第01讲平面向量的概念线性运算及坐标表示（六大题型）（讲义）（原卷版）x

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示

目录

考点要求考题统计考情分析

（1）理解平面向量的意义、通过对近5年高考试题分析可知，高

几何表示及向量相等的含义.考在本节以考查基础题为主，考查形

（2）掌握向量的加法、减法2023年北京卷第3题，5分式也较稳定，考查内容一般为平面向

运算，并理解其几何意义及向2022年/卷第3题，5分量基本定理与坐标运算，预计后面儿

量共线的含义.2021年乙卷（文）第13题，5分年的高考也不会有大的变化.

（3）了解平面向量基本定理2022年乙卷（文）第3题，5分

及其意义

（4）会用坐标表示平面向量

的加法、减法与数乘运算

平面向■的概念、线性

运算及坐标表示

.夯基-必备基础知识梳理

知识点一.向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量存的大小，也就是向量存的长度，记作|荔

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于I个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

④相等向量：氏度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点二.向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

■①交换律

f-

求两个向量和的卜a+b=b^-a

加法

运算②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=ci+(b+c)

求G与月的相反△

向量-B的和的

减法a-b=a+(-b)

运算叫做力与E

的差三角形法则

（1）\Aa\=\A\\a\

4(府)=(办)1

求实数4与向量（2）当4>0时，行与M的方向相同；当

数乘(2+fj)a=Za+pa

a的枳的运算时，应与Q的方向相同：

A(a+b)=Za+Ab

当4=0时，Aa=0

【注意】

（1）向量表达式中的零向量写成6,而不能写成0.

（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重

合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.

（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重

合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾

相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA-OB=BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CAo()A-()B=CAoBA-CA=BA+AC=BC.

知识点三.平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果"=花（/€/?）,则方//5；反之，如果。区且5工0,则一定存在唯一的实数4,使值=花.（口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.

2、平面向量基本定理

如果亲和［是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量不，都存在唯一的一对

实数4,4,使得不=41+4］，我们把不共线向量［，月叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

｛《,6｝,4弓+小心叫做向量不关于基底｛耳七｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1与最不共线，平面内的任一向量值都可以分解成形如

1=41+4］的形式，并且这样的分解是唯一的.叫做亲，耳的一个线性组合.立面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若。=44+=4弓+4与，则4=4d=4.

推论2：若G=4c+=0,则4=Z,=0.

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在中，若点。是边8C上的点，且丽=2反（几工-1）,则向量而='7+人".在

1+4

向最线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌

握.

4、三点共线定理

平面内三点力，B,。兴线的充要条件是：存在实数/1,〃，使云=/15+"无，其中2+〃=1,。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

力、B、C三点共线

o存在唯一的实数4，使得近-久而；

=存在唯一的实数2,使得无二力+4而；

=存在唯一的实数义，使得玩=（1-，）万+2为；

O存在4+〃=1,使得沅=疝+〃砺.

5、中线向量定理

如图所示，在△/AC中，若点、Q是边3c的中点,则中线向量而=g（刘+式），反之亦正确.

A

知识点四.平面向量的坐标表示及坐标运算

（1）平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量Z，有且只有一对实数使不=行+行，我们把有序实数对（xj）

叫做向量方的坐标，记作G=（x,yj.

（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量（x,y）向量OA、一"二?点A（x,y）.

（3）设]=（%,必），b=（x2,y2）,则a+6=（X[+%2，必+力），a-b=（x]-x2iy{-y2）,即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若G%为实数，则行=（/U,/lp）,即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应

坐标.

（4）设4（再,乂）,B（x2,y2）>则石=历-53=（再一彳2,乂-%）,即一个向量的坐标等于该向量的有向

线段的终点的坐标减去始点坐标.

知识点五.平面向量的直角坐标运算

①已知点4（内，必），8（马，力），则力8=区"一必），I-81=-再）2+（为--f

②已知已=（%,乂）,b=（x2,^2）,则）士B二区±/，必土为），府=（4X"M）,

限3=x,x2+y,y2,ml=&+".

不〃BU>x]y2-x2y{=0»ii1Box{x2+yxy2=0

【解题方法总结】

（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为

多边形法则.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.

即A1A2+彳?4+•••+=44一

（2）国国土|+仍|,当且仅当瓦B至少有一个为。时，向量不等式的等号成立.

（3）特别地：I伍|-防|国万士出或|，±B国引+防|当且仅当至少有一个为6时或者两向量共线时,

向量不等式的等号成立.

（4）减法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化简.

（5）A>P、8三点共线u>而=（1T）刀+/方（/eR）,这是直线的向量式方程.

.第kM题型归纳

题型一：平面向量的基本概念

例1.（2023•全国-高三专题练习）下列说法中正确的是（）

A,单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量a,5,必有|a+b|«|a|+|b|

D.若3,3满足且£与3同向，则

例2.（2023•全国-高三专题练习）给出如下命题：

①向量酢的长度与向量0的长度相等；

②【可量与另平行，则"与5的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量：

⑤向量方与向量而是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上.

其中正确的命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

例3.（2023•全国-高三专题练习）下列命题中正确的是（）

A.若G=则3">2否B.5C-^4-PC=J5

C.同十忖邛同=3与否的方向相反D.若同咽="，则L=2

变式1.（2023•全国•高三专题练习）下列说法正确的是（•

A.若，>M，则B.若，=M，则：二W

C.若则74D.若加6,则：工不是共线向量

变式2.（2023•全国-高三对口高考）给出下列四个命题：

①若|a|=向,Wa-b,a=-b;

②若）万=比，则力，B,C,。是一个平行四边形的四个顶点；

③若a=5,B=c,则4=e;

④若a〃否,bile>则a//c;

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

变式3.（2023•全国-高三对口高考）若£+B+"=0,则£,"（）

A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

B.一定不可能构成三角形

C.都是非零向量时能构成三角形

D.一定可构成三角形

【解题方法总结】

准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向昼平行具有传

递性，两个向量方向相同或相反就是共线向星，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相

等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.

题型二：平面向量的线性表示

例4.（2023•山东泰安•统考模拟预测）在中，点。为4C中点•点内在8C上口8E=2EC.记

AB=a,AC=b,则丽二（）

例5.（2023•河北邯郸•统考三模）已知等腰梯形44co满足4C与8。交于点P,且

AB=2CD=2BC,则下列结论母侯的是（）

A.Jp=2PCR.\7P\=2\'PD\

—1—•2—

C.AP=-AD+-ABD.AC=-AD+-AB

3333

例6.（2023•河北•统考模拟预测）已知。为小台。所在平面内一点，且满足丽=g丽，则（）

A.AD=-AB--ACB.~AD=-JB+-AC

2233

C.AB=AAD-3ACD.=

变式4.（2023•河北-高三学业考试）化简成-丽+方所得的结果是（）

A.2ABB.2BAC.0D.PA

变式5.（2023•贵州贵阳•校联考模拟预测）在》8c中，4。为8C边上的中线，£■为力。的中点，则沅=

3—1—1—3—

A.-AB——ACB.一一AB一一AC

4444

C.-~AB+-~ACD.+

4444

变式6.（2023•费州黔东南•高三校考阶段练习）已知在平行四边形力8CO中，E,尸分别是边CO,BC

的中点，则丽=（）

A.-AB-ADB.-~AB-JCC.，而+，而D.-7B--~BC

222222

变式7.（2023•山东滨州・校考模拟预测）如图所示，点E为』BC的边力。的中点，F为线及BE上靠近

)

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.--^+-BCD.--BA+-BC

88448844

变式8.（2023•全国•高三专题练习）在平行四边形ABCD中，对角线忙与8。交于点。，若存+而=如适,

则谷（）

A.左B.2C.-立5

变式9.（2023•河南•襄城高中校联考三模）已知等腰梯形力8。。中，ABHDC,AB=2DC=2AD=2,

8c的中点为E,则成=（）

A.-DB+-ACB.-DB+-AC

3336

1—1—2—5——

C.-DB+-ACD.-DB+-AC

3236

【解题方法总结】

（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪

子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题.

（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首

尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三

角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

题型三：向量共线的运用

例7.（2023•广东广州•统考模拟预测）在AJBC中，必是/C边上一点，且而=；荻,N是8W上一点,

若诉=g就+小前,则实数小的值为（）

例8.（2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考三模）如图，在JBC中，M为线段8C的中点，G为线段4M

上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线,4c于P,。两点，AB=xAP（x>0）,AC=yA（）（y>0）,

4I

则一+—7的最小值为（）.

xy+1

44

—1---

例9.（2023•山西•高三校联考阶段练习）如图，在“8。中，。是4C边中点4P=鼻力。，。尸的延长线

与AB交千AN,则（）

C.~AN=-~ABD.~AN=~~AB

67

变式10.（2023•全国•高三专题练习）如图所示，已知点G是△48C的重心，过点G作直线分别与AB,

4C两边交于M，N两点，设x彳月=而，y衣=而，则g+（的值为（）

A

C.5D.6

变式11.（2023•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）在"8C中，E为AC上一点、,方=嬴,P为

线段3E上任一点（不含端点），若/#="5+y沅，则,+?的最小值是（）

xy

A.8B.10C.13D.16

变式12.（2023•全国•高三专懑练习）已知向量£、区不共线，Rc=xa+h,ci=a+（2x-\）b,若"与Z共

线，则实数x的值为（）

A.1B.--C.1或一LD.一1或一,

222

变式13.（2023•全国•高三专题练习）已知直线/上有三点A,B,C,O为/外一点，又等差数列｛%｝的

前〃项和为S"，若曰=0+如）方+2/。沅，则与=（）

变式14.（2023•全国•高三对口高考）设两个非零向量G与很不共线.

⑴若4UC8U=Q1+bI，BUUCL1=2a1+81b，-。----。---=3（/”——人\）,求证4B,。三点共线.

（2）试确定实数〃，使〃+坂和：+R共线.

变式15.（2023•全国•高三对口高考）如图所示，在A/18C中，D,产分别是8C,4C的中点,

___2_________

AE=—AD,AB=a,AC=b.

A

（1）用工［表示而，酢，箫，而，而;

（2）求证：B,E,尸三点共线.

【解题方法总结】

要证明力，B,。三点共线，只需证明前与工共线，即证方=4或（&R）.若已知力，B,C三

点共线，则必有益与肥共线，从而存在实数义，使得赤=%前.

题型四：平面向量基本定理及应用

例10.（2023•上海•高三专题练习）设是两个不平行的向量，则卜.列四组向量中，不能组成平面向量

的一个基底的是（）

A.q+6和6一%B.q+Ze2和%+2q

C.3q—2c2和4e2-6e1D.华和6+%

例11.（2023•四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知向量亲,1是平面内所有向量的一组基

底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（）

A.{词一可B.{q+6品-3&}

—

C.2e2,—3e(+6e21D.12^+3e2,2et

例12.（2023•河北沧州•校考模拟预测）在△力中丽=；反.而=g（而+而）,点Q为X*与跖的交

点，=+则2-〃=（）

BD，I

A.0-icI

变式16.（2023•全国•模拟预测）如图，在中，CM=ZCB，NC=^AC,其中0</<l,

若与4N相交于点。，且BQ=”N,则（）

A

N

2

BMC

A.即=4+〃B.22//=2+//C.52=2+32/zD.34=2+54〃

变式17.（2023•广东汕头•统考三模）如图，点。、£分别ZC、8C的中点，设施"，AC=b^F是DE

的中点，则赤=（）

22224242

变式18.（2023•山西大同•统考模拟预测）在。中，。为8c中点，M为4。中点，两=，〃方+〃%,

则m+n=（）

A.—B.YC.1D.—1

22

变式19.（2023•广东♦统考模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到

了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提

升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则方=（）

5—3—

B.——CE+-DE

62

2一5__5一2__

C.--CE+-DED.--CE+-DE

3663

变式20.（2023•吉林长春•统考模拟预测）如图，在平行四边形48co中，M,N分别为8C,CO上的点,

_______?—

且EM=MC，CN=qCD,连接4W,BN交于P点、,若"=%两，所=〃而，则％+〃=()

19

D.T

变式21.(2023•湖北黄冈•流水县第一中学校考模拟预测)如图，在四边形48CO中，ABUCD,AB=4CD,

点£在线段C3上，且CE=2E8,设施1,~AD=b＞则族=[)

[-373-1T

C.-a+—bD.-a+-b

3443

变式22.(2023•安徽•校联考二模)如图，在“8C中，点。为线段8c的中点，点区/分别是线段力。

上靠近。，4的三等分点，则布=()

C.-BE-CFD.--13E-CF

339

变式23.(2023•全国•模拟预测)如图，平行四边形48。中，力C与8。相交于点O,而=3瓦，若

而=4酢+〃分^(Z〃cR),贝ij^=()

A.B.-2C.D.2

【解题方法总结】

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或

数乘运算，基本方法有两种：

(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止.

(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三点共线定理:A,B,P三点共线的充要条件是：存在实数大〃，使而=2方+〃而，其中％+〃=1,

0为AB外一点.

题型五：平面向量的直角坐标运算

例13.(2023•全国•高三对口高考)4。为平行四边形48C。的对角线，布=(2,4),就=(1,3),则而=.

】rLr/

例14.(2023•全国•高三专题练习)已知向量"=(-2,1),〃=(3,2),工=(5,8),且°=猫+/力，则7=.

例15.(2023•四川绵阳•模拟预测)已知力(-2,4),C(-3,-4),且函=35，则点〃的坐标为.

变式24.(2023•全国•高三专题练习)如图，已知平面内有三个向量方，砺，OC，其中反与况和丽

的夹角分别为30。和90。，且|刀目砺|=1,|1|=26,若灰=2万+〃砺(4〃e&)，则兄+2〃=.

变式25.(2023•河南•郑州一中校联考模拟预测)已知向量。=(x,2),且忸+可=疡，则

实数x=.

变式26.(2023•全国•高三对口高考)已知向量£=(6,1)石=(0,-2).若实数左与向量)满足£+2石=人，

则"可以是()

A.(V3,-l)B.(-1,-73)

C.(->/3,-1)D.(-1,石)

变式27.(2023•河北•统考模拟预测)在正六边形力台。。"'中，直线EO上的点时满足布=就+加力5,

则用=()

A.1B.yC.-D.—

234

变式28.(2023•内蒙古赤峰•校联考三模)如图，在四边形"CD中，ZD^5=120°,ZDJC=30°,AB=\,

AC=3,40=2,AC=xAB+ylD,则x+P=()

r

变式29.（2023•全国•高三专题练习）已知O为坐标原点，相=-2砥，若4（1,2）、6（2,-1）,则与丽

共线的单位向量为（）

A.（3,-4）B.（3,-4）或（-3,4）

【解题方法总结】

（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则

应先求向量的坐标.

（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标