2025北京一六一中高二3月月考数学试题及答案

高中2025北京一六一中高二3月月考数学2025.3班级______学号______姓名______本试卷共2页，共120分．考试时长90分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．1.若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（）A. B.C. D.2.在等差数列中，，则（）A. B. C. D.3.已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，则a1+a3＝（）A.6 B.7 C.8 D.94.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（）A.密码被成功破译的概率为 B.密码被成功破译的概率为C.两人都成功破译的概率为 D.两人都成功破译的概率为5.某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（）A. B. C. D.6.将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值是（）A. B. C.1 D.27.若随机变量，则（）A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.9.68.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（）A. B. C. D.9.记为数列的前n项和.若，则（）A.有最大项，有最大项B.有最大项，有最小项C.有最小项，有最大项D.有最小项，有最小项10.在数列中，，若，则（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．11.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为______．12.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______；______．13.设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差__________.-10114.某新能源汽车购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费用共0.9万元，汽车的保养维修费如下：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．则使用4年该车的总费用（包括购车费用）为______；这种新能源汽车使用______年报废最合算（即该车使用的年平均费用最少）？15.无穷等差数列的各项均为整数，首项为，公差为，3，21，15是其中的三项，给出下列命题：①满足条件的有8个不同的取值；②对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项；③对任意满足条件的，存在，使得30一定是数列中的一项；④存在满足条件的数列，使得对任意的，成立．其中正确命题为______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共4道小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和（3）求数列的前16项的和.17.某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：时长t（小时）人数34334218用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望．18.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：男生女生假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；（3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）19.已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.（1）求椭圆C的方程；（2）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.

参考答案一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．1.【答案】A【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负.根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示.分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为.结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为.故选：A.2.【答案】D【详解】由可得，故，故选：D3.【答案】B【详解】已知数列{an}的前n项之和Sn＝n2+1，所以，所以，所以，所以a1+a3＝7.故选：B【点睛】本题主要考查数列的前n项和与项的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.【答案】B【详解】对于AB，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，所以密码被成功破译的概率为，所以A错误，B正确；对于CD，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，所以两人都成功破译的概率为，所以CD错误.故选：B5.【答案】B【详解】有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球，则同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为，设“该同学爱好羽毛球”为事件，“该同学爱好乒乓球”为事件，则，所以．故选：B.6.【答案】C【详解】由题意可知，，所以．故选：C7.【答案】D【详解】因为，所以，，所以，故选：D.8.【答案】D【详解】甲获得冠军分以下二类：第一类：甲获胜的概率为：；第二类：甲获胜的概率为：；所以甲获胜的概率为，故选：D.9.【答案】A【详解】根据题意，，对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，则当时，取得最大值，所以当时，有最大值为16，所以有最大项.又由可解得，则当时，，当时，，当时，，所以当或8时，最大，则有最大项，有最大项.故选：A.10.【答案】C【详解】因为，，所以，，，，所以数列是以4为周期的周期数列，所以.故选：C二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．11.【答案】0.86【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”，事件为“购买的灯泡是合格品”，则，，，，所以.故答案为：0.86.12.【答案】①.②.【详解】由，，，则，.故答案为：；.13.【答案】【详解】成等差数列，,由变量的分布列，知：，解得，.故答案为：14.【答案】①.②.【详解】设第的总费用为，由题意，可得，当时，可得（万元）；设该车的年平均费用为万元，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为（万元），所以这种新能源汽车试验年报废最合理，年平均费用的最小值为万元.故答案为：；.15.【答案】①②④【详解】由题意，3，15，21是等差数列的三项，若数列是递增数列，则，且因为，所以都是公差的倍数，且是整数，所以可能取值是.同理，若数列是递减数列，则，可能取值是.所以，满足条件的有8个不同的取值，故①正确；因为是6的倍数，所以是公差的倍数，即，所以存在，使得99一定是数列中的一项，故②正确；因为不是6的倍数，若公差，则30不是数列中的一项，故③错误；若，则，化简得，所以，只要，对任意的，成立.故④正确.故答案为：①②④.三、解答题：本大题共4道小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.【答案】（1）（2）（3）160【小问1详解】设等差数列的公差为d，由题可得：，解得，【小问2详解】由（1）知，，所以，【小问3详解】由，所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数，17.【答案】（1）0.4（2）【小问1详解】在3小时内完成各科作业的人数为40，所以在3小时内完成各科作业的概率为；【小问2详解】完成各科作业的总时长在2.5小时内共有7人，其中完成各科作业的总时长在2小时内有3人，若从这7人中随机取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，则，，所以X的分布列为：X0123P.18.【答案】（1）（2）（3）与相互独立【小问1详解】样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．【小问2详解】由题设，的所有可能取值为．估计为；估计为；估