人教版七年级数学下册：二元一次方程的应用（销售与行程问题）教案

人教版七年级数学下册：二元一次方程的应用（销售与行程问题）教案

一、教学理念与设计总览

本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，以发展学生核心素养为根本宗旨，聚焦于“模型观念”、“应用意识”与“运算能力”的协同培养。针对“销售”与“行程”这两类具有广泛现实背景和深刻数量关系的问题，本设计超越了传统的“题型-解法”机械训练模式，致力于引导学生经历“现实情境→数学抽象→模型构建→求解检验→解释推广”的完整数学建模过程。

设计强调数学与生活的深度融合，通过精心构建的真实或拟真情境，激发学生的探究内驱力。在问题解决中，着力渗透方程思想、转化思想和数形结合思想，引导学生理解二元一次方程组作为刻画现实世界中等量关系的强大数学工具的价值。教学实施采用“问题链驱动、探究为主线、思维可视化”的策略，通过层层递进的问题序列，撬动学生的深度思考与合作交流，使学生在掌握解题技能的同时，发展结构化思维和批判性思维，实现从“解题”到“解决问题”的能力跃迁。

二、教学内容与学情深度分析

1.教学内容解析

本节课是“二元一次方程组”章节中实际应用部分的关键课时，承接了二元一次方程组的概念、解法（代入消元法、加减消元法）等基础知识。销售问题与行程问题，是初中阶段利用方程组解决实际问题的两大经典模型，其本质是寻找并建立问题中多个未知量之间的等量关系。

1.销售问题：核心数量关系为“售价-进价=利润”、“利润率=利润/进价×100%”、“打折后售价=标价×折扣率”。其难点在于理解这些经济学术语的确切数学含义，并能在复杂的促销表述中准确提炼等量关系。

2.行程问题：核心数量关系为“路程=速度×时间”。其变式丰富，包括相遇问题（路程和）、追及问题（路程差）、环形跑道问题、顺逆流（风）问题等。难点在于分析运动过程、画线段图辅助理解，并据此建立关于路程、时间或速度的等量关系。

两类问题均要求设两个未知数，列两个方程，综合性较强。它们不仅是对方程组解法的巩固与应用，更是培养学生数学建模能力的绝佳载体。

2.学情精准诊断

授课对象为七年级下学期学生，其认知与能力基础如下：

1.已有基础：已经掌握了用一元一次方程解决简单实际问题的基本步骤（审、设、列、解、检、答），初步具备了从文字中提取数学信息的能力。刚刚系统学习了解二元一次方程组的两种基本方法，具备求解二元一次方程组的计算能力。

2.认知障碍：

1.3.从“一元”到“二元”的思维跨越：学生习惯于一元一次方程中“直接设元”和寻找单个等量关系。面对涉及两个相互关联的未知量时，如何“设两个元”以及如何“寻找两个独立的等量关系”是思维上的主要难点。

2.4.复杂情境的数学化：面对掺杂了折扣、利润、分段计费或复杂运动过程的文本描述，学生容易产生信息过载，难以剥离非本质信息，准确抓住核心数量关系。

3.5.等量关系的隐蔽性：等量关系并非总是由“等于”、“是”等字眼直接给出，更多地隐含在情境的深层逻辑中（如“两者同时出发到相遇，所用时间相等”），学生发现和表述这些隐含等量关系的能力有待提升。

6.发展可能：通过本课结构化、探究式的学习，学生有望实现从“套用公式”到“分析关系”、从“机械练习”到“灵活建模”的转变，初步体会方程组在解决复杂多变量问题中的优越性，为后续学习函数、不等式等更复杂的模型奠定坚实的思维基础。

三、素养导向的教学目标

1.知识与技能

1.能准确说出销售问题中的进价、售价、利润、利润率、折扣等术语及其相互关系。

2.能熟练说出行程问题中的基本公式及其在相遇、追及情境下的变形。

3.能够从复杂的销售或行程问题情境中，识别出两个未知量，并用两个不同的字母表示它们。

4.能够分析题意，找出两个独立的等量关系，并据此列出二元一次方程组。

5.能够熟练解所列方程组，并检验解的合理性和双重符合性（符合方程，也符合题意）。

2.过程与方法

1.经历“阅读理解→信息筛选→数量分析→关系提炼→模型建立”的完整过程，掌握用二元一次方程组解决实际问题的通用步骤。

2.通过小组合作探究典型例题和变式练习，学会用列表法、线段图法等工具梳理数量关系，将文字语言、图形语言转化为符号语言（方程），提升数学抽象和表征能力。

3.在解决开放性和综合性问题的过程中，体验一题多解、一题多变，发展发散思维和归纳概括能力。

3.情感、态度与价值观

1.感受二元一次方程组在解决现实经济、交通等问题中的实用价值，增强数学应用意识。

2.在克服复杂问题挑战的过程中，培养不畏艰难、严谨细致、合作交流的科学态度。

3.体会数学模型的简洁与力量，提升学习数学的兴趣和信心。

四、教学重难点及突破策略

教学重点：准确分析销售问题和行程问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型。

教学难点：挖掘并表述题目中的隐含等量关系；根据问题特点选择恰当的未知数设法和等量关系建立策略。

突破策略：

1.情境脚手架策略：创设贴近学生生活经验的情境（如校园义卖、假期旅游），降低认知门槛，激发探究兴趣。

2.思维可视化策略：强力推广使用“数量关系分析表”和“线段示意图”。将抽象的思维过程外显化，帮助学生厘清信息脉络，直观发现等量关系。

3.问题链递进策略：设计由浅入深、由简到繁的问题序列。从直接给出关系词的问题，过渡到需要理解隐含关系的问题；从标准模型问题，过渡到综合变式问题。让学生在循序渐进中自主建构解题策略。

4.对比辨析策略：将销售问题与行程问题进行横向对比，提炼其共同的分析框架（找未知、寻等量、建方程）；将二元解法与一元解法进行纵向对比，凸显方程组在思路直接、思维减负方面的优势。

5.合作探究与精准点拨策略：在难点环节组织小组讨论，鼓励学生表达自己的分析过程。教师巡视捕捉共性困惑，进行精准点拨，而非全面灌输。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含问题情境动画、动态线段图演示、例题变式）、实物投影仪、学习任务单（附有数量关系分析表格和作图区）。

2.学生准备：复习一元一次方程解应用题步骤及二元一次方程组的解法；直尺、铅笔。

3.环境准备：教室桌椅按4-6人合作小组布局。

六、教学过程实施

第一环节：情境激趣，模型初建(预计时间：12分钟)

活动一：生活切入，激活旧知

教师展示两张图片：一张是商场促销海报（满减、折扣），一张是高速公路及列车时刻表。

师：同学们，图片中的场景蕴含了大量的数学信息。回想一下，如果我们只用一元一次方程，如何解决一个简单的销售或行程问题？比如：“一件衣服进价100元，按标价8折出售，赚了20元，标价是多少？”

学生口答，回顾“审、设、列、解、检、答”六步骤。

教师引导：这个问题中我们只设了一个未知数（标价），找到了一个等量关系（售价-进价=利润）。但如果问题变得更复杂，信息量更大，涉及两个密切关联的未知量时，我们该怎么办？

活动二：概念明晰，夯实基础

1.销售“概念清”：

1.2.通过一个简单的买卖动画，与学生一起明晰：进价（成本）、标价、售价（成交价）、利润、利润率。强调关系式：

利润=售价-进价

利润率=(利润/进价)×100%

打折：售价=标价×折扣数（如：8折即0.8）

2.3.快速判断练习：“利润率为20%”是指利润占____的20%？“打x折”是什么意思？

4.行程“公式明”：

1.5.通过一个物体直线运动的动画，复习：路程(s)、速度(v)、时间(t)。核心公式：

s=v×t

2.6.衍生关系：相遇问题→两者路程和=总路程；追及问题→两者路程差=初始距离。

3.7.引入“线段图”作为分析利器，教师示范画图。

设计意图：从学生熟悉的生活场景出发，唤醒用方程解决实际问题的记忆。通过厘清核心概念和公式，为后续复杂问题的分析扫清术语和基础关系障碍。明确告知学生，本节课将使用更强大的工具——二元一次方程组，来处理更复杂的情况，激发学习期待。

第二环节：典例探究，策略形成(预计时间：40分钟)

探究主题一：销售问题建模

例题1（基础建模）：某书店销售A、B两种书籍，已知A种书籍每本进价25元，售价35元；B种书籍每本进价20元，售价28元。该书店某次购进这两种书籍共100本，全部售出后共获利润700元。问该书店此次购进A、B两种书籍各多少本？

教学组织：

1.自主审题：学生独立阅读，在任务单上圈划关键数据。

2.合作分析（运用“数量关系分析表”）：

1.3.教师提供表格框架，小组讨论填写。

对象

数量（本）

单本利润（元）

总利润（元）

等量关系

A书籍

x

35-25=10

10x

关系1：A数量+B数量=100

B书籍

y

28-20=8

8y

关系2：A总利+B总利=700

1.4.关键引导：问题求两个量（A、B的本数），自然设两个元。等量关系来自两个维度：一是“本数和”，二是“利润和”。单本利润是中间量，需要先计算。

5.建模求解：根据表格，学生独立列出方程组：

{

x

+

y

=

100

10

x

+

8

y

=

700

\begin{cases}

x+y=100\\

10x+8y=700

\end{cases}

{x+y=10010x+8y=700​并求解（x=50,y=50

）。

6.检验作答：强调检验解是否同时满足两个方程以及实际意义（本数为正整数）。

7.方法提炼：教师引导学生总结销售问题分析步骤：①识别所求双未知量；②计算单件利润等中间量；③从“总量和”与“总利和”（或其他总量）两个角度寻找等量关系；④列表辅助整理。

变式1（含利润率表述）：某文具店购进一批笔记本和钢笔，其中笔记本的进价为每本5元，钢笔的进价为每支8元。商店共花费410元。全部售出后，笔记本的利润率为20%，钢笔的利润率为25%，共获利91元。求购进的笔记本和钢笔各多少？

教学组织：重点突破“利润率”转化为等量关系。引导学生得出：笔记本利润=5×20%=1元，钢笔利润=8×25%=2元。等量关系1为成本总和：5x+8y=410

；等量关系2为利润总和：1x+2y=91

。对比例题，体会如何将百分比关系转化为具体的金额关系。

变式2（综合打折问题）：某服装店同时购进甲、乙两种服装。甲种服装每件进价120元，按150元的标价出售；乙种服装每件进价100元，按标价出售可获利50%。为了促销，该店决定将甲种服装按标价打9折，乙种服装按标价打8折出售。两种服装全部售出后，共获利20%。求购进甲、乙两种服装各多少件？（设总件数为已知，或再增加条件）

教学组织：此题为提高层次。引导学生先求出乙的标价（100×(1+50%)=150元

），再计算打折后实际售价：甲150×0.9=135元

，乙150×0.8=120元

。进而得到单件利润：甲135-120=15元

，乙120-100=20元

。等量关系可围绕“总成本×总利润率=总利润”或“总利润=总售价-总进价”建立。此題計算較複雜，着重訓練學生在多层信息中保持清晰思路的能力。

探究主题二：行程问题建模

例题2（相遇问题）：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行60公里；一列快车从乙站开出，每小时行100公里。两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？

教学组织：

1.回顾一元解法：学生易用(60+100)x=480

解决。教师提问：如果问题改为“求相遇时两车各自行驶的路程”，如何用方程组解决？

2.引入二元建模：

1.3.设元：设慢车行驶时间为x

小时，快车行驶时间为y

小时。

2.4.寻找等量关系：

1.3.5.关系1（时间关系）：因为同时出发到相遇，x=y

。

2.4.6.关系2（路程关系）：慢车路程+快车路程=总路程，即60x+100y=480

。

5.7.强调：在行程问题中，“同时性”往往意味着时间相等，这是一个极为重要的隐含等量关系。

8.图解辅助：教师用课件动态演示相遇过程，并画出线段图，将60x

和100y

标注在图上，使等量关系可视化。

9.求解与联系：解得x=y=3

。让学生比较一元和二元解法，体会虽然二元多了一个方程x=y

，但思维更自然（直接设时间，直接表达路程）。

变式1（追及问题）：甲、乙两人在一条400米的环形跑道上跑步，甲的速度是300米/分，乙的速度是250米/分。两人同时同地同向出发，甲第一次追上乙需要多长时间？追上时各跑了多少米？

教学组织：

1.难点分析：理解“追上”意味着甲比乙多跑一圈（400米）。这是追及问题的核心等量关系。

2.图解突破：动态演示追及过程，画出环形跑道示意图，直观显示路程差。

3.建模：设甲用时x

分，乙用时y

分。

1.4.关系1（时间）：x=y

。

2.5.关系2（路程）：甲路程-乙路程=400，即300x-250y=400

。

6.拓展思考：若不同时出发，或反向而行，等量关系如何变化？

变式2（顺逆流问题）：一艘轮船在A、B两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时。已知水流速度为2千米/时，求轮船在静水中的速度以及A、B码头之间的距离。

教学组织：

1.概念建立：明确顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速。

2.双元分析：设静水速度为x

千米/时，两码头距离为y

千米。

1.3.关系1（顺水）：路程=顺水速×顺水时间→y=(x+2)×4

2.4.关系2（逆水）：路程=逆水速×逆水时间→y=(x-2)×5

5.模型特点：这是一个“双等量共用单未知结果（y）”的典型问题，方程组形式为y=4(x+2)

与y=5(x-2)

，可直接令右边相等得一元方程，但用方程组思路更统一。

6.对比反思：引导学生与销售问题对比，发现行程问题中“路程”常作为不变量（等量）连接两个不同运动状态。

设计意图：本环节是教学核心。通过“例题奠基→变式深化”的路径，对两类问题分别进行深度探究。每个例题都强调“分析先行，建模在后”，强化使用分析工具（表格、线段图）。在变式中逐步增加干扰信息和模型复杂度，培养学生从复杂情境中剥离出核心模型的能力。通过及时的对比与反思，帮助学生凝练出分析策略，形成可迁移的问题解决能力。

第三环节：融会贯通，拓展提升(预计时间：15分钟)

综合挑战题：

为筹备年级艺术节，七年级（1）班决定购买一批表演用品。小亮和小明同时从学校出发，前往相距18千米的文体批发市场。小亮骑自行车，比小明步行每小时快8千米，结果小亮比小明早到1小时。在市场里，他们看中一种彩带和一种贴纸。购买彩带的数量是贴纸的2倍少5个。已知彩带每个进价3元，售价5元；贴纸每个进价1元，售价2元。这次采购总共花费了85元，如果全部售出，预计能获利65元。

请问：（1）小亮和小明的速度各是多少？（2）他们购买彩带和贴纸各多少个？

教学组织：

1.问题拆解：引导学生识别本题包含两个独立模型：行程问题（求速度）和销售问题（求数量）。需要分别设元，分别建模。

2.分组攻关：将学生分为两大组，一组主攻行程部分，另一组主攻销售部分。要求各自完成分析、设元、列表或画图、列方程组的全过程。

3.成果联展：两组派代表上台展示解题过程。

1.4.行程部分：设小亮速度x

km/h，小明速度y

km/h。

关系1：x=y+8

（速度关系）

关系2：18/y-18/x=1

（时间差关系）【此方程建立是难点，需引导学生理解：时间=路程/速度，小明时间减去小亮时间等于1小时】

2.5.销售部分：设彩带a

个，贴纸b

个。

关系1：a=2b-5

（数量关系）

关系2（成本关系）：3a+1b=85

（也可用利润关系：(5-3)a+(2-1)b=65

，两种方程均可，可引导学生发现它们其实是等价的，体现“进价、售价、利润”三者知二推一的关系）

6.整合解答：分别解两个方程组，得到最终答案。

7.思维升华：讨论本题的“综合”体现在何处？（背景综合、模型综合）解决复杂综合问题的关键是什么？（分解问题、识别模型、逐一击破）

设计意图：本环节旨在打破模型壁垒，培养学生面对真实、复杂、综合性问题时的信息处理能力和模型识别能力。通过合作探究与展示，促进学生思维碰撞，提升分析、表达与协作的综合素养。挑战题的设计高于课本基础，旨在满足学有余力学生的需求，实现分层教学。

第四环节：反思归纳，体系内化(预计时间：8分钟)

1.知识网络构建：师生共同梳理，形成思维导图。

1.2.中心：用二元一次方程组解决实际问题

2.3.主干1：销售问题→核心关系（利润、利润率、折扣）→等量来源（数量和、成本和、利润和…）→工具（列表法）

3.4.主干2：行程问题→核心公式（s=vt）→经典模型（相遇、追及、顺逆流）→等量来源（时间相等、路程和/差、速度关系…）→工具（线段图）

4.5.树根：通用步骤：审→设（两个元）→找（两个独立等量关系）→列→解→检→答。

6.思想方法提炼：

1.7.方程思想：将未知量视为已知参与构建等量关系。

2.8.建模思想：将实际问题抽象为数学问题（方程组）。

3.9.转化思想：将文字、图表信息转化为数学符号。

4.10.数形结合思想：用线段图直观揭示数量关系。

11.常见错误预警：师生一起总结易错点，如设元不当（单位不统一）、等量关系找错（尤其是隐含关系）、忽略解的合理性检验等。

设计意图：通过系统化的总结，将零散的知识点和方法整合成结构化、网络化的认知体系，促进长时记忆的形成。提炼数学思想，将解题技能升华到思维方法论的高度。预警错误，防患于未然。

第五环节：分层作业，巩固延伸(预计时间：课后)

【基础巩固层】（必做）

1.教材对应章节的基础练习题。

2.自编题：根据本课两个模型，各编一道简单的二元一次方程组应用题，并写出解答过程。

【能力提升层】（选做）

1.一商店将某种商品按标价的九折出售，仍可获利20%。若该商品的进价为每件21元，则标价为多少元？（此题可引导用一元或二元解决，对比体会）

2.甲、乙两人从A地出发到B地。甲步行，速度为5千米/时，先出发1.5小时；乙骑自行车，速度为15千米/时。乙出发后多少小时可以追上甲？追上时距离A地多远？

3.查阅资料，了解“盈亏问题”或“工程问题”，尝试找出它们与销售问题或行程问题在数量关系结构上的相似之处。

【实践探究层】（选做）

设计一个小调查：选择一个你感兴趣的商品（如文具、饮料），调查其在不同超市或网店的进价（可估算）、标价、促销方式。尝试用今天所学知识，分析其利润空间，并撰写一份简短的“数学视角下的购物小报告”。

设计意图：作业设计体现分层理念，满足不同层次学生的发展需求。基础题确保全员过关；提升题锻炼思维灵活性和知识迁移能力；实践题将数学学习延伸至课外，强化应用意识，培养研究能力。

七、板书设计

（左侧主板）

二元一次方程组的应用（二）

——销售与行程问题

一、通用步骤

审→设（双元）→找（双等量）→列→解→检→答

二、销售问题

核心关系：利润=售价-进价，利润率=利润/进价

分析工具：数量关系分析表

等量来源：数量和、总利和、总价和…

三、行程问题

核心公式：s=v×t

分析工具：线段示意图

经典模型：

相遇→路程和=总路，时间相等

追及→路程差=距差，时间相等

顺逆流：V顺=V静+V水，V逆=V静-V水

（右侧副板）

例题1（销售）分析表（简表）

例题2（行程）线段图（简图）

综合题关键方程组（简要列出）

设计意图：板书设计力求突出重点，梳理脉络，形成清晰的知识结构图。左侧呈现本课核心内容框架，右侧随讲随写，展示关键例题的分析过程和模型，主次分明，利于学生回顾和笔记。

八、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生参与讨论的积极性、提出问题的质量、运用分析工具（列表、画图）的熟练度、小组合作的有效性。

2.3.任务单检视：通过巡视和收取部分任务单，评估学生分析问题、寻找等量关系的过程是否合理、规范。

3.4.口头追问与反馈：在学生展示或回答时，通过追问“为什么这样设元？”“这个等量关系你是怎么发现的？”，诊断其思维深度。

5.终结性评价：

1.6.课堂练习反馈：通过例题、变式、挑战题的即时练习，评估学生建模与求解的准确率。

2.7.分层作业完成情况：从正确率、规范性、创新性等维度评价不同层次目标的达成度。

3.8.单元测试对应题目：在后续单元测试中，设置与本课目标匹配的题目，进行量化评价。

9.评价标准示例（针对列方程步骤）：

1.10.优秀：能清晰、准确地设出两个未知数；能独立、完整地找出两个正确且独立的等量关系，并流畅表述；列出的方程组完全正确；解题过