2025届四川省高三下学期第一次教学质量联合测评数学+答案

四川省2025届高三第一次教学质量联合测评

数学

(考试时问：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答题前、务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，

2.曲答选择题时，选由每小题答案后，用钻笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用穆皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

第I卷(选择题，共58分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给由的四个选项中，只有一项是最

符合题目要求的.)

1、已知集合A={a|1≤r≤10},B={x|x=3k-1,k∈NY,则A∩B=()

A.(1,3,5,7,9}B.{2,5,8}C.{1,4,7,10}D.{1,2,4,5,7,8,10}

2.已知复数z=2-bi,若z²为纯虚数，则b=()

A.0B.±1C.±2D.±3

区

3.从小到大排列的一组数据1,2,4,x,7,9的中位数等于平均数，则x=()

A.4.5B.5C.5.5D.6

4.已知{an}为等比数列，若a₄+a₅=8(a₁+a₂),且a₁+az+a₃=7,则az=()

A.1B.2C.4D.8

5.函数f(x)=x(x²-2)+1,若f(a)=-1,则f(-a)=()

A.-3B.-1C.0D.3

6.已知a,b为正实数，则“ab>1”是“a+b>2”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

女C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,M是C上一点，P,Q分别是

MF₁,MF₂的中点，O为坐标原点，若O|P|²+|0QI²=a²-b²,且四边形OPMQ的面积为

C的短轴长为()

A,2B.2√3C,2√5D、4√2

8.已知实数a,b,c,且a>b,若2°·34-+3-b=1+2,则()

A.b>c,2b≥a+cB.b<c,2b≤a+cC,b>c,2b≤a+cD.b<c,2b≥a+c

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二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.已知随机变量X的分布列如下，则()

X1234

P4p3p2pp

C

A.p=0.2B.P(X<3)=0.7D.D(X)=1

10.已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,将△BCD沿对角线BD向上折起，得到平面

BDC,二面角C′-BD-A的大小为φ,则()

A.当φ=90°时，AB⊥CD

B.当φ=90°时，二面角B-AC′-D是锐角

C.当时，四面体ABC′D各条棱长相等

D.当时，四面体ABC′D的外接球表面积为6π

11.已知函数f(x)满足：Vx,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(1)≠0,那么()

A.f(0)=1B.f(1)=2

C.f(一x)=f(x)D.若,则f(x+2π)=f(x)

第Ⅱ卷(非选择题，共92分)

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.)

12.函数的单调递减区间为·

13.若是函数f(x)=sinπz+acosπx的一个极大值点，则f(√3a)=

14.如图，设Or,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e₁,e₂分别是与x轴、y轴正方向同向的

单位向量.对于平面内任意一点P,若向量OP=xe₁+ye₂,则记P(x,y),d(OP)=|x|+lyl.

已知平面内两点M(z₁,y₁),N(x₂,y₂),其中d(ON)=2,则点N的轨迹围成的图形面积为

;若d(ON)=2d(OM)=2,则的最大值为·

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四、解答题(木大题共5小题，共70分，髀答应写由灭卓现明、证峤过程处怏年步哦.)

15.(13分)在△入BC中，已知内角入，扫，C的对边分射为口b,c,D为段段BC上一点，AD-1.

(1)若D为BC的中照、且求△BC面积的大值；

(2)若AC2AB,B且求c.

16.(15分)巳知抛物线C,y²=2px(p>0),直线lry=±+t.当时，I与C有且仅有一个

交点.

(1)求C的方程；

(2)若1与C交于两个不同的点A,B,设AB的中点为M,过点M平行于r轴的直线与C交

于点N、求

17.(15分)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2,AC=BC,L为平面ABC与平面A,BC₁

的交线，P为直线l上一点.

(1)若AC=2,求△PAC的面积；

(2)若平面AA₁B与平面A₁BC夹角的余弦值为,求AC.

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18.(17分)某保脸公司随机选取了200名不阿驾龄的投保闭机；调在他们投保后一年内的索

情况，结果如下：

单位，人

鸡龄

一年内是否隶购合计

不澜10年10年以上

是10515

否9095185

合计100100200

(1)依据小柢率值a=0.1的独立性检验，分析表中的数据，能杏据此推断司机投保后一年内

是否素赔与司机的驾龄有关?

(2)保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为p,投保的老司机索赔的概率均

为q(p≠q)、假设投保司机中新司机的占比为β(0<β<1).随机选取一名投保司机，记事件

“这名司机在第2年索赔”为A,、事件“这名司机是新司机”为B.已知P(A₁|B)=P(AIA,B),

P(A,|B)=P(A|A,B)(i≠j)、

(i)证明：P(A₁AB)=P(Ae|A₁B)P(A₁|B)P(B);

(i)证明：P(A₂|A)>P(A₁),并给出该不等式的直观解释.

附

a0.10.050.01

Xo2.7063.8416.635

19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,且Vx₁,x₂∈R(x₁<x₂),有f(x₁)≤f(r₂).

若存在T>0,使得函数g(x)=f(x+T)一f(x)是常函数，则称f(x)是“T一阶梯函数”.

(1)若f(x)是“1一阶梯函数”,且当x∈[0,1]时，f(x)=k(x-1)+2,写出k的取值范围；

(2)已知f(x)满足：①f(5)=a(a∈R);②Vx∈R,有[f(x+2)-f(x)]∈{1,3}.

(1)证明：f(x)是“2一阶梯函数”的必要条件是“a∈[2,3]U[6,9]”;

(Ⅱ)若所有满足条件①②的函数f(x)均为“2一阶梯函数”,猜想a的取值范围并证明.

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四川省2025届高三第一次教学质量联合测评

数学参考答案及评分参考意见

一、选择题

1.B【解析】因为B={-1,2,5,8,…},所以A∩B={2,5,8}.

2.C【解析】因为z²=4-b²-4bi是纯虚数，所以4-b²=0,即b=±2.

3.C【解析】由题意,解得x=5.5.

4.B【解析】设{an}的公比为q,所；,q=2.又

7,所以a₂=2.

5.D【解析】因为f(a)=a(a²-2)+1=-1,所以a(a²-2)=-2,f(-a)=-a(a²-2)+1=

一(-2)+1=3.

6.A【解析】a,b为正实数，所以当ab>2时，a+b≥2√ab>2;当a+b>2时，取a=3,b=0.1,

ab=0.3<1.故“ab>1”是“a+b>2”的充分而不必要条件.

7.C【解析】记c=√a²-b²,由题意

即|MF₂I²+|MF₁I²=|F₁F₂I²,所以MF₂⊥MF₁.因为四边形OPMQ的面积为,所以

△MF₁F₂的面积为5,即|MF₁||MF₂|=10,又|MF₁I+|MF₂|=2a,所以4a²=(|MF₁I+|MF₂I)²

=|MF₁I²+|MF₂I²+2|MF₁I|MF₂|=4c²+20,b²=5,C的短轴长为2b=2√5.

8.A【解析】解法一：由2°·3“b+3=1+2得6“-6=3-3°.因为a>b,所以b>c.所以

,即6a⁻b<3,所以a-b<b-c,即2b>a+c.

解法二：由2°·3“一+3一=1+2,得6“+3=3ᵗ+6,即6“-6=3-3°,因为a>b,所以3-3°

=6“-6>0,b>c.作出函数y=6*和y=3#,取a>b>c,并比较当6“—6⁶=3—3°时，a,b,c在x

轴上的位置，知a-b≤b-c,所以2b≥a+c.

二、选择题

9.BD【评分标准】选对1个得3分，选对2个得6分，选错得0分。

【解析】因为4p+3p+2p+p=1,所以p=0.1,A错误.P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=7p=

0.7,B正确.E(X)=1·4p+2·3p+3·2p+4·p=20p=2,C错误.D(X)=4p(1-2)²+3p(2

-2)²+2p(3-2)²+p(4-2)²=10p=1,D正确.

10.BCD【评分标准】选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得6分，选错得0分。

【解析】设AC∩BD=H,在翻折后有C′H⊥BD,AH⊥BD,所以二面角C′-BD-A的平面角为

∠AHC′.

当φ=90°时，C′H⊥平面ABD,若A正确，由AB⊥C′D,即有AB⊥平面C′BD,此时AB⊥BD,

与∠DAB=60°矛盾，A错误.当φ=90°时，AC′=√2AH=√6,取AC′的中点M,由BA=BC′,

1

DA=DC′,知BM⊥AC′,DM⊥AC′,所以∠BMD为二面角B-AC′-D的平面角，BM=MD=

,从而BM²+MD²>BD²,故∠BMD为锐角，B正确.当时，AC′=

√AH²+C′H²-2AH·C′H·cosφ=2,故四面体ABC′D各条棱长均为2,C正确.当cosφ=

时，四面体ABC′D为棱长为2的正四面体，其外接球半径为,其表面积为4πR²=6π,

D正确.

11.AC【评分标准】选对1个得3分，选对2个得6分，选错得0分。

【解析】令x=1,y=0,得2f(1)=2f(1)f(0),因为f(1)≠0,所以f(0)=1,A正确.取f(x)=

cosx,则f(1)=cos1≠0,B错误.令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以

f(-y)=-f(y),C正确.令y=2π,得f(x+2π)+f(x-2π)=2f(x)f(2π);又令x=y=π,得

f(2π)+f(0)=2f2(π),从而,故f(x+2π)+f(x-2π)=-f(x).若f(x+2π)=

f(x),则f(x)是周期为2π的函数，所以f(x-2π)=f(x),即f(x)+f(x)=-f(x),f(x)=0

恒成立，与f(1)≠0矛盾，D错误.

三、填空题

12.(0,1)或(0,1)【解析】f(x)的定义域是(0,+∞),令,解得0<x<

1,所以f(x)的单调递减区间是(0,1)或[0,1].

13.【解析】由题意，

14.4√3;2【评分标准】第1空2分，第2空3分。

【解析】当x2,y₂≥0时，d(ON)=x2+y₂=2,N的轨迹是以(2,0),(0,2)为端点的线段；当x₂,

y₂<0时，由对称性知，N的轨迹是以(-2,0),(0,-2)为端点的线段；当x₂>0,y₂<0时；由对称

性知，N的轨迹是以(2,0)(0,-2)为端点的线段；当x₂<0,y₂>0时，N的轨迹是以(-2,0)

(0,2)为端点的线段.因此N的轨迹是以(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)为顶点的四边形，其围

成面积为4√3.,要求最大值，令x₁y₁≤0,不妨设x₁≤0,y₁≥0,于是

一x₁+y₁=1,即y₁=x₁+1,所

当且仅当时取“=”.

四、解答题

15.解：(1)因,则有

2

所以.(当且仅当b=c时取等)

所以△ABC面积的最大值.………………5分

(2)解法一：由条件,所以AD平分∠BAC.………7分

因为,所以……………8分

由面积关系………12分

解得……………………13分

解法二：记∠ADB=a,∠ADC=β,则有cosa+cosβ=0,解

……………………7分

解得9+2a²-18c²=09分

在△ABD中，

联立方程组则有,解得……………13分

16.解：(1)当时，联立,得y²-2py+p=0.……2分

因为l与C有且仅有一个交点，所以△=4p²-4p=0,解得p=1.…………5分

所以C的方程为y²=2x6分

(2)联立,得y²-2y+2t=0.…………7分

因为l与C交于不同的两点，所以△=4-8t>0,即…………………8分

设A(x₁,y₂),B(x₂,y₂),则………9分

因为,所以M(1-t,1),………10分

|AB|²=(√1+1²|y₁-y₂1)²=(√2√4-8t)²=8(1-2t)13分

所以……………15分

3

17.(1)证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC//A₁C₁,1分

又A₁C₁C平面A₁BC₁,AC女平面A₁BC₁,所以AC//平面A₁BC₁3分

因为ACC平面ABC,L=平面ABC∩平面A₁BC₁,所以AC//1.5分

所以……………6分

(2)解法一：

如图，以A₁B₁的中点O为原点建立空间直角坐标系.

设|OC₁|=a(a>0),则A₁(0,1,0),C₁(a,0,0),B(0,-1,2).

所以A₁B=(0,-2,2),A₁C₁=(a,-1,0)8分

设平面A₁BC₁的一个法向量为n₁=(x,y,z),

,即

所以n₁=(1,a,a)11分

因为n2=(1,0,0)是平面AA₁B的法向量，…………………12分

解得a=1,所以|AC|=|A₁C₁I=√a²+1=√2.15分

解法二：

如图，取A₁B₁的中点O,因为A₁C₁=B₁C₁,所以OC₁⊥A₁B₁.

……………7分

因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁,

所以AA₁⊥OC₁8分

因为A₁B₁∩AA₁=A₁,所以OC₁⊥平面ABB₁A.………9分

过点O作A₁B的垂线，垂足为H,

所以∠C₁HO为二面角C₁-A₁B-B₁的平面角.……………11分

设OC₁=a(a>0),易得,……………12分

……………………13分

解得a=1,所以AC=A₁C₁=√a²+1=√215分

18.解：(1)零假设为H₀:司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.……1分

根据表中数据，计算得

根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立，即

认为司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.………5分

4

(2)(i)根据条件概率的定义，

·P(B)=P(A₁A₂B).………………7分

(ii)由题意，P(B)=β,P(B)=1-β,P(A,|B)=p,P(A;|B)=q8分

由(i)中的结论及已知得

P(A₁A₂B)=P(A₂|A₁B)P(A₁|B)P(B)=P(A₂|B)P(A₁|B)P(B)=βp²,

P(A₁A₂B)=P(A₂|B)P(A₁|B)P(B)=(1-β)q²,10分

由概率的性质知P(A₁A₂)=P(A₁A₂B)+P(A₁A₂B)=βp²+(1-β)q².

由全概率公式，P(A₁)=P(A₁|B)P(B)+P(A₁|B)P(B)=βp+(1-β)q12分

根据条件概率的定义…………13分

因为P(A₁)>0,所以要证P(A₂|A₁)>P(A₁),即证βp²+(1-β)q²>[βp+(1-β)q]²,

即证(p-q)²B(β-1)<0.因为p≠q,0<β<1,所以(p-q)²ββ-1)<0成立.……………14分

所以P(A₂|A₁)>P(A₁).15分

式子P(A₂|A₁)>P(A₁)说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔

的概率.…………………………17分

19.(1)解：∵当x∈[0,1]时，f(x)=k(x-1)+2,∴f(1)=21分

∵f(x)是1-阶梯函数，

∴g(x)=f(x+1)一f(x)是常数.由于f(0)=0,所以这个常数为g(0)=f(1)-f(0)=2,

∴f(x+1)=f(x)+22分

当k=0时

当k≠0时，∵Vx₁,x₂∈R(x₁<x₂),都有f(x₁)≤f(x₂),∴0<k≤2.

∴k的取值范围是[0,2].………………………4分

的取值范围是[3,4].…………5分

(2)(i)证明：由题意得f(x+2)-f(x)=1,或f(x+2)一f(x)=36分

当f(x+2)-f(x)=1即f(x+2)=f(x)+1时，

∵f(0)=0,∴f(2)=1.根据条件有f(0)≤f(1)≤f(2),∴0≤f(1)≤1.

由于a=f(5)=f(3)+1=f(1)+2,∴2≤a≤38分

当f(x+2)一f(x)=3时，同理可得6≤a≤99