《椭圆的简单几何性质》提升训练

《椭圆的简单几何性质》提升训练一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2018北京东城期末，★☆☆)椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率e等于()A.B.C.D.2.(2018广东广州二中期末，★★☆)设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，PF2⊥，∠P=30°，则椭圆C的离心率e等于()A.B.C.D.3.(2017天津学业考试，★☆☆)椭圆的离心率为（）A.B.C.D.4.(2017天津南开模拟，★☆☆)已知椭圆的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（）A.4B.5C.7D.85.(2017广西南宁二模，★☆☆)若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.6.(2016内蒙古准格尔旗期末，★★☆)已知F是椭圆的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若，则该椭圆的离心率是（）A.B.C.D.二、填空题(每小题5分，共10分)7.(2018广东化州模拟，★★☆)已知椭圆，直线：，直线：，过椭圆上一点P分别作的平行线，交于M，N两点，若为定值，则的值是.8.(2017安徽马鞍山一模，★★★)椭圆的焦点为，若椭圆上存在满足的点P，则椭圆离心率的取值范围是.三、解答题(每小题10分，共30分)9.(2018河南南阳期末，★★☆)已知椭圆C：，直线经过椭圆C的右顶点和上顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设椭圆C的右焦点为F，过点G(2，0)作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，求∆FMN的面积的最大值.10.(2018福建泉州模拟，★★★)椭圆C：经过A(a，0)，B(0，1)，O为坐标原点，线段AB的中点在圆O：x2+y2=1上.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y=kx+m不过椭圆C的右焦点F，且与C交于P，Q两点，直线l与圆O相切，切点在第一象限，∆FPQ的周长是不是定值?并说明理由.11.(2017湖南岳阳二模，★★★)已知椭圆C的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l，直线l与椭圆C相交于A、B两点，当∆OAB的面积最大时，求直线l的方程.参考答案一、选择题1.答案：D解析：如图，设线段PF1的中点为M，易知OM为∆PF1F2的中位线，2.答案：D解析：如图，由PF2⊥F1F2可知，P点的横坐标为c，将其代入椭圆方程得P点的坐标为，在Rt∆PF1F2中，∠PF1F2=30°，∴，由椭圆性质可知：，故椭圆C的离心率.3.答案：A解析：由，得a2=16，b2=9，.故选A.4.答案：A解析：∵椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，∴10-m-m+2=4，解得m=4.故选A.5.答案：C解析：依题意可知c=b，而，∴椭圆的离心率.故选C.6.答案：B解析：由于PF⊥x轴，则令x=-c，代入椭圆方程，得，所以，所以所以，即(3a-4c)(a+c)=0，则.故选B.二、填空题7.答案：2解析：当点P的坐标为(0，b)时，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线分别为，联立，同理.当点P为(a，0)时，过椭圆上一点P作的平行线分别为，联立同理.若为定值，则，则的值是2.8.答案：解析：根据题意，得.三、解答题9.答案：见解析解析：(1)在直线方程中，令x=0，得y=1，所以上顶点的坐标为(0，1)，故b=l，令y=0，得x=区，所以右顶点的坐标为(，0)，故a=.所以椭圆C的方程为.(2)由条件可得直线MN过点G(2，0)，且斜率存在.设其方程为y=k(x-2)(k≠0)，即kx-y-2k=0.由，消去y，得.∵过点G的直线交椭圆C于M，N两点，∴，解得.设，则又点F（1，0）到直线MN的距离令，则，所以当t=，即时，有最大值，且最大值为.经检验时满足，故∆FMN的面积的最大值为.10.答案：见解析解析：(1)由题意得b=l，线段AB的中点的坐标为，又在圆O上，所以，所以椭圆C的方程为.(2)是.理由如下：依题意直线l：y=kx+m.因为直线l与圆O相切，且切点在第一象限，所以k<0，m>0，易知，即.设，将直线PQ与椭圆方程联立可得，则因为，所以，化简，得，同理，所以，由此可得∆FPQ的周长=，故∆FPQ的周长为定值.11.答案：见解析解析：(1)∵椭圆C的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为.由椭圆的定义知：，，∴所求椭圆C的标准方程为.(2)设过F(2，0)的直线l的方程为x=my