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文档简介
专题4.2平面向量的线性运算及数量积(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1向量的线性运算】.......................................................................................................................................1
【题型2向量共线定理及其应用】...........................................................................................................................3
【题型3平面向量数量积的运算】...........................................................................................................................4
【题型4平面向量的夹角问题】...............................................................................................................................7
【题型5平面向量的模长问题】...............................................................................................................................8
【题型6向量数量积与其他知识交汇】.................................................................................................................10
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
【题型1向量的线性运算】
1.(2025·四川自贡·三模)在中,是边上的中点,则()
A.B.△𝐴��C𝐴.� � =D.
【答案】A2� � −� � � � −2� � 2� � +� � � � +2� �
【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可.
【解答过程】因为是边上的中点,
所以�,�即�.
故选:� � A+.� � =2� � � � =2� � −� �
2.(2025·辽宁·一模)已知,点D满足,则()
A.△𝐴�B� . � =3� � � � =
C.3𝐴−2��D.3��−2𝐴
3113
2� � −2� � 2� � −2� �
【答案】B
【解题思路】由图形结合向量的加法法则可得.
【解答过程】
.
�故 � 选=:� B � .+� � =� � +3� � =� � +3� � −� � =3� � −2� �
3.(2025·山东临沂·一模)在中,点是的中点,点在上,若,则()
1
△𝐴��𝐴���� � =�� � +3� � �=
A.B.C.D.
1124
6333
【答案】B
【解题思路】由题意,,根据点在上,即可列方程求解.
211
� � =3−�� � +�� � � � =2� � +2� � ���
【解答过程】由题意点是的中点,所以,
11
�𝐴� � =2� � +2� �
又,所以,
11
� � =�� � +3� � � � +� � =�� � +� � +3� �
解得,
2
3
又因为��点=在−�上�,�+�𝐴
���
所以1,解得或(舍去).
�312
2
3−�=��=3�=−3
故选:B.
4.(2025·辽宁·模拟预测)在平行四边形中,,则()
A.𝐴�B�.𝐴=2��,��=��
1525
� � =3� � +6� � � � =3� � +6� �
C.D.
5152
� � =6� � +3� � � � =6� � +3� �
【答案】C
【解题思路】运用平行四边形法则和三角形法则,结合线性运算法则解题即可.
【解答过程】如图,由题意,可知是的中点,
22
� � =2� � � � =3� � =3� � +� � ,���
所以.
111151
� � =2� � +2� � =2� � +3� � +� � =6� � +3� �
故选:C.
【题型2向量共线定理及其应用】
5.(2025·广东茂名·二模)已知向量不共线,且,则实数()
121212
A.3B. � , � C.2 � +� � ∥D3 �. −2 � �=
44
−33−3
【答案】D
【解题思路】根据向量共线,可设,利用向量相等的条件求解即可.
【解答过程】因为向量不共线,2 � 且1+� � 2=�3 � 1−2 � 2,
设 � 1, � 2,即2 � 1+� � 2∥3 � 1−2 � 2,
2 � 1+� � 2=�3 � 1−2 � 22 � 1+� � 2=3� � 1−2� � 2
所以,解得4.
�=−3
2=3�2
�=−2�
故选:D.�=3
6.(2025·江苏南通·三模)已知,为平面内一组基底,,,,
若A,B,D三点共线,则a的值 � 1 为 �( 2 )� � = � 1 +� � 2 � � = � 1 −4 � 2 � � =5 � 1 +4 � 2
A.2B.C.0D.1
【答案】A−2
【解题思路】根据向量的减法运算求出,再由共线向量定理求解即可.
【解答过程】,� � ,
因为与� 共 � 线=, � 1 +� � 2 ,� � =� � −� � =5 � 1 +4 � 2 − � 1 −4 � 2 =4 � 1 +8 � 2 =4 � 1 +2 � 2
故选:� � A.� � ∴�=2
7.(2025·吉林长春·二模)在中,,点E在上,若,则()
→2→→→1→
△𝐴���=3����𝐴=𝐴�+3���=
A.B.C.D.
2456
−3−5−6−7
【答案】C
【解题思路】利用向量的线性运算将用与表示出来,再利用向量共线定理的推理即可得解.
【解答过程】因为,所以𝐴𝐴,��
→2→3
��=3��� � =2� �
则
1111
� � =𝐴 � +3� � =�−� � +3� � −� � =3� � −�+3� �
,
13111
=3×2� � −�+3� � =2� � −�+3� �
因为三点共线,所以,解得.
115
�,�,�2−�+3=1�=−6
故选:C.
8.(2025·黑龙江齐齐哈尔·一模)已知向量不共线,,其中,若
三点共线,则的最小值为() � , � � � =� � + � ,� � = � +� � �>0,�>0�,�,�
A.5�+4�B.4C.3D.2
【答案】B
【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【解答过程】因为三点共线,
�,�,�
所以存在实数k,使,即,
→→
𝐴=���� � + � =� � +� �
又向量不共线,所以,
�=�
� , � ⇒��=1
由,所以1=��,
当且�>仅0当,�>0时�+,4取�等≥号2,4��=4
即的�=最4小�值=为24.
故选�+:4B�.
【题型3平面向量数量积的运算】
9.(2025·山西·三模)已知向量,,均为单位向量,且,则()
� � � � +3 � +2 � =0 � ⋅2 � − � =
A.0B.C.2D.
【答案】D−1−3
【解题思路】由数量积的运算律变形为和,再分别平方后可得.
【解答过程】由, � +3 � +2 � =0, � +3 � =−2 � � +,2 � 有=−3 � ,
222
又由 � +,3 � =−2 � � +6 � ⋅ � +,9 � =4 � 1+6 � ,⋅ � 有+9=4, � ⋅ � =−1
222
故 � +2 � =−3� � +4 � ⋅ � +4. � =9�1+4+4 � ⋅ � =9 � ⋅ � =1
→→→→→→→
�⋅2�−�=2�·�−�·�=−3
故选:D.
10.(2025·福建漳州·模拟预测)已知向量,,且,则()
→→
A.B. � =C.�6,1�=4,−2D.�1/0/� � ⋅�=
【答案】A−10−6
【解题思路】根据平面向量平行的坐标表示计算出的值,可求得数量积.
�
【解答过程】由可得,求得;
→→
�//�−2�−1×4=0�=−2
因此可得.
→→
故选:A.�·�=−2×4+1×−2=−10
11.(2025·河南·模拟预测)在菱形中,,,E为边上的动点(包括端点),F为
π
𝐴��𝐴=1∠𝐴�=3��
的中点,则的取值范围为()
��A.𝐴⋅𝐸B.C.D.
1133
2,10,24,10,4
【答案】D
【解题思路】设,由,,结合数量积的运算律即可求解.
1
2
【解答过程】设𝐴=���,�∈0,1,𝐸=𝐴+��𝐴=�𝐴+��
则� � =�� � ,�∈0,1,
由� 为� =� 的 � 中+点� � , =得� � +�� � =�� � +� � ,
11111
���� � =2� � +2� � =2� � +2� � +� � =� � +2� �
在菱形中,,,
π
𝐴��𝐴=1∠𝐴�=3
所以,,
2π1
∠���=3,|� � |=|� � |=1� � ⋅� � =−2
所以,
122+�123�3
� � ⋅� � =�� � +� � ⋅� � +2� � =�� � +2� � ⋅� � +2� � =4∈0,4
故选:D.
12.(2025·青海·模拟预测)青铜太阳轮,出土于三星堆,距今已有3000多年历史,其状若车轮,现存于
三星堆博物馆.如图,该青铜太阳轮圆周上有5个孔,可看成5个点,记为,,,,,五边形ABCDE
为正五边形,,则()�����
𝐴=25� � ⋅� � =
A.B.C.D.
【答案】A312.56251250625cos36°
【解题思路】解法一:取的中点,连接,则求解;解法二:
𝐴,���� � ⋅� � =� � ⋅(� �进 +行� 求 � 解 ).=� � ⋅� � � � =
【2解� 答� 过⋅c程os】∠�解��法=一5:0取cos36的°中� 点 � ⋅� , � 连=接25×,50cos36°×cos72°
𝐴���
因为,所以在中,,
则��=��△𝐴���⊥𝐴.
解法� � 二⋅:� � 在=正� 五 � 边⋅(形� � +� � 中)=,� � ⋅� � =312,.5,.
𝐴�𝐴∠��,�=108°∠���=36°∠���=72°
� � =2� � ⋅cos∠���=50cos36°,
1250sin36°cos36°cos72°
� � ⋅� � =25×50cos36°×cos72°=sin36°
.
625sin72°cos72°312.5sin144°
=sin36°=sin36°=312.5
故选:A.
【题型4平面向量的夹角问题】
13.(2025·湖北·模拟预测)已知平面向量,设在上的投影向量为,则与的夹
3
角为() � ,�, � =3��− � � −2 � � �
A.B.C.D.
5π2πππ
6336
【答案】A
【解题思路】根据投影向量公式可得,再根据向量夹角公式求解即可.
12
� ⋅ � =−2| � |
【解答过程】在上的投影向量为,即,
3 � − � ⋅ � � 3
� − � � −2 � � ⋅ � =−2 �
所以,则,
� − � ⋅ � 31
22
| � |=−2 � ⋅ � =−2| � |
因为,所以.
� ⋅ � 3
� =3 � cos<