直线、射线、线段（知识点总结+11大题型+解题技巧）-2025-2026学年人教版数学七年级上册

6.2直线、射线、线段

0翎国@_________

【题型1】。线、射线、线段的识别与去示

【题型2】两点确定一条n线的应用

【题型3】两点之间线段最短的实际应用

【题型4】尺规作线段（和差、倍分）

【题型5】线段的和差倍分计算

【题型6】线段中点与双中点模型

【题型7】线段n等分点的综合计算

【题型8】线段计数问题（含规律探究）

【题型9】线段中的分类讨论问题

【题型10】线段中的动点问题

【题型11】线段新定义题型

【题型1】直线、射线、线段的识别与表示

1.核心知识点总结

三者本质区别：

图形端点个数延伸方向能否度量

直线0向两方无限延伸否

射线1向一方无限延伸否

线段2不延伸是

表示方法：

直线：直线AB（AB为直线.上两点，无序）或直线1（小写字母）。

射线：射线OA（O为端点，有序，端点字母在前）或射线L

线段：线段AB（AB为端点，无序）或线段a。

2.高频考点梳理

判断表示方法的正误（如“射线A0与射线0A是否为同一条射线”）。

根据图形识别直线、射线、线段的类型。

结合图形统计射线、线段的条数。

3.易错点警示

混淆射线的表示顺序，端点字母未写在前面（如误将射线0A写成射线A0）。

认为“射线比直线短”“直线可以度最长度”等错误认知。

统计射线时遗漏直线上各点对应的不同方向射线。

4.解题技巧拆解

识别类题目：先看端点个数，再看延伸方向，排除不符合特征的选项。

表示类题目：牢记“射线端点在前、直线/线段无序”的核心规则。

计数类题目：线段按“n点共线时线段数为的/”计算；射线按“每个点对应2条射线（直线上）”统计。

【例题1】.（24-25七年级上•全国•课后作业）有下列说法：①射线48和射线BA是同一条射线；②直线48

和直线84不是同一条直线；③一条直线上一点把这条直线分成两条射线；④直线没有端点，射线有一个

端点，线段有两个端点.其中，止确的是（填序号）.

【答案】③④

【分析】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，熟练掌握直线，射线的含义及表示方法是解题的关键.

根据直线、线段以及射线的概念来解答即可.

【详解】解：①射线力B和射线BA是同一条射线，该说法错误，因为两射线的端点和方向不同，不符合题

意；

②直线和直线8A是同一条直线，故原说法错误，不符合题意；

③一条直线上一点把这条直线分成两条射线，说法正确，符合题意；

④直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，说法正确，符合题意.

其中，正确的是③④，

故答案为：③④.

【变式题1-1].（25-26七年级上•吉林长春•期中）直线4B,BC,。4的位置关系如图所示，下列语句：①

点人在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC,BC交于点C；④点C在直线4B外；⑤图中共有6条射

线，以上表述正确的有.（只填写序号）

'A

BC

【答案】②③④

【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键.根据直线、线段、射线的相

关概念可进行求解.

【详解】解：由图可知：

①点4在直线8C外，故原说法错误；

②直线BC经过点8,原说法正确；

③直线4C、8C交于点C,故原说法正确；

④点C在直线48外，原说法正确；

⑤图中是射线的有：射线8。、射线BE、射线B力、射线BC、射线CM、射线CN、射线。4、射线C8、射线力H、

射线力G、射线A3、射线AC共12条，故原说法正确；

・•・以上表述正确的有②③④；

故答案为②③④.

【变式题1-2】•(25-26七年级上•黑龙江大庆•期中)如图，平面内有A,B,C三点.

B・

••

AC

⑴按下列语句作出图形：

①作直.线②作射线AC③作线段8c.

(2)指出图中有哪几条线段.

⑶指出图中有几条射线，并写出能用图中字母表示的射线.

【答案】(1)作图见解析

(2)线段

(3)6条，见解析

【分析】本题主要考查了作直线，射线，线段，

对于(1)，根据直线是向两方无限延伸的，射线是向•方无限延伸，线段有两个端点画出图形即可;

对于（2）,根据线段有两个端点解答；

对于（3）,根据射线是向一方无限延伸的解答，并表示出来.

【详解】（1）解：如图所示；

（2）解：线段4B,BC,AC

（3）解：一共有6条射线，射线AB,射线B4射线力C.

【变式题1-3].（25-26七年级上•全国•课后作业）如图，己知平面内的三个点4B,C,按要求画图：画

线段力凡画射线8C,画直线4C,下列画出图形正确的是（）

【答案】c

【分析】本题考查作图一复杂作图、两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

根据线段、射线、直线的定义画图即可.

【详解】解：按题意如下图:

故选:C.

【题型2】两点确定一条直线的应用

1.核心知识点总结

基本事实：经过两点有且只有一条直线（简称“两点确定一条直线”）。

核心应用：确定育线位置、解释牛活现象、计算百线条数。

2.高频考点梳理

用基本事实解释生活现象（如“钉两个钉子固定木条”“建筑工人砌墙弹墨线”）。

已知平面内n个点（无三点共线或部分共线），求能画出的直线条数。

判断多点共线时的直线构成情况。

3.易错点警示

忽略“三点共线”情况，导致直线条数计算漏解。

混淆”两点确定一条直线”与“两点之间线段最短”的应用场景。

4.解题技巧拆解

解群现象类：直接关联”两点确定直线唯一性”，说明操作的依据。

计数类：分两种情况讨论一一①无三点共线：直线条数为的②有k点共线：总条数为竽-竽+

lo

【例题2].（24-25七年级上•河北石家庄•期末）下列现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是

（）

A.钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面B.笔尖在纸.上滑动，形成一条线

C.杷弯曲的公路改直，可以缩短路程D.锯木料时，利用两点弹出一条墨线

【答案】D

【分析】本题考查了线段的性质，直线的性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键.

根据线段的性质，直线的性质，点、线、面、体，逐一判断即可解答.

【详解】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面;可以用基本事实“线动成面''来解释，故A不符合题

尽；

B、笔尖在纸上滑动，形成一条线，可以用基本事实"点动成线”来解释，故B不符合题意；

C、把弯曲的公路改直，可以缩短路程，可以用基本事实”两点之间，线段最短”来解释，故C不符合题意；

D、锯木料时，利用两点弹出一条墨线，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故D符合题意；

故选：D

【变式题2-1】•（24-25七年级上•湖北宜昌•期末）用两个钉子把一根细木条钉在木板上，木条不能转动，

能解释这一实际应用的数学知识是（）

A.两点确定一条直线B.两点之间，线段最短

C.点动成线D,线动成面

【答案】A

【分析】本题考查了两点确定一条直线的应用，理解两点确定一条直线是解题的关键.

【详解】解：用两个钉子把一根细木条钉在木板上，木条不能转动的依据是两点确定一条直线，

故选：A.

【变式题2-2].（24-25七年级匕四川成都•期末）墨斗是中国传统木_L行业中画直线的常用J2具.如图，

木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另

一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线.其中的道理是（）

A.直线最短B.两点之间的距离

C.两点之间线段最短D.两点确定•条直线

【答案】D

【分析】本题考查了直线的性质，解题的关键是掌握直线的性质.

根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案.

【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线固定在一个点，另一端

固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条黑线.这其中包含的数学道理是两点确定一条

直线，

故选：D.

【变式题2・3】.（24-25七年级上•广东东莞•期末）【试验观察】

（1）如图①，已知两点确定一条直线，则：

图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定条直线；

图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定条直线；

图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定条直线.

①②③④

【探索归纳】

（2）如果平面内有九（九之3）个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定条直

线.（用含〃的代数式表示）

【解决问题】

（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共提了多少次手？

【答案】（1）3,6,10；（2）型严；（3）他们共握了990次手

【分析】本题考杳了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到具中的规律.

（1）根据图形画出直线即可;

（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可;

（3）将n=45代入公式即可求解.

（1）根据图形得

如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线;

图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；

故答案为：3,6,10；

（2）如果平面上有九（九23）个点，且任意3个点均不在同一条直线上,

囹1十2十3十…十n—1=%产（条）

那么经过两点最多可以画及F条直线；

故答案为：失2

（3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握创产次，

把"=45代入然；得45x（：一1）:990（次）.

答：他们共握了990次手.

【题型3】两点之间线段最短的实际应用

1.核心知识点总结

基本事实：两点的所有连线中，线段最短（简称“两点之间，线段最短”）。

两点间距离：连接两点的线段的长度（注意：距离是数值，线段是图形）。

2.高频考点梳理

选择最短路径仅口“从A地至IJB地选笔直道路”“蚂蚊爬行最短路线”）。

结合图形计算两点间距离，或比较路径长短。

解决“河道改直”“公路取直”等实际问题的数学原理分析。

3.易错点警示

混淆“线段”与“两点间距离”（误将线段本身当作距离）。

立体图形中最短路径问题，未将立体图形展开为平面图形。

4.解题技巧拆解

平面内最短路径：直接连接两点，线段即为最短路径。

立体图形（如圆杆、长方体）：先沿楂展开为平面图形，再连接两点找线段。

距离计算：利用线段和差、中点等知识，转化为已知线段长度的计算。

【例题3】.（22-23七年级上•江苏扬州・月考）下列现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上②从A

地到4地架设电线，总是尽可能沿着线段48架设③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所

在的直线④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用"两点之间线段最短〃来解释的现象有（）

A.②④B.①③C.①④D.③④

【答案】A

【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该定理.

利用两点之间线段最短逐项进行判断即可.

【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；

②从A地到4地架设电线，总是尽可能沿着线段48架设，可用“两点之间线段最短〃来解释，符合题意；

③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线"来解释，不

符合题意；

④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意；

故选:A.

【变式题2-1].（20-21七年级上,陕西西安・期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如

图），发现剩下的银杏叶的周长匕原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）

A.经过一点有无数条直线

B.两点之间，线段最短

C.两点确定一条直线

D.两点间的线段的长度，叫做这两点的距离

【答案】B

【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该知识点.

利用两点之间线段最短即可求解.

【详解】解：剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，根据是两点之间线段最短，

故选：B.

【变式题2・2】.（24-25七年级上•广西防城港•期末）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程.这样做根

据的道理是（）.

A.两点之间线段最短B.两点之间宜线最短

C.两点确定一条直线D.直线比曲线短

【答案】A

【分析】本题考查了两点之间线段最短，结合把弯曲的河道改直，能够缩短航程，则这样做根据的道理是

两点之间线段最短，即可作答.

【详解】解：团把弯曲的河道改直，能够缩短航程，

回这样做根据的道理是两点方间线段最短.

故选:A.

【变式题2-3].（24-25七年级上•湖北随州•期末）卜列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是（）

图①图②

（1）如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直

（两点确定•条直线）

（2）如图②，把弯曲的公路改宜，就能缩短路程（两点之间线段最短）

A.①对②错B.①错②对C.①②都时D.①②都错

【答案】C

【分析】本题主要考查了直线的性质，线段公理等知识；将实际问题数学化是解决问题的关键可根据公理“两

点确定一条直线”；线段的性质即可判断，即可求解.

【详解】解：工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直

（两点确定一条直线），符合题意；

把弯曲的公路改直，就能缩短路程（垂线段最短），做法与其运用的数学原理是两点之间线段最短，符合

题意；

故选：C.

【题型4】尺规作线段（和差、倍分）

1.核心知识点总结

尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）。

基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作线段的和（a+b）、差（a—b,a>b）,倍分（2a、1a）o

2.高频考点梳理

按要求作线段（如“作线段AB=2a-bw”作线段CD=3a+c”）。

结合作图结果进行线段长度计算。

3.易错点警示

作线段差时，未在较长线段上截取较短线段。

作倍分线段时，截取方向错误（如反向延长导致长度偏差）。

遗漏作图痕迹（如圆弧痕迹未保留）。

4.解题技巧拆解

通用步骤：①作射线1（确定起始方向）：②用圆规量取已知线段长度；③按“和差倍分”要求依次截取:

和（a+b）：先截AC=a,再在AC延长线上截CB=b,则AB=a+b。

差（a-b）：先截AB=a,再在AB上截AD=b,则DB=a-b。

倍分（2a）：连续两次在射线上截AC=CD=a,贝ijAD=2a0

【例题4].（25-26七年级上•全国•课后作业）线段a,b,c如图所示，用尺规作一条线段使/W=a+b-c

（保留作图痕迹，不写作法）.

abc

I」I」,」

<0（永b——

/Zr~W（?

<----a+h—c-----+--------c--------->|

【答案】

【分析】本题考查了线段和差的尺规作图，在射线上截取点C,使AC=a+b,再在线段上截取点D,使CD=c,

根据线段的和差计算，可知AD线段即为所求，正确理解线段和差的尺规作图步骤是解题的关键.

【详解】解：如图：在射线上截取点C，使4:=a+b,再在线段上截取点D,使CD=c,

根据线段的和差计算，AD=AC-CD=a+b-c,可知力。线段即为所求.

1-a（中b——

ALP~~B1C7

h----a+b-c--------------c---------H

【变式题4-1].（24-25七年级上•山东聊城•期末）如图,已知线段a、b.

।b।

⑴请用尺规按要求作图，作线段48,使A8=2a+b；（保留作图痕迹）

⑵在（1）条件下，若点C为A8上的任意一点，点。为8c的中点，点£为力C的中点，请写出DE与A8的数

量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析

[2}DE=^AB,理由见解析

【分析】本题考查了线段和的尺规作图，线段中点的定义；

（1）作一条以A为端点的射线，以人为圆心，Q的长为半径画弧，连续截取两次，再按同样的作法顺次截

取线段从即可求解；

（2）由线段的中点可得CD=：BC,EC=^AC,再由DE=EC+CD即可求解；

掌握线段的作法，根据题意用线段的和差表示线段，能利用线段中点的定义进行线段的等量转换是解题的

关键.

【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求作的线段；

A|c\D

（2）解：如图

―1C）£>L...0为8c的中点，

CD=-BC,

2

•••E为AC的中点，

：.EC=-AC,

2

DE=EC+CD

11

=-AC+-BC

22

=；（4C+BC）

="B,

ODE2

【变式题4-2].（24-25七年级下•河南周口•阶段练习）（1）如图，已知线段或尻请用尺规按要求作图:

.__—

①作线段48=a；

②在线段48的延长线上截取BC=b：（不要求写画法，保留作图痕迹）

（2）若点。是线段4。的中点，用含a、b的式子表示线段B0的长.

【答案】（1）①见解析：②见解析：（2）BD=?

【分析】本题考查了作线段、与线段中点有关的计算、整式加减的应用，熟练掌握作线段和线段的运算是

解题关键.

（1）①根据作线段的方法，作线段48=a即可得；

②根据作线段的方法，在线段力8的延长线上截取BC=匕即可得；

（2）先求出AC=a+b,再根据线段中点的定义可得4）=岁.然后根据B。-4。即可得.

【详解】解：（1）①作线段AB=a,如图所示：

②在线段48的延长线上截取BC=b,如图所示：

.b,

ADWIC

（2）a4s=a,BC=b,

国4C=AB+BC=a+b,

0点D是线段的中点，

^AD=\AC=—,

22

=AB-AD=a

22

【变式题4-3】•（24-25七年级上•重庆永川•阶段练习）如图，在同一平面内有三个点人、B、C,和两条线

段小利用尺规按下面的要求作图（要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论）.

q

।4।

••I——D__I

AB

⑴①作射线84②作线段BC：③作直线AC.

（2）尺规作图：在射线8A上作线段40=2a-匕，具中人笈=2a,DE=b（保留作图痕迹，不写作法）：

⑶在（2）的条件下，当Q=6cm、b=4cm时-，若点M、N分别是线段4D、DE的中点，求线段MN的长度.（请

补充完整下列过程）

解：由题可知0E=b=4cm,AD=2a-b=cm

•••M、N分别是线段A。、DE的中点

:.MD=-AD=____cm,ND=____=2cm

2

MN=+=4+2=6cm

【答案】（1）①画图见解析：②画图见解析；③画图见解析

（2）作图见解析

⑶见解析

【分析】本题考查的是画线段，射线，直线，作线段的和差，线段中点的含义；

（1）①根据射线BA的特点画图即可；②连接两点即可；③过4c画直线即可:

（2）在射线84上截取AE=2a,在线段HE上截取Z）E=b,"」得线段AD即为所求；

（3）根据题干信息的提示完成解答过程即可.

【详解】（1）解：①如图，射线8人即为所求；

②如图，线段BC即为所求；

③如图，直线4C即为所求；

(2)解：如图,线段4。即为所求;

bAy-

।a।

।b।

(3)解：如图，当a=6cm、b=4cm时，

BAM1/)1N~~-

由题可知DE=b=4cm,AD=2a—b=8cm

•••M、N分别是线段A。、DE的中点

.・.MD="D=4cm,ND=揶=2cm

•••MN=M"+〃/V=4+2=6crr.

【题型5】线段的和差倍分计算（提升）

1.核心知识点总结

线段和差关系：AC=AB+BC（B在线段AC上）；AC=|AB-BC|（B在线段AC延长线或反向延长线上）。

比例关系：若AC:CB=m:n,则设AC=mk,CB=nk,总长度AB=（m+n）k（k为比例系数）。

2.高频考点梳理

已知线段比例和某段长度,求总长度或其他线段长度（如"AC:BC=2:3,AB=25cm,求AC”）。

结合图形列等式,求解未知线段（如“AB=10cm,BC=2AB,求AC”）。

3.易错点警示

未明确点的位置关系（在线段上或延长线），导致漏解。

比例设元时，单位统一错误或计算失误。

混淆“线段和”与“线段差”的适用场景。

4.解题技巧拆解

步骤：①画图确定各点位置（不确定时分类讨论）：②设未知数（比例关系设k,长度未知设x）；③列等式（根

据和差、比例关系）；④求解并验证。

关键：数形结合，先通过图形明确线段间的包含或并列关系，再列方程。

【例题5].（25-26七年级上•广东深圳•期中）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是

尺规作图.

已知线段a,b,c,某同学按照下面步骤进行了规范、正确的尺规作图：

第一步，在直线上作线段力8=a：

第二步，在线段的延长线上作线段8C=b；

第三步，在线段4c的延长线上作线段CO=b；

第四步，在线段40上作线段4E=c.

根据以上尺规作图可知，线段E0的长是.

.a..b

BTt

【答案】Q+26-C

【分析】本题主要考查尺规作图的定义，熟练掌握线段之间的和差是解题的关键.利用线段和差定义判断

即可.

【详解】解：由图可知：AB=a,BC=CD=b,AE=c,

•••AD=AB+BD=a+2b,

:，DE-AD—AE=a+2b-c,

故答案为：a+2b-c.

【变式题5-1].（25-26七年级上•吉林长春•期中）如图，已知点8、C、E都是线段力。上的点，AC=10,

80=6,点E是的中点.

I」■1tl

ACEFBD

⑴求/E的长（请根据提示，将下列过程补充完整）：

解：（1）^AC=\AD=10

^AD=3_=3x10=30

=6

（34B=_=_

13点E是AB的中点

^AE=-2~=~

⑵若点小是CD的中点，则的长为.

【答案】（1）力。；AD-BD；24；AB,12

（2）8

【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

（1）根据力C=：/W=10,BD=6,求出48,再根据中点的定义求出AE,即可；

（2）首先求出CE,得到CD,根据中点的定义求出CF,即可.

【详解】（1）解：^AC=^AD=10

^AD=34C=3X10=30

0FD=6

团48=AD-BD=24_

团点E是AB的中点

^AE=-AB=12

2

（2）解：^AE=12,AC=10,

0CF=2.

团4D=30,AC=10,

BCD=20.

团点尸是CO的中点,

0CF=-2CD=10,

QEF=CF-CE=8.

故答案为：8.

【变式题5-2].（25-26七年级上•全国•月考）已知点C在线段48上，AC=2BC,点D、E在直线力8上，点

。在点E的左侧

1I111III

ADCEBACB

图1备用图

⑴若/IB=15,OE=6,线段OE在线段上移动.

①如图1,当E为BC中点时，求力。的长；

②若点F（异于B、C）在线段BC上，且力尸二34D,CE+EF=3,求4D的长；

（2）若力8=2DE,线段。E在直线力B上移动，且满足关系式二辛="求穿的值.

onNAri

【答案】⑴①6.5；②号

⑵L或石

o42

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，线段的和差，比较难，需要熟练进行分类讨论.

（1）根据AC=28C,AB=15,DE=6,线段DE在线段4B上移动.

①如图1,当E为8c中点时，根据中点定义即可求的长；

②分情况讨论，即点E在点尸的左侧或右侧，分别讨论即可解答；

（2）根据4c=2BC,AB=2DE,线段DE在直线AB上移动，满足关系式可以设=x,DC=y,

BE2

用含X和y的式子表示线段长，从而得出X与y的等量关系，即可求出黑的值.

aD

【详解】（1）解：AB=15,DE=6,AC=2BC,

•••BC=5,AC=10»

①如图，

IIIII

ADCEB

图1:E为BC中点，

•••CE=BE=2.5,

•••CD=DE—CE=3.5,

AD=AB-CD-BC=15-3.5-5=6.5；

②分两种情况：i）当点七’在点尸的左侧，且七在线段.上，如图，

4DCEFB.：CE+EF=3,

ACF=3,

AF=AC+CF=10+3=13>

AF=3AD,

.♦.%。=1/1F=lx13=—；

333

当点E在点尸的左侧，且E在线段AC上，如图，

IIIlli

ADECFB

设则4/=3x,DF=2x,

SFF=DF-DE=2x—6,CE=AC—AD-DE=10-x-6=4—x,

^CE+EF=3,

02A--6+4-X=3,解得％=5,此时，CE=4-x=4-5=-l(不合撅竟舍去)

a)当点E在点尸的右侧，如图,

II1111

ADCFEB

设40=%,则力尸=3%，DF=2x,

0EF=DE-DF=6-2x,CE=AD+DE-AC=x+6-10=x-4,

(3CE+E尸=3,

06-2x+x-4=3,解得工=-1(不合题意舍去)

综上所述，40的长为受；

(2)解：-AC=2BC,AB=2DE,满足关系式丝庄=三，

BE2

⑦、当点E在点C右侧时,如图，

III1I

ADCEB

设CE=x,DC=y,

则DE=x+y,

:.AB=2(x+y),

4c=|力B=g(x+y),

41

AD=AC-DC=-x+-y,

33J

BC=^AB=l（x+y）,

••・BE=BC-CE=^y-^x,

7i

•**AD+EC=—x+—y,

33,

v2{AD+EQ=3BE,

••2（枭+力）=3（，-%），

解得，17%=4y,

.cJ---二17

'•AB2（x+y）2（^y+y）42*

回、当点E在点力左侧时，如图，

IIIII

DEACB

设CE=x,DC=y,

则DE=y-%,

：・AB=2（y—x）,

24

AC=lAB=^y-x）t

•••AD=DC-AC=-x--y>

33J

，

BC=^iAB=2l（y-x）,

2I

...BE=BC+CE=-y+-x,

3，3

7I

AAD+EC=-x—y»

33/

•••2（AD+EC）=38E,

•■•2（红一1）=3&+紧），

解得，llx=8y,

.•.丝=^=1.

ze2（y-x）6

点。在C点右侧，及点。在8点右侧,

无解，不符合题意；

当DE在线段力。内部时，如图，

IIIII

ADECB

设CE=x,DC=y,

则DE=y-x,

•••AB=2(y—x),

AC=lAB=^y-x),

AD=AC-DC=-y--x,

3J3

=*(y-x),

BE=BC+CE=ly+^x,

3，3

•**AD+EC——3x-\—3，y>

•••2(AD+EC)=3BE

、2(-打+")=3()+2，

解得，-5%=4y(不符合题意，舍去)，

A^=-^-=^<1,不符合题意，舍去.

AB2(y-x)182

其他情况不存在，舍去.

故答案为：W或*

【变式题5-3].(25-26七年级上•河北唐山・期中)对于题目“已知4、B、C在同一直线上,48=3cm,BC=1cm,

求4C的长.〃甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二.

⑴请认真阅读下列解法，并填空：

解法一：根据题意可分如下两种情形：

①如图，。点在线段4B上，AC=_=3-1=2(cm)；

111

・4C8②如图，C点在线段4B延长线上，4c=_=3+l=4(cm).所以线段AC的长

为2cm或4CIII.

解法二：如图，在直线48上，以点4为原点，点力向右的方向为正方向，线段力8的长为3个单位长度建立如

图所示的数轴.则4表示的数为0，B：表示的数为3：因为8。=1,所以点C表示的数为」所以线段力C的

长为2cm或4cm.

B

⑵已知4、B、C、D在同一直线上，AB=3cm,BC=1cm,AD=lcm,请选择上述方法中你喜欢的方法

直接写出CD的长为_cm.

⑶已知线段A8=3,线段CD在直线力B上运动，且CD=5,在运动的过程中，若点M、N分别为线段AC、BD

的中点，请选择上述方法中你喜欢的方法直接写出MN的长为

【答案】⑴

解法一：②4B+BC

解法二：2或4

(2)1或3或5

⑶线段MN的长度为4或1.

【分析】本题考查数形结合的应用，数轴上两点间的距离，线段之间的和差.

(1)解法一：根据线段的和差即可求解，解法二：利用数轴上点的位置和两点间的距离即可求解；

(2)解法一：按照点。和点。与线段48的位置关系讲行分类讨论，根据线段的和差计算即可：解法二：在

直线48上，以点力为原点，点力向右的方向为正方向，线段48的长为3个单位长度建“•数轴，则人表示的数

为0,B表示的数为3,由BC=1,可得点C表示的数为2或4,由/D=l,可得点。表示的数为±1,分类讨

论，分别计算线段CD的长即可；

(3)解法一：按照点C和点D与线段48的位置关系进行分类讨论，根据线段的和差计算即可；解法二：在

直线力8匕以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段力B的长为3个单位长度建立数轴，则4表示的数

为0,8表示的数为3,由线段C。在直线49上运动，且5,设点。表示的数为a,则点。表示的数为a+5

或a-5,可得点M和点N表示的数，分类讨论，分别计算线段MN的长即可.

【详解】(1)解：解法一：根据线段的和差，

①C点在线段48上，AC=AB-CB=3-1=2(cm),

故答案为：AB-BC.

②C点在线段48延长线上，4C=48+3C=3+1=4(cm),

故答案为：AB+BC.

解法二：设点C表示的数为心

若点。在上，贝—解得％=2,

若点C在延长线上，x-3=1,解得x=4,

回点C表示的数为2或4.

故答案为:2或4.

(2)解：解法-：根据题意可分如下四种情形：

①点C和点。都在线段AB上，CD=AB-AD-BC=3-1-1=l(cm),

1III.

1D(B②点C在线段AB上，点。在线段的延长线上，CD=AB+AD-

SC=3+1-1=3(cm),

1I111.

DACB③点c在线段A5的延长线上，点。在线段AB上，CD=AB-

AD+BC=3-l+l=3(cm),

11111.

•4°BC④点C在线段48的延长线上，点。在线段84的延长线上，CD=

AB+AD+BC=3+1+1=5(cm),

11I111,

D/B(团。。的长为lcm或3cm或5cm.

故答案为：1或3或5.

解法二：在直线48上，以点A为原点，点4向右的方向为正方向，线段4B的长为3个单位长度建立如图所示

的数轴，则力表小的数为0,8表示的数为3,

-J----------------------------------------------i-------------►

AB138c=1,

囹点C表示的数为2或4,

团4。=1,

回点。表示的数为±1,

(3①当点。表示1,点C表示2时，CD=2-1=1,

②当点。表示一1,点C表示2时，CD=2-(-1)=3,

③当点。表示1,点C表示4时，CD=4-1=3,

④当点。表示一1,点。表示4时，CD=4-(-1)=5,

团CD的长为1cm或3cm或5cm.

故答案为：1或3或5.

(3)解：解法一：根据题意可分如下情形:

①MN=g(4C+BO)+BC

=^(AB+CD-2BC)+BC

_1

=7x(3+5)

=4,

/MCBND②MN

11

=-BD--AC+BC

=(CD-BC)-;(CO-AD)+BC

呈(AD+BC)

=^CD-AB)

z

=(5-3)x1

乙

=1,

1A▲人■1A>

DANA/BC团线段MN的长度为4或1.

解法二：在直线48上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段A8的长为3个单位长度建立如图

所小的数轴，贝X表不的数为0,B表小的数为3,

/B团线段CD在直线上运动，且C。=5,

设点C表示的数为a,则点。表示的数为a4-5或a-5,

国点M为力。的中点，

用点M表示的数为枭

国点A为ED的中点,

(3点N表示的数为空或殳/，

当点N表示的数为丝詈时，MN二|±竽一,=4,

当点N表示的数为审时，“可=产/一4=1.

回线段MN的K度为4或1.

【题型6】线段中点与双中点模型(提升)

1.核心知识点总结

中点定义：若M是AB中点，则AM=MB=：AB,AB=2AM=2MB：,

双中点模型：若M、N分别是AB、BC的中点，则MN=[AC(无论B在线段AC上、延长线或反向延长线,

结论均成立)。

2.高频考点梳理

单中点计算（如“AB=16cm,M足中点，求AM”）。

双中点模型计算（如“A、B、C共线，M、N分别是AB、BC中点，AC=20cm,求MN”）。

多中点综合（如“M、N、P分别是AB、AC、BC中点,探究MP与AC的关系”）。

3.易错点警示

双中点模型中，忽略B点的位置（延长线上时仍误用“和”关系）。

认为“若AM=MB,则M是AB中点”（未强调M在线段AB上

4.解题技巧拆解

单中点：直接套用中点公式，结合和差计算。

双中点：①画图标注中点位置；②用中点定义替换线段（AM=：AB,BN=1BC）：③推导MN与AC的关

系（和或差的一半）。

【例题6】.（25-26七年级上•重庆・月考）数轴上有力、B、C、。四个点，分别对应的数为Q、从c、d,且

满足aVbVO⑷=10,同=8,（。-16）2与（一20|互为相反数.

⑴求Q、b、c、d的值;

⑵若力、B两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时C、。两点以每秒2个单位长度的速度向左匀

速运动，并设运动时间为t杪.贝上为何值时，A8的中点与C。的中点距离3个单位长度：

⑶在（2）的条件下，t满足什么条件时，A、8两点都运动在线段CD上（不与C,。两个端点重合）.

【答案】（1）。=—10,b=—8»c=16,d=20.

（2件或3

（3）y<t<\

【分析】本题考查的是非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用.

（1）先求解绝对值方程，即可求解。、b,再根据平方和绝对值的非负性可求解。、d.

（2）先表示出4、B、C、。四个点在运动中对应的数，再分别表示4B,CD中点对应的数，再根据两点之间

的距离公式列方程求解即可.

（3）根据A、B、C、。四个点在运动中对应的数，结合4c重合时，重合时，建立方程求解临界值即

可.

［详解］（1）解：<b<0,|a|=10»\b\=8,

回a=-10»b=-8,

回（c-16）2与Id—20|互为相反数，

Q（c-16）2+|d-20|=0,

0c—16=0»d—20=0,

解得：c=16,d=20.

（2）解：财、8两点以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动,

团运动中4、B两点表示的数分别为：―10+63—8+63

团4B的中点表本的数为：：(—10+6t—8+6t)=-9+63

(3C、。两点以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，

13运动中C、。两点表示的数分别为：16-2320-23

回CD的中点表示的数为：1(16-2t4-20-2t)=18-2t,

团4B的中点与CD的中点距离3个单位长度，

01-9+6C-(18-2t)|=3,即|-27+8t|=3,

0-27+8t=3或-27+8t=-3,

解得：t=弓或t=3,

13运动时间为4或3s时，48的中点与的中点距离3个单位长度.

(3)解：MB=-8-(-10)=-8+10=2,CZ)=20-16=4,

当4c重合时，

回一10+6t=16—2t,

解得：t=?,

4

当8,0重合时，

E—8+6t=20—2t,

解得：”3

(3当fvtv/j,4、8两点都运动在线段CO上(不与C,D两个端点重合).

【变式题6-1].(24-25七年级上•四川成都•月考)如图，已知点C为线段48上一点,AC=24cm,C8=16cm,

D、E分别是4C、48的中点.求：

IIIII

ADECR

(1MD的长度为；

(2)DE的长度为；

⑶若M在直线AB上，且MB=12cm,求力M的长度.

【答案】(l)12cm

(2)8cm

⑶AM的长度为52cm或28cm

【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是

解本题的关键.

（1）直接根据。是AC的中点可得答案：

（2）先求出48的长，然后根据E是力8的中点求出入E,根据0E=4E-力。即可求解；

（3）分M在点8的右侧、M在点8的左侧两种情况进行计算即可.

【详解】（1）解：EL4c=24cm,。是/IC的中点.

GL4D岩AC="24cm=12cm

故答案为：12cm；

（2）（3i4C=24cm,CB=16cm,

OAB=AC+BC=24+16=40（cm）,

13E是力B的中点

射£=）B=20cm,

团。E=AE-AD=20-12=8（cm）,

故答案为：8cm；

（3）当M在点8的右侧时，AM=AB+MB=40+12=52（cm）,

当M在点B的左侧时，AM=AB-MB=40-12=28（cm）,

回力”的长度为52cm或28cm.

【变式题6-2].（24-25七年级上•河北石家庄•期中）（1