2025届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试数学学试题（含答案）

2025年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABCBCBD命题说明：1．说明：本题改编自人教A版必修第一册10页例1．2．说明：本题改编自人教A版必修第二册71页例2．3．说明：本题改编自人教A版必修第二册60页第8题．4．说明：本题改编自人教A版必须第一册229页第9题．5．说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第6题．6．说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册129页第13题．7．说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第13题．8．说明：本题改编自人教A版必修第二册119页例4．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号9答案ABDACAD命题说明：9．说明：本题改编自人教A版选择性必修第三册112页思考．10．说明：本题改编自人教A版必修第一册250页阅读与思考．11．说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册116页第11题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。命题说明：12．说明：本题改编自人教A版选择性必修第三册35页第6题．13．说明：本题改编自人教A版选择性必修第二册31页第3题．14．说明：本题改编自《趣味数学100题》．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，c2=a2+b2-ab，cos2B=sinC．（1）求B；（2）若b=1，求△ABC的面积．【命题说明】本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第15题.【参考答案】（1）由余弦定理推论cosC及c2=a2+b2-ab得……………1分cosC，…………………………2分由于C∈(0,π)，……………………3分则C=，…………………………4分又因为cos2B=sinC，且B∈(0,)，……………………5分所以2B则B．…………6分（2）解法1由（1）可知A=，………………7分且sinB=sinsin，………8分sinA=sinsin，…………9分由正弦定理……………10分得a，…………………11分所以SabsinC．……………13分解法2由（1）AB，………………………7分所以sinB=-cosA，………………8分由正弦定理：，………………9分sinBsinB43SabsinC．…………………13分解法3如图，过点A作AD丄AC交BC于D，…………………7分由于A=，则上DAB=上B=，……………8分所以AD=DB=，CD=2，…………………10分a=2+，………………………11分AA`、`、`、`、`、`、BDC1615分）的中点．A（2）若BB1=6，求直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值．AB1DEACB【命题说明】本题改编自2023年新高考全国Ⅰ卷第18题.【参考答案】（1）取BC中点M，连接AM，ME，…………1分因为AB=AC，所以AM丄BC，…………………2分由于点E为正方形B1BCC1对角线的交点，E为BC1的中点，所以EM为△BCC1的中位线，所以EM//CC1//AD，……………………3分又EMCCAA1=AD，所以四边形AMED为平行四边形，………………4分又因为AA1丄平面ABC，AM平面ABC，则AA1丄AM，EM丄AM，…5分由于EM,BC平面B1BCC1，EM∩BC=M，所以AM丄平面B1BCC1，…6分又因为DE//AM，所以DE丄平面B1BCC1．……………………7分（2）解法1由（1）可知：MA，MC，ME两两垂直，如图，以M为坐标原点，以MC所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，ME所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，……………8分=6，……………9分=(3,,6)，……………………11于是，即，………13分→令z=1，则n=(1,0,1)，…………14分设直线A1B与平面DBC1所成角为θ,即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为.……………………15分AC=6，……………8分如图，连接B1E，由（1DE丄平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，则DE丄BC1，………9分又因为BB1=B1C1，四边形B1BCC1为正方形，E为BC1的中点，B1E丄BC1，……………10分由于B1E∩DE=E，B1E，DE平面B1DE，则BC1丄平面B1DE，………11分则NH丄BC1，又因为DE∩BC1=E，DE,BC1平面DBC1，则NH丄平面DBC1，…………12分所以上NBH即为直线A1B与平面DBC1所成角，由于△A1DN~ΔBB1N，则，………………13分由于DE丄B1E，则H为DE的三等分点，则NHB1ENB于是sin上NAH，……………………14分即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为.……………15分解法3设直线A1B与平面DBC1所成角为θ,点A1到平面DBC1的距离为h，则sin，…………………………8分过B作BQ丄CA交CA的延长线于Q，易得BQ=3，…………10分且易证BQ丄平面A1ACC1，………………………11分由于S△A1DC则VB—A1DC，……………13分 48 481715分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲每局比赛的结果是独立的．（1）当p=时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得—2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．【命题说明】本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第18题.【参考答案】（1）记“甲最终以2:1获胜”为事件A，记“甲最终以2:0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C，……………1分于是C=AUB，A与B为互斥事件，……………2分由于P=Cp.p.，………………3分P=p，……………………4分则P(C)=P(A)+P(B)=3p2—2p3=，……………………5分即甲最终获胜的概率为.………………………6分（2）由（1）可知，P(C)=P(A)+P(B)=3p2-2p3，………7分若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3，-2，………………8分P(X=3)=P(C)=3p2-2p3，P(X=-2)=1-3p2+2p3，…………………9分则X的分布列为：X3-2p3p2-2p31-3p2+2p3则E(X)=9p2-6p3-2+6p2-4p3=-10p3+15p2-2，……10分若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1，0，…………………11分P(Y=1)=P(C)=3p2-2p3P(Y=0)=1-3p2+2p3，………12分则Y的分布列为：Y10p3p2-2p31-3p2+2p3则E(Y)=3p2-2p3，……………13分所以E-E=-8p3+12p2-2=-4由于0<p<1，则2p2-2p-1=2p(p-1)-1<0，……………14分【14分段：设f(p)=-8p3+12p2-2，0<p<1，利用f'(p)=-24p2+24p=-24p(p-1)>0，则f(p)在(0,1)上单调递增，且f于是p时，两种方案都可以选，当时，E(X)<E(Y)，应该选第二种方案，当p<1时，E(X)>E(Y)，应该选第一种方案.…………15分1817分）已知抛物线y2=2x，过点N(2,0)作两条直线l1,l2分别交抛物线于A,B和C,D（其中A,C在x轴上方（1）当l1垂直于x轴，且四边形ACBD的面积为4，求直线l2的方程；（2）当l1,l2倾斜角互补时，直线AC与直线BD交于点M，求△MAB的内切圆的圆心横坐标的取值范围．【命题说明】本题改编自2014年全国大纲卷第21题.【参考答案】2则|x1-x2|=2，………………………2分由于k，则k2x2-(4k2+2)x+4k2=0，则，……… +)2-16=20，…………………4分则4+=6，则k=±1，…………5分所以直线l2的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.………………6分解法2设l2:x=ty+2，倾斜角为α,由对称性知l2有两条，且关于l1对称，………………1分2由于→y，……………3分tt=0，…………5分所以直线l2的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.………………6分（2）解法1设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，因为kAB，同理：kCDkACkBD，…………7分所以AB:y-yAB:(y1+y2)y-y1y2=2x，CD:(y3+y4)y-y3y4=2x，AC:(y1+y3)y-y1y3=2x，BD:(y2+y4)y-y2y4=2x，……………8分又因为kAB=-kCD，直线AB和直线CD交于点N(2,0)，所以且-y1y2=-y3y4=4，即，……9分y，且y1≠y3，化简得：y1y3=4，于是y3=-y2，y4=-y1，……………10分所以所以则，解得{2，所以点M(-2,0)，………………11分由于y4=-y1，则x4=x1，所以kMDkMA，则x轴平分LAMB，…………12分 2-n)2))2)24y12(y2y12)-42)-4y11+22)-4)-4y12y1,………14分由于y+>8，当且仅当y=4取等号（舍……………15分则，…………………16分则0<n<3-，n∈(0,3-).………………17分88解法2点M(-2,0)证明同解法1；………………11分设VMAB的内切圆圆心Q(n,0)，-2<n<2，设定点N(2,0)，由于MQ=2+n，NQ=2-n，设半径为r，……………12分sin=sin，………………13分那么，………14分设fx1>0，……………15分由于x，当且仅当x1=2取等号（舍则，…………16分则0<n<3-，则n∈(0,3-).……………17分【13~14分段：在VAMN中，由角平分线定理：1917分）（2）证明：“存在k∈N*，使得ak=0”是“{an}是周期为3的数列”的必要不充分条件；（3）若a1≠a2，是否存在数列{an}，使得an<2025恒成立？若存在，求出一组a1,a2的值；若不存在，请说明理由．【命题说明】本题改编自2006年北京卷第20题【参考答案】解1）因为an=|an+1-an+2|对任意n∈N*成立;2-a3|，所以1=|a2-2|，则a2=1或3，……1分244=1或3，………2分24=-1或5，…………………3分5-a6|>0，综上所述：a4=1或3或5．……………4分必要性：若{an}是周期为3的周期数列，a3=a1+a2或a2-a1，……………5分2时，数列{an}前5项为：x,y,x+y,x,y，|x-y|，该式当且仅当x=0或y=0时成立，与a1,a2为正整数矛盾；…………………6分2-a1时，数列{an}前5项为：x,y,y-x,x,y，23-a4|得y=|y-2x|，则y=2x-y或y=y-2x(舍，此时x=0)，因此x=y，a3=0，此时数列{an}：x,x,0,x,x,0,x,x,0,…，存在k∈N*，使得ak=0，………7分此时数列{an}不是周期数列，…………8分综上，“存在k∈N*，使得ak=0”是“{an}是周期为3的周期数列”的必要不充分条件．………………………9分（3）不存在，理由如下：|等价于an，…………………10分首先说明不存在k∈N*，使得ak=0，否则由ak-2=|ak-1-ak|得ak-2=ak-1记为w，所以ak-3=|ak-2-ak-1|=0，ak-4=|ak-3-ak-2|=w，ak-5=|ak-4-ak-3|=w，依此类推得前k项为…,w,0,w,w,0,w,w,0(第k项)，则a1,a2要么相等，要么有一项为0，矛盾，*成立，………………………11分其次，不存在k∈N*，使得ak+2=ak+1-ak以及ak+3=ak+2-ak+1同时成立，否则两式相加得ak+3=-ak，矛盾．……………………12分（i）若(*)式只对有限个正整数n才成立，不妨设当且仅当n∈{p1,p2,…,pk}时(*)式成立，由此易知当n≥pk+1，an≥n-pk，因此数列{an}是无界数列，…………………13分（ii）若存在无限个正整数n使得(*)式成立，不妨设当且仅当n∈{i1,i2,…,ik,…}时(*)式成立，2kapp-1-ap-2，ap+1=ap+ap-1，若j>2，则ap+2=ap+1+ap，…,ap+j-1=ap+j-2+ap+j-3，ap+j=ap+j-1-ap+j-2，…<ap+j-2<ap+j-1，此时ap+j-1=ap+j+ap+j-2≥1+ap+j-2≥1+ap+1≥ap-1+2，…………15分无论哪种情况总有ap+j-1≥ap-1+1成立，即aim+1-1≥aim-1+1恒成立，………16分+1恒成立，由此易得数列{an}是无界数列，所以，存在n∈N*使得an≥2025，故不存在符合题意的a1,a2．……………17分2025年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABCBCBD命题说明：1．说明：本题改编自人教A版必修第一册10页例1．2．说明：本题改编自人教A版必修第二册71页例2．3．说明：本题改编自人教A版必修第二册60页第8题．4．说明：本题改编自人教A版必须第一册229页第9题．5．说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第6题．6．说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册129页第13题．7．说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第13题．8．说明：本题改编自人教A版必修第二册119页例4．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号9答案ABDACAD命题说明：9．说明：本题改编自人教A版选择性必修第三册112页思考．10．说明：本题改编自人教A版必修第一册250页阅读与思考．11．说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册116页第11题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。命题说明：12．说明：本题改编自人教A版选择性必修第三册35页第6题．13．说明：本题改编自人教A版选择性必修第二册31页第3题．14．说明：本题改编自《趣味数学100题》．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，c2=a2+b2-ab，cos2B=sinC．（1）求B；（2）若b=1，求△ABC的面积．【命题说明】本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第15题.【参考答案】（1）由余弦定理推论cosC及c2=a2+b2-ab得……………1分cosC，…………………………2分由于C∈(0,π)，……………………3分则C=，…………………………4分又因为cos2B=sinC，且B∈(0,)，……………………5分所以2B则B．…………6分（2）解法1由（1）可知A=，………………7分且sinB=sinsin，………8分sinA=sinsin，…………9分由正弦定理……………10分得a，…………………11分所以SabsinC．……………13分解法2由（1）AB，………………………7分所以sinB=-cosA，………………8分由正弦定理：，………………9分sinBsinB43SabsinC．…………………13分解法3如图，过点A作AD丄AC交BC于D，…………………7分由于A=，则上DAB=上B=，……………8分所以AD=DB=，CD=2，…………………10分a=2+，………………………11分AA`、`、`、`、`、`、BDC1615分）的中点．A（2）若BB1=6，求直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值．AB1DEACB【命题说明】本题改编自2023年新高考全国Ⅰ卷第18题.【参考答案】（1）取BC中点M，连接AM，ME，…………1分因为AB=AC，所以AM丄BC，…………………2分由于点E为正方形B1BCC1对角线的交点，E为BC1的中点，所以EM为△BCC1的中位线，所以EM//CC1//AD，……………………3分又EMCCAA1=AD，所以四边形AMED为平行四边形，………………4分又因为AA1丄平面ABC，AM平面ABC，则AA1丄AM，EM丄AM，…5分由于EM,BC平面B1BCC1，EM∩BC=M，所以AM丄平面B1BCC1，…6分又因为DE//AM，所以DE丄平面B1BCC1．……………………7分（2）解法1由（1）可知：MA，MC，ME两两垂直，如图，以M为坐标原点，以MC所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，ME所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，……………8分=6，……………9分=(3,,6)，……………………11于是，即，………13分→令z=1，则n=(1,0,1)，…………14分设直线A1B与平面DBC1所成角为θ,即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为.……………………15分AC=6，……………8分如图，连接B1E，由（1DE丄平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，则DE丄BC1，………9分又因为BB1=B1C1，四边形B1BCC1为正方形，E为BC1的中点，B1E丄BC1，……………10分由于B1E∩DE=E，B1E，DE平面B1DE，则BC1丄平面B1DE，………11分则NH丄BC1，又因为DE∩BC1=E，DE,BC1平面DBC1，则NH丄平面DBC1，…………12分所以上NBH即为直线A1B与平面DBC1所成角，由于△A1DN~ΔBB1N，则，………………13分由于DE丄B1E，则H为DE的三等分点，则NHB1ENB于是sin上NAH，……………………14分即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为.……………15分解法3设直线A1B与平面DBC1所成角为θ,点A1到平面DBC1的距离为h，则sin，…………………………8分过B作BQ丄CA交CA的延长线于Q，易得BQ=3，…………10分且易证BQ丄平面A1ACC1，………………………11分由于S△A1DC则VB—A1DC，……………13分 48 481715分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲每局比赛的结果是独立的．（1）当p=时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得—2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．【命题说明】本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第18题.【参考答案】（1）记“甲最终以2:1获胜”为事件A，记“甲最终以2:0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C，……………1分于是C=AUB，A与B为互斥事件，……………2分由于P=Cp.p.，………………3分P=p，……………………4分则P(C)=P(A)+P(B)=3p2—2p3=，……………………5分即甲最终获胜的概率为.………………………6分（2）由（1）可知，P(C)=P(A)+P(B)=3p2-2p3，………7分若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3，-2，………………8分P(X=3)=P(C)=3p2-2p3，P(X=-2)=1-3p2+2p3，…………………9分则X的分布列为：X3-2p3p2-2p31-3p2+2p3则E(X)=9p2-6p3-2+6p2-4p3=-10p3+15p2-2，……10分若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1，0，…………………11分P(Y=1)=P(C)=3p2-2p3P(Y=0)=1-3p2+2p3，………12分则Y的分布列为：Y10p3p2-2p31-3p2+2p3则E(Y)=3p2-2p3，……………13分所以E-E=-8p3+12p2-2=-4由于0<p<1，则2p2-2p-1=2p(p-1)-1<0，……………14分【14分段：设f(p)=-8p3+12p2-2，0<p<1，利用f'(p)=-24p2+24p=-24p(p-1)>0，则f(p)在(0,1)上单调递增，且f于是p时，两种方案都可以选，当时，E(X)<E(Y)，应该选第二种方案，当p<1时，E(X)>E(Y)，应该选第一种方案.…………15分1817分）已知抛物线y2=2x，过点N(2,0)作两条直线l1,l2分别交抛物线于A,B和C,D（其中A,C在x轴上方（1）当l1垂直于x轴，且四边形ACBD的面积为4，求直线l2的方程；（2）当l1,l2倾斜角互补时，直线AC与直线BD交于点M，求△MAB的内切圆的圆心横坐标的取值范围．【命题说明】本题改编自2014年全国大纲卷第21题.【参考答案】2则|x1-x2|=2，………………………2分由于k，则k2x2-(4k2+2)x+4k2=0，则，……… +)2-16=20，…………………4分则4+=6，则k=±1，…………5分所以直线l2的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.………………6分解法2设l2:x=ty+2，倾斜角为α,由对称性知l2有两条，且关于l1对称，………………1分2由于→y，……………3分tt=0，…………5分所以直线l2的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.………………6分（2）解法1设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，因为kAB，同理：kCDkACkBD，…………7分所以AB:y-yAB:(y1+y2)y-y1y2=2x，CD:(y3+y4)y-y3y4=2x，AC:(y1+y3)y-y1y3=2x，BD:(y2+y4)y-y2y4=2x，……………8分又因为kAB=-kCD，直线AB和直线CD交于点N(2,0)，所以且-y1y2=-y3y4=4，即，……9分y，且y1≠y3，化简得：y1y3=4，于是y3=-y2，y4=-y1，……………10分所以所以则，解得{2，所以点M(-2,0)，………………11分由于y4=-y1，则x4=x1，所以kMDkMA，则x轴平分LAMB，…………12分 2-n)2))2)24y12(y2y12)-42)-4y11+22)-4)-4y12y1,………14分由于y+>8，当且仅当y=4取等号（舍……………15分则，…………………16分则0<n<3-，n∈(0,3-).………………17分88解法2点M(-2,0)证明同解法1；………………11分设VMAB的内切圆圆心Q(n,0)，-2<n<2，设定点N(2,0)，由于MQ=2+n，NQ=2-n，设半径为r，……………12分sin=sin，………………13分那么，………14分设fx1>0，……………15分由于x，当且仅当x1=2取等号（舍则，…………16分则0<n<3-，则n∈(0,3-).……………17分【13~14分段：在VAMN中，由角平分线定理：1917分）（2）证明：“存在k∈N*，使得ak=0”是“{an}是周期为3的数列”的必要不充分条件；（3）若a1≠a2，是否存在数列{an}，使得an<2025恒成立？若存在，求出一组a1,a2的值；若不存在，请说明理由．