新七年级数学专项提升：绝对值（解析版）

专题04绝对值

。R素养目标

1.从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）；

2.会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数：体会分类讨论思想:

3.运用绝对值的非负性解决问题：

4.能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。

目录导航

题型探究

题型1、求已知数的绝对值........................................................................3

题型2、已知绝对值求数或未知数.................................................................4

题型3、绝对值的概念与意义辨析..................................................................6

题型4、绝对值的非负性..........................................................................7

题型5、绝对值的化简求值1.....................................................................................................................8

题型6、绝对值的化简求值2.........................................................................................................................................10

题型7、绝对值的实际应用.......................................................................11

题型8、绝对值的几何意义求最值.................................................................14

培优精练

A组（能力提升）...............................................................................18

B组（培优拓展）...............................................................................22

新课轻松学

【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点8与原点之间的距离是多少？

-3-2-1012

【思考2］一个数的绝对值与这个数有什么关系?

【历史起源】提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯

1815-1897）说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能觉得这个时间已

经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就是说，那个把无

穷级数玩得贼溜，写出了数学史二最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这些年份可以看出

来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。

1___/

.4知识梳理

1.绝对值

1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数。的点与原点的距离国做数。的绝对值，记作同。

2）绝对值的几何意义：一个数4的绝对值就是数轴上表示数”的点与原点的距离。

3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0。

即：（1）如果々>0,那么同=〃；（2）如果〃=0,那么同=0；（3）如果a<0,那么同=一〃.

a（a>0）

a(a>0)

可整理为：4=｛。（。=0）,或,八、，或4=,

-a（a<0）-a(a<0)

4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.即：I。巨0。

3.归纳：①绝对值等于它本身的数是：非伊数：②绝对值大于它本身的数是：仇数：

③绝对值等于它的相反数的数是：非正数；④绝对值最小的有理数是：_0_：

⑤绝对值最小的止整数是：_1_;⑥绝对值最小的负整数是：。

引入绝对值这个概念，是为以后的数学转化思想做准备，通过绝对值，将负数转化为正数，这样有理数加

法计算问题就可用小学时学的加法进行运算了。

.公题型探究

题型1、求已知数的绝对值

a（a>0）

【解题技巧】数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值，0（。=0）。

-a（a<0）

例I.（2024.广西钦州.一模）-2的绝对值是（）

A.2B.-2C.gD.--

【答案】A

【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，进行作答即可.

【详解】解：-2的绝对值是-（-2）=2,故选：A.

例2.（2024.江苏连云港.二模）2024相反数的绝对值是（）

I

A.----B•一击C.2024D.-2024

2024

【答案】C

【分析】本题考查了相反数与绝对值,先求出2024的相反数，再求出相反数的绝对值即可，熟练掌握相反

数的定义是解此题的关键.

【详解】解：2024的相反数为-2024,-2024的绝对值为2024,

.•.2024相反数的绝对值是2024,牧选：C.

例3.（20-21七年级上•浙江杭州•期末）若a<0,则卜24=

【答案】-2a

【详解】本题考查了不等式的性质与绝对值的意义，解题的关键是熟知：①在不等式的两边同时乘以一个

负数，不等号的方向改变；②正数的绝对值是其本身.

根据不等式的性质与绝对值的意义进行变形与化简即可.

解：/.-2Z7>0,，I一加I二一%.故答案为：一%.

变式1.（2024・湖北武汉•一模）-卜2024|的相反数是（）

D

A.-2024B.2024c-募-募

【答案】B

【分析】本题主要考查了绝对值的意义和相反数，根据绝对值的意义化简绝对值，再根据相反数的定义求

相反数即可.

【详解】解：-卜2024|=-2024,-2024的相反数是2024.故选：B.

变式2.（2024・西藏•一模）卜3|的绝对值是（）

A.3B.-3C.-D.±3

3

【答案】A

【分析】本题主要考查绝对值的定义，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数,

0的绝对值是0成为解题的关键.根据绝对值的定义即可解得.

【详解】解：13|的绝对值是3.故选A.

题型2、已知绝对值求数或未知数

【解题技巧】若凶=。，当〃〉（）时，x=±a；当。=0时，x=0。

根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。

例I.（2024•河南郑州•模拟预测）一个数x的相反数的绝对值为3,则这个数是（）

A.3B.-3C.卜乂D.±3

【答案】D

【分析】本题考查相反数，绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可求解.

【详解】•・•一个数x的相反数的绝对值为3,即H|=3,

/.-x=zt3»x=±3.故选：D.

例2.（23-24七年级•黑龙江哈尔滨•阶段练习）若卜2]=[-6],则％=.

【答案】3或-3

【分析】本题考查了绝对值的意义，正确熟练掌握知识点是解题的关键.

直接取绝对值即可.

【详解】解：|一2耳二|-6|；闲=6：卜|=3

•••工=3或-3.故答案为：3或-3.

例3.（23-24七年级上•河南郑州•阶段练习）己知|X-5|=|-3],则x的值为.

【答案】8或2/2或8

【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值等于•个正数的数有2个求解即可.

【详解】解：・.・|%-5|=|-3|,・・.|4-5|=3,

••・工―5=3或/-5=-3,・・・x=8或2.故答案为：8或2.

变式1.（2024・辽宁・模拟预测）绝对值等于;的数是（）

A.-B.2C.!或-2D.以上都不对

3333

【答案】C

【分析】本题考查了绝对值.熟练掌握绝对值是解题的关键.

根据绝对值的定义求解即可.

【详解】解：由题意知，绝对值等于;的数是;或-；，故选：C.

变式2.（22-23七年级上•云南昆明•阶段练习）如果国=卜2.5|,贝卜=.

【答案】±2.5

【分析】本题考查了互为相反数的两个数的绝对值相等.就是简单的运算题，比较简单.根据互为相反数

的两个数的绝对值相等，由题意知凶=2.5,得出工的值.

【详解】解：・・・N=|一2.5|,・・・N=2.5,得出x=±2.5,故答案为：12.5.

变式3.（23-24七年级.匕江苏无锡•期中）己知=则〃=.

【答案】2或0/0或2

【分析】本题考查绝对值方程，解题的关键是熟记绝对值的意义.

根据绝对值的意义即可求解.

【详解】•・1。-=或。—1=—1・・・。=2或0.故答案为：2或0.

题型3、绝对值的概念与意义辨析

【解题技巧】绝对值的几何意义：•个数。的绝对值就是数轴上表示数。的点与原点的距离。

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

例I.（2023•福建莆田•七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴

上（）

A.原点两旁B.任何一点C.原点右边D.原点或其右边

【答案】D

【分析】根据数轴的特点及绝对值的定义解答即可.

【详解】解：•••任何非0数的绝对值都大于0,・••任何非0数的绝对值所表示的数总在原点的右侧，

・・・Q的绝对值是0,・・・0的绝对值表示的数在原点.故选：D.

【点睛】本题考查的是绝对值及数轴的定义，解答此题的关键是熟知以下知识：Q）数轴上原点右边表示

的数都大于0,原点左边表示的数都小于0;（2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的

相反数，。的绝对值是0.

例2.（23-24七年级上•江苏南京•阶段练习）若同=-〃，则〃是（）

A.非负数B.负数C.正数D.非正数

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；。的绝

对值是0.据此解答即可.

【详解】解：•洞=。为非正数，故选：D.

例3.（23-24七年级.黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知=则3|=.

【答案】3-a/-a+3

【分析】本题考查绝对值的代数意义，由题意确定3-。的符号，由绝对值的代数意义化简即可得到答案，

熟记绝对值的代数意义是解决问题的关键.

【详解】解：|3-4=3—。，/.3-。》。，则。一34（）,

\a-?\=-（a-3）=3-a,故答案为：3-a.

变式I.（2023•河北保定•校考模拟预测）下列说法错误的是（）

A.相反数是它本身的数是0B.绝对值是它本身的数是正数

C.。的绝对值是它本身D.有理数的相反数仍是有理数

【答案】B

【分析】依次判断各个说法即可进行解答.

【详解】解：绝对值是它本身的数是非负数（0和正数），故B错误.故选：B.

【点睛】本题主要考查了相反数和绝对值的相关知识，解题的关键是熟记相关知识点.

变式2.（2022秋・甘肃庆阳•七年级统考期中）下列说法正确的是（）

A.有理数的绝对值一定比0大B.有理数的相反数一定比。小

C.如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等D.互为相反数的两个数的绝对值相等

【答案】D

【分析】直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出答案.

【详解】解：A、有理数的绝对值一定大于等于0,故原说法错误，不符合题意；

B、正有理数的相反数一定比0小，故原说法错误，不符合题意；

C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数或相等，故原说法错误，不符合题意：

D、互为相反数的两个数的绝对值相等，故此选项正确，符合题意.故选：D.

【点睛】本题主要考查了绝对值取相反数，正确掌握相关定义是解题关键.

变式3.（2022•河南驻马店•七年级校考期末）如果卜〃?|二-〃，下列〃?的取值不能使这个式子成立的是（）

A.-1B.0C.1D.用取任何负数

【答案】C

【分析】根据绝对值的非负性判断即可.

【详解】解：力一叫二一机，为非负数，•.》为非正数，故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握知识点是解题的关键.

题型4、绝对值的非负性

【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性”若几个非负数的和为0,则每一个非负数必为0"，即若|。|+\b\=o,

则⑷=0且同=0.（2）|^|>0o

例I.（23-24七年级•浙江•期中）若|3-〃|+|〃一1|=0,则〃=,b=.

【答案】31

【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得3-。=0,6-1=0,即可求解.

【详解】因为|3—〃|+|4一1|二0,日J3—司之0,|6-1|之0,

所以3—a=0,b—\=0,所以a=3,b=\.故答案为：3,1.

例2.（23-24七年级•黑龙江哈尔滨•期中）已知〃为有理数，则|。-2|+4的最小值为.

【答案】4

【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相

反数，。的绝对值是0.根据绝对值的非负性即可解答.

【详解】解：V|«-2|>0,.\|a-2|+4>4,

・・・|。-2|+4的最小值为4,故答案为：4.

例I.（23-24七年级上.江苏泰州.阶段练习）已知从c满足则"c的值是.

3I

【答案】-/1-/1.5

【分析】本题考查了绝对值的性质，根据M-1|+。一<=0,得至Jb=l,c=:，

代入计算即可.

I11a

【详解】v|^-1|+C——=0,・,・占=1,。=一，.\/?+c=l+-=-,

112222

故答案为：；3或二1或1.5.

22

变式2.（23-24七年级上•四川眉山.阶段练习）如果x为有理数，式子2021-k-3|存在最大值，那么这个

式子有最—值是，此1=

【答案】大20213

【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若〃为有理数，则有同是解答本题的关键.根据绝对值

的非负性求解即可.

【详解】解：・・・卜-3仁0,・••当x=3时，卜-3|的最小值为0,

・・・2021-卜一3|的最大侑为2021,此时x=3.故答案为：大：2021：3.

题型5、绝对值的化简求值1

【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，

绝对值前的正负号不变（即本身）：若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是

“十”，去括号，括号内不变；括号前是“一”，去括号，括号内各项要变号；④化简。

注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。

例1.（23-24七年级上•四川眉山•阶段练习）若〃?，〃互为相反数，则帆-1+力=；

|3-n|+|4—兀|=.

【答案】11

【分析】本题考查了相反数的性质，化简绝对值；根据相反数的性质可得到〃2+〃=0,再代入何-1+4中

即可求解；根据3<兀<4,化简绝对值，即可求解.

【详解】解：•・・/〃，〃互为相反数，・•・加+〃=0,，w―1+

<3<兀<4,/.\3-nI+I4-K|=7r-3+4-7r=l,故答案为：1,I,

例2.（23-24七年级.上海•期中）若有理数〃、尻c在数轴上对应的点如图，化简：\a-c\+\b+（］-\G-t\=.

iII1.

ac0b

【答案】2c

【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，中数轴得出。\e\<\b\<\a\,从而得

出"CVO,b+c>0,〃-/"0,再根据绝对■值的性质化简绝充值即可得出答案，采用数形结合的思想是

解此题的关键.

【详解】解：由数轴可得:a<c<O<b,忖<网<同,:.a-c<Q,b+c>0,a-b<0,

.-.\a-（］+\b+c\-\a-b\=c-a+b+c+a-b=2c,故答案为：2c.

变式1.（23-24七年级.湖北孝感阶段练习）若则向+,-1|=.

【答案】1

【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定然后化简绝对值后合并解题即可.

【详解】解：・・・〃一1<0，・・・时+|。-1|=〃+1-〃=1,故答案为：1.

变式2.（23-24七年级上•山西忻州•期末）数〃，b,c•在数轴上对应点的位置如图所示，化简-。|+叔-。|的

结果为（）

।।11A

a0bc

A.-a+b-cB.-a-b+cC.a+b-cD.a-h+c

【答案】B

【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知

识进行变形、求解.运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质正行化简、计算.

【详解】解：由题意得，a<Q<b<c,：.-«>0,b-c<0,

.J-a|+|/?-c|=-a-（b-c）=-a-b-i-c,故选：B

变式3.（2023・河南•七年级校考阶段练习）有理数〃、b、c在数轴上的位置如图：

40bc

⑴比较大小（填""或号）.①。c；@a+b0；③〃-c0；

（2）化简:\b-（］+2\a+b\-\c-a\.

【答案】（1）<；<；<⑵一々一3〃

【分析】（1）根据数轴上的点表示的数的特点，比较大小.

（2）利用绝对值的定义去绝对值，去括号，合并同类项.

【详解】⑴解：由数轴可得："Ja+b<0；b-c<0,

（2）解：也一4+2|〃+目一卜一4=-b+c+2（-a-b）-c+a=-b+c-2a-2b-c+a=-a-3b.

【点睛】本题考查了有关实数与数轴的简单应用，做题关键要掌握实数的大小比较，去绝对值.

题型6、绝对值的化简求值2

【解题技巧】当。>0时，则2=1；当时，则二=一1。

同闷

例I.（23-24七年级上.四川凉山.阶段练习）若口>0,则凶+以+回的值为______

xyxy

【答案】3或T

【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得M），同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可.

【详解】解：因为M〉（），所以x,），同为正数或同为负数.

当工>0,y>0时，囱+国+国=1+1+1=3；

xyxy

当“<0,”0时，凶+比国一7+1一.

xyxy

所以原式的值为3或-1,故答案为：3或-1.

abab

变式I.（23-24七年级上.浙江绍兴•阶段练习）如果而工0,那么同+同+两的值是（）

A.±1或3B.-1或3C.1或3D.±1或一3

【答案】B

【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值.根据必工0,即〃、〃全为正数时，或。、方为一正一负

时，或。、匕全负时分类讨论计算即可.

【详解】解：。人工0,•'.设々>0,b>0B'J,--7+—+T~r.=1+1+1=3,

\a\\b\\ab\

abababab,,.

.•.a>0,〃V0或avO,>0时，,•—+—+—77=1-1-1=-1,或n+iZi+m=_"一二一，

|a|闻|加\a\\b\\ab\

abab,,,

/.A<0,Z?vO时，:+77-7+-rr=-!-•+1=-1,

Ifll\b\I<72?I

综上可得：三+[+与]=3或-1，故选：B.

3|b|\ab\

变式2.（22-23七年级匕江西上饶•期中）若就工0,则回+也L__________.

ah

【答案】一2或0或2

【分析】

本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论〃、〃的符号，然后化简绝对值即可得到答案.

【详解】解：当〃、〃同时为正时，@+®=@+£=1+1=2,

abab

当，、。同时为负时，1^+^=—+—=-1-1=-2,

abab

当心b•正•负时，不妨设a为负，回+批=』+2=一i+i=o,

abab

综上所述，@+@的值为-2或。或2.故答案为：-2或0或2.

ab

题型7、绝对值的实际应用

【解题技巧】常见三种应用：

1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；

2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与

数的正负性无关；

3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。

例I.（2023•浙江金华•七年级校考期中）小杨同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克教记为正数，

不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（）

【答案】C

【分析】比较各个足球克数的绝对值，绝对值最小的足球最接近标准，从而得出结论.

【详解】解：因为|包9|=0.9,卜3.6|=3.6,|-0.3|=0.3,|+2.5|=2.5,

由于|旬.3|最小，所以从轻重的角度看，最接近标准工件的是C.故选：C.

【点睛】本题考查了正负数在生活中的应用，理解从轻重的角度看，绝对值最小的物品最接近标准是解决

本题的关键.

例2.（23-24七年级上.湖南永州•阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定何右爬行的路

程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米）

+5,-3,+10,-8,-6,-9,+12,TO,问：⑴小虫是否回到原点0?

⑵爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？

【答案】（1）小虫没有回到原点⑵小虫可得到315粒芝麻

【分析】本题考查了正负数的应用：（1）利用有理数的加法，即可求解；

（2）利用加法先求出总距离，再乘以每爬行I厘米奖励5粒芝麻即可求解；

熟练掌握正负数的意义是解题的美键.

【详解】（1）解：+5+（-3）+10+（-8）+（-6）+（-9）+12+（-10）

=27-36

=-9,

答：小虫没有回到原点.

（2）|十5|十十3|十|十叫十卜8|十|-6|十卜9|十|十12|十卜叫

=5+3+10+8+6+9+12+10

=63,

63x5=315（粒），

答：小虫可得到315粒芝麻.

变式I.（2024•吉林四平•二模）从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下〔超过标准质

量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g）,其中最接近标准质量的是（）

编号1234

检查结果蚀4-0.1-0.5+0.3

A.1号汤圆B.2号汤圆C.3号汤圆D.4号汤圆

【答案】B

【分析】本题考查r止数负数、绝对值的意义，根据绝对值越小的数最接近标准侦量，进行作答即口」.

【详解】解：依题意，|N).4|=04|-0.1|=0.L|-0.5|=05|+0.3|=Q3,

•••().5>0.4>0.3>0.1,・••其中最接近标准质量的是2号汤圆，故选：B.

变式2.(23-24七年级上•四川绵阳•期中)科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门

口出发，沿东西走向的大街.上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里

程(单位：km)如卜：—3»+7,—4»+1»—5,—2>+8,—6.

(1)将最后•位乘客送到目的地时，小李在什么位置？

(2)若汽车消耗天然气量为0.2m3/km,这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？

(3)若出租车起步价为5元，起步里程为3km(包括3km,超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费

多少元？

【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西边4km处；(2)7.2立方米；(3)58元.

【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算；

(I)求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置：

(2)求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量；

(3)八名顾客均有起步价，再求出超出3km的加价即可求出总车费.

【详解】(1)由-3+7-4+1—5—2+8—6=-4,

・•・小李在九洲体育馆门口西边4km处；

(2)由|—3|+|+7|4-|—4j+|+1|4-|—5|+|-2j+|+8|+|—6|=36(km),

・•・共消耗天然气36x0.2=7.2(立方米)，

答：共消耗天然气7.2立方米；

(3)5X8+1.2X[0+(7-3)+(4-3)+0+(5-3)+0+(8-3)4-(6-3)]

=40+1.2x15,

=40+1.2x15,

=58(元)，

答：小李这天上午共得车费58元.

题型8、绝对值的几何意义求最值

【解题技巧】打一《儿何意义：表示大到点〃的距离

（1）找零点（分界点）：（2）根据零点将数轴分段：（3）禾I」用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何

法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。

注：（I）一个式子中有多个绝对值式子时，工前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分

段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。

例I.（2022・山东济宁•七年级期末）大家知道，|5|=|5-0|,它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表

示0的点）之间的距离.又如式子|6-3],它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离.类

似地，式子在数轴上的意义是.

【答案】表示。的点与表示-5的点之间的距离

【分析】利用绝对值的意义即可求解.

【详解】解：因为|5|=|5-0|,它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，式子

|6-3|,它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离，

所以式子|。-（-5）|在数轴上的意义是表示a的点与表示・5的点之间的距离.

【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键.

例2.（2022.湖南邵阳•七年级期末）点A、8在数轴上分别表示实数〃、h,A、8两点之间的距离记作A4.当

A、8两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点.如图所示，则48=。3=网=卜/-耳，当小8两点都不

在原点时：

Q（N）

-0b~^

（1）如图所示，点A、8都在原点的右边，不妨设点A在点8H勺左侧.则

AB=OB-OA=\f^—\c^=b—a=\b-（^=\a-/j\

QAB

-6a~~b~>

（2）如图所示，点A、4都在原点的左边，不妨设点A在点4的右侧.则

AB=OB-OA=\b\-\c^=-b-（-a）=a-b=\a-t\

BAO

6。0

(3)如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则

AB=OB+OA=|/?|+1«|=a+(-/?)=|«—/?|

600

0aX

回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、6两点之间的距离.

⑵数轴上表示3和-5的两点A和8之间的距离AB=.

(3)数轴上表示工和-5的两点4和B之间的距离.如果人3=3,则%的值为.

(4)若代数式上+5|+|工-2|有最小值，则最小值为.

【答案】⑴⑵8⑶卜+5|,工=-2或-8(4)7

【分析】(1)根据数轴上A,4两点的位置即可得出答案；(2)按照数轴上的位置进行计算却可；

(3)根据数轴进行计算，列方程解绝对值方程即可；(4)根据绝对值的性质进行化简即可.

⑴解：综上所述，数轴上两点A和8之间的距离48=卜-4；故答案为：\a-b\；

(2)解：数轴上表示3和-5的两点A和8之间的距离48=3-(-5)=3+5=8：故答案为：8；

⑶解：数轴上表示x和-5的两点A和8之间的距离"=|x+5],

如果AB=3,/.|x+5|=3,工x+5=3或x+5=-3,

解得x=-2或x=—8,则x的值为-2或-8；故答案为卜+5|；-2或-8；

⑷解若代数式上+5卜|工-2|有最小值，卜+5|+卜-2|的值即为一5与2两点间的距离，此时最小，最小值为|2-

(-5)|=7,则最小值为7.故答案为7.

【点睛】本题考查了实数与数轴，以及绝对值，绝对值方程，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

变式I.(2023•广西七年级月考)同学们都知道，13-(-I)|表示3与-I之差的绝对值，实际上也可理解

为3与-I两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：(1)求|3-(-1)1=.

(2)找出所有符合条件的整数弟使得|x-3|+Li-(-1)|=4,这样的整数是.

【分析】(1)3与・1两数在数轴上所对的两点之间的距离为3-(-1)=4；

(2)利用数轴解决：把|x-3|+L1(-1)|=4理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离和到-1所

对应的点的距离之和为4,然后根据数轴可写出满足条件的整数工

【解答】解：（1）|3・（・1）1=4；

（2）式子k-31+k-（-1）|=4可理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离和到-1所对应的点的

距离之和为4,所以满足条件的整数工可为-1,0,1,2,3.

故答案为4；-L0,1,2,3.

【点评】本题考查了绝对值：若。>0,则同=〃；若a=0,则间=0；若”<0,则间也考查了数轴.

变式2.（2023•江苏南京•七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P=|l-4A1+|I-5

x|+|l-6x|+|l-7M+|1-8x|的值恒为一常数，则此值为.

【答案】1

【分析】因为P=|l-4x|+|l-5x|+|l-6x|+|l-7R+|1-8%|的值恒为一常数，即产的值与x无关，因此化

简后不含x项，根据绝对值的意义化简得出答案.

【详解】、P=H-4X|+|1-5X|+|1-6划+|1-7川+|1一知的值恒为一常数，”的值与工无关，

-4X-5X-6X+7X48A*=0.1-4x>0JBL15,v>0H1-6x>0i1-7x<0Ii.l-8x<0,—

76

P=|1-4x|+|l-5x|+|I-6x|4-|I-7x|+|l-8x|

=l-4x+l—5x+l—6JV+7X-1+8X-1=1.故答案为：1.

【点睛】此题考查绝对值的意义和计算方法，理解并掌握绝对值的意义和计算结果为常数的意义是解此题

的关键.

变式3.（23-24七年级上贵州黔南•期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，

数轴上表示数"的点与原点的距离叫做数。的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程.像

（1）H=5,（2）|a-3|=5,（3）|a+2|=6都叫做绝对值方程,对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未

知数的值.

例如：

（1）同=|。-0|=5表示在数轴上，数。与数0的距离为5个单位长度，所以，。-0=5或〃-0=-5,对应

的数有两个,分别是5和-5.

解：因为同=5,所以，a=5或。=一5.

（1）3|=5表示在数轴上，数。与数3的距离为5个单位长度，所以，〃-3=5或"3=-5,对应的数

有两个，分别是8和-2.

解：因为,一3|=5,所以，a-3=5或a-3=-5,解得：3=8或〃=一2.

知识应用:

（1）求出下列未知数的值.①,一6|=2；②|a+7|=3.

（2）知识探究：直接写出卜-3|+。-5|的最小值.

【答案】（1）①&=8或々=4；②。=-4或。=一10；（2）2.

【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数、绝对值的含义、数轴上两点间的距离等基础知识，明确相关

概念是解题的关键.（1）①|。-6|=2表示在数轴上，数〃与数6的距离为2个单位长度，所以，〃-6=2或

6=-2,对应的数有两个，分别是8和4；②|。+7|=3表示在数轴上，数。与数-7的距离为3个单位长度，

所以，。+7=3或〃+7=-3,对应的数有两个，分别是-4和-1（）.（2）根据|。-3出4-5|表示数〃与表示

数3和5的点之间的距离之和，当表示数〃的点处于表示3和5的点之间时，距离最小，可得答案.

【详解】解：（1）①因为|。-6|=2,

所以。-6=2或〃-6=-2,解得：a=8或。=4；

②因为|。+7|=3,所以。+7=3或。+7=—3,解得：a=-4或〃=一10；

（2）・"a-3|+|a-5|表示数。与表示数3和5的点之间的距离之和，

当。在3和5之间时距离之后最小，最小值为2,

.,.卜-3|+|。-5］的最小值是2.

A培优精练

A组（能力提升）

1.（2024•广西南宁•二模）2024的绝对值是（）

A.2024B.-2024C.-------D

2024--盛

【答案】A

【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它本身是解题的关键.

根据绝对值的意义解答即可;

【详解】解：2024的绝对值是2024,故选：A.

2.（23-24七年级上.贵州贵阳•阶段练习）如图所示，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数,

不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（）

【答案】C

【分析】本题考查正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

【详解】解：依题意，得|+0.9|=0.9,|-3.6|=3.6,|-0.8|=0.8,|+2.5|=2.5

•••3.6>2.5>0.9>0.8・•・最接近标准质量的是“一0.8g"，故选：C.

3.（22-23七年级下•上海闵行•阶段练习）如果1。1=。，那么〃的取值范围是（）

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

【答案】C

【分析】此题主要考查了绝对值，根据非负数的绝对值等于本身，即可求解.

【详解】解：・・・|a|=a，・・・。20,则，的取值范围是：非负数.故选C.

4.（23-24七年级•上海普陀・期中）如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是（）

A.1B.0C.正数D.非负数

【答案】D

【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟知正数和。的绝对值都等于它本身，负数的绝对值等于它的相

反数是解题的关键.

【详解】解：根据绝对值的定义可知，正数和。的绝对值都等于它本身，即非负数的绝对值等于它本身，

故选：D.

5.（23-24七年级上•浙江绍兴•阶段练习）相反数与绝对值相等的数是（）

A.非正数B.非负数C.正数D.负数

【答案】A

【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的性质，负数的相反数为正数，负数的绝对值的为正数，据此

即可作答.

【详解】解：。的绝对值与相反数相等，负数的相反数与绝对值相等，0和负数统称为非正数，故选：A.

6.（23-24九年级下.江苏南京.阶段练习）如图，将实数%表示在数轴上，则下列等式成立的是（）

-a-----------E~

A.同=〃B.同=-力C.\b-c^=b-aD.\a+l^=a+h

【答案】C

【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键.

a<0,抗X）,同>|小则6-々>0,a+b<0,；结合选项即可求解•

【详解】解：从图可知"VO,bX）,\a\>\h\

:a+/><0,同=一々，网=〃，故A、B错误；

\b-c^=b-a*\a+b\=-a-b,故。正确，D错误，故选C.

7.（2023・重庆七年级期中）下列命题正确的是（）

A.绝对值等于本身的数是正数B.绝对值等于相反数的数是负数

C.互为相反数的两个数的绝对值相等D.绝对值相等的两个数互为相反数

【答案】C

【分析】根据绝对值和相反数的概念分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用

排除法得出答案.

【解析】《绝对值等于本身的数是非负数，原命题是假命题；

8、绝对值等于相反数的数是非正数，原命题是假命题；

。、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题；

。、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原命题是假命题；故选：C.

【点睛】此题借助绝对值和相反数的概念考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一

个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出

一个反例即可.

8.（2023春・吉林长春•七年级校考阶段练习）若|4-则。的值可以是（）

A.5B.3C.1D.-1

【答案】A

【分析】利用绝对值的意义，即可解答.

【详解】解：（3|4-同=。-4,.”-430,.•“之4,的值可以是5,故选：A.

【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.

9.（23-24八年级上•江苏徐州•阶段练习）绝对值小于九的所有整数有个.

【答案】7

【分析】本题考查了绝对值、整数的知识.根据绝对值、相反数、整数、的性质求解，即可得到答案.

【详解】解：绝对值小于乃的整数是：-3,-2,-1,0,1,2,3,共7个.

故答案为：7.

10.（23-24七年级上•山东青岛•阶段练习M是最大的负整数，且。、仇c满足,+目+1•-5|=0.那么。=,

b=,c=.

【答案】-115

【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到。的值，然后根据绝对值的非负性得到从

c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键.

【详解】解：Ya是最大的负整数，

tz=—1,

V|a+/?|+|c-5|=0,

/.|a+/?|=0,|c—5|=0,

/.<z+Z?=0>c-5=0,

-1+b=0,c—5=0,

解得:b=l,c=5,

/.d=—1,/>=l,c=5,

故答案为:-11，5.

11.（23-24七年级上•山东济宁・期末）实数。，〃在数轴上的位置如图，则+

【答案】-2a

【分析】本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的关键.

先由数轴可得：a<O<b,|。|<|勿，再根据绝对值的化简法则计算即可.

【详解】解：由数轴可得:a<O<b,］。|<|勿,

:\a-b\-\a+b\=b-a-a-b=-2ii,故答案为：一2a.

12.（23-24七年级上.山东滨州.期末）若卜+1|=4,则工的值为.

【答案】3或一5.

【分析】本题主要考查的是绝对值，熟知互为相反数的两个数绝对值相等是解题的关键.先去绝对值符号，

再求出x的值即可.

【详解】解：+=4,・・.x+l=±4,・・.工=3或x=—5.故答案为：3或—5.

13.（23・24七年级上•广东佛山・期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB

是圆片的直径.圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运

动情况记录如下：+2,-l,+3,T,-3,运动结束后A运动的路程共有.（保留兀）

【答案】13兀

【分析】计算出这些数的绝对值的和，再乘以周长，即可求出路程.本题主要考查了化简绝对值、绝对值

的应用和圆的周长公式的应用，正确审题并计算出绝对值是解题的关键.

【详解】解：圆的周长为：1・冗=兀

•.•|-2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|=13,.\13x7c=137i,故答案为：13兀

14.（23-24七年级上.广东深圳•期中）出租车司机李师傅某日上午8:00-9:20一直在某市区一条东西方向

的公路上营运，共连续运载八批乘