圆与圆的位置关系（原卷版）-2025-2026学年高二数学复习专项突破（人教A版选择性必修第一册）

2.5.2:圆与圆的位置关系

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点I两圆的位置关系及其判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为小，「2,两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系如下:

位置关系外离外切相交内切内含

叁

图示000©电守

d与〃，12

d>r\+nd=r\-\-rir21Vdvri+nd=，i—臼d<\n-n\

的关系

1

（2）代数法：设两圆的一般方程为

Ci：*2+/+。送+臼^+户1=0（小+舟一4盾＞0）,

T+jA+Oix+Eiy+a=0,

C2：/+产+。2工+后少+”2=0（。3+砂一4后＞0）,联立方程得

尸+产+0三+良'+3二。,

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数2组1组0组

两圆的公共点个数2个1个0个

两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含

知识点2两圆的位置关系与公切线条数的关系

位置关系公切线条数图示

外离4

外切3

相交2

内切1

内含00

2

【题型归纳】

题型一、两圆位置关系的判断

【例1】.(25-26高二上•江苏连云港)圆。1：/+丁=9和圆6：/+</-4工+2尸3=0的位置关系是()

A.内含B.相交C.内切D.外切

【变式1].(24-25高二上•吉林长春•期末)已知圆。|：(、-1丫+()，+2)2=9,圆Q:(x+2y+(y+l)：=16,则这两个

圆的位置关系为()

A.外离B.外切C.相交D.内含

【变式2].(25-26高二上•河南南阳•阶段练习)已知直线3x-4y+2=0与圆〃：/+_/+2G=0(4〉0)相切，则圆〃

和圆N:(x+l)2+(y-l)2=q的位置关系是()

A.相交B.外切C.内切D.外离

题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题

【例2】.(24-25高二下,云南曲靖•期末)若圆G：，+(y_|『=4与圆G：(x-l『+(y-a)2=l有且仅有2条公切线,

则。的取值范围是()

A.(0,l)U(l,l+2x/2)B.(l-2V2,l+2>/2)

C.(-1-2立1)U(I1+26)D.(l-2V2,l)U(l,l+2>/2)

【变式1].(24-25高二上•贵州黔南•阶段练习)已知圆G：(x+4『+(y-3?=9与圆G：•一+/-4.t+10y+加=0外

离，则加的取值范围是()

A.(-oo,29)B.(-20,+8)

C.(-20,29)D.(-28,29)

【变式2].(24-25高二上•海南•期末)已知圆M:(x+a『+(y—3『=2(。>0),则点4(3,0),8(0,3),若圆M上存在

一点P满足|尸力|=2|所|,则。的取值范围为()

A.[2,V17+1]B.[2而-1]

C.(0,717+1]D.[V17+l,+oo)

3

题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程

【例3】.(24-25高二上•全国)已知半径为1的动圆与圆(》-5)'+(.)，+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()

A.(x-5)2+(y-7)2=25

B.(x-5)2+(y-7)2=17^(X-5)：+(^+7)2=15

C.(—J+(NX

D."-5丫+&+7)2=25或&-5丫+(9+7)2=9

【变式1].(23-24高二上•河南南阳•阶段练习)以(3,-4)为圆心，旦与圆/+/=]相外切的圆。的方程为()

A.(x+31+(y+4『=4B.卜-31+(歹+4丫=16

C.(x-3)2+(尸4)2=16D.(x-3)2+(y+4)2=4

【变式2].(22-23高二上•广西河池•阶段练习)已知动圆M与圆。：/+歹2一"=0外切，同时又与x轴相切，则圆

M的圆心轨迹方程为()

A.x2=SyB.W=8y(y>。)和x=0

C.x2=8^(^>0)D.x2=8^(y>0)>fnx=0(y<0)

题型四、两圆的公共弦方程

【例4】.(24-25高二上•广西河池・期末)已知圆«:犬+»2+24+3)，+1=0和圆G：x2+V+4x+3y+2=0,则两圆

公共弦所在直线的方程为.

【变式1].(24-25高二上•福建漳州•期末)己知圆G：/+/+2》一6»-6=0与圆C2：x?+/-4工+3=0相交于力，

4两点，则两圆的公共弦所在的直线方程为.

【变式2.(24-25高二上•上海•期末)圆G：.八/=4与圆&：(x-2『+(j，-3y=9的相交弦所在直线方程

为.

题型五、两圆的公共弦长问题

【例5】.(24-25高二下•湖北•期中)已知圆O:/+/=9和圆C:(x-4『+(y+3『=54,则两圆的公共弦长

为.

【变式1].(24-25高二上•贵州•期中)已知圆G：/+/一2.丫+4”4=0与圆。//+/+4》-2]-4=0的交点为

4

A.H.贝1"/仍|=.

【变式2].（24-25高二上•天津•期中）已知圆«:%2+/_2氐+〃=0与圆0”/+3_]）2=]相交于点彳、“

①若。=2,则公共弦所在直线方程为.

②若弦长|力用=退，则〃=.

题型六、两圆的公切线长问题

【例6】.（25-26高二上•湖南•阶段练习）已知直线/与圆/+/=1和（.3『+（y-4『=16都相切，则直线/的一般

式方程为.（写出一个即可）

【变式11（2024•江西•模拟预测）写出圆G：。-=1与圆弓：。-4）2+（k4）2=16的一条公力线方程.

【变式2].（24-25高二_L・湖南•期中）写出与圆*-1）2+3-2）2=：和圆（人-2＞十都相切的一条直线方

程.

题型七：两圆的公切线条数

【例7】.（25-26高二上•全国•单元测试）圆G：（x+2）2+（y-2）2=4与圆G：（x-l）2+（y+2）2=9的公切线条数

是.

【变式1].（24-25高三下•江苏徐州•阶段练习）已知圆弓：/+/+2外=0与圆6：/+歹2-2后7+2=0恰有三条

公切线，则。=.

【变式2].（24-25高二上•宁夏吴忠♦期中）若圆£:"-2）2+/=1与圆。2：/+/+以+6），+〃?=0有且仅有三条公

切线，〃?=.

【变式3].（24-25高二上•江苏南通•期末）已知圆和圆。2：/+/-4%-4），+4=0,则G，G的公切线

共有条.

5

题型八：圆与圆位置关系的综合

【例8】.（25-26高二上•广东•阶段练习）已知圆G的圆心在直线：入-丁+3=0上，圆G过点”（T2），且圆G与x

轴相切，圆G：（x+iy+（y-4）2=/（尸＞0）与圆G内切，切点为儿

⑴求圆G的标准方程；

⑵求，•为值以及点力的坐标；

⑶过点4的直线/与圆G，C?在第一象限分别交丁小C两点，若[3。|-2近，求直线/的方程.

【变式1].（25-26高二上•安徽•阶段练习）已知圆C：（X-2）2+=””（））与圆C'：一+（）-1）2=5.

⑴若圆。与圆。’有3条公切线，求,•的值.

⑵若/•=1,试求：

①圆。与圆c.所得的公共弦长：

②经过圆C与圆C'的交点且过坐标原点。的圆M的方程.

【变式2].（25-26高二上•内蒙古呼伦贝尔•阶段练习）已知：圆。的圆心在第一象限，与工轴相切，与N轴交于4、

«两点，且4c8=120°,|OC|二石，点尸（0,-2）在斜率为4的直线/上.

⑴求圆C的标准方程：

（2）若直线/与圆。交于M,N两点，且可凶=（，求直线/的方程；

⑶若存在圆心在直线/上，半径为1的圆。与圆C外切，求〃的取值范围.

【高分演练】

一、单选题

1.（25-26高二上•北京•阶段练习）已知圆G：（x+l）?+G，-l）2=l与圆。2空।/4x16,/=（）外切，则口一（）

A.±1B.±^2C.±73D.±75

2.（25-26高二上•山西晋中•阶段练习）圆G：（x-iy+（y-2）2=9与圆G：/+/+4》+4），-28=0公切线的条数

为（）

A.4B.3C.2D.1

6

3.（25-26高二上•江苏南京•阶段练习）已知圆£：（x-a『+（y-4=4（。，6为常数）与G：/+/-2x=0.

若圆心G与G关于直线入-y=o对称，则圆G与的位置关系为（）

A.内含B.相交c.相切D,相离

4.（25-26高二上•河北邢台・阶段练习）已知圆4：/+/+4人.—2丁+2=0与圆。2：/+_/+2工=0相交于48两点,

则点P（3,-2）到直线AB的距离是（：

A.3B.3&C.五D.2

5.（25-26高二上•河南驻马店•阶段练习）若圆。:/+），2+2*-4），+1=0上总存在两个点到点（凡〃+1）的距离为6,

则实数”的取值范围为（）

A.（-V30,-V6）U（V6,V30）B.（-4"-2匈”2戊,4及）

C.（-瓦-⑺U（瓦珂D.（-屈,-2后）U（2△屈）

6.（25-26高二上•江苏南京•阶段练习）已知若两圆-4加丫+4〃/-1=0和/+/一为少一4+〃2=0恰

有三条公切线，则2m+〃的最大值为（）

A.B.>/2C.2^2D.35/2

7.（25-26高二上•江西•阶段练习）已知圆G:工^+产=1与圆C?:.丫2-2Gar+y2-2政-1=05=0）交于4,8两点,

则直线N4的一般式方程为（）

A.\[^x-y=0B.\f5x-y+2=0

C.\/ix+y+2=0D.\/Jx+y=0

8.（25-26高三上•湖南长沙•阶段练习）在平面宜角坐标系xQy中，已知圆。的方程为Y+J，2-8A+15=0,若直线

j，="-2（kwR）上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆。有公共点，则〃的最大值为（）

I24

A.-B.-C.1D.-

333

9.（25-26高三上•河北•开学考试）若圆Q：/+_/=1与圆Oy（x-十+（”方『=9（dbeR）有且仅有2条公切线,

则|3a-4〃+5]的取值范围为（）

A.[0,5）B.[1,5）C.[0,25）D.[5,25）

7

10.（25-26高三上•河北衡水•开学考试）已知48是圆O.x2+y2=\^x轴的两个交点，动点M满足|M4|=及惘司，

记点M的轨迹为七，则（）

A.E与圆。相切

B.七是两条平行的直线

C.的最大值为三

4

D.E上的点到原点。的距离的最大值为6

二、多选题

11.（25-26高二上•江苏连云港•阶段练习）已知圆C：/+y2=l和圆。2：./+歹2-4工=0的公共点为力，B,则（）

A.|C£|=3B,直线力4的方程是X=!

C.|力用=乎D.△力。。2为等腰三角形

12.（25-26高一上•河南驻马店•开学考试）已知圆q：（x-炉+⑪-2丫=4与圆。2：/+）/=产（厂＞o）,下列选项正确

的有（）

A.若:•=1，则两圆外切

B.若/，=1,则直线x=-l为两圆的一条公切线

C.若厂=3,则两圆公共弦所在直线的方程为x+2y=0

D.若r=3,则两圆公共弦的长度为4

13.（25-26高二上•重庆•阶段练习）圆«:./+产-2"0和圆。2：N2+/+2N-4），=0的交点为力，8,则有（）

A.圆&的圆心为（-1，2）,半径为石B.公共弦力8所在直线方程为x-y=0

C.线段中垂线方程为x+y-l=0D.尸为圆O,上一动点，则夕到直线43距离的最大值为也+1

2

14.（25-26高二上•河北保定•阶段练工）己知点?在直线/：x-J，+l=0上，点。在圆G（x-3）2+/=l上，过点?向

圆。作切线，切点分别为4B,则下列说法正确的是（）

A.的最小值为2立

B.若，（1,2）,贝I」直线48的方程为2x—2y—5=0

3

C.cos/49的最小值为彳

8

D.MM的最小值为手

15.（25-26高二上•湖南•阶段练习）已知点加（3,0）,圆（7:"+2）2+/=/（〃＞0）,动点2满足耨=2,。为坐标

原点，记点尸的轨迹为曲线「，则下列说法正确的是（）

A.若过点切的直线与圆。相切于点儿且|A"|=4,则,・二3

25

B.若过点M的直线与圆C相切于点力，则面积的最大值为与

4

C.若「与圆C仅有一个公共点，则尸=3

D.若「与圆。有两个公共点，则1＜一＜3

16.（25-26高二上•江苏•期中）圆6：/+_/-4X-5=0与圆6：/十/一2），一3二0相交于力、B两点,则（）

A.的直线方程为2x—y+l=0

B.公共弦48的长为4

C.线段45的垂直平分线方程为》+2广2=。

D.圆C上的点与圆G上的点的最大距离为5+石

三、填空题

17.（25-26高二上•陕西商洛•阶段练习）两圆/+/+4.”=（）与V+/+2.12=0的公共弦长等于.

18.（25-26高二上•河南南阳•阶段练习）圆。经过点力（16,0）,且与圆。：d+“+&一6y=0相切于坐标原点O,则

圆D的标准方程为.

19.（25-26高三上•重庆•阶段练习）已如曲线G：尸/一d_2',。2：，='3+2',。3：尸"-、,若圆。与G，C?，G

都相切，则圆。的标准方程为.

20.（25-26高二上•全国•课后作业）已知OG：（x+l）2+f^+-l=2与。C?：•/+/+4x+3y+/〃=0有且只有两条公

\2J4

切线，则实数的取值范围是.

21.（25-26高二上•全国•单元测试）已知圆。:小+（尸2）2=1和圆0:/+/-6》_10尸30=0,M,N分别是圆C,

。上的动点，P为直线y=-1上的动点，则|P，M+|PN|的最小值是.

9

四、解答题

22、（24-25高二上•云南•阶段练习）已知圆G：/+（"l）2=4和圆C2：（X-2）2+（J，-1）2