2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第03讲 解三角形 （原卷版）

第03讲解三角形内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：三角形的基本要素与内角和定理核心知识1.基本要素：在△ABC中，边、、分别对应角、、的对边；内角和；外角等于不相邻两内角之和.2.三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，，.易错辨析误区：忽略三边关系直接用定理求边，导致解不存在.纠正：已知三边或两边及一边对角时，先验证三边关系，排除无效解.概念比较概念含义区别内角三角形内部的角，和为内角范围，外角是内角的补角外角三角形一边与另一边延长线的夹角，和为外角=不相邻两内角和，大于任何一个不相邻内角重点记忆+常考结论1.内角和恒为，是角度计算的核心依据.2.大边对大角、大角对大边，即.3.已知两角可直接求第三角，是解三角形的基础步骤.知识点2：正弦定理核心知识1.定理内容：在△ABC中，，为△ABC外接圆半径.2.常见变形，，；，，；.3.推导过程（外接圆法，分三类三角形证明）1.直角三角形：设，外接圆直径，，，故成立.2.锐角三角形：作外接圆，圆心为，连接并延长交圆于，，，在Rt△CBD中，，同理，.3.钝角三角形：作外接圆，延长交圆于，，在Rt△CBD中，，同理得其他边关系，综上定理成立.易错辨析误区：已知两边及一边对角（如），由求出时，直接取锐角解，忽略钝角解可能.纠正：结合“大边对大角”判断：若，则，必为锐角，一解；若，且，则有锐角、钝角两解；若，则，一解；若，无解.概念比较应用场景正弦定理余弦定理（预告）已知条件两角及一边；两边及一边对角两边及夹角；三边解的个数唯一解或无解唯一解计算核心边与对角正弦的比例关系边的平方与夹角余弦的运算重点记忆+常考结论1.正弦定理的核心是“边与对角正弦成正比，比例系数为”.2.已知两角及一边，优先用正弦定理求未知边；已知两边及一边对角，先判断解的个数再求解.3.常考结论：；若，则，反之亦然.一、正弦定理与边角互化1.基础铺垫：正弦定理公式在△ABC中，（为△ABC外接圆半径）核心变形（边角互化的关键）：边化角：，，角化边：，，比例关系：2.边角互化核心方法边化角：当已知条件或待求式中含“边的齐次式”（如、）时，用等代入，将边转化为角，利用三角恒等变换求解（如和角公式、二倍角公式）。角化边：当已知条件含“角的正弦关系”（如、）时，用等代入，将角转化为边，利用代数运算（如因式分解、均值不等式）求解.3.常见应用场景与易错点典型场景1：判断三角形形状（如由边化角得，推出，即等腰三角形）.典型场景2：求解含边角混合的等式（如由角化边得，推出直角三角形）.易错点：非齐次式不可随意边化角/角化边（如，需结合其他定理补充条件）；忽略的角度范围限制.二、射影公式1.公式内容在△ABC中，任意一边等于另外两边在该边上的射影之和：2.推导思路（基于正弦定理）由内角和，得.根据正弦定理，，，，代入上式：，两边同乘，得，其余两式同理可证.3.核心应用与优势快速转化边角关系：无需复杂平方运算，直接关联一边与另外两边的余弦值，简化含、等的表达式计算.辅助求解边角问题：当题目中同时出现“一边”和“另外两边的余弦值”时，优先使用射影公式（如已知，，，可直接求）.验证其他定理：可作为正弦定理、余弦定理的辅助验证工具，提升解题准确性.4.易错点提醒边角对应错误：牢记“边对应另外两边与它们对角的余弦值”，避免混淆夹角（如误写为）。过度依赖：射影公式适用于特定边角组合，复杂问题需结合正、余弦定理综合使用.正弦定理判断三角形解的个数核心前提：正弦定理判断解的个数，仅适用于“已知两边及一边对角”（记为：已知，其中为边，为边的对角）的情形。其他已知条件（如两角及一边、两边及夹角、三边）均有唯一解或无解，无需用正弦定理判断.一、判断核心依据1.三角函数值域：，若计算得，则无解；若，则，需验证是否符合三角形内角和；若，则有两解（，），需结合“大边对大角”筛选有效解.2.大边对大角：在△ABC中，；；（为三角形内角，均）.二、具体情形分类（已知）情形1：角为锐角（）步骤：由正弦定理得，结合值域和大边对大角判断：当时：，因为锐角，故必为锐角，且，唯一解.当时：，则，△ABC为直角三角形，唯一解。当时：，此时有两解（锐角、钝角），且（因，故，两解均满足内角和），两解.当时：，超出正弦函数值域，无解.情形2：角为直角（）分析：直角三角形中，斜边为最长边，则为斜边（最长边）：当时：为最长边，符合直角三角形斜边要求，为锐角（），唯一解.当时：，但为斜边应最长，矛盾，无解.情形3：角为钝角（)分析：钝角三角形中，钝角为最大角，故应为最长边（），且其他两角均为锐角（和为）：当时：为最长边，（大边对大角），因为钝角，必为锐角（），且，唯一解.当时：，则，但为钝角，会导致，违反内角和定理，无解.二、标准判断步骤（已知）1.第一步：计算；2.第二步：判断值域：若：无解；若：则，验证，成立则唯一解，不成立则无解；若：结合“大边对大角”判断的两解是否有效：若：，必为锐角，唯一解；若：，的锐角、钝角两解均有效（因），两解；若：，为锐角，唯一解.三、直观记忆：图形辅助法以已知（锐角）、边为例，边固定，角固定，边为待求边，边为定长：当：边长度不足，无法构成三角形（无解）；当：边与垂直，恰好构成直角三角形（唯一解）；当：边可与交于两点，构成两个不同三角形（两解）；当：边仅与交于一点，构成唯一三角形（唯一解）.四、易错点提醒1.适用范围混淆：仅“已知两边及一边对角”需判断解的个数，其他条件无需判断；2.边角对应错误：必须明确“是边的对角”，若已知“两边及另一边对角”（如已知），需调整对应关系（将作为对角，作为对应边）再判断；3.忽略内角和验证：当时，需确认（即），否则无解（如，则，，无解）；4.漏判两解：当且时，易直接取锐角解，忽略钝角解，需结合大边对大角确认两解有效性.知识点3：余弦定理核心知识1.定理内容；；.2.推论（求角公式）；；.3.推导过程（几何法，以为例）1.当为锐角时，过作于，，，，在直角三角形BCD中：2.当为直角时，，公式化为，即勾股定理，成立.3.当为钝角时，过作的延长线于，，，，同理在Rt△BCD中，化简得.易错辨析误区：边角对应错误，如求时误用.纠正：明确公式中边与角的对应关系，边的平方等于另外两边平方和减去这两边与它们夹角余弦的2倍，夹角是所求边的对角.概念比较公式适用条件与勾股定理关系余弦定理任意三角形勾股定理是余弦定理当夹角为时的特例勾股定理直角三角形余弦定理的特殊情况，重点记忆+常考结论1.余弦定理核心是“边的平方与夹角余弦的关联”，可用于求边、求角、判断三角形形状.2.判断三角形形状：若，则；若，则；若，则.3.已知三边必用余弦定理求角，已知两边及夹角必用余弦定理求第三边.知识点4：三角形的面积公式核心知识1.基本公式：（为边上的高）.2.三角公式（常用）：.3.海伦公式：，其中.4.外接圆相关：（为外接圆半径）.易错辨析误区：使用三角面积公式时，误将角用错（如用）.纠正：公式中角为两边的夹角，即中是与的夹角.概念比较面积公式已知条件计算难度一边及该边上的高低两边及夹角中海伦公式三边高重点记忆+常考结论1.三角面积公式是解三角形中求面积的首选，尤其结合正、余弦定理使用.2.常考结论：若△ABC的外接圆半径为，；若为定值，时面积最大.知识点5：解三角形的基本类型与步骤核心知识已知条件首选定理解的个数两角及一边正弦定理唯一解两边及夹角余弦定理唯一解三边余弦定理唯一解两边及一边对角正弦定理0个、1个或2个解易错辨析误区：解“两边及一边对角”问题时，不判断解的个数直接求解.纠正：先求另一边对角的正弦值，结合大边对大角和内角和定理判断解的个数，再计算.重点记忆+常考结论1.解三角形的核心是“边角互化”，正弦定理侧重“边与正弦的比例”，余弦定理侧重“边的平方与余弦的关联”.2.实际问题中，先抽象为三角形模型，明确已知条件，再选对应定理求解.六、整体常考结论汇总1.三角形内角和为，大边对大角，大角对大边.2.正弦定理比例系数为，余弦定理是勾股定理的推广.3.已知两边及一边对角时，注意多解或无解情况.4.面积公式优先用，结合正、余弦定理灵活转化.【题型1正弦定理解三角形】例1．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在△ABC中，BC=20，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则边AB的长度为.例2．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，a=33，c=5，a=2bsinA，则变式1．（25-26高三上·上海·月考）在△ABC中，若a=3，B=π4，A=π3变式2．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，cosC=(1)若a=7，求b的值；(2)若cosA=1114，求a【题型2正弦定理判断三角形解的个数】例1．（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足∠ABC=45∘,AB=6,AC=b的△ABC有且只有一个，那么实数b例2．（24-25高一下·上海·期末）在△ABC中，已知A=30∘，b=10，当B有两解时，a的取值范围为变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，变式2．（24-25高一下·上海·期中）在△ABC中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（

）A．b=10,A=45∘,C=C．a=18,b=10,A=120∘ 【题型3正弦定理求外接圆半径】例1．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若∠A=π3,b=3,acosC+c例2．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于．变式1．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，∠A=60°,AB=4,AC=3，则△ABC的外接圆的半径为.变式2．（2024·上海徐汇·二模）在△ABC中，AC=1，∠C=2π3，∠A=π6【题型4正弦定理判断三角形的形状】例1．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知c(cosA+cosB)=a+b，则A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形例2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在△ABC中，cos2B2=a+c2c（a，A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形变式1．（23-24高一下·上海·期中）若b2+c2−bc=a2A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形变式2．（23-24高二下·上海闵行·月考）在△ABC中，b=2acosC，则△ABC为（A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【题型5射影公式】例1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccosB+bcosC=2asinA，A．30° B．90° C．45° D．60°变式1．（24-25高一下·吉林长春·月考）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，S表示△ABC的面积，若ccosB+bcosC=asinA，A．90° B．60° C．45° D．30°【题型6余弦定理解三角形】例1．（25-26高三上·上海·期中）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于.例2．（25-26高二上·上海·开学考试）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若A=60°, a=19,变式1．（24-25高一下·上海·开学考试）三角形ABC中，a=3，b=4，A=π4，则c=变式2．（24-25高三上·上海·月考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=4、b=5、c=6，则sinA=【题型7余弦定理求角】例1．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，a,b,c是△ABC的三边且满足a2=b2+例2．（2024·上海·模拟预测）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）在△ABC中，(3b−c)cosA=a变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acosC.则角A=【题型8正弦定理与余弦定理实际应用】例1．（23-24高三下·上海·月考）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为60°的直线；假设3：伞柄OT长为60cm，可绕矩形“纸片人”上点O假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，AB=120cm以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到0.1cm(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）例2．（23-24高三上·上海杨浦·月考）如图所示，A，B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向18km处，AB的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A，B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.

(1)当AP=15km时，求∠APB(2)发电厂尽量远离居民区，也即要求△PAB的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站A的距离为多少?变式1．（23-24高一下·上海青浦·月考）如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A作直线往复运动，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，求曲柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转60°时，求活塞从A0移动到A变式2．（24-25高三下·上海宝山·月考）已知三角形花园ABC，顶点A、B、C为花园的三个出入口，满足AB=2076，BC=2061，(1)求三角形花园的面积（精确到1平方米）；(2)若三角形3个内角均小于120∘，到三角形三个顶点距离之和最短的点M必满足MA、MB、MC正好三等分M点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为120∘．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点【题型9三角形面积公式】例1．（2025·上海徐汇·一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=4，b=5．(1)若cos2C=45(2)若内角C的对边c=6，求角A的正弦值及△ABC外接圆的半径R．例2．（25-26高三上·上海松江·期中）在△ABC中，AC=3，3sinA=2sinB，且cosC=变式1．（25-26高三上·上海·开学考试）在△ABC中，角A、B、C对应边为a、b、c，其中b=2．(1)若A+C=2π3，且a=2c(2)若A−C=π12,变式2．（25-26高三上·上海·月考）在△ABC中，a=3(1)求sinB(2)求c以及S△ABC【题型10求三角形的周长】例1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知bsin(1)求B；(2)若c=2a,△ABC的面积为233，求例2．（2025·四川德阳·模拟预测）在△ABC中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且sinA+3cosA=2，(1)求角A；(2)求△ABC的周长.变式1．（2025·上海杨浦·模拟预测）在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知△ABC是一个面积为5的锐角三角形，且a=2,b=3，则△ABC的周长为.变式2．（2024·上海黄浦·二模）在△ABC中，cosA=−513(1)求sinC(2)若AB=4，求△ABC的周长和面积.一、核心基础1.三角形要素：边（对顶角）、内角和、三边关系（其余同理）2.核心原则：大边对大角大角对大边二、核心定理（重点）1.正弦定理公式：（为外接圆半径）变形：；；适用：两角及一边、两边及一边对角（注意多解/无解判断）2.余弦定理公式：（其余边角轮换同理）变形（求角）：（其余同理）适用：两边及夹角、三边、判断三角形形状（用与大小关系）三、面积公式（常用）1.三角公式：（首选）2.其他：、、海伦公式（）四、解三角形类型与步骤1.已知两角及一边：正弦定理求第三角求未知边2.已知两边及夹角：余弦定理求第三边正弦/余弦定理求其余角3.已知三边：余弦定理求三个角4.已知两边及一边对角：先求对角正弦值判断解的个数再求解五、高频考点/易错点1.易错：两边及一边对角忽略多解；边角对应错误；未验证三边关系2.常考结论：；；定边定角（夹角）面积最大值一、单选题1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在△ABC中，a=2bcosC，则△ABC的形状是（

A．直角三角形 B．底边为BC的等腰三角形C．底边为AC的等腰三角形 D．底边为AB的等腰三角形2．（24-25高三上·上海·开学考试）已知△ABC的三边长分别为4、5、7，记△ABC的三个内角的正切值所组成的集合为M，则集合M中的最大元素为（

）A．−265 B．265 3．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（

）A．acosA=B．已知a+b+ca+b−c=3ab，则C．已知a=7，b=43，c=13，则最小内角的度数为D．在a=5，A=60∘，二、填空题4．（2025·上海静安·一模）在△ABC中，将角A,B,C所对边的边长分别记作a,b,c.设b=2c−a.若c=1，cosC=155．（25-26高一上·上海黄浦·月考）如图，在△ABC中；AB=AC，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，若DE//BC, EF//AB,6．（2025·上海浦东新·二模）如图，某建筑物OP垂直于地面，从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰角为45°，已知A、B相距100米，∠AOB=60°，则该建筑物OP高度约为米．（保留一位小数）7．（2024·山西·模拟预测）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且a=1,c=2,∠B=π3，则b=8．（25-26高三上·上海浦东新·期末）△ABC中，A=2π3，b=1，sinC=29．（25-26高三上·上海·期中）在△ABC中，5sinA=7sinB,8sin10．（25-26高三