2025年山东高起专数学（理科）真题试卷及答案

2025年山东高起专数学（理科）练习题试卷及答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若a是方程x^23x+2=0的一个根，b是方程x^22x3=0的一个根，则a+b的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.5

答案：B

解析：首先解方程x^23x+2=0，得到a的值为2或1。然后解方程x^22x3=0，得到b的值为3或1。由于a、b分别来自两个方程，故a+b=2+3=5或1+(1)=0。但选项中没有0，故选B。

2.函数f(x)=x^33x在区间（∞，+∞）内的单调增区间是（）

A.（∞，1）

B.（1，1）

C.（1，+∞）

D.（∞，1）和（1，+∞）

答案：D

解析：求导f'(x)=3x^23，令f'(x)>0，解得x>1或x<1。因此，函数f(x)在区间（∞，1）和（1，+∞）内单调增加。

3.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点在y轴上，则下列结论正确的是（）

A.a>0，b=0

B.a<0，b≠0

C.a>0，b≠0

D.a<0，b=0

答案：A

解析：由于顶点在y轴上，故x=0。根据顶点公式x=b/(2a)，可得b=0。又因为开口向上，故a>0。

4.已知函数f(x)=(x2)^2+1的最小值为（）

A.0

B.1

C.3

D.4

答案：B

解析：函数f(x)=(x2)^2+1是一个开口向上的抛物线，最小值在顶点处取得，即x=2。将x=2代入函数，得到最小值f(2)=1。

5.若直线y=kx+2与圆x^2+y^2=4相切，则k的取值为（）

A.±1

B.±2

C.±√2

D.±√3

答案：C

解析：圆的半径r=2，圆心到直线的距离d=|2|/√(k^2+1)=r。解得k=±√2。

6.若函数y=f(x)的图象与直线y=2x+1关于y轴对称，则函数f(x)的解析式为（）

A.y=2x1

B.y=2x+1

C.y=2x1

D.y=2x+1

答案：B

解析：关于y轴对称的函数关系为f(x)=f(x)。设f(x)=y，则f(x)=2(x)+1=2x+1。因此，f(x)=2x+1。

7.在三角形ABC中，a=3，b=4，cosA=1/3，则三角形ABC的面积S等于（）

A.2√2

B.4√2

C.2

D.4

答案：B

解析：根据余弦定理，得c^2=a^2+b^22abcosA=9+16234(1/3)=258=17，所以c=√17。三角形的面积S=1/2absinA=1/234√(1cos^2A)=1/234√(11/9)=2√2。

8.已知函数f(x)=x^33x^2+2x+5，求f(x)的单调减区间是（）

A.（∞，1）

B.（1，+∞）

C.（∞，2）

D.（2，+∞）

答案：A

解析：求导f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)<0，解得1<x<2。故函数f(x)在区间（∞，1）内单调递减。

9.设函数f(x)=x^2+mx+1有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A.m>0

B.m<0

C.m≥0

D.m≤0

答案：D

解析：根据判别式Δ=m^24，要使函数有两个不同的实数根，则Δ>0，解得m≤0。

10.若直线y=2x+k与圆x^2+y^2=4相切，则k的取值范围是（）

A.k≥2

B.k≤2

C.k≤2

D.k≥2

答案：D

解析：圆的半径r=2，圆心到直线的距离d=|k|/√5=r。解得k≥2。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，且顶点在x轴上，则a、b、c的关系是______。

答案：a<0，b^24ac=0

解析：开口向下，故a<0；顶点在x轴上，故判别式Δ=b^24ac=0。

12.若函数y=f(x)的图象与直线y=2x3关于y轴对称，则函数f(x)的解析式是______。

答案：y=2x3

解析：关于y轴对称的函数关系为f(x)=f(x)。设f(x)=y，则f(x)=2(x)3=2x3。因此，f(x)=2x3。

13.在三角形ABC中，a=5，b=4，sinB=3/5，则三角形ABC的面积S等于______。

答案：6

解析：根据正弦定理，得c=a/sinAsinC=5/(3/5)(4/5)=4。三角形的面积S=1/2bcsinA=1/245(3/5)=6。

14.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则k的取值范围是______。

答案：k≤√3且k≥√3

解析：圆的半径r=2，圆心到直线的距离d=|1|/√(k^2+1)=r。解得k≤√3且k≥√3。

15.若函数f(x)=x^22x+3在区间（∞，a）内单调递减，则实数a的取值范围是______。

答案：a≤1

解析：求导f'(x)=2x2。令f'(x)<0，解得x<1。故函数f(x)在区间（∞，1）内单调递减。

三、解答题（共20分）

16.（本题10分）已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调增区间。

解：求导f'(x)=3x^23。令f'(x)>0，解得x>1或x<1。因此，函数f(x)在区间（∞，1）和（1，+∞）内单调增加。

17.（本题10分）在三角形ABC中，a=6，b=8，cosA=1/2，求三角形ABC的面积S。

解：根据余弦定理，得c^2=a^2+b