正方形（第1课时+正方形的性质）（课件）2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册第二十一章四边形21.3.3正方形第一课时

正方形的性质3学习目标15课堂小结习题巩固4知识详解26布置作业典例分析学习目标1.掌握正方形的性质以及正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系．2.让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想．3.能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证．对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形(square).平行四边形有一组邻边相等有一个角是直角正方形既是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形一组邻边相等矩形正方形菱形有一个角是直角正方形正方形平行四边形矩形特殊性质菱形特殊性质性质边对边平行且相等四条边都相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质探究从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.猜想：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.又∵正方形是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义），且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.ABCD探究从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.猜想：正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.证明：在四边形ABCD中，∵正方形是矩形，∴AO=BO=CO=DO.又∵正方形是菱形，∴AC⊥BD.ABCDO

请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？探究从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.正方形是轴对称图形，有___条对称轴.四教材P76例题例1

求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是正方形,

∴AC=BD，AC⊥BD，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO.∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角正形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.如图21.3－31，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC

延长线上一点，连接BE，EF，DF，CE＝CF.证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴

BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°.又∵

CE＝CF，∴△BCE

≌△DCF(SAS).(1)求证：△BCE

≌△DCF；解：∵△BCE

≌△DCF，∠BEC＝60°，∴∠DFC＝60°.∵

CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠CFE＝45°.∴∠EFD＝∠DFC－∠CFE＝60°－45°＝15°.(2)若∠BEC＝60°，求∠EFD

的度数.平行四边形矩形菱形正方形有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一个角是直角(或对角线相等)有一个角是直角(或对角线相等)有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一组邻边相等，有一个角是直角（定义）思考正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系?与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系。思考正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系?与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系。平行四边形矩形菱形正方形

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比类型平行四边形矩形菱形正方形边共性对边平行且相等特性四条边都相等角共性对角相等且邻角互补特性四个角都是直角四个角都是直角对角线共性对角线互相平分特性对角线相等对角线互相垂直对角线相等且互相垂直对称性共性轴对称图形特性2条对称轴2条对称轴4条对称轴总结归纳教材P76-77练习课内练习1.(1)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？(2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？解：（1）如图，由折叠知AB=AD，∠B=∠ADC=90°.∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD

是矩形，且AB=AD，由正方形是有一组邻边相等的矩形可知，四边形ABCD

是正方形.ABDC（2）如（1）所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽.2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ADBCE

3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B,C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ADBCEF解：这两条路等长，即AF=BE，且AF⊥BE.理由如下：设AF与BE交于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADF=90°.又DE=CF，∴AE=DF,∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴BE=AF，∠AEB=∠DFA，∴∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°，∴∠APE=90°，即AF⊥BE.P基础巩固题

B

知识点1

正方形的性质

图（1）图（2）

①依题意补全图（2）；【解】如图.

能力提升题D4.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为(

)5.[2025北京中考]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为________．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF＝45°.又∵BF＝DE，∴△ADE≌△CBF(SAS)．6.[2025广安中考]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；

7.如图，四边形ABCD是正方形，点P在线段AC上，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为线段AC的中点．(1)如图①，当点P在线段AO上时，①易证△ABP≌△ADP(不需要证明)，进而得到PE与PD的数量关系是__________．②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)，进而得到PE与PD的位置关系是__________．PE＝PDPE⊥PD(2)如图②，当点P在线段OC上(点P不与点O，C重合)时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由．解：PE＝PD，PE⊥PD.理由如下：设PE交CD于点F.

∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP.又∵PC＝PC，∴△CBP≌△CDP(SAS)，∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC.∵PB＝PE，∴PE＝PD，∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB.∵∠PFD＝∠CFE，∴180°－∠PFD－∠PDC＝180°－∠CFE－∠PEB，即∠DPF＝∠ECF.∵四边形AB