直线与圆的位置关系（原卷版）-2025-2026学年高二数学复习专项突破（人教A版选择性必修第一册）

2.5.1:直线与圆的位置关系

【考点归纳】

【知识梳理】

知识点直线4X+3F+C=0与圆(x—a)2+(y—与2=户的位置关系及判断

位置关系相交相切相离

公共点个数2个1个()个

几何法：

设圆心到直线的距离为"=如+劭+。d<rd=rd>r

判

力2+"

断

代数法：

方

1%+幻+。=0,,,,

法由:，消元得到一元JX)J=0/<()

(x-a)2+(y-8)2=广，

二次方程，可得方程的判别式/

1

【题型探究】

题型一：判断直线与圆的位置关系

【例1】.（25-26高二上•河北邢台）已知直线，：x+2p+5=0与圆C：（x-2『+（y+l）2=a2+6,则直线/与圆。的位置

关系是（）

A.相离B.相切

C.相交D.与。的取值有关

【变式1].（25-26高二上•全国•单元测试）直线式+”+1=0与圆（L1）2+（J+元=9的位置关系是（）

A.相离B.相切

C.相交且直线过圆心D.相交但直线不过圆心

【变式2].（25-26高三上・广西柳州•开学考试.）直线/：3+2y-4-2=0与圆G，+（p-l）2=/（"0）的位置关

系为（）

A.相交B,相切C.相离D.不确定的

题型二：由直线与圆的位置关系求参数

【例2】.（25-26高二上,江苏•阶段练习）已知直线/:尸质-1和圆C:/+（尸1）2=3,若直线/与圆C相切，则k=（）

A.一3B.6C.3或一也D.8或-6

333

【变式1】.（2025•福建泉州•模拟预测）己知PGo/o）是圆C：/+炉-2.27+1=0上任意一点，则"!的最小

值为（）

A4+出口-4-V7r4-币n-4+V7

3333

【变式2].（25-26高二上•江苏盐城•阶段练习）V0"是"直线y=x+b与曲线,=^-（x-2）2恰有1个公共

点”的（）条件.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题型三：圆的弦长问题

【例3】.（24-25高二上•天津•期中）已知圆。的方程为/+产-6%-4»+9=0

⑴若直线/经过圆C的圆心，且倾斜角为手，求宜线/的方程；

4

⑵若直线y=x+l与圆。交于4,8两点，求弦48的长.

2

【变式1].（25-26高二上•湖北•期中）已知三点。（0,0）,4（2,0）,8（-1,-1）,记V/O4的外接圆为圆C.

⑴求圆C的方程；

（2）若直线/：x-歹-1=0与圆C交于M.N两点，求KMN的面枳.

【变式2].（24-25高二上•云南昭通・期中）己知圆心为。的圆经过点，（3,-1）和8（2,6）,且圆心C在直线x+y-l=0

上.

⑴求圆。的标准方程；

⑵过点M（4,l）作圆的切线，求切线方程：

⑶求直线上y=2x-1被圆C所截得的弦长|MN|.

题型四：圆的弦长求参数或者切线方程

【例4】.（25-26高二上•陕西•阶段练习）已知圆过点力且圆心£在直线x+y-2=0上.

⑴求圆£的方程；

⑵若直线/经过点。（3,5）,且与圆E相交截得的弦长为2右，求直线/的方程.

【变式1].（25-26高二上•江苏•阶段练习）已知圆"与直线3x-V7y+4=0相切于点（1,4）,圆心〃在x轴上.

⑴求同M的标准方程；

⑵若过点（1,1）的直线/与圆M交于R。两点，当|尸。|=2近时，求直线/的一般式方程；

【变式2].（25-26高二上•江苏•阶段练习）已知圆。经过点（1,0）,圆心C在射线y=3x,*N0）上，且直线x-y=0

被圆C截得的弦长为2行.

⑴求圆C的方程；

⑵过点N（-2,-l）作圆C的切线，求切线的方程.

3

题型五：圆的切线方程

【例5】.(24-25高二上•江苏南京•阶段练习)过点P(LO)的直线/与圆C:(x-3)2+(y+l)2=5相切，则直线/的方程

为.

【变式1】.(25-26高二上•山西晋中•期中)过点力(-1,7)与圆C:(x-l)2+(y-3)2=4相切的直线方程为.

【变式2].(24-25高二上•天津•期末)已知圆C:"-3)2+&-1)2=1,直线/过点P(4,3),若直线/与圆C相切，

则直线/的方程为.

题型六：直线与圆的位置求距离的最值问题

[例6].(25-26高二上•江苏•阶段练习)已知直线/：x-y-6=0和圆。：/+/+2工+2k6=0.若。是直线/上的动

点，过户作圆C的一条切线，切点为“，则|「河|的最小值为.

【变式1】.(25・26高二上•全国•单元测试)已知点4一1,0),6(0,2)及圆C：5x2+5/-20x+20.y+36=0,若P为C上

动点，则点尸到直线的距离的最大值为

【变式2].(24-25高二上•安徽合肥•期末)过动点P作圆C:(x-4)2+。-3f=3的切线尸。，点。为切点，若

|尸。|二仔。|(。为坐标原点)，则归。|的最小值是.

题型七：直线与圆的应用

【例7】.(23-24高二上•山东聊城•期中)2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行,杭州有很多圆拱的悬索拱桥,

经测得某圆拱索桥(如图)的跨度|力用=100米，拱高|。片=1。米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则

与OP相距30米的支柱的高度是米.(注意：而*3,162)

4

【变式1].（2223高二上•浙江宁波期末）如图1,某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，己知圆拱跨度,44=30m,

拱高OP=5m,建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱44的高度等于m（精确到0.01m）.若建

立如图2所示的平面直角坐标系立力，则圆拱所在圆的标准方程是.

（可用参考数据：\/616=24.82,x/600=24.49,7599=24.47,7544=23.32,7525=22.91.）

【变式2].（24-25高二上・贵州贵阳•阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O,A,B三个小岛（面积大小忽略不计）,

A岛在。岛的北偏东45,方向距。岛4四千米处，4岛在。岛的正东方向距。岛2千米处.以。为坐标原点，O

的正东方向为x轴的正方向，1T米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O,A,3三点.

⑴求圆。的方程；

⑵若圆C区域内有未知暗礁，现有•船。在。岛的南偏西30"方向距。岛4千米处，正沿着北偏东60“方向行驶,

若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

题型八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用

【例8】.（25-26高二上•广东•阶段练习）已知点力（0,1）,5（0,4）,动点尸满足|尸8|=2|=],其轨迹为C.

⑴求动点尸轨迹C的方程；

⑵过点8的直线/交轨迹。于M,N两点，

①若丽•而=-2,求直线/的方程；

②求面积的最大值.

5

【变式11(24-25高一上•云南•阶段练习)已知圆(？：/+_/=4分别与X,，轴的正半轴交于/I,8两点,尸为圆C

上的动点(异于4，8两点).

⑴若线段力。上有一点。，满足而=2/，求点。的轨迹方程；

⑵若直线力/1与^轴交于点"，直线8P与x轴交于点N,证明：|4V|・|8Ml为定值，并求出该定值.

【变式2].(25-26高二上•重庆•阶段练习)如图，在平面直角坐标系xQv中，已知点〃(2,4),圆。：/+尸=4与x

轴的正半轴的交点是。，过点P的直线/与圆。交于不同的两点4B

⑴若直线/与歹轴交于。，且丽•丽=16,求直线/的方程:

(2)设直线0408的斜率分别是尢，右，证明：尢+心为定值；

⑶设力B的中点为"，点N(g,O),若MN=^~()M,求AO/B的面积.

33

【高分演练】

一、单选题

1.(25-26高二上•山东•阶段练习)已知圆。:/+/-4歹+2=0,直线/：x-y+1=(),则圆上到直线的距离等于孝

的点的个数为()

A.4B.3C.2D.1

2.(25-26高二上•江苏•阶段练习)对于圆C：x2+y2=r2,直线/：at+如=/,点P(a⑼在圆C外，则直线/与

圆C()

A.相切B.相交C.相离D.不确定

6

3.（25-26高二上•江西•阶段练习）“力二2血〃是"直线x+6与圆相切〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

则山的取值范围是（）

4.（25-26高二上・山东•阶段练习）已知实数-J满足方程=x-l,

x

：,24

A.4B.C.—,+00D.[2,4]

?3

5.（25-26高二上•江苏宿迁•阶段练习）过直线P=2x上的点P作圆C：（x+l）2+（y-2）2=3的两条切线/，，当直线

44关于直线V=2x对称时，点P的坐标为（）

3?6⑻32、

A.B.C.(1,3)D.35

6.（24-25高二上•云南•阶段练习）已知动点M与两个定点0（0,0）,力0，0），且瑞=2,则直线。必的斜率的取

值范围是（）

在四工、

A.[2/6旬B.C.r

2'2亍T2）

6.（25-26高三上•河北•阶段练习）已知圆C：（X-2）2+（^-3）2=16,直线/：gr+2小+1=0（/〃。0）,若直线/

与圆。交于力，8两点，且满足5•屈=-8,则实数〃?的值为（）

344

A.--B.——D.-

433

7.（25-26高二上•天津•阶段练习）已如圆C的方程为x2+y2—2x-4j，+〃?=0,直线/：2x-y+5=0与圆相交于历、

N两点且CM_LCN,则〃?的值为（）

A.—5B.5-V10C.9D.10

8.（25-26高三上•江苏•开学考试）已知点血-1,1）*（3,3）,线段48为的一条直径.设过点C（2,-l）且与。M相

切的两条直线的斜率分别为即卜,则尢+自=（）

3223

A.——B."3C.—D.-

232

9.（25-26高二上・江苏南京•阶段练习）已知题2,0）,典10,0）,若直线戊-外+2=0上任意一点P,都使西•丽＞0

恒成立，则，的取值范围为（）

2h

A.B.七3

C.-00,U(3,+8)D.(F,-3)U传,+00

7

二、多选题1

10.（25-26高二上•江苏•阶段练习）已知圆C:x2+y2+6x-4y+8=0,则（）.

A.圆C的面积是25兀B.圆C关于直线x+3y-3=0对称

C.点（7,4）在圆。外D.直线3x-4y-8=（）与圆。相离

11.（25-26高二上•山西晋中•阶段练习）过点尸（4,2）的宜线与圆（x-咪+（尸2）2=36相交于M,N两点，则线段MV

长度可以是（）

A.6B.7C.12D.13

22

12.（25・26高二上•重庆•阶段练习）已知圆C：x+y+2x-2y-2=0,直线/：mx-y+2m+2=0（W€R）,下

列选项正确的是（）

A.直线/过定点（-2,2）

B.直线/与圆。可能相切

C.当圆。上有且只有4个点到直线，的距离为1时,则，”0

D.设/与圆。交于4,8两点，则48中点M的轨迹方程为，+之[+[\-3]=也

</\2J2

13.（25-26高二上•江苏淮安•阶段练习）已知自点/（-3,3）发出的光线/射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在

的直线与圆/+/_41_4卜+7=0相切，则入射光线/所在的直线方程为（）

A.4x+3y+3=0B.4x-3y+3=0

C.3x+4y+3=0D.3x+4y-3=0

14.（25-26高二上•江西•阶段练习）过直线y=4上任意一点？作圆0:/+/=4的两条切线，切点分别为4^,则

（）

A.当aP/lB为等边三角形时，|/却=2/B.|力尸|的最小值为4

C.|阳的最小值为2方D.直线相过定点（0,1）

15.（25-26高二上•陕西商洛•阶段练习）已知直线/：6-什4=0,同U『+V-6x+5=0,为圆。上任意一

点，则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（TO）B.其的最大值为5

C.丛的最大值为拽D.圆心C到直线/的距离小于4

X。5

8

三、填空题

16.（25-26高二上•江苏•阶段练习）若直线y=x+〃与曲线y=-Vi7了恰有一个公共点，则的取值范围为.

17.（25-26高二上•浙江舟山•阶段练习）过圆。:/+丁=3外一点尸（2,6）作圆。的切线，切点分别为〃、N,则

\MN\=.

18.（25-26高二上•天津•阶段练习）直线x+y+3=0分别与x轴、y轴交于48两点，点尸是圆上+）/=2

的动点，则△力8P面积的最小值为.

19.（25-26高二上•天津•阶段练习）已知圆。的圆心为（L-4）,且与直线八x+j，-1=（）相切，则圆。被直线

3x-4y-9=0截得的弦长为.

20.（25-26高二上•河南•阶段练习）在平面直角坐标系中，V/18C的三个顶点分别是4（0,0）,8（2,Q）,C（xj）,且满

足|4C|=2忸q,则3x+4y的最大值是.

21.（25-26高二上•内蒙古呼伦贝尔•阶段练习）在平面直角坐标系X。？中，一道光线沿直线4：h-尸软+2=0经x

轴反射，反射光线人与圆C：/+（y-4f=4恰有一个公共点，则欠=.

四、解答题

22.（17-18高二上•四川•开学考试）已知点”（3,5）,0C：（x-l）2+（y-2）2=4.

⑴若过点"的直线/与圆。相切，求直线/的方程；

（2）若直线6-），+4=0与圆。相交于44两点，弦43的长为2百，求〃的值.

23.（23-24高二上•广东•阶段练习）己知两直线点x+y+2=0和，2：3%—2尹1=0的交点为产.

⑴直线/过点P且与直线x+3y+1=（）垂直，求直线/的一般式方程；

（2）已知圆C：a-l）2+j/=4,过点尸作圆。的切线，求切线方程.

24.（25-26高二上•山西晋中•阶段练习）已知圆C