浙江台州市2026届高三一模数学试卷（含答案详解）

台州市2026届高三第一次教学质量评估试题

数学

2025.11

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.请考生按

规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合力=卜|一1<^<2}1=卜卜2-4》+3<0},则/U8=()

A.RB.{x|l<x<2}C.卜卜3cx<2}D.{x|-l<x<3(

2.已知事件48相互独立，尸(力)=0.5，尸(力8)=0.2,则P(8)=()

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.7

3.已知向量G与5的夹角为30°，同=2①石=3,则卜()

A.1B.百C.2D.x/13

4.已知等比数列｛凡｝满足：6+4=10,牝+4=20.设〃,=。“+1"2。.，记数列出｝的前〃

项和为S.,则56=()

A.149B.153C.155D.157

5.小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水2000ml~2500ml(lml=lcm3).若小明用

的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为7cm,底部边长为5cm,高为9cm,厚度忽略

不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是()

A.5B.6C.7D.8

6.当直线/：x+"少-l=0(meR)与圆C：x2+/—2y-4=0相交所得弦长最短时，机的值为

()

A.1B.-1C.41D.-y/2

1O

7.己知且“+7、=2,则6+三的最小值为()

Z>+1a+2

试卷第1页，共4页

95

A.2B.C.D.3

42

8.在RtZ\/8C中，斜边8c=1,力。为8c边上的高，N/8c的平分线交力。于点E,当ED

最大时，cosN/BC的值为（）

A.回「Vn-i

B.与1D.V2-1

44

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知平面a,夕满足al"ac"=/,直线机，〃满足切qa,〃q尸，且加,〃与/不重合，则

下列结论正确的是

A.若机//〃，则a/〃B.若〃icn=P,则Pw/

C.若m_L/,则〃?_L〃D.若机_L〃，则

10.已知48分别是椭圆。：片+《=1的左、右顶点，尸为椭圆C的右焦点，过点产的直线

43

交椭圆C于M,N两点，则下列结论正确的是（）

A.|MN|的最小值为3B.直线与8N的斜率之积为定值

119

C.炉叼+忻而不为定值D.A4WN面积的最大值为s

11.我们把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点。有〃（〃€N]?23）个等圆，其中任何

两个圆都有两个不同的交点，但任何二个圆除点P外无其它公共点，记这〃个等圆共有，（〃）

个交点，则下列结论正确的是（）

A./（3）=4

B./（4）=7

C.存在〃wM,使得/（〃）=2025

D.任意〃wN•且〃N3,都有/（〃+1）-/（〃）=〃

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z满足（l+2i）z=4+2i,其中i为虚数单位，则|z|=

13.在三棱锥P-48。中，尸/_1_平面ABC,PA=AC=1、BC=&AB=6则直线P8与

试卷第2页，共4页

平面PAC所成角的大小为.

14.甲、乙、丙、丁、戊、己共6人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不同

的排法种数共有.（用数字作答）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.已知函数/（x）=cos?x-sin2x+26sinxcosx.

⑴求/（X）的最小正周期；

（2）若函数y=/（x+。）为偶函数，其中。>0,求。的最小值.

16.设数列｛%｝满足勺=；心

（1）证明：数列｛2"-%｝为等差数列：

（2）设瓦=（2/i+l）q,求数列他,｝的最大项.

17.已知双曲线C:[-4=l（a>0]>0）的离心率为6,且过点力（3,4）,渐近线分别为（，

a'b~

12,其中人经过第一、三象限.

（1）求双曲线。的渐近线44的方程:

（2）设动点?（见〃）在第一象限内，且不在直线AM上，过点P分别作4,4的平行线，交沙轴于

M,N两点，且两.冰=1，O为坐标原点.

①求动点P的轨迹方程；

②求△CMP面积的最小值.

18.已知正方体力8a的棱长为2,尸是空间中的一点.

（1）证明：直线力A_L平面44。。：

试卷第3页，共4页

(2)若直线PCJ■平面。力鼻，则在平面44co内是否存在点Q,使得产。的长为定值，若存

在，指出点。的位置：若不存在，请说明理由.

(3)若点。在平面44CA内，且满足平面尸8C_L平面尸请判断点。的轨迹，并说明理

由.

19.己知函数/(x)在定义域［0,+8)上连续且可导，对于正实数f,记M⑴和机⑴分别为函

数“X)在区间［0刁上的最大值和最小值，函数"

⑴设/(x)=ln(x+l)-x+XGOO；

T,[0,+)

①求/(X)的单调区间:

(3'

②当/€0,-时，求函数g⑺的解析式.

(2)请判断“函数/(x)单调递增”是“函数g(f)单调递增”的什么条件？并给出证明.

试卷第4页，共4页

1.D

【分析】根据集合的并集定义进行运算即可.

【详解】由题意得，集合力={X[-1<X<2},3={X|X2—4X+3<0}={X[1<X<3}.

所以力=8={x[T<x<3}.

故选：D.

2.C

【分析】由独立事件的乘法公式直接求解即可.

【详解】因为事件48相互独立，且尸(4)=0.5/(48)=0.2,

所"⑻二需嗡=。.4

1jv.O

故选：C

3.A

【分析】先根据已知求得何，再利用忸/=后-2d电+后运算.

【详解】5.^=|a|.|^|cos30o=3,故2-,卜等=3,解得W=G,

则忖_同=\(1—H=4才-2GB+J=J4-2x3+3=1.

故选；A

4.B

【分析】根据等比数列的通项公式求解。”夕，从而可得{4}的通项公式，根据分组求和可得

$6的值.

【详解】设等比数列{q}的公比为4,则艺/二4=^=2,

则q+%=4+4q=10,可得q=2,所以。“=2”,

则。=%+log,a”.=2"+log,2w+,=r+/7+l,

所以S6=(2、22+…+26)+(2+3+―+7)=yy

故选:B.

5.C

【分析】根据校台的体积求出水杯的体积，即可得解.

答案第1页，共14页

【详解】因为正四棱台的上口边长为7cm,底部边长为5cm,高为9cm,

所以水杯的体积为1X(52+72+V52X72)X9=1X109X9=327cm\

因为甯=6.12,所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是7.

327

故选：C

6.B

【分析】求出直线/过定点N(1,O),求出圆C的圆心和半径，当CN_L/时，直线/与圆C相

交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案.

【详解】/:x+〃/—l=O(MeR)过定点N(1,O),

C:x2+y2-2y-4=0=>x2+(y-l)2=5,圆心为C(0/)，半径为后,

当CN_L/时，直线/与圆C相交所得弦长最短，

其中自v=0j-=1=T，故直线/的斜率为1，故-12=1,解得，…1.

1-0m

故选：B

7.D

【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解.

【详解】由题可知，。+2+」=4,又因为。+2>01+1>0,

b+\

91]9

则H1+--=-(«2+—)(6+H_-)

a+24+5+1a+2

T…+】)+9+10]弓(6+10)=£

(a+2)0+1)

当且仅当S+2)S+1)=3时，即当”=1,〃=0时，等号成立.

9

因此6+1+三的最小值为4,

。+2

9

故6+二三的最小值为3.

a+2

故选：D.

8.C

【分析】设/力8c=2a,利用直角三角形求得EO=cos'2atana,令Z=cos2aw(0,l),记

0£2=/(,)=/xlz£=4二£,利用导数法求得最大时COS//8c的值.

,v71+/1+/

【详解】设N48C=2a,因为8c=1,所以48=cos2a,BD=ABxcos2a=cos2la»

答案第2页，共14页

所以ED=BDxtan«=cos2latana»

山24csin2a_1-cos2a

所以ED-=cos2atan*=cos2a--；—=cos42a-~~----,

cos'a1+cos2a

令f=cos2aw(0,1),记ED2=/(/)=/4,

(4/3-5/4)X(1+/)-(/4-/5)-2/3(2t2+t-2)/、

则/，(,)=1-------一』一一二」,“(0,1),

(1+f)0+o

令/“)=o得令r(/)>o得o</<^Lzi,令ra)<。得

所以在o,』F上单调递增，在[好!二,1上单调递减，

\/\/

所以,=近二1时，血）2即E。取到最大值，此时cosN/l8C=cos2a=f=迎二■.

44

9.ABC

【分析】对于A,根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理即可判断；

对于B,根据平面与平面的位置关系即可判断；

对于C,D,根据面面垂直的性质定理即可判断；

【详解】对于A,因为加，/〃，E，

假设川G夕，又机则mqac[=/,这与题设机与/不重合矛盾，所以m0,

所以〃〃/〃，又〃iqa,acB=l,

所以由线面平行的性质定理得加〃/,故A正确；

对于B,因为ac/?=/,wca,mcn=P,

所以根据平面与平面的位置关系可得Pw/,故B正确；

对于C,因为aJ•夕，ac\p=/,〃i=a,

所以根据面面垂直的性质定理可得打，夕，

又〃U夕所以机_L〃，故C正确；

对于D,根据面面垂直的性质定理可知，当机，〃时，可能用_L/,也可能〃〃〃，也可能相

交,故D错误：

答案第3页，共14页

故选：ABC.

10.AD

【分析】根据椭圆的性质以及直线与椭圆的关系逐项计算判断即可.

【详解】由题意得，尸（1,0）,4（-2,0）,8（2,0）.

对于A：

当过点尸的直线垂直于x轴时，最小.

该直线方程为x=l,所以所以|MN|=3,A正确;

对于B：

设必）,N（》2,必），RlJkBN=^-.

演+ZX?一乙

必必

所以等7卷

x{x2-2xj+2X2-4

设直线MN的斜率为％,则该直线方程为y=〃（x-l）.

联立直线与椭圆方程得3/+软2（》一1）2-12=0,化简得（4公+3）/-8公X+4F-12=0

8公4k2-12

所以X]+X?=4k2+3'X'X1~4k2+3

4k2±&Jk2+\.4k2+6“2+1-4-+6XF+I12#+j

解得、=一（4k+3）一所以戈2一马二

(4AJ+3)4r+3.

代(1一1)(七一1)_*(再工2-6+%2)+1)

必必

所以kAM/V=

x}x2-2x)+2x2-4X|X2-2工1+2x2-4x{x2-2x)+2x2-4

4-一128%

x,x-(x,+x)+l=

224k2+34公+3

2

4k-\2+24\[F+\-1242-24±24"2+I

Mg-2芭+2X-4=

244二十3止+34二+3

公（4/2一（百+七）+1）3k

所以3“%”不是定值，所以B错误:

再通-2(3+42)-44k2+S+^lk2+\，

对于C：

I尸陷=J(%T)2+M=J(/+l)(X—)2]研=7(〃-y+关三(1+)(Z：

1,1_1,11(],]、

所以画+网=历宿寸标而寸病RE

答案第4页，共14页

12VF+T___

4k2+3「4yr彳

[+]=k2-1|十卜|-1|-

NT,2々||v2-(x,+x2)+l|93

4P73

2

I14lk+1

所以由y为定值:

3

14

当直线MV斜率不存在时•M=M=|,此时向+网=§•

所以忸1+忸向为定值’所以C错误;

对于D：

x22

SJMN=13x|y1-j；2|=||^(x1-l)-Z：(x2-l)|=||A:(x1-A2)|=|^^(x14-x2)-4x1x2.

弘24k2-12

因为X]+x2=4k2+3'”,2-4/+3

4(144^+144*

所以〃2[($+X2)2-4中2=64A16&2-48

(必2+,以二+3(4*+3)2

=3J"2|"(9+丹)2—4%马]=18=18)-

所以。“MV2V2然」、——Va+k面*+解+98Ay?+-9-«-

\1OH----r

\k、k?

19

当直线MV的斜率不存在时，LMV=5X3X3=5

9

所以△/M/N面积的最大值为7,所以D正确.

2

故选：AD.

11.ABD

【分析】先分析〃个等圆交点个数/(〃)的规律，再逐一判断选项.

【详解】过同一点?有〃个等圆，当增加第〃+1个圆时，第〃+1个圆与前〃个圆

各有一个除P外的交点，因此递推关系为：/(〃+1)=/(〃)+〃(〃23).

当〃=3时，三个等圆过同一点P,每两个圆有2个交点，但尸是公共点,

所以除。外，每两个圆有1个交点.

三个圆中两两组合的数量为C；=3,因此/(3)=3+l=4.

由递推关系式可得:/(4)-/⑶=3,/(5)-/(4)=4,…=

(3+〃-1)(〃-3)(〃+2)(〃一3

将这些式子累加得/(〃)一/(3)=3+4+…+(〃-1)=

22

答案第5页，共14页

所以/(〃)=4+(»2|(〃二3)=土产.

对于A：

/(3)=4,所以A正确；

对于B：

/(4)/；+2=7,所以B正确：

对于C：

令/(〃)=2025,则〃:+2=2025,化简得/一〃一4048=0.

判别式为A=1+4X4048=16193,因为Vii而不是整数，所以〃不是整数，所以C错误:

对于D：

由上述推导，很显然D正确.

故选：ABD.

12.2

【分析】先根据复数的除法运算化简z,然后利用复数模的运算求解即可.

【详解】因为(l+2i)z=4+2i,

所以.4+2i_(4+2i)(l-2i)4-8i+2i-4F:86

所小i+2i(l+2i)(l-2i)5551

所以小廊闺.

故答案为：2

13.-

4

【分析】先根据垂直关系确定直线PB与平面PAC所成角为/BPC,然后根据线段长度和勾

股定理确定该角的大小.

【详解】因为平面/8C,ACu平面45C,

所以4_18c.

在△力8c中，AC=l,BC=&AB=6所以AC2+BC?=4B2,

所以4CJ./C,又尸4cxe=4尸4XCu平面4C.

所以平面P4C,所以宜线与平面21c所成角为NBPC.

答案第6页，共14页

在4PBC中，PC=JPA?-AC2=阻,PB=>JPA2+AB2=2,8。=也，

所以PC2+BC?=PB'PC=BC,所以△PC8为等腰直角三角形,

所以NBPC=5,即直线PB与平面PAC所成角的大小为?.

44

故答案为：7.

4

【分析】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减

即是结果.

【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有A；=2种排列方式，

此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为2xA；=240种.

若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以(甲，乙，丙)或(丙，乙，甲)的顺序站在一起.

将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列，

故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有2xA：=48种，

所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有240-48=192.

故答案为：192.

6(1)兀.

呜

【分析】(1)化简得到/㈤=2si“2x+^|,从而求出最小正周期；

(2)求出/(x+a)=2sin(2r+加+J根据函数的奇偶性得到方程，求出。吟+”cZ,

结合。＞0,得到答案.

【详解】(1)由/(x)=cos2x+V3sin2x=Zsij2x」,

答案笫7页，共14页

得/(X)的最小正周期为当=兀；

(2)/(x+tz)=2sin2(x+a)+—=2sinf2x+2a+—,

.6Jk6)

因为函数y=/(x+a)为偶函数，所以24+g=W+E,A€Z,

62

解得"二"+3丘2,

26

又因为。>0,所以当左=0时，。取到最小值三.

6

16.(1)证明见解析

(2)^=y

【分析】(1)通过对已知递推公式进行变形，得到2"匚％“与2”•4的关系，再根据等差数

列的定义证明；

(2)先根据(1)的结果求出％的表达式，进而得到”的表达式，然后通过作差法比较〃出

与”的大小，

判断数列｛4｝的单调性，从而求出最大项.

【详解】(1)将。产击两边同乘以2间，

得2川.凡N=2"•见+1,即2-+,.%-2"q=1,

又T"=l,因此，｛2"・％｝是以I为公差，I为首项的等差数列.

(2)由(1)得2"=1+(〃-1)x1=〃,q，

因此，生空D如卑力，

(〃+1)(2〃+3)-2〃(2〃+1)-2n2+3//+33-/(2n-^

-=2*>*i=2"+i=2"*1•

当〃N3时，3-〃(2〃-3)<O,得b“.1b”<0,即加v2.

又因为3也=5.也=21?，所以―V

228

即当〃<3时，bQ",

所以｛"｝的最大项是a=”.

O

17.(\)l]:y=>/2x,l2:y=-\｛2x；

答案笫8页，共14页

⑵①/-2』=1（》>0/>0）；②g.

【分析】（I）由6=£=#,以及,2=/+/,得到2=收，从而写出渐近线方程；

aa

（2）①根据题意，写出小4的直线方程，从而得到M,N,再根据西•丽=1得到轨迹

方程；

②利用面积公式，分析出点夕到直线04的距离最短时，面积最小，再通过直线与曲线的位

置关系解决曲线中的最值问题.

【详解】（1）由e="2+.=6,得？=无，

aa

因此，I】:y=6x，k:y=；

（2）①过点尸且与4平行的直线方程为：yf=6（x-m）,

过点尸且与乙平行的直线方程为：y-n-->/2（x-m）t

求得M（0,〃一五矶可（°，〃+&〃"，万而存=另-2后=：,

所以动点P的轨迹方程为y2-2x2=\（x>0j>0）,

②在“MP中，因为|。4|=5,

所以要使AO力尸的面积最小，只要使点。到直线04的距离最短,

4

设过点。且与ON平行的直线小V=

又因为点力（3,4）在P点轨迹的渐近线y=瓜的下方，

所以当直线4与曲线V-2x2=l（x>0,y>0）相切的时候，点?到直线。力的距离最短,

y2-2x2=

联立4,消去)'得2X2_24/X_9,2_1)=0,

y=—x+t

3

答案笫9页，共14页

△=576/2+72(？-l)=0,解得f=±g,

当时，求得？(-2,-3),不满足条件，

当/=:时，求得以2,3),符合题意，

易求得点以2,3)到直线04的距离为3,且|。力|=5,

因此，△口〃面积的最小值为:.

18.(1)证明见解析

(2)存在，

(3)点P的轨迹为抛物线，理由见解析

【分析】(1)要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线均垂直即可.

(2)方法一：建立空间直角坐标系，根据PCI平面4",利用坐标列出方程组，然后计

案PQ,即可判断其是否是定值；方法二：取力"中点”，连接再取MC的中点

。、先证明得出。£平面力e8,然后求出产。的长.

(3)建立空间直角坐标系，求出平面心C和平面产力。的法向量，根据面面垂直列出式子,

即可得到轨迹是抛物线.

【详解】(1)在正方体力88-486。中，

因为CO_L平面ADD.4,AD.a平面ADD.A,,所以CO，力。.

又因为力〃_L40,CQc4Q=0,。。，4。＜=平面44。口.

所以力A_L平面44co.

(2)法一：如图，以。为坐标原点，以。所在直线分别为X轴、V轴、Z轴，建立

空间直角坐标系，

答案第10页，共14页

则4(2,0,0)Q(0,0,2),8(2,2,0),0(020).

设点尸(xj,z),则/2=(-2,0,2),力2=(¥_2),2)>0尸=卜,^_2,2),

一〜CP-AD.=0,,x=z

因为尸CJ_平面尸所以______,得20-1t2八*

CP-4P=0,[x2-2x+yi-2y+z2=0,

设平面A^CD内存在点0(。,〃,。)，满足产。长为定值，

则PQ=yj(x-a)~+(y-b)~+(z-a)~=y/c2+y2+z'-lax-21)y-2az+2a2+b~,

由*式得PQ=12x+2y-2ax-2by-2ax+勿2+b?=^-4a)r+^.-2hy+2a2+b2,

所以当。=1b=i时,PQ长为定值显,此时点01m

22122J

法二：如图，取力"中点M,连接PM,"。，再取MC的中点。，

因为?。_1_平面产力R,所以PC1.PM.

又因为Mw42Cw平面48c。，所以A/Cq平面A出CD,

得。w平面44。。.

在RtZ\A/PC中，因为20=；MC=手为定值，

所以在平面48。。内存在点。，使得产。的长为定值，且。为MC的中点.

(3)如图，以。为坐标原点，以。4。。,分别为x粕、N轴、z轴，建立空间直角坐标系,

答案第11页，共14页

则4(2,0,0),A(0,0,2),6(2,2,0),C(0,2,0).

设点P(xj,2),平面PX"的一个法向量为％=(X”M，ZJ,

平面P8c的一个法向量为〃2=(》2，%*2)，

得而二(一2,0,2)J?=(x-2,y,2)在=(2,0,0)丽=«/-2,0),

%•AD=-2X1+2Z]=0,

由〈------Z{\

勺•AP=(x-2)x1+yy{+2zi=0,

取XI=4=y,得乂=-x,即秘=®,-x,y).

n2-CB=2X=0,

由2得々=。，取必=2,得z2=2-y.

n2CP=xx2+(y-2)y2+2z2=0,

即后=(O,2,2-y).

又因为平面4QJ平面P8C,所以雇第=-版+y(2-)，)=0,

得(y-l)2=l-2x,故点尸的轨迹为抛物线.

19.(1)①单调递增区间为(1,+8)：单调递减区间为(0,1)；

I1t2

-ln(r+l)--/+—,0</<1

2v728

②g〃)=,

〔822

(2)充要条件，证明见解析

【分析】(1)①求导，利用导数求/(力的单调区间:②根据/(x)的单调性分叱(0』和

/41