湘教版数学九年级上学期期中模拟试卷一（范围：1-3章）

湘教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

1.（2024九上•泰山月考）如果函数y=（巾一1）不问-2是反比例函数，那么m的值是（）

A.2B.-1C.1D.0

【答案】B

【知识点】反比例函数的概念

【解析】【解答】解：,・,函数y=—是反比例函数,

\m\—2=—1且m—1工0,

解得：m=—1,

故答案为：B.

【分析】根据反比例函数的定义：一般地，形如y=4（k为常数，k手0）的函数叫做反比例函数，

据此可求出m的值.

2.（2024九上•岳阳期中）已知点/（一2,%）,8（—1）2），。（3/3）在反比例函数〉=5（k<0）的图象匕

则丫1，丫2，丫3的大小关系是（）

A.vy2VB.y2<<y3c.y3<y1<y2D.y3<y2<

【答案】c

【知识点】反比例函数的性质

【解析】【解答】解：・・・1V0,

・,♦函数y=q（k<0）的图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随汇的增大而增大，

V-2<-1<0<3,

••丫3V。V'l

•wV8<y^

故答案为：c.

【分析】先根据反比例函数的性质函数的图象分布在第二、四象限，且在每〜象限内，y随汇的增大

而增大，然后比较已知三点的横坐标大小，即可得到答案.

3.（2024九上•潮南月考）把方程/+6%-5=0化成（X+771）2=71的形式，则小+九=（）

A.17B.14C.11D.7

【答案】A

【知识点】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：N+6x—5=0

x2+6x=5

/+6%+9=5+9

(%+3)2=14

二m=3,n=14

m4-n=3+14=17

故选A.

【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可.

4.（2025九上•荔湾期中）用公式法解一元二次方程3/+3=2加寸，首先要确定a,b,c的值，下列

选项正确的是（）

A.Q=3,b=2,c=3B.Q=-3,b=2,c=3

C.Q=3,b=c=—3D.a=3>b=—2,c=3

【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程

【解析】【解答】解：3/+3=2%,

A3%2-2x4-3=0

/.a=3,b=—2,c=3>

故选：D.

【分析】根据公式法及二次方程各项的定义即可求出答案.

5.（2024九上♦开福月考）如图，直线匕|“2口3,直线〃，卜被直线d12,b所截，截得的线段分别

为.48,BC,DE,EF,若48=3,BC=4.5,DE=2,则EF的长是（）

A.2.5

【答案】B

【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

【解析】【解答】解：・・，11”2口3,

AB__DE_

~BC=铲

•••AB=3,BC=4.5,DE=2,

3_2

二通=乔

•••EF=3,

故答案为：B.

【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.

6.（2025九上•顺德月考）如图，在四边形/BCD中，已知々4DC=那么补充下列条件后不能

判定△ADC^WL84c相似的是（）

A.G4平分/8coB.LDAC=/-ABCC.AC2=BC-CDD.第二第

【答案】C

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：・・・NADC二NBAC

A：CA平分N8C0,贝IJACD=NACB,即△AOCSAB/IC,A正确

B：NDAC-NABC,即△/。…△射。，R正确

C：AC2=BC-CD,不能判断C错误

D：器=器，bADCssBAC,D正确

故答案为：C

【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.

7.已知关于x的方程好一（Q+2b及+1=0有两个相等的实数根.若在平面直角坐标系中，点P在

直线1：y=r+赳，点位于直线I下方，则PQ长的最小值为（）

A.B.3C.1D.苧

【答案】A

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数几何问题中的最值

【解析】【解答】解：方程好一6+26）工+1=0有两个相等的实数根，故△=（Q+2b）2-4=0,整

埋得a+2b=2或a+2b=・2,

当a+2b=2时，b=l-；Q,点此时点Q在直线A：y=x+l上，但Q在直线y=一%+/

的上方，不符合题意；

当a+2b=2时，b=l-la,点、08-1一：°），此时点Q在直线'y=-x-l±,且在直线^二一%十^

的下方，符合题意，

此时当PQ垂直于1时，PQ取最小值，如下图，OP二晕OQ二旺故PQmin[&.

244

故答案为：A.

【分析】由方程有两个相等的实数根可得a、b间的数量关系，分类讨论可得点Q所在的直线，由特

殊三角形可得PQ的最小值.

8.（2025•深圳模拟）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完

美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然

中呈现出优美的样子.如图，点P是4B的黄金分割点（AP>PB）,如果4B长为8cm,那么4P的长

约为（）cm.

A.与1B.12-4V5C.4V5-4D.8遍-8

【答案】C

【知识点】黄金分割

【辞析】【解答】解：由题意得：用=与14与Ix8=（4^—4）cm

故选：C.

【分析】本题主要对黄金分割进行考查。黄金分割比为咚2,根据此计算AP长为（4西-4）cm.

9.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，用

S,P分别表示四边形ABCD的面积和周长；用Si,PI分别表示四边形EFGH的面积和周长.设

qP

K弋,《二言’则下面关于K,Ki的说法正确的是（）.

A.K,Ki均为常数B.K为常数，Ki不为常数

C.K不为常数，K为常数D.K,K均不为常数

【答案】B

【知识点】二角形的面积：二角形全等的判定-AAS：二角形的中位线定理：相似二角形的判定-AA：相似二

角形的性质-对应面积

【解•析】【解答】解：连接AC,BD,

•IE、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,

AEH//BD//FG,EH=FG=^BD

.*.△AEH^AABD,△CFG^ACBD,

•11

♦•S&AEH=.SAABD，S&CFG=4S4CBA

.1

+S&CFG=4s四边形Me。'

同理可得,SABEF+SxDHG=四边形48C。'

‘S四边形EFGH=2s四边形

s

"F=2,K为常值;

•・・E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,

；・EH=FG=加口,EF=HG=^ACt

，四边形EFGH的周长P产AC+RD,

若四边形ABCD是邻边长为1和2的矩形，则

„_P_63

右=无=乖=*

若四边形ABCD是边长为1的正方形，则

P4l

K、=jy-=—■=.=>/2

Pi2/2

故Ki不为常值.

故答案为：B.

【分析】根据E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，运用三角形中位线定理，得出

S匹边形四边形/go,进而求得K的值；再根据E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的

中点，得出四边形EFGH的周长P产AC+BD,进而通过计算求得Ki不为常值.

10.（2024九卜•涟源期中）如图，。力FC是平行四边形，对角线OR在y轴正半轴上，位于第一象限的

点4和第二象限的点C分别在双曲线y=S和y=/的一个分支上，分别过点4、C做无轴的垂线段，

XX

垂足分别为点M和N,则以下结论：①舞=|向|；②阴影部分面积是:（加+七）；③当"10C=

90。时，|附|=|七|;④若。48c是菱形，则的+七=0.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【知识点】反比例函数系数k的几何意义：三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的性质：矩形的判定

与性质

【解析】【解答】解：①如图，过点4作力Ely轴于E,过点C作CFly轴于F,

•.•四边形OABC是平行四边形,

'S&AOB-SACOB»

=^OB-CF,

-S△力os=2°B•4E,S&COB

乙

：.AE=CF,

易证四边形AEOM,(TON是矩形,

A.4E=OM,CF=ON,

OM=ON,

1111

•S“OM=2^2\=2OM'AMtSACONElk2f0N.CN，

•嚼=卧故①正确；

@V^AAOM=2l^zb^^CON=

•*•S阴影部分=SfOM+S&CON=2（伙11+1七1），

vk1>0,k2V0,

*,*5阴影部分=2（自—“2），故②错误；

③当N40C=90。，有四边形0ABe是矩形，

•••不能确定04与。C相等，

TOM=ON,

二不能判断^AOM三4CNO,

不能判断AM=CN,

••.不能确定I的|=|&I，故③错误;

④若四边形。48c是菱形，则04=0C,

,:DM=ON,

•••Rt△AOM=/?tACNO（HL）,

•••AM=CN,

*,,1^11=伙21

：•k1——/^2，

M+七=0,故④正确；

综上所述，正确的结论个数是2个，

故答案为：B.

【分析】①过点4作4EJLy轴于E,过点C作CF_Ly轴于F,根据平行四边形以及三角形面积公式得

AE=CF,易证四边形力EOM,CFON是矩形，结合矩形的性质得0M=ON,然后利用三角形面积公

式以及反比例函数k的几何意义得舞=|昌|；

②由S“0M=；|k2l，S%ON=3®I，得到S阴影部分=■1一七）；③当“。。=90°，得到四边形

048c是矩形，由于不能确定04与0C相等，则不能判断a/OM三/iCN。，故不能判断4M=CN,则

不能确定I的I二|灿：④若0月8（7是菱形，根据菱形的性质得。4=0C,可判断RH40M三7?£△

CNO,则4M=CN,故%11=的1，即的=一七.

二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，24分）

11.（2024九上•杭州月考）已知"会那么上的值为

o3a+b---------

【答案】I

【知识点】分式的化简求值；比例的性质

a2

万3-

3

/3

_

5手

,

故答案为：I

【分析】先求出b=^Q，然后代入所求分式进行计算即可.

12.（2025•杭州二模）如图，点A在双曲线、=竽上，连接OA,分别以点0、A为圆心大于404的

长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C,作直线BC,交x轴于点D,若乙40。=45°,则点D的

坐标为.

）4

【知识点】反比例函数的性质：反比例函数与一次函数的交点问题

【祚析】【解答】解：连接AD,

由作图痕迹知CD垂直平分AO,ZDAO=ZAOD=45°,故NADO90。，

AD=OD,设A（m,ni）代入函数丫=学得a=4,故A（4,4）得D（4,0）

故答案为：（4,0）.

【分析】由/AOD=45。结合对称垂直平分线的性质知AO=OD,求出A的坐标，即可得点D的坐标.

13.（2024九上•新邵月考）若关于%的一兀二次方程（瓶-2）/+巾工+瓶2-4=0有一个根是0,则m

的值为_________

【答案】-2

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数

【解析】【解答】解：•・•关于x的一元二次方程（加一2）d+3+7712-4=0有一个根是0,

nt2—4=0,

解得：m=±2,

tn—200,

，tnH2,

=-2,

故答案为：-2.

【分析】把方程的根代入方程得到m=±2,然后根据一元二次方程的定义求出mH2,据此即可求

解.

11

14.（2023•黄冈模拟）设xi,X2是一元二次方程x2-5x+4=0的两个实数根，则机+去的值

X1x2

为•

【答案】5

4

【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

【解析】【解答】解：Vxi,X2是一元二次方程x2-5x+4=。的两个实数根,

-,-54

・・白+孙=——1=cS，%]•=j二%4

•J_+J_=2+」=^i1^=9

xxxx4,

・31x2X/2l2l2

故答案为:1

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系'%1+%2=-2，勺♦2=5”可求出a+乂2及*%2的值,

Cla

然后将待求式子通分计算后整体代入可得答案.

15.（2024九上•涟源期中）如图，△48C与ADEF是位似图形，点O为位似中心，OC.CF=

【答案】12

【知识点】位似图形的性质

【解析】【解答】解：・・・OC:CF=1:2,

：.OC.OF=1:3,

,:348。与^DEF是位似图形，点。为位似中心,

:,&ABC八DEF,且位似比为今

.AB_1

••诟一3

*：AB=4,

：.DE=12,

故答案为：12.

【分析】先求出。。：0尸=1：3,利用位似图形的性质求出位似比，再结合相似三角形的性质得到答

案.

16.（2024•乌鲁木齐模拟）如图，点A是反比例函数y=K（x>0）的图象上一点，过点A；乍y轴的垂

线交y轴于点B,若点C是X轴上一点，SMBC=1，则k的值为.

【答案】2

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型

【解析】【解答】解：如图所示，连接OA.

:.AB||CO,

•*,S^ABO=S^ABC~2AB,OB=1'

•••\k\=2,

•上>0,

:•k=2.

故答案为：2.

【分析】

如图所示，连接OA,由同底等高两三角形面积相等可得S"BO=S“BC=24B・OB=1,再由反比例

函数系数k的几何意义得到因=2,由于々>0,即k=2.

17.（2023九下•大庆期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物

熏蒸消毒.消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位；mg/jv3）与时间x（单位：min）的函数

关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y=2%,药物熏蒸完成后y与x成反比

例函数关系，两个函数图象的交点为教室空气中的药物浓度不低于于2m。/巾3时，对杀灭

病毒有效.当m=3时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为min

【答案】8

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；正比例函

数的图象

【解析】【解答】解：将m=3代入y=2%,得y=2x3=6.

A(3,6),

设熏蒸完后的函数关系式为：y=&

'x

••・上=3x6=18,

・••熏蒸完后函数的关系式为y=学

药物浓度不低于2mg/m3,

・•・当y=2x>2时，有%>1,

当y=?N2时，有％工9,

，有效时长为:9-1=8(min),

故答案为:8.

【分析】先求出点4的坐标，利用待定系数法得到熏蒸完后的函数关系式，然后求出两函数值大于等

于2时的工的取值范围，结合函数的性质可得有效时间.

18.(2024九上•北京市期中)在480中，4AB0=90。，点C在线段40上，过点。作CEJ.48十点

E,CF180于点心使得四边形CE8尸为正方形，此时4c=3cm,CD=4cm,则阴影部分面积为—

【答案】6

【知识点】勾股定理：正方形的性质；相似三角形的判定-AA：相似三角形的性质-对应边

【解析】【解答】解：•・•四边形CEBF为正方形，

：.CEIIBD,CE=CF=BF=BE,

・•・△AEC^AABD,

.AE_EC_AC

t，AB~'BD~AD，

设CE=CF=BF=BE=x,

.AE_x_3

，，x+AE=x+FD=7,

解得AE=,%,FD=1X,

在RSAEC中，由勾股定埋得,

AE2+CE2=AC2,

rog%)+x2=32,

解得x=导，

/.AE=^%=?(cm),FD=g%=等(cm),

••・阴影部分面积为1912.11612(cm2).

SAACE+SKFD2X、‘、’

故答案为：6.

【分析】由正方形的性质证明△AECsZ\ABD,设CE=CF=BF=BE=X,即可得到，^=

x+AE

求出AE=孩，FD=b，然后在RSAEC中，根据勾股定理求出x的值，再求出阴影

x+F£）743

部分面积即可.

三、解答题（每小题6分，共12分）

19.（2024九上.涟源期中）解方程：

(I)(5X-1)2=3(5X-1)；

(2)%2—4%—3=0.

【答案】(1)解：・・・(5%—1)2=3(5%—1)，

，⑸c-1尸-3(5%-1)=0,

-1-3)(5%-1)=0,

/.C5x-4)(5x-1)=0,

5x—4=0或5x-1=0»

41

1--=

5

5;

（2）解：VX2-4X-3=0,

Ax2-4x=3,

-4x+4=3+4,

，红-2尸=7,

Ax-2=±V7,

Ax=2±夕，

•4i=2+V7,x2=2-夕.

【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可;

（2）利用“配方法”求解一元二次方程即可.

(1)解：(5x-l)2=3(5x-1)

(5X-1)2-3(5X-1)=0

(5x-l-3)(5%-1)=0

(5x-4)(5x-1)=0,

即：5%-4=0或5%-1=0,

41

V=

=亍-

I5

(2)解：x2—4x—3=0

%2-4x=3

x2-4x+4=3+4

(%-2)2=7

x-2=

x=2±V7»

•••/=2+y/7,%2=2-

20.在直角坐标系内，反比例函数y=1的图象经过点A(X1,yi),B(X2,y2),C(X3,y3).

(1)若血=-x2=>3,求证：x3+y2=0;

(2)若%3-%2=X2-XX=l,y1-y2=8,为一八=16,求该函数的表达式.

【答案】(1)证明：•・,反比例函数y=幺的图象经过点.B(X2,y2),C(X3,y3),

X

kk

••yi=『必=v

%2y3

•••-%2=y3>

kkkk

•'♦%3+%==+丁=一丁+==°

丫3%2x2x2

(2)解：Vyi-y2=8,y3-yi=16,

y3-y2=24,

.kkkk

▽一丁=o8,---=24,

X1x2x3x2

k(X2-X|)=8x1X2，k(X2-X3)=24X2X3，

***X3-X2=X2-X1=1，

/.k=8x)X2,-k=24x2X3,

/.8XIX2=-24X2X^

.*.X1=-3X3,

/.K3-X2=X2+3X3,

/.X2=-X3,

，X3-X2=X3+X3=1,

即%3+,

.1

・・冷=-2

Vk(X2-X3)=24X2X3,

/.k=6

・•・该函数的表达式为y=2

【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式

【蟀析】【分析】⑴利用反比例函数的性质,将丫2和丫3用k和X2,X3表示出来,然后代入X3+y2中,

通过计算得出结果为0,从而证明结论；

(2)根据yi-y2=8和y3-yi=16,求出丫3芋二24,然后将yi,yz,y3用k和xi,X2,X3表示出来，代入计

算，同时结合X3-X2=X2-X1=1,求出Xl,X2,X3的值，最后代入,=［中，求出k的值即可.

四、解答题(每小题8分，共16分)

21.(2024九上♦九台月考)已知平行四边形A8C0的两边48、4。的长是关于X的一元二次方程d-

8x+m=0的两个实数根.

(1)若4B的长为5,求m的值；

(2)m为何值时，平行四边形/WCD是菱形？求出此时菱形的边长.

【答案】(1)解：:平行四边形4B8的两边AB,4。的长是关于工的一元二次方程%2-8〉+巾=0的

两个实数根，且48=5,

•••52-8x54-m=0»

解得：m=15；

(2)解：•••平行四边形48co是菱形，

•••AB=AD,

••IB,40的长是关于工的一元二次方程%2-8x+m=0的两个实数根，

・•・方程/-8x+m=0有两个相等的实数根，

b2—4ac=(-8)2—4m=64-4m=0,

解得：m=16,

x2—8x+16=0>

解得：=x2=4,

AB=AD=4,即菱形的边长为4,

・••当m=16时，平行四边形力BCO是菱形，菱形的边长是4.

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；菱形的性质

【解析】【分析】（1）将A8=5代入原方程并解之即可；

（2）根据菱形的性质得到A8=A0,然后利用一元二次方程根的判别式列出关于m的一元二次方程并

解之即可得出m的值，将其代入原方程，解方程即可得出菱形的边长.

（1）解：・・78、4。的长是关于％的一元二次方程好一8%+狙=0的两个实数根，48的长为5,

・,•把％=5代入%2-8%+m=0.得

52-8x5+m=0

解得：m=15；

（2）解：••・平行四边形4BCD是菱形，

•••AB=AD»

方程必-8x+m=。有两个相等的实数根，

A=（-8）2-4m=0,

TH=16,

止匕对方程为/_8x+16=0,

%]-%2=4,

AB=AD=4,即菱形的边长为4；

答：m=16,平行四边形48CU是菱形，菱形的边长是4.

22.（2025・无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动.

【活动主题】测量物体的高度

【测量工具】卷尺、标杆

【活动过程】

活动1：测量校内旗杆的高度

该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）.在点尸处竖立标杆E片直立在点0处

的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与尸、Q在同一条直线

上，EF=2.8〃],PQ=\Am,QF=2m,FN=\6m.

(2)活动2：测量南禅寺妙光塔的高度

南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一.该小组

为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发现塔顶A和

塔底中心8均无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动(示意图2).在地面一条水平步道上

的点尸处竖立标杆EE直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶从塔顶A在同一条直线上.小

军沿尸Q的方向走到点0处，此时标杆ET竖立于尸处，从点尸处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直

线上.已知AB、EF、PQ、E户和P0在同一平面内，点8、F、0、F、0在同一条直线上，EF=EF

=2.8/〃，PQ=PQ=\Am,FQ=\2m,FQ=22m,0。=30〃?.

求妙光塔A8的高度.

交EF于点、G,

则四边形PQFG,PQNH均为矩形,

HN=GF=PQ=1.4m,GP=QF=2m,HP=NQ=NF+FQ=16+2=18(m),

EG=EF-GF=2.8-1.4=1.4(m),

由题意知EFIIMN,

•••乙M=,乙MHP=乙EGP,

MHP〜AEGP,

MHHP日MH18

‘跖二可'即nTJ=H

解得MH=12.6,

-%MN=MH+HN=12.6+1.4=14(7n),

即旗杆MN的高度为14m.

(2)解：如图，P'H_L4B于点H,交EF于点M,交E‘F’于点M’，

(图2)

PQ=pfQf=1.4m,

.••点P在线段P,H上，四边形PQFM,PQBH,P'Q'F'M'，P'Q,BH均为矩形，

:.HP=BQ,MP=FQ=1.2m.MP=FQ=2.2m，HB=MF=M'F'=PQP'Q'=1.4m,

•♦.EM=E'M'=2.8-1.4=1.4m,

由题意知EF||AB,

:.乙HAP=LMEP,乙AHP=^EMP,

HAP“AMEP,

AH__HP_

,.砥一而'

同理可得组=峪，

MEMP

vEM=E'M',

HP_HP

’而二?T

VHP=BQ,HP'=BQ'=BQ+QQ'=BQ+30,

BQ_BQ+30

AL2=

解得BQ=36m,

:.HP=36m,

代入AH_HP得.AH_36

八人砥一砂‘付.L4-L2,

解得4〃=42m,

・・,AB=AH+BH=42+1.4=43.4(m)

即妙光塔4B的高度为43.4m.

【知识点】相似三角形的实际应用

【蟀析】【分析】（1）PH■!"MN于点，，交EF于点、G,得矩形PQFG,PQNH,推理得到△MHP

EGP,根据对应边成比例得鬻=若，代入数据求解即可；

（2）P,H1AB于点H,交£7"F点M,交E'F’于点M’，同（1）证明△HAP〜△MEP,推出送=

，f

盛，同理可得组=峪，推出黑=用，代入数值计算出“尸=36m,再代入第=黑，求出

MPMEMPMPMPMEMP

AH=42m,进而即可求解.

五、解答题（每小题9分，共18分）

23.（2025八下•永康期末）用一张长为40cm,宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。

（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2,则

纸盒的高是多少？

（2）如图3,在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将

剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2,则裁去的正方形的

边长是多少？

【答案】（1）解：设纸盒的高为x（cm）,

由题意,得：（40-2x）（25-2x尸450,

2

化简、整理,得：2X-65x+275=0,

解这个方程，得：xi=5,X2=27.5（不合题意，舍去），

答：纸盒的高为5cm.

（2）解：设裁去的正方形的边长为x（cm）,

由题意，得：40X25-2X2-2X20X=912,

化简、整理,得：x2+20x-44=0,

解这个方程，得：xi=2,X2=-22（不合题意，舍去），

答；裁去的正方形的边长为2cm.

【知识点】一元二次方程的应用-几何问题

【解-析】【分析】（1）设纸盒的高为xcm,则纸盒的底面是改为（40-2x）cm,宽为（25-2x）cm的长方形，

根据纸盒底面积为450cm2,可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；

⑵设裁去的正方形的边长为xcm,根据折成纸盒的表面积为912cm十即长方形硬纸板的面积.阴影部

分的面积），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

24.（2024・仙居模拟）如图，菱形48co中，DELAB,DF±BC,垂足分别为E,F.对角线AC分别

交DE,。尸于点G,H.

D际-----------7c

AEB

(1)求证：DE=DF.

(2)若2048=60。，证明71c=3GH.

【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形,

：.AD=DC,乙DAE=^DCF.

\'DELAB,DF1BC,

：.LDEA=乙DFC=90°.

，在aDAE和仆DCF中，

Z.DAE=乙DCF

/-DEA=乙DFC，

AD=DC

△DAE"DCF(AAS).

:.DE=DF.

(2)证明：连接DB,如图所示：

•・•四功形48co是菱形,

・・・AB〃CD,AD=AB=CD

AZGAE=ZGCD,

*：DELAB,

AZAED=90°,

ZADE=90°-ZDAB=30°,

AAE=1AD=1AB=1CD,

/1乙乙

在乙AGE和4CGD

(£.GAE=Z-GCD

VAGE=Z.CGD'

:AGE^ACGD(AA),

AAG：CG=AE：CD=1CD：CD=1,

・'AG=^AC,

同理可得：CH=\AC,

：.AC=3GH.

【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS：8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的

性质-对应边

【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可知40=OC,^.DAE=^.DCF,通过证明△0/E三△0CF,从

即可而得出DE和DF这组对应边相等；

（2）根据菱形的性质易知NGAE=NGCD,再结合已知条件易得AEYADJCD,△AGE和

△CGD,进而得出4G=聂C，同理可得CH=/C,进而即可证明4c=3GH.

六、综合题（每小题10分，共20分）

25.（2025九下•高坪开学考）如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取

点A（2,a）,过点A作反比例函数y=>0）的图象.

（1）求a的值及反比例函数的表达式;

(2)点P为反比例函数y=K(%>0)图象上的一点，若S“08=2，A08，求点P的坐标.

(3)在x轴存在点Q,使得乙8。4=乙。AQ,请求出点Q的坐标.

【答案】(1)解：把A(2,Q)代入y=2x+2得，

Q=2X2+2=6,

”(2,6),

把.4(2,6)代入y=)

得k=12,

・••反比例函数的函数表达式为y=%

(2)解：当％=0时，

y=2x+2=2,

•••8(0,2),

•••OB=2,

•••S^AOB=^OBxA=^x2x2=2>

**•S^POB=2sJOB=4»

T711

乂S&POB=2OB,Xp=2x2x%p=4，

解得：xP=4,

12

”=彳=3，

二点P坐标为(4,3)；

(3)解：①当点Q在x轴正半轴上时，如图，过点A作AQi||y轴交x轴于Q1,

则乙8。4=4OAQi，

•••点Q(2,0)；

②当点Q在x轴负半轴上时，

如图,设力。2与y轴交于点。(0/),

'：LBOA=40AQ2，

：-0D=AD,

则22+(6—匕)2=必，

解得：b=学，

.•.D(0,学》

设直线AQz表达式为y=mx+九，则有

2m+n=6

10,

(n=T

4

m=3

解得

_10'

/=手

・•・直线也的表达式为y=枭+学，

当y=0时，X=-1，

即点Q2的坐标为(-Q)，

综上所述，点Q的坐标为(2,0)或(一/o).

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交

点问题；•次函数中的面积问题；•次函数中的角度问题

【解析】【分析】

(1)先由直线上点的坐标特征可得4(2,6),再利用待定系数法即可；

(2)由于△P08和△408有公共边OB,则当S“0B=2SM0B时，则有P点到y轴的距离等于A点

到y轴距离的2倍，即点P的横坐标等于点A的横坐标的2倍，再利用双曲线上点的坐标特征求出

点P的纵坐标即可；

(3)分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，则由内错角相等两直线平行得AQ||y轴，即点Q的

横坐标等于点A的横坐标；②当点Q在x轴负半轴上时，则可设AQ交y轴于点D,则由等角对等

边得AD=OD,为便于计算可设D((),b),则由两点距离公式可得关于b的方程并求解即可得点D坐

标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，再利用直线上点的坐标特征即可得点Q坐标.

(1)解：把4(2,Q)代入y=2%+2得，

Q=2X2+2=6,

••"(2,6),

把4(2,6)代入y=5,

得k=12,

二反比例函数的函数表达式为y=竽

（2）解：当无=0时，

y=2x+2=2,

•••B(0,2),

:.OB-2,

•••S&AOB=-%/l=1x2x2=2,

S“OB—2S^AOB—4»

..ii

乂S&POB=2OB*Xp=2x2xxp—4,

解得：Xp=4,

12°

•••v=-j-=3,

’4

•••点P坐标为(4,3)；

(3)解：①当点Q在x轴正半轴上时,

如图，过点A作4Qi||y轴交x轴于Q],