初中数学圆的知识点总结归纳修改版

初中数学圆的知识点总结归纳[修改版]圆的基本概念圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，一般用字母O表示；定长称为半径，一般用字母r表示。圆也可以看作是一个动点绕着一个定点旋转一周所形成的轨迹。例如，用圆规画圆时，圆规的针尖固定的点就是圆心，圆规两脚间的距离就是半径。弦和直径连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，直径一般用字母d表示，且d=例如，在圆O中，线段AB是圆上两点A和B连接而成的弦，如果弦AB经过圆心O，那么AB弧、半圆、优弧和劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，优弧一般用三个字母表示，如ABC⌢圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。例如，在圆O中，∠AOB就是一个圆心角，其中O是圆心，A圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。例如，在圆O中，∠ACB就是一个圆周角，其中C是圆上的点，A、B也是圆上的点，且C圆的性质圆的对称性轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。也就是说，将圆沿着任意一条直径对折，两边能够完全重合。中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。把圆绕着圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。设圆O的直径CD垂直于弦AB于点E，则有AE=B推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。例如，已知圆O中，直径MN平分弦PQ（PQ不是直径），那么MN⊥圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。即如果在圆O中，∠AOB=∠其逆定理也成立，即在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。圆周角定理及其推论圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。在圆O中，弧AB所对的圆心角是∠AOB，所对的圆周角是推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在圆O中，弧AB所对的圆周角有∠ACB和推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。在圆O中，若AB是直径，C是圆上一点，则∠ACB=；反之，若∠点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：点在圆外⇔d>r。例如，圆O的半径r=5，点P到圆心O的距离d=6点在圆上⇔d=r。若圆O的半径r=3，点Q到圆心O的距离d点在圆内⇔d<r。当圆O的半径r=4，点R到圆心O的距离d=2直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判定设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：直线与圆相离⇔d>r。此时直线与圆没有公共点。例如，圆O的半径r=3，圆心O到直线l的距离d=4直线与圆相切⇔d=r。此时直线与圆有且只有一个公共点，这个公共点叫做切点。比如，圆O的半径r=5，圆心O到直线m的距离d=5，则直线m直线与圆相交⇔d<r。此时直线与圆有两个公共点。若圆O的半径r=6，圆心O到直线n的距离d=4切线的性质与判定切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。设直线l是圆O的切线，切点为A，则OA切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。例如，已知在圆O中，半径OB，直线m经过点B且m⊥OB，那么直线切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。设点P是圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B，则PA圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r（R≥r），圆心距为外离⇔d>R+r。此时两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆的外部。例如，圆的半径R=5，圆的半径r=3，圆心距d外切⇔d=R+r。两圆有且只有一个公共点，且一个圆在另一个圆的外部。若圆的半径R=4，圆的半径r=2相交⇔Rr<d<R+r。两圆有两个公共点。比如，圆的半径R=6，圆的半径r=内切⇔d=Rr。两圆有且只有一个公共点，且一个圆在另一个圆的内部。若圆的半径R=5，圆的半径r=2，圆心距内含⇔d<Rr。两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆的内部。当圆的半径R=7，圆的半径r=3，圆心距d=圆中的计算问题圆的周长和面积圆的周长：圆的周长C=2πr=πd，其中r例如，已知圆的半径r=5，则圆的周长圆的面积：圆的面积S=π。若圆的半径r=扇形的弧长和面积扇形的弧长：在半径为r的圆中，圆心角所对的弧长l的计算公式为l=。例如，在半径r=6的圆中，圆心角为，则弧长l扇形的面积：扇形面积有两种计算方法。方法一：=，其中n是圆心角的度数，r是扇形所在圆的半径。方法二：=lr，其中l是扇形的弧长，例如，已知扇形的圆心角n=，半径r=4，用方法一可得=；若已知弧长l=2圆锥的侧面积和全面积圆锥的相关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。圆锥的母线是指圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线。圆锥的侧面积：圆锥的侧面积=πrl，其中r例如，圆锥底面半径r=3，母线长l=圆锥的全面积：圆锥的全面积=+=πrl+π圆的相关题型及解法垂径定理相关题型例1：已知圆O的半径为5，弦AB=8，求圆心O解：过圆心O作OC⊥AB于点在Rt△AOC中，O所以圆心O到弦AB的距离为3圆周角定理相关题型例2：如图，在圆O中，∠AOB解：根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。因为弧AB所对的圆心角是∠AOB=切线相关题型例3：已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于点B，若PA=4解：设圆O的半径为r，则PO因为PA是圆O的切线，所以O在Rt△PAO展开得16+移项可得4r=12所以圆O的半径为3。圆中计算相关题型例4：已知扇形的圆心角为，半径为6，求扇形的弧长和面积。解：弧长l=面积=。圆与其他图形综合题型例5：如图，在Rt△ABC中，∠C=，AC=3，解：首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，A设圆C的半径为r，连接CD（D为切点）