第3讲　空间位置关系的判断与证明

第3讲空间位置关系的判断与证明高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026考点一空间直线、平面位置关系的判定考点二几何法证明空间平行、垂直关系目录索引考点三向量法证明空间平行、垂直关系考点一空间直线、平面位置关系的判定理知识空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交

a∩α=A线面相交、线面平行统称为直线在平面外,记作

a⊄α

1个平行

a∥α0个在平面内

a⊂α无数个关系图形语言符号语言公共点平面与平面平行

α∥β0个相交

α∩β=l无数个链高考(2024全国甲,理10,文11)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题:①若m∥n,则n∥α或n∥β②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,则m∥n④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n其中所有真命题的编号是(

)A.①③

B.②④C.①②③ D.①③④A解析

对于①,若m∥n,若n⊄α且n⊄β,则n∥α且n∥β,若n⊂α,则n∥β,若n⊂β,则n∥α,故①正确;对于②,若n⊥m,则n与α和β不一定垂直,②错误;对于③,若n∥α且n∥β,由线面平行的性质可证明n∥m,③正确;对于④,当n∥α且n∥β,n与α,β所成的角都为0°,此时n∥m,④错误.故选A.例1

(1)(2025天津,4)已知m,n为直线,α,β为平面,则下列说法正确的是(

)A.若m∥α,n⊂α,则m∥nB.若m⊥α,m⊥β,则α⊥βC.若m∥α,m⊥β,则α⊥βD.若m⊂α,α⊥β,则m⊥βC解析

对于A,若m∥α,n⊂α,则m∥n或m,n异面,故A错误;对于B,

,如图,α∥β,故B错误;对于D,

,如图,m∥β,此时m不垂直于β,故D错误.故选C.(2)(多选题)(2025山东潍坊二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为线段A1D1,AB的中点,则(

)A.EF与BC异面 B.EF∥平面CDD1C1C.EF⊥AC

D.BD⊥平面EFC1AC

【对点训练】(多选题)(2025新高考Ⅰ,9)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC中点,则(

)A.AD⊥A1C

B.B1C1⊥平面AA1DC.AD∥A1B1

D.CC1∥平面AA1DBD解析

取B1C1中点D1,连接A1D1,AD,则AD∥A1D1.易知A1D1不垂直于平面AA1C1C,∴A1D1与A1C不垂直,∴AD与A1C不垂直,故A错误;由题可知,B1C1⊥A1D1,B1C1⊥AA1,A1D1∩AA1=A1,A1D1,AA1⊂平面AA1D,∴B1C1⊥平面AA1D,故B正确;∵AD∥A1D1,AD∥平面A1B1C1,A1D1与A1B1相交,∴AD与A1B1异面,故C错误;∵CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1D,AA1⊂平面AA1D,∴CC1∥平面AA1D,故D正确.故选BD.考点二几何法证明空间平行、垂直关系理知识1.线面、面面平行的判定及性质定理(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α;(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b;(3)面面平行的判定定理:a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,a∩b=P⇒α∥β;(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.2.线面、面面垂直的判定及性质定理(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α;(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b;(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒β⊥α;(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.链高考

延伸探究本例条件下,判断在线段CD上是否存在点N,使得FN⊥平面ABFE?说明理由.

考点三向量法证明空间平行、垂直关系理知识设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则(1)线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k为常数).(3)面面平行α∥β⇔u∥v⇔u=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ为常数).(4)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.链高考(2023新高考Ⅰ,18节选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.证明:B2C2∥A2D2.

例3

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA