足圆C的方程，可得点"(6,1)在圆。上，

因为直线/过点M与圆C相切，所以/JLCM,

又因为％=壬5-1=-14所以直线/的斜率为3

所以直线/的方程为k1==。-6),即3x-4y-14=0.

4

（2）设圆〜的圆心坐标为（«〃），半径为，,

因为圆。经过点A,且与圆C外切于点N（-l,2）,

4

5

+I"Q7

可得(-1-/2+(2-。)2=产，解得〃=一/='=1,

r+5="(〃-3)2+(〃-5)2

所以圆尸的方程为卜+gj+（），-[j=1.

题型五相交圆的公共弦方程

13.已知圆G：/+/+以-2丁+2=0与圆G：f十9十？.（）相交于4，8两点，

则点2（3,2）到直线A3的距离是（）

A.3B.3及C.x/2D.2

【答案】C

【分析】本题考查两圆相交时公共弦所在直线方程的求法，以及点到直线的距离

公式，解题的关键在于先求出两圆公共弦所在直线方程，再利用点到直线的距离

公式计算点〃到该直线的距离.

【详解】联立方程3：+，：+：＞?+2=°,两式相减得到直线A8方程y+l=O

厂+）广+2%=0

|3—2+11r-

则点P（3,2）到直线A8的距离是"+（_]）?='2.

故选：C

14.已知圆U-=9,过点已T-2）作C的两条切线,切点分别为E,F,

则直线EF的方程为.

【答案】4X+2）=3=0

【分析】先根据切线得出及F在（x-l『+（y+1）2=5上，再两圆作差得出直线防的

方程.

【详解】因为切点分别为七，F,则CEJ_所，CF±PFt所以P,E,C,尸四

点在以PC为直径的圆上，

因为C(3,()),P(-1,-2),所以E尸在圆心为(hl),半径为8(-1-3『+(-2)2=6的

圆上,其方程为(%-i)2+(y+i)2=5,

所以(公1)2+()，+1)2=5与(］一3)2+丁=9两边分别作差，得4x+2y—3=0,

即直线EF的方程为41+2)，-3=0.

故答窠为：4x+2y-3=0.

15.已知两圆f+)，-2x-61y+6=0和f+)J-10x-12y+/n=0,求：

(1)机取何值时，两圆相内切？

(2)当根=36时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

【答案】⑴〃，二12；

(2)公共弦所在直线方程为八+3k15=0,公共弦长为".

【分析】(1)求出两圆的圆心，半径，圆心距，可.得若两圆内切，只能是27=5,

带入半径求解即可；

(2)两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，再

由弦长公式求弦长即匕.

【详解】(1)设圆M：x2+/-2x-6y+6=0,可化为(D?+(y-3>=4,

则圆心M(L3),半径12,

22

设圆N：x+y-10x-12y+m=0f可化为(x—5『+(y-6尸=61-加，

则圆心N(5,6),r2=<61),

由于圆心距|MN|=5,/J<5,

则要使得两圆内切，需4f=5,即府方—2=5,解得加=12.

（2）当，〃=36时，圆N：X'-lO.r-12），+36=0,

两圆的方程相减,可得8x+6），-30=0,即4x+3y-15=0,

则两圆的公共弦方程为44+3），-15=0.

|4+3x3-15|2

则圆心”(1,3)到公共弦的距离为d=।〃2+32=5

题型六两圆的公共弦长

16.两圆4：/+），2_4=0与C2"2+y2_4x+4），-12=（）的公共弦的长为（）

A.272B.2GC.36D.3G

【答案】A

【分析】两圆方程作差可得其公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离，由

几何法求得弦长.

【详解】由卜；+'：=：）0八，得两圆公共弦所在直线方程为x-尸2=0.

x+j-4A+4y-l2=0

圆心。（0，。）至IJ直线x—），+2=（）的距离为〃=*=0.

所以公共弦长为254-/=2>/2.

故选：A.

17.圆V+y2+2.1+8y—8=0与圆f+丁_以_4丁-2=0的公共弦长为

【答案】275

【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，再利用垂径定理计算即可得.

【详解】圆一+)，2+21+8)，一8=0可化为(％+1)2+(、-4)2=25,

则该圆圆心为A(T，T),半径4=5：

圆父+),2_4犬_4卜_2=0可化为.2)2+()，_2)2=10,

则该圆圆心为8(2,2),半径弓=而；

<|AB|=V32+62=3x/5,彳-4=5-痴，(+弓=5+痴，

则彳4<|人耳<可|弓，故两圆相交，两圆方程作差有；

(x2+/+2x+8.y-8)-(x2+r-4x-4^-2=0)=6x+12y-6=0,

即x+2)，-l=0为公共弦所在直线方程，4至IJ该直线距离1=匕岁=2石，

VI+4

则公共弦长/=2册“=2725-20=2x/5.

故答案为：2后.

22

18.已知圆G：J+y2-6X+5=0,|g|C2:x+y-4x+2y=0.

(1)求圆&与圆G的公共弦长；

(2)已知过原点的动直线与圆G相交于不同的两点AA,求线段48的中点"的轨

迹方程.

【答案】(1)卑

2

⑵H+y'L.

I2)4U」

【分析】(1)先根据两圆方程求出两圆交点直线方程，再求出圆G的圆心到直线

距离，结合圆G半径利用弦长公式求解；

(2)设直线方程，联立圆G方程，结合根与系数的关系得出中点M的轨迹的参

数方程，从而求出轨迹方程，再结合圆G的圆心和半径明确定义范围.

【详解】(1)

.圆G:Y+V-6x+5=0,圆G：/+)2-4%+2y=0,

•••两圆交点的直线方程为：2x+2.y-5=0,

..,圆G：/+)，2_6X+5=()的标准形式为(x—3f+_y2=4,圆心为(3,0),半径r=2,

••・圆心到直线的距离为〃=邑等炉=当，

V22+224

(2)

设直线/的方程为y=心，A(x,)1),4(9,X),M(x,y),

将直线/与圆G的方程联立，可得(l+K)d-6x+5=0.

由根与系数的关系可得玉+~=$，•.・y+先+w)=3，

I十K1।A

线段AB的中点例的轨迹C的参数方程为J

3

.•x>0,l+A:2=->1,故x«0,3],

.•y=k.x,:.k=-f.-.l+2_=2,故V+y2=3x,即(丫_3]+),2=2,

又,•,直线/与圆G相交，，圆心G到直线/的距离4=方=<2,

>Jk2+\

解得—冬叵〈人〈也，则区1+&2<\即白K3,

5533

••・线段的中点M的轨迹C的方程为1-1)+y2=*y3

题型七圆的公切线条数

19.与圆C：/+()，+2)；4和圆。：(x+5『+(y+2『=9都相切的直线有()

条.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】通过判断两国位置关系可判断公切线条数.

【详解】由题意。(。,-2),D(-5,-2),因此|C4=5,圆C的半径［2,

圆。的半径4=3,由1cq=彳+4可得两圆外切，有3条公切线.

故选:C.

20.已知圆G：x2+y2=l,圆G：x2+y2+6x-8y+9=0,则这两个圆的公共切线

有条.

【答案】3

【分析】先判断两个圆的位置关系，再确定公切线的条数.

【详解】圆G的圆心为(。，0),半径为1,

圆G的方程化为"+3)2+()，-4)2=4?,圆心为(-3,4),半径为4,

圆心距为\(-3『+42=5=1+4,

所以两圆外切，所以公切线有3条.

故答案为：3

21.已知圆0：/+/=力，直线/1：x+ay+2=0,直线/?：2ar+y+3=。，«eR.

(1)探求4与人是否垂直;

⑵若。=1,判断人与圆。的位置关系;

⑶若4=；,求圆。与圆C：(x-2,7)2+)/=4公切线的条数.

【答案】(1)答案见解析

⑵相离

(3)0

【分析】(1)根据两直线垂直的判定方法求解讨论即得；

(2)求出圆。的圆心到直线4的距离与圆。的半径作比较即可判断；

(3)先判断两圆的位置关系，即可判断两圆的公切线的条数.

【详解】(1)因为lx2〃+axl=3々，

若々=0,则4与6垂直；

若aW0,则4与4不垂直.

(2)当a=l时,4：x+y+2=O,圆。:f+/二肘

则圆。的圆心为。(0,0),半径为4=1,

因圆心。(0,0)到直线6的距离为跖鼻=&"=1,

4与圆。相离.

(3)当时，圆。：/+)，2=；,圆c：(x—i)2+J=4,

则圆。的圆心为0(0,0),半径为弓=；,

圆C的圆心为半径为4=2,

则两圆得圆心距为|化|=i<|乃,

则圆。与圆C内含，其公切线的条数为0.

题型八圆的公切线方程

22.已知直线/与圆。-2)2+()，-3)2=1和圆(丹1)2+()，+1)2=36均相切，则/的方程

为()

A.x+2)，-23=0B.x+2y+23=0

c.3x+4y-23=0D.3x+4y+23=0

【答案】C

【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.

【详解】圆。-2尸+（），-3尸=1的圆心为M（2,3）,半径为1=1,

圆（x+l）2+（y+l）2=36的圆心为半径为&=6

=V（2+l）2+（3+l）2=5=&-凡

所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线/为两个圆的公共弦所在的直线方程,

所以/:*+1)2+()，+1)2_。_2)2+()，_3)2=367

整理得/:3》+4），-23=0,

故选：C.

23.己知满足等式|功-4+1|=|24+6"2|=/后后”0）的有序数对（。,〃）有且仅有

一个，则仁.

【答案】2石或2

【分析】由已知等式变形得出喀绊=喀空=/,设直线/的方程为

\la~+b~\la~+b

ax+勿+1=0,可知点P（T2）到直线/的距离为/，点Q（l,3）到直线/的距离为g,

即/是圆~（半径为。和圆。（半径为;）的公切线，对圆尸、圆。的位置进行

分类讨论，数形结合瓦求得/的值.

\2b-a+l\_\2a+6b+2\

【详解】由|2b-〃+1|=囚+6"2|=Waft>0)变形得

\]a2+b2\la2+b2

设直线/的方程为6+勿+1=0,

该等式可理解为点P（T2）到直线/的距离为/，点Q（l,3）到直线/的距离为不

即/是圆P（半径为Q和圆。（半径为：）的公切线，根据题意这样的公切线/仅

有一条.

二

情形一：圆。与圆。内切，则/是两圆唯一的公切线，则/-;=|0。|=右，得1=26,

情形二：圆p与圆Q相交，一条公切线过原点。，另一条公切线为/,

因为直线/不过原点，该情形下/也是唯一的，如图，两条切线的交点为

/与两个圆的切点分别为A、B,

因为照=2|Q8],所以PQ=QR,可得点R(3,4),切线OR的方程为)，=白，即

4x-3y=0,

|-lx4-3x2|

此时，==2*

故答案为：26或2.

24.已知圆G：(X-2)2+()」2y=4,半径为i的圆G的圆心在第二象限，圆G与

两条坐标轴均相切.

(1)求圆G的标准方程；

⑵求圆G和圆G的公切线的方程；

⑶过点P(T.O)的直线/与圆G交于4、8两点，直线,与圆G交于。、E两点，

证明：|AB|=2|D£|.

【答案】(l)(x+l)2+(>-l)2=l

(2)人=0或)'=0或3X-4J+12=0或4*十3)，一4=0

(3)证明见解析

【分析】(1)根据题意可得圆4的圆心坐标为(-/)，即可写出圆的标准方程；

(2)先判断圆a和圆G相外离，可得圆a和圆G共有4条公切线，易得X轴和)，

轴与圆q和圆G均相切，再根据直线GG为圆外一点出发的圆的两条切线的角平

分线，求另外两条公切线；

(3)设过点尸的直线/的方程为y=，〃(x+4),利用几何法求弦长可证.

【详解】(1)由圆G与两条坐标轴均相切，圆G的圆心在第二象限，半径为1,

可得圆G的圆心坐标为(T1),

故圆G的标准方程为(1+1)2+()」1)2=1.

(2)由G(2,2),C2(-l,l),有|CG|=M,

又由如＞1+2=3,可得圆G和圆G相外离，可得圆C和圆G共有4条公切

线，

又由＜仅2),G(-lJ),圆G和圆G的半径分别为1,2,

在平面直角坐标系中画出圆a和圆G的图象，可知x轴和N轴与圆C,和圆G均相

直线CG的方程为)'-1=了而(1+1),整理为X-3)，+4=0,

可得直线C6与x轴的交点为7(T,0).

2

3

设直线GG的倾斜角为*有tanaj,有tan2a=1^=a，

由于直线CC2为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，

可得圆C,和圆G的另一条公切线的斜率为:,

4

可得另一条公切线的方程为y=：(x+4),整理为3I.y+12=0,

y轴与直线GG的交点为K((4)1、,可知点K在圆储和圆G的另一条公切线上,

设另一条公切线的方程为)，=h+(整理为3区-"+4=0,

有思”解得V

可得另一条公切线方程为Tx-3)，+4=0,整理为4x+3y-4=0,

故圆G和圆G的公切线的方程为x=。或y=。或3x-4y+】2=。或4x+3y-4=0.

(3)设过点尸的直线/的方程为产"《+4),整理为〃次-)，+4/〃=0,

点G到直线/的距离为4=专二,点G到直线/的距离为4=塔」

+1+1

可得4=24.

又由|阴=2)4-42=25一44二44一4,\DE\=2,{^f

所以|A口二2|g.

题型九圆的公切线长

25.若圆=1与圆O2：(x-a)2+(y-)『=9(a,bwR)有且仅有一条公切

线，则从点。2(。⑼到圆。1的切线长为(