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文档简介

专题4.2平面向量的线性运算及数量积(举一反三专项训练)

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1向量的线性运算】.......................................................................................................................................1

【题型2向量共线定理及其应用】...........................................................................................................................3

【题型3平面向量数量积的运算】...........................................................................................................................4

【题型4平面向量的夹角问题】...............................................................................................................................7

【题型5平面向量的模长问题】...............................................................................................................................8

【题型6向量数量积与其他知识交汇】.................................................................................................................10

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1向量的线性运算】

1.(2025·四川自贡·三模)在中,是边上的中点,则()

A.B.△𝐴��C𝐴.��=D.

【答案】A2��−����−2��2��+����+2��

【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可.

【解答过程】因为是边上的中点,

所以�,�即�.

故选:��A+.��=2����=2��−��

2.(2025·辽宁·一模)已知,点D满足,则()

A.△𝐴�B�.�=3����=

C.3𝐴−2��D.3��−2𝐴

3113

2��−2��2��−2��

【答案】B

【解题思路】由图形结合向量的加法法则可得.

【解答过程】

.

�故�选=:�B�.+��=��+3��=��+3��−��=3��−2��

3.(2025·山东临沂·一模)在中,点是的中点,点在上,若,则()

1

△𝐴��𝐴�����=���+3���=

A.B.C.D.

1124

6333

【答案】B

【解题思路】由题意,,根据点在上,即可列方程求解.

211

��=3−���+�����=2��+2�����

【解答过程】由题意点是的中点,所以,

11

�𝐴��=2��+2��

又,所以,

11

��=���+3����+��=���+��+3��

解得,

2

3

又因为��点=在−�上�,�+�𝐴

���

所以1,解得或(舍去).

�312

2

3−�=��=3�=−3

故选:B.

4.(2025·辽宁·模拟预测)在平行四边形中,,则()

A.𝐴�B�.𝐴=2��,��=��

1525

��=3��+6����=3��+6��

C.D.

5152

��=6��+3����=6��+3��

【答案】C

【解题思路】运用平行四边形法则和三角形法则,结合线性运算法则解题即可.

【解答过程】如图,由题意,可知是的中点,

22

��=2����=3��=3��+��,���

所以.

111151

��=2��+2��=2��+3��+��=6��+3��

故选:C.

【题型2向量共线定理及其应用】

5.(2025·广东茂名·二模)已知向量不共线,且,则实数()

121212

A.3B.�,�C.2�+��∥D3�.−2��=

44

−33−3

【答案】D

【解题思路】根据向量共线,可设,利用向量相等的条件求解即可.

【解答过程】因为向量不共线,2�且1+��2=�3�1−2�2,

设�1,�2,即2�1+��2∥3�1−2�2,

2�1+��2=�3�1−2�22�1+��2=3��1−2��2

所以,解得4.

�=−3

2=3�2

�=−2�

故选:D.�=3

6.(2025·江苏南通·三模)已知,为平面内一组基底,,,,

若A,B,D三点共线,则a的值�1为�(2)��=�1+��2��=�1−4�2��=5�1+4�2

A.2B.C.0D.1

【答案】A−2

【解题思路】根据向量的减法运算求出,再由共线向量定理求解即可.

【解答过程】,��,

因为与�共�线=,�1+��2,��=��−��=5�1+4�2−�1−4�2=4�1+8�2=4�1+2�2

故选:��A.��∴�=2

7.(2025·吉林长春·二模)在中,,点E在上,若,则()

→2→→→1→

△𝐴���=3����𝐴=𝐴�+3���=

A.B.C.D.

2456

−3−5−6−7

【答案】C

【解题思路】利用向量的线性运算将用与表示出来,再利用向量共线定理的推理即可得解.

【解答过程】因为,所以𝐴𝐴,��

→2→3

��=3����=2��

1111

��=𝐴�+3��=�−��+3��−��=3��−�+3��

13111

=3×2��−�+3��=2��−�+3��

因为三点共线,所以,解得.

115

�,�,�2−�+3=1�=−6

故选:C.

8.(2025·黑龙江齐齐哈尔·一模)已知向量不共线,,其中,若

三点共线,则的最小值为()�,���=��+�,��=�+���>0,�>0�,�,�

A.5�+4�B.4C.3D.2

【答案】B

【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.

【解答过程】因为三点共线,

�,�,�

所以存在实数k,使,即,

→→

𝐴=�����+�=��+��

又向量不共线,所以,

�=�

�,�⇒��=1

由,所以1=��,

当且�>仅0当,�>0时�+,4取�等≥号2,4��=4

即的�=最4小�值=为24.

故选�+:4B�.

【题型3平面向量数量积的运算】

9.(2025·山西·三模)已知向量,,均为单位向量,且,则()

����+3�+2�=0�⋅2�−�=

A.0B.C.2D.

【答案】D−1−3

【解题思路】由数量积的运算律变形为和,再分别平方后可得.

【解答过程】由,�+3�+2�=0,�+3�=−2��+,2�有=−3�,

222

又由�+,3�=−2��+6�⋅�+,9�=4�1+6�,⋅�有+9=4,�⋅�=−1

222

故�+2�=−3��+4�⋅�+4.�=9�1+4+4�⋅�=9�⋅�=1

→→→→→→→

�⋅2�−�=2�·�−�·�=−3

故选:D.

10.(2025·福建漳州·模拟预测)已知向量,,且,则()

→→

A.B.�=C.�6,1�=4,−2D.�1/0/��⋅�=

【答案】A−10−6

【解题思路】根据平面向量平行的坐标表示计算出的值,可求得数量积.

【解答过程】由可得,求得;

→→

�//�−2�−1×4=0�=−2

因此可得.

→→

故选:A.�·�=−2×4+1×−2=−10

11.(2025·河南·模拟预测)在菱形中,,,E为边上的动点(包括端点),F为

π

𝐴��𝐴=1∠𝐴�=3��

的中点,则的取值范围为()

��A.𝐴⋅𝐸B.C.D.

1133

2,10,24,10,4

【答案】D

【解题思路】设,由,,结合数量积的运算律即可求解.

1

2

【解答过程】设𝐴=���,�∈0,1,𝐸=𝐴+��𝐴=�𝐴+��

则��=���,�∈0,1,

由�为�=�的�中+点��,=得��+���=���+��,

11111

�����=2��+2��=2��+2��+��=��+2��

在菱形中,,,

π

𝐴��𝐴=1∠𝐴�=3

所以,,

2π1

∠���=3,|��|=|��|=1��⋅��=−2

所以,

122+�123�3

��⋅��=���+��⋅��+2��=���+2��⋅��+2��=4∈0,4

故选:D.

12.(2025·青海·模拟预测)青铜太阳轮,出土于三星堆,距今已有3000多年历史,其状若车轮,现存于

三星堆博物馆.如图,该青铜太阳轮圆周上有5个孔,可看成5个点,记为,,,,,五边形ABCDE

为正五边形,,则()�����

𝐴=25��⋅��=

A.B.C.D.

【答案】A312.56251250625cos36°

【解题思路】解法一:取的中点,连接,则求解;解法二:

𝐴,�����⋅��=��⋅(��进+行�求�解).=��⋅����=

【2解�答�过⋅c程os】∠�解��法=一5:0取cos36的°中�点�⋅�,�连=接25×,50cos36°×cos72°

𝐴���

因为,所以在中,,

则��=��△𝐴���⊥𝐴.

解法��二⋅:��在=正�五�边⋅(形��+��中)=,��⋅��=312,.5,.

𝐴�𝐴∠��,�=108°∠���=36°∠���=72°

��=2��⋅cos∠���=50cos36°,

1250sin36°cos36°cos72°

��⋅��=25×50cos36°×cos72°=sin36°

625sin72°cos72°312.5sin144°

=sin36°=sin36°=312.5

故选:A.

【题型4平面向量的夹角问题】

13.(2025·湖北·模拟预测)已知平面向量,设在上的投影向量为,则与的夹

3

角为()�,�,�=3��−��−2���

A.B.C.D.

5π2πππ

6336

【答案】A

【解题思路】根据投影向量公式可得,再根据向量夹角公式求解即可.

12

�⋅�=−2|�|

【解答过程】在上的投影向量为,即,

3�−�⋅��3

�−��−2��⋅�=−2�

所以,则,

�−�⋅�31

22

|�|=−2�⋅�=−2|�|

因为,所以.

�⋅�3

�=3�cos<�,�>=�⋅�=−2

故选:A.

14.(2025·全国·模拟预测)已知向量,,则()

�=2,0�−�=3,−3cos�−2�,�=

A.B.C.D.

37277

【答案】C−5577

【解题思路】根据已知向量,,利用向量减法求出和,再通过点积计算求

出,通过模长计�算=求2出,0�−�和=3,,−利用3向量夹角的余弦公式��−2�求解.

�−2�⋅�

【解�答−过2程�】⋅��−2�,�cos�−2�,�=�−2�⋅�

∵�=2,0,�−�=3,−3.

∴�=�−�−�=2−3,0−−3=−1,3

.

∴2�=−2,23.

∴�−2�=2,0−−2,23=4,−23.

∴�−2�⋅�=4,−23⋅2,0=4×2+−23×0=8

.

2

222

∴�=2+0=2,�−2�=4+−23=28=27

.

�−2�⋅�827

∴cos�−2�,�=�−2�⋅�=27⋅2=7

故选:C.

15.(2025·河北唐山·模拟预测)非零向量,满足,与垂直,则与的夹角为

→→→→→→→→→→

()���=2��−5�2�+3���

A.B.C.D.

��2�5�

6336

【答案】C

【解题思路】根据向量垂直数量积为零可求得与的关系式,即可求得夹角.

【解答过程】易知,即�·��;

22

又,所以�−5�⋅2�+3�,=即02�+3;�⋅�−10�⋅�−15�=0

22

�=2�−7�⋅�−7�=0�·�=−�

因此2,

�·�−�1

2

cos�,�=��=2�=−2

又,所以所求夹角为.

�,�∈0,π3

故选:C.

16.(2025·安徽·模拟预测)已知平面向量满足且在方向上的投影向量为,则

与夹角的余弦值大小为()�,��=(1,2),|�|=1��2��

A.B.C.D.

43525

【答案】D5555

【解题思路】根据投影向量求得,进而求夹角余弦值.

→→

�·�

【解答过程】因为在方向上的投影向量为,所以→→→,

→→→�·��→

→→

��2��·�=2�

所以,所以→→,

→→→→�·�225

→→

�·�=2cos�,�==1+4·1=5

故选:D.��

【题型5平面向量的模长问题】

17.(2025·河北沧州·模拟预测)已知两两不共线的三个平面向量满足:,使得

,则()�,�,��=3,�=4,�=5

5�⋅�=3�⋅�=4�⋅�=��+�+�=

A.3B.C.D.

106

【答案】B3972

【解题思路】设,求得,得到两两

的夹角相等,且5为�⋅�,=结3合�⋅向�量=数4�量⋅积�=的�运算律,co即s可<求�,解�>.=cos<�,�>=cos<�,�>�,�,�

【解答过程】设3,因为,

则5�⋅�=3�⋅�=4�⋅�=��=3,�=4,�=5,

������

cos<�,�>=5��=60,cos<�,�>=3��=60,cos<�,�>=4��=60

又因为向量夹角的范围为,所以两两的夹角相等,且为,

0,π�,�,�3

所以.

22222π2π2π

故选:�B+.�+�=(�+�+�)=3+4+5+24cos3+40cos3+30cos3=3

18.(2025·河北沧州·一模)已知向量.若,则()

A.B.5��=�C.,2,��=2,−1�D�.//4�5���=

【答案】A535

【解题思路】利用向量平行的坐标运算得出,再根据向量线性运算的坐标表示以及求模公式计算.

【解答过程】由题意可得,�,=得−4,则,

所以�×−1=2×2,�则=−4��=−4,2.

22

故选:��A=.��+��=−4,2+2,−1=−2,1��=(−2)+1=5

19.(2025·山东临沂·三模)在平行四边形中,,,,为边上一点,若

,则线段的长为()𝐴��𝐴=3��=2∠���=60���

��⊥����

A.B.C.3D.

21

【答案】A2523

【解题思路】利用向量垂直则数量积为0,求出,再平方求向量的模即可.

1

6

【解答过程】设,如图,��=��+𝐴

��=��+���

因为,

所以��⊥��,

22

即��⋅��=��+�����−�,�解=得��−,���+�−1��⋅��=0

11

4−9�+�−1×3×2×2=0�=6

所以,

1

��=��+6��

2

1212111121

63634322

故��选:=A.��+𝐴=��+𝐴+��⋅𝐴=4++×3×2×=

20.(2025·云南昭通·模拟预测)已知向量满足,记

,则的取值范围是()�,�,��=3,�=1,�−�=7,�=2�−��=���∈

�A.�−�B.C.D.

【答案】B2,+∞23−2,+∞−∞,23+223−2,23+2

【解题思路】根据向量的模长公式可得,进而建立直角坐标系,根据坐标运算可得点的轨迹,

π

<�,�>=3�

进而根据点到直线的距离公式求解.

【解答过程】因为,所以.又,

22

所以�−�=7,解得�−2�⋅�+�=.7因为�=3,�,=1

1

9−6cos<�,�>+1=7cos<�,�>=2�,�∈0,π

所以.

π

建立如<图�,�所>示=的3直角坐标系,

设𝑥�,

13

22

因为�=��=3,0,,�所=以��=,,�=��=�,�,整理得,

222222

即点�的=轨2迹�是−:�圆心为�+,�半=径2为(2�的−圆3).+�(�−4)+�=4

设�,则点�在4,0直线上运动,则,

令点�=到�直�线=𝑥的�距离为�,则���−�=��−��=��,无最大值,

π

����|��|min=�−�=��⋅sin3−2=23−2

故选:B.

【题型6向量数量积与其他知识交汇】

21.(2025·四川乐山·三模)已知等腰三角形中,,,,,,

那么()𝐴�∠���=120°𝐴=��=1��=���=���=�

A�.⋅�+�⋅�+�⋅�B=.C.D.

5577

2−22−2

【答案】B

【解题思路】解法一:由余弦定理求出,再由数量积的定义求解即可;解法二:由余弦定理

求出,再由可得��∠𝐴�,∠�𝐴,,代入求解即可得出答案

222.

2�+�+�

【解答�过�程】解法�+一�:+由�余弦=定0理可知�⋅:�+�⋅�+�⋅�=−2,

22

所以,��=𝐴+��−2𝐴⋅��cos∠���=3

;∠𝐴�=∠�𝐴=30°�⋅�+�⋅�+�⋅�=3×1×cos150°+1×1×cos60°+3×1×cos150°=−

5

解2法二:由余弦定理可知,

22

因为,则��=𝐴+�,�−2𝐴⋅��cos∠���=3

2

所以�+�+�=0�+�+�=0,

222

即�+�+�+2�⋅�+2�⋅�+2�,⋅�=0

222

�+�+�5

故选�⋅:�B+.�⋅�+�⋅�=−2=−2

22.(2025·四川广安·模拟预测)已知,,,,则函数

的值域是()�=2�=1�,�=��+2�+�−2�=����

A.B.

C.4,25D.3,25

【答案】C4,423,42

【解题思路】由题知,再根据向量的模长公式可得,接着利用

二倍角公式化简可得�⋅�=2cos�,继而可得到值域.��=8+8cos�+8−8cos�

【解答过程】��,=41+sin,�

则∵�,�=�∴�∈0,,π,

��

sin�∈0,1,sin2≥0,cos2≥0�⋅�=��cos�=2cos�

22

2222

��=�+2�+�−2�=�+4�+4�⋅�+�+4�−4�⋅�

2�2�

=8+8cos�+8−8cos�=8+82cos−1+8−81−2sin

22

.

����2

故=选4c:osC2.+4sin2=4cos2+sin2=41+sin�∈4,42

23.(2025·江苏镇江·模拟预测)已知A,B,C是函数的图象上的三点,且A在x轴上,

2

轴,,则()�(�)=log���∥�

15

��=4��⋅��=

A.B.C.D.

251575

444−4

【答案】C

【解题思路】首先画出图象确定点的坐标,然后根据轴设出的坐标,根据绝对值的对称性求出它

们的坐标,然后利用向量的数量积�坐标公式可求出结果��.//��,�

【解答过程】根据函数的解析式画出图象为:

因为点在轴上,所以.

���1,0

因为,所以设,则.

151515

��=4��,log2���+4,log2�+4

根据绝对值函数的对称性,,所以,

151

2215

log�=−log�+4�=�+4

化简得:,解得(舍去)或.

21

4�+15�−4=0�=−4�=4

所以,.

1

�4,2�4,2

所以,.

→3→

𝐴=−4,2��=3,2

所以.

→→37

故选:𝐴C·�.�=−4×3+2×2=4

24.(2025·安徽合肥·模拟预测)如图,在中,为上一点,且满足

π

△𝐴�∠���=3,��=��,�����=���+

,若,则的最小值是()

1

3���△𝐴�=23��

A.2B.4C.D.

268

【答案】C33

【解题思路】设,从而得到,结合已知有,应用三角形面积公

121

��=�����=2���+1−����=3,�=3

式得,最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.

【解答�过�程⋅】�设�=8,则

11

��=�����=��+��=��+���=��+�2��−��=2���+1−���=

1

3��+���

所以,解得,

11

21

2�=3

�=3,�=3

�=1−�,则,

13

�△𝐴�=2��⋅��sin∠���=4��⋅��=

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