函数的表示课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

22.2函数的表示

函数的表示（第1课时）

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？h/km012345…t/℃201482－4－10…

（1）某地海拔h（单位：km）与此海拔处气温t（单位：℃）之间的对应关系如下表，t的值随h的值的变化而变化．

海拔h是自变量，此海拔处气温t是h的函数．

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？

（2）如图，小球从高为4m，坡角为45°的斜坡坡顶开始滚下，小球离出发点的水平距离为xm，离水平面的高度为ym，y随着x的变化而变化．

小球离出发点的水平距离x是自变量，离水平面的高度y是x的函数．4445°yx

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？

（3）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．

正方形的边长x是自变量，正方形的面积S是x的函数．

有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映．对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．

正方形的面积S与边长x的函数解析式为S＝x2．根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0．请你利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系．问题

思考：（1）怎样获得组成图形的点？

先确定点的坐标．

取一些自变量的值，计算出相应的函数值．

（2）怎样确定满足函数关系的点的坐标？

正方形的面积S与边长x的函数解析式为S＝x2．根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0．请你利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系．问题

思考：（3）自变量

x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值

S，是否唯一确定了一个点(x，S)呢？

是．探究

计算并填写下表：x0.511.52Sx2.533.54S0.25

1

2.25

4

6.25

9

12.25

16

在平面直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点．S11234Ox4916探究S11234Ox4916用空心圈表示不在曲线的点用平滑曲线连接画出的点

表示x与S的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置．探究S11234Ox4916

所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点(2，4)表示当x＝2时，S＝4．(2，4)

右图的曲线即函数S＝x2（x＞0）的图象．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．S11234Ox4916新知

函数图象是一条由点组成的线（直线或曲线），其中所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围，各点的纵坐标分别是自变量取值为对应横坐标时的函数值．

通过图象，可以数形结合地研究函数．新知

函数图象直观地反映了变量之间的对应关系和变化规律，怎样画一个函数的图象呢？

问题

在式子y＝x＋0.5中，对于x

每一个确定的值，y

有唯一的对应值，即y

是x

的函数，请画出这个函数的图象．

解：从式子y＝x＋0.5可以看出，x

取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．探究

从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表．x…－3－2－10123…y……－2.5

－1.5

－0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

如图，根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．x…－3－2－10123…y…－2.5－1.5－0.50.51.52.53.5…2－22－2Oxyy＝x＋0.5

x…－3－2－10123…y…－2.5－1.5－0.50.51.52.53.5…

从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y＝x＋0.5随之增大．2－22－2Oxyy＝x＋0.5

思考：当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？

描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．归纳练习

画出函数y＝(x＞0)的图象．

解：①列表．x…0.511.523456…y…6321.510.750.60.5…

②描点．

③连线（如图）．x…0.511.523456…y…6321.510.750.60.5…O42681012213654xyO42681012213654xy

思考：当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？

从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y＝(x＞0)随之减小．

y＝

(x＞0)归纳画函数的图象需要注意以下四点：（1）自变量的取值不宜过大或过小，尽可能取整数．（2）列表中的自变量的值、函数值分别对应着该点的横、纵坐标，防止出现横、纵坐标颠倒的错误．（3）连线时，要用平滑的线按照横坐标从小到大（或从大到小）进行．（4）图象有端点时，要注意端点值是否能取到，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈．

我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？思考

函数的图象与函数的关系：（1）图象上每一个点的横坐标和纵坐标一定是这个函数的自变量x

和函数y

的一组对应值．（2）以自变量x

的一个值和函数y

的对应值为坐标的点必定在这个函数的图象上．

解：（1）①∵当x＝－5时，y＝－5＋0.5＝－4.5，∴(－5，－4.5)在函数

y＝x＋0.5的图象上．

②∵当x＝4时，y＝4＋0.5＝4.5≠－3.5，∴(4，－3.5)不在函数

y＝x＋0.5的图象上．问题

（1）判断下列各点是否在函数

y＝x＋0.5的图象上？

①(－5，－4.5)；

②(4，－3.5)．

（2）判断下列各点是否在函数

y＝(x＞0)的图象上？

①(0.5，12)；

②(12，2)．问题

解：（2）①∵当x＝0.5时，y＝

＝12，∴(0.5，12)在函数

y＝

的图象上．

②∵当x＝12时，y＝＝0.5≠2，∴(12，2)不在函数

y＝

的图象上．归纳代入法验证点是否在函数图象上欲判断点P(x，y)是否在函数的图象上，只需把x，y

的值代入函数的解析式，如果左、右两边相等，那么这个点就在函数的图象上，否则，就不在函数的图象上．思考2－22－2Oxy

是否可以通过观察图象，进行判断呢？

观察图象，发现：点(－5，－4.5)在函数

y＝x＋0.5的图象上；

点(4，－3.5)不在函数

y＝x＋0.5的图象上．(4，－3.5)(－5，－4.5)

判断下列各点是否在函数

y＝x＋0.5的图象上？

①(－5，－4.5)；

②(4，－3.5)．y＝x＋0.5

例已知函数y＝x2－1的图象如图所示．

（1）判断点A(2.5，－4)，B(－1.6，1.56)是否在函数y＝x2－1的图象上；（2）从函数的图象中观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y

随x

的增大而减小？当x＞0时呢？

解：（1）∵当x＝2.5

时，y＝2.52－1＝5.25≠－4，∴点A(2.5，－4)不在函数

y＝x2－1

的图象上．

∵当x＝－1.6时，y＝(－1.6)2－1＝1.56，∴点B(－1.6，1.56)在函数

y＝x2－1的图象上．（2）观察函数的图象，发现：当x＜0时，y

随x

的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．描点法画函数图象判断一个点是否在函数图象上一般步骤列表描点连线函数的表示（第2课时）

什么是函数的图象？

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．问题

如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温

T

如何随时间

t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？

由图可以看出，气温

T随时间t

的变化而变化，对于时间

t

的每一个确定的值，气温

T

都有唯一确定的值与其对应．因此，气温T是时间t的函数，上图是这个函数的图象．由图象可知：

（1）这一天中凌晨4时气温最低（－3℃），14时气温最（8℃）．由图象可知：

（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．由图象可知：

（3）还可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少．

例如图1所示，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上．李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．图2反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系．图

1图2

根据图象回答下列问题：（1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多少时间？（2）李明吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多少时间？

（4）李明查资料用了多长时间？（5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？图2

分析：李明离家的距离y是时间x的函数．由图象中有两段平行于x

轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里．图2

解：（1）由纵坐标看出，食堂离小明家0.6km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8min．

（2）由横坐标看出，25－8＝17，李明吃早餐用了17min．图2

解：（3）由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，28－25＝3，李明从食堂到图书馆用了3min．

（4）由横坐标看出，58－28＝30，李明查资料用了30min．图2

解：（5）由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8km；由横坐标看出，68－58＝10，李明从图书馆回家用了10min．由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08km/min．图2获取函数图象信息的“三个技巧”（1）弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么及图象上最高点、最低点、转折点的意义．

（2）从左向右上升的线表示函数值随自变量的增大而增大，从左向右下降的线表示函数值随自变量的增大而减小，水平线表示函数值不随自变量的变化而变化．

（3）直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢．归纳函数的图象解读函数图象信息函数的图象的定义函数的表示（第3课时）x

如图，要做一个面积为12m2的小矩形花坛，该花坛的一边长为

xm，周长为

ym．

（1）变量

y是变量

x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；（2）能求出这个问题的函数解析式吗？（3）当

x的值分别为1，2，4，6，8，10，12时，请列表表示变量之间的对应关系；（4）能画出函数的图象吗？

如图，要做一个面积为12m2的小矩形花坛，该花坛的一边长为

xm，周长为

ym．

（1）变量

y是变量

x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；

y是

x的函数，自变量

x

的取值范围是x＞0．x

如图，要做一个面积为12m2的小矩形花坛，该花坛的一边长为

xm，周长为

ym．

（2）能求出这个问题的函数解析式吗？

由题意，得该花坛的另一边长为m

．

这个问题的函数解析式是y＝2．x

如图，要做一个面积为12m2的小矩形花坛，该花坛的一边长为

xm，周长为

ym．（3）当

x的值分别为1，2，4，6，8，10，12时，请列表表示变量之间的对应关系；x/m124681012y/m261614161922.426x

（4）能画出函数的图象吗？Oy/mx/m1410182622481216

描点，连线．

函数的图象如图所示．

由上可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数，这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法．新知

注意：并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来．例如，气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而不能用解析法表示．

从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点和缺点？问题表示方法解析法列表法图象法优点简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值能直观形象地表示函数关系表示方法解析法列表法图象法缺点求出对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系观察图象只能得到近似的数值

（1）对于每一个大于0的自变量的值，想准确确定对应的函数值，用什么表示方法较好？（2）对于

x的值分别为1，2，4，6，8，10，12时，想知道对应的函数值，用什么表示方法较好？思考

表格法．

解析法．

（3）想知道当

x的值增大时，函数值

y怎样变化，用什么表示方法较好？思考

图象法．归纳函数三种表示方法的选用技巧（1）列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法．（2）图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法．（3）解析法：需要明显表现自变量与函数的对应规律时选用解析法．

例

一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中

t表示时间，y表示水位高度．

（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？水位变化有什么规律吗？t/h012345y/m33.33.63.94.24.5

解：（1）如图，描出表中数据对应的点．可以看出，这6个点在一条直线上，再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m．由此猜想，如果画出这5h内其他时刻（如t＝2.5h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．

例

一水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中

t表示时间，y表示水位高度．

（2）水位高度y

是不是时间t

的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？t/h012345y/m33.3