数学试题卷+答案【高二】安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期第一次联考（10.10-10.11）

一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1．直线y=−1的倾斜角为(),4．两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是()A.A.5．若{,,}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()A．-2,-2,-B．-,,3--36．对于平面内直线方程的一般式为Ax+By+C=0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0,y0)，向量=(A,B)为直线l的法向量，设直线l上任意一点P(x,y)，则.=0，得直线l的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1,0,-1)，向7．已知空间直角坐标系中ΔABC三个顶点坐标分别为A(1,-2,-1),B(1,4,2),C(-1,3,1)，AD是ΔABC边BC上的高，则AD的长为()8．如图，已知ABCD，ABEF均为正方形，二面角C-AB-F的大小为60。，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为().42二、多选题（本题共3小题,每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）,分别为直线l1,l2的方向向量（l1,l2不重合1,分别为平面α,β的法向量(α,β不重合则下列说法中，正确的是()10．已知直线l:-kx+y-1+3k=0(k∈R)过定点Q，则下列说法正确的是()A．直线l过定点Q(3,1)B．若直线l不经过第四象限，则k的取值范围为[0,+∞)C．若直线l在x轴上的截距为－3，则k=D．若直线l分别交x，y轴正半轴于A，B，则当.取得最小值时，直线l的方程为x+y-4=011．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，动点P在正方体底面A1B1C1D1上（包含边界则下列说法正确A．不存在点P，使得CP∥面A1BDB．存在点P，使得AP⊥面A1BDC．若AP=，则点P的轨迹长度为πD．若M为面C1CDD1的中心，则AP＋PM的最小值为2、三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分.）12．已知直线l的一个方向向量为=(2,3)，若l过点A(-4,3)，则直线l的方程为．314．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M在正方体内（包含表面）运动，若CM.AC1点M的轨迹所形成区域的面积为四、解答题（本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15本小题满分13分）(1)求P点坐标.(2)求过点P且与A(2,3)和B(4,—5)距离相等的直线方程.16本小题满分15分）ABBCABBC(1)求BD1的长度；(2)求AC与EF夹角的余弦值．17本小题满分15分）(1)若l1丄l2，求实数a的值；(2)若l1∥l2，求实数a的值.18本小题满分17分）如图，PD丄平面ABCD,AD丄CD,AB//CD,PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点.(1)求证：EF//平面CPM；(2)求平面ABQP与平面CPM夹角的大小；(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离.19本小题满分17分）如图,将△EAB,△ECB,△ECD,△EAD四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE,其中EA=EC，EB=ED，AB=BC=CD=DA.连接AC,BD,过点E作平面α,满足AC/α,BD/α.(1)证明:AC⊥BD.(2)若EA=2，EB=AB=1，且AC=BD.(i)求AC到平面α的距离与BD到平面α的距离的平方和;(ii)求平面AEB与平面α夹角的余弦值.一、单选题二、多选题三、填空题 /3 /38四、解答题15.（1）(3,1)................................5分则2,·、..............................................................................................7分则2222.所以，平面所以，平面ABQP与平面CPM夹角为........................10分22222.则422233,4整理得3λ2—10λ+3=0，解得λ整理得3λ2—10λ+3=0，解得λ=或λ=3，则N到平面CPM的距离为丄l分22所以a=3.分18181）连接EM，因为AB//CD，PQ//CD，所以AB//PQ，又因为AB=PQ，所以PABQ为平行四边形.由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM//AB且EM=AB，因为AB//CD，CD=2AB，F为CD的中点，所以CF//AB且CF=AB，可得可得EM//CF且EM=CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以所以EF//MC，又EF丈平面MPC，CM平面MPC，所以EF//平面MPCMPC...........4分（（2）因为PD丄平面ABCD，AD丄CD，可以建立以D为原点，分别以DA，DA，DC，DP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系标系.=(x,y,z)为平面PMQ的法向量，设=(x1,y1,z1)为平面MPC的法向量，ynn2222λDN.22λDN.n1cosDNn/DN.(1(1分)取AC的中点M,连接BM,DM.因为AB=BC,CD=AD,M为AC的中点,所以BM┴AC,DM┴AC，………(2分)又因为BM∩DM=M,所以AC┴平面BDM.……………(3分)又因为BD⸦平面BDM,所以AC┴BD.………………(4分)(2)(i)连接EM,因为EA=EC,所以EM┴AC,由(1)知AC⊥平面MBD,则E,B,D,ME,B,D,M四点共面.易证△ABC≌△ADC,可得MB=MD,在四边形EBMD中,EB=ED,MB=MD,根据对称性,可知EM垂直平分BD.因为AC//α,BD//α,所以在平面α内存在点F,G,使得EF//AC,EG//BD,则EM⊥EF,EM⊥EG,即EM⊥平面α........................................................................................................................(6分)如图,以E为坐标原点,EF,EG,EM的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系，………(7分)设AC=BD=2r,直线AC到平面α的距离为h1,BD到平面α的距离为h2,则则A(r,0,hA(r,0,h1,),B(0,r,h2)…………(8分)因为EA=2,EB=AB=1,所以 (10分)故AC到平面α的距离与BD到平面α的距离的平方和为5.………