必修五解三角形讲义

人教版数学必修五

第一章解三角形重难点解析

【重点】

1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。

2、在己知三角形的两边及其中一边的对角解三角形

时，有两解或一解或无解等情形；

3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应

用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决

三角形，得到实际问题的解决。

4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。

5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和

所求角的关系。

6、推导三角形的面积公式并解次简单的相关题目。

【难点】

1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个

数。

2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，

正、余弦定理及三角形的有关性质的综合运用。

3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复

杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。

4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。

【要点内容】

一、正弦定理：

在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等,

即4二—=上二2R（R为aABC外接圆半径）

sinAsinBsinC

1.直角三角形中：sinA=@,sinB=-,sinC=l

cc

即c=q,c=上，C二上.

sinAsinBsinC

2.斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜

△ABC当中

Q_|J|

—absinC=—r/csinB=—besinA

222

两边同除以Lbc即得：

2

a—b—c

sinAsinBsinC

证明二：（外接圆法）

如图所示，ZA=ZD

同理_A_=2R,，=2R

sinBsinC

正弦定理的应用

正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：

1.两角和任意一边，求其它两边和一角;

2.两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求

其它的边和角。（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B

时的各种情况：

⑴若A为锐角时：

⑵若A为直角或钝角时：

2、余弦定理

余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等

于另两边的平方和再减去这两边及夹角余弦的乘积的2

倍,即：

若用三边表示角，余弦定理可以写为

余弦定理可解以下两种类型的三角形：

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

注意：

在（0,n）范围内余弦值和角的——对应性.若cosA

>0.则A为锐角；若cosA=0,则A为直角；若cosAVO,

则A为钝角.

3、余弦定理及勾股定理的关系、余弦定理及锐角三角

函数的关系

在AABC中，c?=r+b,-ZabcosC.若NC=90。，则cosOO,

于是

c2=a2+b2-2ab•0=a2+b2.

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定

理的推广.

这及Rt^ABC中，ZC=90°的锐角三角函数一致，即

直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例.

4、三角形的有关定理：

内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=

-cosC,

rc

cos—=sin,sin—=cos

22

面积公式：S=-absinC=-bcsinA=-casinB

222

S=pr=J〃(p—4)(p-b)(p一c)(其中p=,r为内切圆半径)

射影定理：ci-bcosC+ccos氏b-acosC+ccosA；

c-acosB+bcosA

5、求解三角形应用题的一般步骤：

(1)、分析题意，弄清已知和所求：

(2)、根据提意，画出示意图；

(3)、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；

(4)、正确运用正、余弦定理。

【典型例题】

例1已知在AABC中,1=10,北=45°(=30°,求。,帅。

解：vc=10,A=45°,C=30°

由得a=£sjnA=l0xsin45»=10^

sinCsin30

由得

例2在AABC中,例行,3=60°,。=1,求°和4。

Axx,•bc.〃csinB1xsin60°1

用牛：----=----smC=------=---产——=-

sinBsinCb62

例3AABC中，。=5/%,4=45°,〃=2,求人和8,。

解:----=----,sinC=------=-----------=——

sinAsinCa22

例4已知△/%；4。为8的平分线，求证：AB\BC=A

D:DC

分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角

形内研究问题，而8的平分线劭将△/（比分成了两个三角

形：4ABD及丛CBD,故要证结论成立，可证明它的等价形

式：AB：AD=BC\DC,从而把问题转化到两个三角形内，

而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用

正弦定理将所证继续转化为

_^=_4,_条=_%,再根据相等角正弦值相

sinABDsinABDsinBDCs\nDBC

等，互补角正弦值也相等即可证明结论.

证明：在△/勿内，利用正弦定理得：

在△，切内，利用正弦定理得：

・・•曲是〃的平分线.

・・・AABD=ADBC：.six\ABD=six\DBC.

•・・/ADB+/BDC='80°

：.sinADB=sin(180°—/BDC)=sinBDC

评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转

化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关

系式的应用.

例5在△ABC中，已知a=石，b=VI,B=45°,求A,C及

边c.

解：由正弦定理得：sinA二竺*=百"45=走，因为

by/22

B=45°<90°且b〈a,

所以有两解A=60°或A=120°

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,

_/?sinCV2-sin75u瓜+五

c—==«

sin8sin4502

(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=150,

c=/;sinC_V2-sin15_4^-41

sinBsin45°2

思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题,

用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.

例中，若，判断的形状。

解一：由正弦定理：

sinAcosBsin2AcosBsinA.一.八八

----------=——；—即nn：=sin2A=sin28

sinHeosAsin-AcosAsinB

・・・2/=2〃或24二1802〃即：/=〃或力+/7=90

・・・△/a'为等腰或直角三角形

aa2+c2-b2

2

解二：由题设:sinAcosB_a2Rlac_

cosAsinBh2h2+c2-a2bb2

Ibe2R

化简：b2(才+。26)=以八舌a2)・・.(/㈤(3

+甘冷二0

：.a=人或4+N=0?.・.△/%为等腰或直角三角形.

思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手.

例7在AABC中，已知A,B,C成等差数列，b=l,求

证：l〈a+cW2.

解：由正弦定理：，得

a+c二(sinA+sinC)二逑(sinA+sinC)二班

23

[sinA+sin(1200-A)>2sin(A+30°)，因为0°<A<120°,

所以30°<A+30°<150°,故l〈2sin(A+30°)W2.

法二.,?B=600,b=l,・•・a+c-b2=2accos60

a2+c2-l=ac,/.a2+c2-ac=l,

/.(a+c)2+3(a-c)2=4,/.(a+c)2=4-3(a-c)2.

V0<a-c<1A0^3(a-c)2<3,A4-3(a-c)2^4,

即(a+c)?W4,a+cW2a+c>l,l〈a+c《2.

思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段.

例8已知。〃的半径为兄，在它的内接三角形4%中，

有

2R(sin?A-sin?C)=(V5a-"sin8成立，求△/比、面积S的最大

值.

解：由已知条件得

(2R)2(sin2A-sin2B)=2RsinBga-b).即有a2-c2=yflab-h2，

乂ssc=正三1=且・・・,=£.

2ab24

所以当力=8时，.

思维点拨:：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余

弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.

例9AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的

最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB长的关键是先求AE,在AACE中，如能求

出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的

仰角，就可以计算出AE的长。

解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条

直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是

分，CD=a,测角仪器的高是h,那么，在AACD中，根据

正弦定理可得

AC二

AB=AE+h

ACsinczh

=+h

例10如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯

角口二54。40，，在塔底C处测得A处的俯角/?二50。「。已知铁

塔BC部分的高为27.3叫求出山高CD(精确到1m)

解：在△ABC中，zBCA=90。+/?,ZABC

二90；a,/BAOa—尸，/BAD=a.根据正弦定理，

所以AB==

解RLAABD也得BD二ABsin/BAD二

将测量数据代入上式,得

BD二

^177(m)

CD=BD-BC^177-27.3=150(m)

答：山的高度约为150米.

例11如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,

到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15。的方向

上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25,的方向上,

仰角为8:求此山的高度CD.

解：在AABC中，/A=15°,zC=25°-15°=10°,根据正弦

定理，

BC二

%7.4524(km)

CD二BCxtanzDBCBCxtar)801047(m)

答：山的高度约为1047米

例12如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75。的方向

航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东

32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行

直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航

行多少距离？(角度精确到0.T,距离精确到0.Olnmile)

分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的

角/ABC,即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出

AC边和AB边的夹角/CAB。

解：在-ABC中,zABC=180°-75°+32°=137°,根据

余弦定理，

AC=y]AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC

513.15

根据正弦定理,

sinzCAB=

-0.3255,

所以zCAB=19.0°,

75°-zCAB=56.0°

答：此船应该沿北偏东56.1。的方向航行，需要航行

113.15nmile

例13在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为e,

沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2°,再

继续前进10百m至D点，测得顶端A的仰角为4夕，求。的

大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10V3,

zADC=180°-4e,

因为sin40=2sin2ocos20

二cos2e=正，得2*30°

2

:.6=15",

.•.在RQADE中,AE=ADsin600=15

答：所求角〃为15。，建筑物高度为15nl

解法二：（设方程来求解）设DE=x,AE=h

在Rt—ACE中，（10月+x）2+h2=302

在RtAADE中，x2+h2=（106产

两式相减,得x=56,h=15

...在RaACE中,tan2o二二半

二2。二30°,展15°

答：所求角。为15。，建筑物高度为15m

解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8,由题

意，得

/BAOe,/CAD=2e,

AC=BC=30m,AD=CD=10石m

在Rt△ACE中，sin2e=—

30

---------①

在RtAADE中，sin4e二,

---------②

②+①得cos20=^,2o=3O°,o=15°,

2

AE=ADsir.60^=15

答：所求角。为15。，建筑物高度为15nl

例14某巡逻艇在A处发现二匕偏东45。相距9海里的C

处有一艘走私船，正沿南偏东75。的方向以10海里/小时

的速度向我海岸行驻，巡逻艇立即以14海里/小时的速度

沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要

多少时间才追赶上该走私船？

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要

引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处

追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=75O+45O=I20°

（14x）2=92+（lOx）2-2x9x10xcosi2（）0

化简得32x2-30x-27=0,即x=3,或x=-2（舍去）

216

所以BC=lOx=15,AB=14x=21,

又因为sin/BAC巫二更

21214

zBAC=38",或＞BAC=141”（钝角不合题意,舍

去），

.•.38°13'+45。=83°13'

答：巡逻艇应该沿北偏东83。13,方向去追，经过1.4小

时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定

义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验

上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

【经典考题】

1.设a,仇c分别是AABC的三个内角AB,C所对的边，则

/=Z?(b+c)是4=28的(A)

(A)充分条件(B)充分而不必要条件

(C)必要而充分条件(D)既不充分又不必要条件

2.在AA8C中，已知，给出以下四个论断：

其中正确的是(B)

(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③

3.在中，己知力、B、C成等差数列，则

tan—+tan—+V3tan—tan—fit)石.

2222

4.如果第8c的三个内角的余弦值分别等于AA/2c2的

三个内角的正弦值，则()

A.和A482G都是锐角三角形

B.A418c和A482G都是钝角三角形

C.AVC是钝角三角形，AA25c是锐角三角形

D.AA/C是锐角三角形，AA24G是钝角三角形

5.己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tanA,tanC

是方程X2—V3px+l-p=0

(pWO,且p£R),的两个实根，则tan(A+C)=,

tanA,tar.C的取值范围分别是_____

和_____,P的取值范围是__________V3;(0,V3)；

(0,而；:|,1)

6.在AABC中，已知AB=生生，cos8=逅，AC边上的中

36

线BD=6，求sinA.

【专家解答】设E为BC的中点，连接DE,则DE〃AB,

且，

设BE=x.在△BDE中可得

BD2=BE2+ED--2BE•EDcosNBED,

5=/+%2x也x逅x,解得x=l,(舍去).

336

222

故BO2,从而AC=AR+RC-2AR-RCCA^R=—.

3

即•又，故，.

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要考查正弦定理和余弦定理.

【热点透析】

三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之

一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜

三角形的方法和技巧,学生需要掌握的能力：

(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；

(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；

(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积

公式及三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答

三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.

★★★突破重难点

【范例1］在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

b=acosC,且aABC的最大边长为12,最小角的正弦值为:。

(1)判断aABC的形状；

(2)求4ABC的面积。

解析(1>.・b=acosC,由正弦定理，得sinB二sinAcosC,

(#)

•••B二万一(4+C),.♦・sinB=sin(A+C),从而(#)式变为

sin(A+C)=sinAcosC,

/.cosAsinC=O,XA,cosA=0,A=1-,/.AABC

是直角三角形。

(2)•••△ABC的最大边长为12,由(1)知斜边占12,

又•.•△ABC最小角的正弦值为g,「.RtaABC的最短直角边

为12x1=4,另一条直角边为8正

••SAABC==16-\/2

【点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应

用,用正弦定理化边为角，再以角为突破口，判断出AABC

的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积.

【文】在Z\ABC中,若tanA:tanB=/：〃，试判断△

ABC的形状.

解析由同角三角函数关系及正弦定理可推得

♦A、B为三角形的内角,・・・sinAW0,sinBWO.

・・・2A=2B或2A=兀—2B,・'・A=B或A+B=±.

2

所以4ABC为等腰三角形或直角三角形.

【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三

角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系

式，从而得到诸如a2+b?=c2,a2+b'2>c2(锐角三角形)，

a+l)<c2(钝角三角形)或sin(A—B)=0,sinA=sinB,

sinC=l或cosC=0等一些等式，进而判定其形状，但在选

择转化为边或是角的关系上，要进行探索.

【范例2】A48C中，内角A.8.C的对边分别为a.b.c,

已知4./?.C成等比数列，且cos8=°.

4

(1)求cotA+cotC的值；

(2)若，求a+c的值.

解析(1)由cosB=3得,由-=ac得sin?B=sinAsinC,

4

2

(2)由得：，因COS8=3,所以：4c=2,即：b=2.

由余弦定理b2=a2+c2-2accosI3得

a2+c2=b2+lac•cosB=5

于是：(。+c)2=a2+c2+lac=5+4=9故a+c=3・

【点晴】以三角形为载体，以三角变换为核心，结合

正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是

高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解

斜三角形中的灵活应用.

【文】在△/力中，a、b、c分别为角从B、。的对边,

4sin："+0-cos2A=—.

22

⑴求角力的度数;

⑵若行V5,t^-c-3,求力和c的值.

解析(1)由4sin2^t^-cos2A及A+8+C=180。,得：

22

【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比

较广泛.

【范例3】已知aABC的周长为6,国，网，网成等比

数列，求

(1)AABC的面积S的最大值；

(2)丽•纪的取值范围.

解析设|阿，网祠依次为a,b,c,则a+b+c=6,b2=ac.

12

在aABC中得cos8-a---+---c-----a--c->--2-a--c----a-c-=—1

2ac2ac2ac2

故有.又以向专用,从而。,心

(1)5=—acsinB=—b2sinB<--22-sin—=>/3,即*=>/5.

2223z1ali

a2+c2-b2(a+c)2-lac-h2

(2)BA*BC=ticcosB

2-2

【点睛】三角及向量结合是高考命题的一个亮点.问题

当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办

法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元.主

变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解

题思路是十分有益处的.

【变式】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、

c,AABC的外接圆半径且满足.

⑴求角B和边b的大小；

⑵求aABC的面积的最大值。

解析(1)由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB

/.sin(B+C)=2sinAcosB/.sinA=2sinAcosB/.

cosB=l/.B=-

23

•・・b=2RsinBAb=3

2

(2)VSVABC--tocsinB=V3/?sinAsinC=373sinAsin(--A)

3

・••当A=q时，S、MC的最大值是¥・

【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用

★★★自我提升

1.在直角三角形中，两锐角为A和B,则

sinA•sinB(B)

(A).有最大值：和最小值(B).有最大值！但无最小

22

值

(O.既无最大值也无最小值(D).有最大值1但无

最小值

2.已知非零向量而及衣满足且则为(D)

(A)等边三角形(B)直角三角

形

(C)等腰非等边三角形(D)三边均不

相等的三角形

3.AABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=l,则NC

的大小是(A)

(A)-(B)—(C)三或至(D)三或生

666633

4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最

小内角为(A)

(A)arccos(B)arcsin

(C)arccos(D)arcsin

5.已知/1,*2,司+3是钝角三角形的三边，则a的

取值范围是.(0,2)

6.已知定义在R上的偶函数y=在区间［0.+8)上单调

递增，若

AA3c的内角A满足/(cosA)<0,,则A的取值范围是

7.数歹|J｛a｝中，首项句=2,前n项和为S,且

4rS„+I-(3r+8)S“=8/(t<-3,〃eN*).

(1)判断数列｛4｝是否为等比数列，并证明你的结论？

(2)若对每个正整数n,以4,&“，为边长都能构

成三角形，求t的取值范围。

解析(1)略

(2)

【文】在AA4C中，A.B.。的对边分别为。.b.co

(i)若a,b,c成等比数列，求f(B)=sinB+GcosB的值

域。

⑵若a,b,c成等差数列，且A-C二?，求cosB的值。

解析⑴,**h2=ac,

a2+c2>laccosB="+'--=-

laclac2

当且仅当〃=c时取等号，*/f(B)=sinB+6cosB=

♦・•・f(8)的值域为「2)

(2)*.*a+c=2b,/.sinA+sinC=2sinB*.*

A-C=-.A+C=TT-B

3

C=/.sin()+sin()=2sinB

展开，化简，得百cc*=2*2sin£cd,,**,.*•

222

/.cosB=

8.在正三角形业加的边/山、/C上分别取〃、Z?两点，

使沿线段以折叠三角形时，顶点力正好落在边小上，在

这种情况下，若要使力〃最小，求力〃：一的值.

解析按题意，设折叠后力点落在边缈上改称〃点，显

然/、夕两点关于折线〃£对称，又设N及G8,：.NDPA:。，

4BDX20,再设/庐a/女x,

・・・〃/=¥.在△/)a1中，/力陟180°-ZABP-Z

加R120。-9，

由正弦定理知：.，上

在△99中，

DPBP「「I”ccx-sin^“k“sin。xsin20

-------=-------，所以BP=，从而=-------,

sinDBPsinBDPsin600---------sin(12O°-^)sin600

V0°W〃W60°,.\60°W60°+2〃W180°,

・••当60。+2”90°，即夕=15°时,sin(60。+2-)=1,

此时x取得最小值多即助最小，

：.AD\g26一3.

【文】在A4B仕中，a,"c分别为角AUC的对边,且满足

A7

4cos2——8s2(8+C)=—

22

(1)求角A大小；

(2)若"c=3,当〃取最小值时，判断AA8C的形状.

解析(1)A+B+C=TT，

222

(2)由余弦定理，得bc=b+c-a.

所以。的最小值为当且仅当时取等号.此时AA8C为

2

正三角形.

解三角形检测题

班级姓名学号成绩

一、选择题：

1.在AABC中，下列式子不正确的是

A.a2=b2+c2-2bccosAB.e/:Z?:c?=sinA:sinB:sinC

C.即3asi114D.b=2Rs\nB

2.在中，4=15°,则JSsin八—cos(〃+C)的值为

A,也B,且C.&D.2

22

3.在△ABC中，^AB=AB.AC+BA.BC+CA.CBf贝1J/^ABC

是

A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝

角三角形

4.,则三角形的形状为

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正

三角形D.等腰直角三角形

5.在AABC中，，则B等于

A.-B.三或生C.-D.三或包

333666

6.在aABC中，己知(〃+C):(C+C/):(4+〃)=4:5:6,则此三

角形的最大内角是

A.120°B.150°C.60°D.90°

7.在△ABC中，"A二B"是"sin2A=sin28”的

A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充

分条件D.既不充分也不必要条件

8.锐角AABC中，B=2A,则2的取值范围是

a

A.(-2,2)B.(0,2)C.(V2,2)D.(JIG)

二、填空题：

9.在ZXABC中，若A=120°,4B=5,8C=