第五章习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统

.设A={0,1},试给出半群＜AA,口＞的运算表,其中口为函数的复合运算。

.设G={a+bi|a,b£Z[,i为虚数单位,即i2:7.验证G关于复数加法构成群。

.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算口如下：

□x,y£Z,xDy=x+y-2

.问Z关于口运算能否构成群为什.

.设A={x|x£RAx手0,1}.在A上定义六个函数如下：

f1(x)=xt.f2(x)=x-1,.f3(x)=1-x,

f4(x)=(1-x)-1,.f5(x)=(x-1)x-1,.f6(x)=x(x-1)-1

.令F为这六个函数构成的集合,口运算为函数的复合运算。

(1.给出口运算的运算表。

(2.验证行,口＞是一个群。

.设G为群,且存在aEG,使.G={ak|k£Z}.证明G是交换群。

.证明群中运算满足消去律.

.设G为群,若DxWG有x2二e,证明G为交换群。

.设G为群,证明e为G中唯一的幕等元。

.证明4阶群必含2阶元，

设A={a+bi|a,beZ,i2=-1),证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。

.(1.设R1,R2是环，证明R1与R2的直积R1XR2也是环。

(2.若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1XR2也是交换环和含幺环。

.判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。

(1.A={a+bi|a,b£Z),其中i2=7,运算为复数的加法和乘法。

(2.A=(-1,0.1),运算为普通加法和乘法。

(3.A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。

(4.A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。

.设G是非阿贝尔群，证明G中存在元素a和b,a=#b,且ab=ba.

.设H是群G的子群,x£G,令

xHx-1={xhx-l|hGH}t

.证明xHx-1是G的子群，称为H的共胡子群.

.设

(1.G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表

(2.试找出G的所有子群

⑶证明G的所有子群都是正规子群。

•设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群，证明[G:H]=

.令G:亿+1是整数加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z.

.对以下各小题给定的群G1和G2以及f:GlTG2,说明f是否为群G1到G2的同态。如果

是,说明G是否为单同态满同态和同构,并求同态像f(G1)和同态核kerf.

(1.G1=<Z,+>,G2=<R*->，其中R*为非零实数的集合,+和•分别表示数的加法和乘

法。

f:2->R*f(x)=n

(2.G1=<Z,+>,G2=<A->,其中+和・分别表示数的加法和乘法

A=(x|x£CA|x|=1},其中C为复数集合。

f:2->A,f(x)=cosx+.sinx

(3.G1=<R,+>,G2=<A->,+和・以及A的定义同⑵.

f:RTA,f(x)=cosx+.sinx.

.设f是群G1到G2的同构,证明千-1是G2到G1的同构。

.图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由。

(((((□

(((((((((((((((

.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。

(((((((((((((((((((

((((((((((((((((((((

((((((((((((((((((((((((((((((

((((((((((((((2,...,2n),nEZ+

.((((画出Klein四元群的子群格。

(((((画出模12的整数群Z12的子群格。

(((((画出3元对称群S3的子群格。

.设L是格，求以下公式的对偶式:

(((((((A(aVb)Qa

(((((((V(bAc)n(aVb)A(aVc)

(((((((V(cAa)□(bVc)Aa

.设L是格,a,b,cGL,且aDblc,证明

((((((((Vb=bAc

.针对图中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。

((((((□

((((((

((((((((((((((((((图

.针对图中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。

.说明图中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。

.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环，域,

格，布尔代数)，并说明理由。

(((((((1={0,1,-1],运算为普通加法和乘法。

(((((((2=(a1,a2.....an},dai,aj£S2,ai*aj=ai.这里的n是给定的正整数，且n^2.

(((((((3二{0.1},*为普通乘法。

(((((((4={1,2.5,7,10.14.35,70},口和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。

(((((((5=]0,1,2},*为模3加法,□为模3乘法.

.设B是布尔代数,B中的表达式f是

(((((((((((((((Ab)V(aAbAc)V(bAc)

(((((化简f.

(((((求f的对偶式f*O

.设＜B,A,V,',0,1＞是布尔代数,在B中化简以下表达式：上定义二元运算*,Oa.b

£B,

(1)(aAb)V(aAb')V(a'Vb)

(2)(aAb)V(aA(bAc),)Vc

.对于n=1一..，5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。

.设＜B,八，V,10,1》是布尔代数，在B上定义二元运算㊉，Vx,y£B有

x©y=(xAy')V(x1Ay)

问二,㊉〉能否构成代数系统如果能,指出是哪一种代数系统。为什么

.设G,为循环群,f是群G到金的同态.证明f(G)也是循环群°

.设G=＜a＞是15阶循环群。

(1)求出G的所有的生成元。

(2)求出G的所有子群。

.设。，T是5元置换，且

,2345)(12345)

[214531134512)

(1)计算。T,T。，。二T二。'T。

(2)将。T,。一、。表成不交的轮换之积。

(3)将⑵