新七年级数学专项提升：线段、角、对角线的计数模型（原卷版）

专题05.线段、角、对角线的计数模型

本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模

型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进

行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和

三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。

模型1.线段与角度的计数模型

1）线段的计数模型

结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；

结论拓展：若有〃个点，则线段数量为：（〃-1）+（〃-2）+...+4+3+2+1=仆二1）（条）

2

例1.（2023春•山东淄博•七年级校考期中）下面图形中共有线段（）条.

■i1a।

ABCDE

A.7B.8C.9D.10

例2.（2023秋•山西太原•七年级校考阶段练习）往返于太原、运城两地的高铁列车，若中途停靠太谷、介

体和临汾站则有（）种不同票价.

A.7B.8C.9D.10

例3.（2023秋•湖南长沙•七年级校考期末）2022年12月26日上午10时06分,渝厦高铁常德至益阳段开

通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德一常德汉寿一益阳南一宇乡西一长沙南，59

分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，

那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（）张车票.

A.10B.15C.20D.30

例4.(2023秋•四川泸州•七年级统考期末)阅读理解题

问题：在一条直线上有A，B,C,。四个点，那么这条直线上总共有多少条线段?

要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有八AC,八£＞共3条，同样以6为端点，以

C为端点，以。为端点的线段也各有3条，这样共有4个3,即4x3=12(条)，但AA和"4是同一条线段，

即每一条线段重复一次，所以一共有6条线段.那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有

条线段；若在一条直线上有〃个点，则这条直线上共有条线段.

知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有个

交点，〃条直线相交最多有个交点.

学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问好，全班同学共握手次.

例5.(2023秋•山西七年级月考)主题式学习：数形规律探究学习

⑴发现规律，猜想说理.

2(1+2)

1+2=3=-^——L

2

I2M

+2+3=6=2

1+2+3+4=1()=40+4)

2

5(1+5)

1+2+3+4+5=15=———-

2

以此类推，我们发现1+2+3+4+......+〃的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关.

如果,我们设S=l+2+3+4+……+〃

则2S=1+2+3+4++〃+1+(n-3)+(n-2)+(7?-1)+/?

我们可以看出此等式的右边是若干个。+〃)的和，

国2S=.贝IJ1+2+3+4+......+〃=.

(2)运用规律，计算表达.

①求3+4+5+6+7+8+9……+100=.

②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛.七年级(9)班获得第一名，该班学生列

队以“单击掌〃形式(每两个学生击掌一次)祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语如果该班

有J名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条.

⑶迁移规律，解决问题.

①如图，“北京一一广州”航线上有A、B、C、。、E、F、G、"8个城市，如果每两个城市都要互通航班,

那么这条航线上一共需要开通架航班.

②如图，在4x5的方格中，横线和竖线上的线段共有条.

②图③图

③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯"大力神杯〃和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），

共有32支国家足球队参赛.比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个价段进行.32

支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）;每小组前两名球队进入1/8决赛，

然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛.....请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？

2）角度的计数模型

结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；

结论拓展:若有〃条射线,则角度数量为：（〃-1）+（〃-2）+...+4+3+2+1=也二。（个）

例1.（2023秋•浙江•七年级专题练习）如图，总共有一个角.

例2.（2023♦四川内江•七年级月考）在锐角财CM内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可

得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；...照此规律，画10条不同射线，可得锐角__________个.

例3.（2023秋•重庆七年级课时练习）（1）在团AOB内部画1条射线OC,则F知1中有一个不同的角：

（2）在（3AOB内部画2条射线OC,OD,则图2中有___个不同的角；

（3）在回AOB内部画3条射线OC,OD,OE,则图3中有___个不同的角；

（4）在回AOB内部画10条射线OC,OD,OE...,则图中有____个不同的角：

（5）在回AOB内部画n条射线OC,OD,OE...,则图中有____个不同的角.

L三屋

0A0AA

（1）（2）（3）

例4.（2023秋•湖北孝感•七年级统考期末）如图1,从点0分别引两条射线,则得到一个角/A08.（图中

的角均指不大于平角的角）

L

OL-----------------B0乙B乙O^————B

图匕-图;-图y

123

（1）探究：①如图2,从点。分别引三条射线，则图中得到________个角；

②如图3,从点。分别引四条射线，则图中得到________个角；

③依此类推，从点0分别引〃条射线，则得到个角（用含〃的式子表示）；

⑵应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即

每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？

3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型

直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数

102

214

337

•••••••••

n9+1)

22

例1.（2023春•浙江七年级期中）已知2条直线最多有也2=1个交点，3条直线最多有也20=3个

22

交点，4条直线最多有4"4一”=6个交点,…由此猜想，8条直线最多有个交点（）

2

A.16B.28C.32D.40

例2.（2023春・安徽芜湖•七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（)

A.3B.5C.7D.9

例3.（2023春•广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为一个，最多为一个,

n条直线两两相交的直线最多有一个交点.

例4.（2023春•广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：

（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最

多有个交点，.・・・・・，像这样，8条直线相交最多有个交点，〃条直线相交最多有个交点:

（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面

分成部分，4条直线最多把平面分成部分，......，像这样，8条直线最多把平面分成部分，

〃条直线最多把平面分成部分.

例5.（2023春•江苏•七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多

有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有个交点；〃条直线相交,

最多有个交点（用含〃的代数式表示）；

【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮

球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？

4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型

结论：从〃边形一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（〃-2）个三角形；

〃边形共有对角线。

2

例1.（2023秋•湖北武汉•八年级校考阶段练习）六边形共有多少条对角线（）

A.8B.9C.10D.12

例2.（2023秋•甘肃兰州•七年级校考期末）如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个

多边形的边数为（）

A.5B.6C.7D.8

例3.（2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个

三角形，则这个多边形是（）

A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形

例4.（2023秋•广东梅州•七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形

对角线的总数是（）

A.88B.44C.45D.50

例5.（2023・山东•八年级专题练工）多边形的对角线：

多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从〃边形的一个顶点出发有条对曲线，将〃边

形分成个三角形，一个〃边形共有条对角线.

例6.（2023春・重庆七年级月考）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入

其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

⑴观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将.上面的表格填写完整;

⑵实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学.同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之

间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？

⑶类比归纳：乐乐认为(1),(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的

发现.

课后专项训练

1.（2023・湖北•七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）

A.46个B.55个C.56个D.67个

2.（2023秋•四川成都•七年级校考阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有

A,B,C,D四点♦点P沿直线I从右向左移动，当出现点P与A,B,C,D四点中的至少两个点距离相等时，

就会发出警报，则直线I上会发出警报的点P最多有（）

/一P

ABCD

A.4个B.5个C.6个D.7个

3.（2023秋•山东青岛•七年级校考期末）如图，48是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个

车站在这段路线上往返行车，需臼制（）种车票.

ABCDE

A.10B.11C.20D.22

4.（2023•河北邯郸•七年级校考期末）由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸一邢

台一石家庄一保定一北京，那么要为这次列车制作的火车票有（）

A.9种B.20种C.10种D.72种

5.（2023・湖北荆门•七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（）

A.1B.2C.3或2D.1或2或3

6.（2023春•江苏•七年级专题练工）如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交

点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，"（〃22,且〃是整数）条直

线相交最多能有（）

A.（2〃-3）个交点B.（3〃一6）个交点C.（4〃-10）个交点D.个交点

7.（2023春•山东淄博•七年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出机条对角线，它们将五边形分

成八个三角形，则〃?"的值为（）

A.9B.8C.6D.5

8.（2023春•浙江•八年级专题练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则

此多边形的边数为（）

A.7B.6C.5D.4

9.（2023秋•广东七年级月考）平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到。个交点，最少可

以得到〃个交点，则〃的值是（）

A.16B.22C.20D.18

10.（2023春・山东泰安•七年级校考阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交

点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若〃条直线相交交点最多有36个，则此时〃的值为（）

11.（2023•四川成都•七年级校考期末）成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停

靠站，则铁路部门针对此动车需要发售种不同行程的动车票.

12.（2023秋•辽宁沈阳•七年级统考期末）过五边形的一个顶点有条对角线.

13.（2023秋•河南郑州•七年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出机条对角线，并把这个正

八边形分成〃个三角形，则，〃+”.

14.（2023秋•重庆•七年级期中）如图所示，过六边形的顶点A的所有对角线可将六边形分成个三角

15.（2023秋•山东德州•八年级校考期中）从多边形的一个顶点所引的对角线，把这个多边形分成7个三角

形，则这个多边形共条对角线.

16.（2023秋•黑龙江绥化•八年级校考期中）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形

的个数是，十二边形的对角线的条数是

17.（2023秋•河南许昌•七年级统考期末）2022年9月8日,随着列车从郑州港区段鸣笛出发,郑许市域铁

路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待.图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘

客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票.

18.（2023•北京•七年级校考阶段练习）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系:

图形X不

J

直线条数234•••

最多交点个数13=1+26=1+2+3・・・

按此规律，6条直线相交，最多有一个交点；n条直线相交，最多有一个交点.（n为正整数）

19.（2023•浙江嘉兴•七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了一个

部分.

20.（2023秋•四川自贡•七年级校考阶段练习）己知：四点A、B、C、。的位置如图所示，根据下列语句，

画出图形.

⑴画直线A。、射线8C相交于点O,画线段A8；

⑵图中以字母A、B、C、D、。为端点的线段共有一条.

21.（2023秋•四川泸州•七年级统考期末）如图，。为直线A8上一点，N4OC=6（）,。。平分/AOC.

⑴请你数一数，图中有个小于平角的角：（2）求N80。的度数.

22.（2023秋•山西七年级月考）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一

定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题.

（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个

点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有一条.

（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有一条.

（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角0AOB（（3AOBV180。）；在用AOB内部再加一条

射线OC,此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线

OA、OB、OC...共形成一个角

（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生

拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张

纸质照片？

23.（2023秋•江苏•七年级专题练习）平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点.

⑴请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；

⑵请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；

⑶你能否画出各直线之间的交点个数为〃的图形，其中〃分别为6,21,15?

⑷请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？

24.（2023•北京市七年级课时练习）如图，线段48上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如卜关系:

ACBACDBACDEB

⑴当线段人B上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有条；当线段上有4个点时，以这些

点为端点的线段总共有条；当线段A3上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有条;

⑵当线段A4上有〃个点时，，以这些点为端点的线段总共有多少条？

⑶根据上述信息解决下面的问题：①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两

个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可

到达8站，那么在A,8两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？

25.（2023秋•广东惠州•七年级校考阶段练习）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线

段上有3个点时，线段共有3条；如果线段上有4个点时,线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段

共有10条；（1）当线段上有6个点时，线段共有一条？（2）当线段上有〃个点时，线段共有多少条？（用〃的

代数式表示）（3）当〃=100,线段共有多少条？

C

tl1

AB

■■CD■■

AB

CED

11111

AB

26.（2023秋•浙江•七年级专题练习）观察思考：

（1）在团403内部画1条射线OC,则图中有3个不同的角；

（2）在财08内部画2条射线OC、OD,则图中有几个不同的角？

（3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出〃条射线能有几人不同的角？

27.（2023春・广东肇庆•七年级校考阶段练习）观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）:

图b图c

（1）如图m图中共有对对顶角；（2）如图从图中共有对对顶角；

（3）如图c,图中共有对对顶角.（4）研究（1）〜（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关

系，若有〃条直线相交于一点，则可形成对对顶角？

（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成对对顶角？

28.（2023秋•山东七年级课时练习）下面各个图形中，分别有多少个小于平角的角，请用适当的方法表示

这些角.

（1）图（1）中共有个小于平角的角，这些角分别是

（2）图（2）中共有个小于平角的角，这些角分别是

（3）图（3）中共有个小于平角的角，这些角分别是

29.（2023•云南保山•七年级统考期末）如图所示，从一点0出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射

线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引n（n为

大卜等F2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果n=8时，检验你所得的结论是否正确.

30.（2023秋黑龙江七年级月考）找规律：

一次足球比赛中，有〃（应2）个球队参加比赛，假设此次比赛为单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其

他所有的队各赛一场），球队总数与总的比赛场数如表.

球队数（〃）23456

比赛场数1361015

（1）8个球队总共比赛的总场数为.（2）当有〃个球队参加时，共比多少场？

（2）当〃=10时，共有多少场比赛？

31.（2023秋•河北八年级课时练习）如图，0ABC+，Al,A2,A3,...»An为AC边上不同的n个点,首先

连接BA1,图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2,图中便有6个不同的三角形…

连接个数

出现三角形个数

若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？

若一直连接到An,则图中共有个三角形.

32.(2023春•山东青岛•七年级校考期中)数学中，常对同一个最用两种不同的方法计算，从而建立相等关

系，我们把这一思想称为“算两次”.

A2A3,A4A5.•••A

图3

［探究一］

如图1,在边长为〃的正方形纸片上剪去一个边长为〃S<〃)的正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？

阴影部分的面积是.

如图2,也可以把阴影部分沿着虚线剪开，分成两个梯形，阴影部分的面积是

用两种不同的方