第1章 133 最大值与最小值

1.3.3最大值与最小值

1.会求在指定区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三

次）.（重点）

2.掌握含参数的最值问题的讨论.（难点）

3.掌握函数的极值与最值的联系与区别.（易混点）

［基础・初探］

教材整理函数的最大（小）值与导数

阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题.

1.函数的最大值与最小值.

（1）如果在函数定义域/内存在M）,使得对任意的工£/,总有凡K）W/（XO），则

称丹加）为函数#x）在定义域上的最大值.

（2）如果在函数定义域/内存在刈，使得对任意的工£/,总有人的三/&0）,则

称大灿）为函数yu）在定义域上的最小值.

函数的最大（小）值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大（小）值，那

么函数的最大（小）值惟•.

2.利用导数求函数的最值

求可导函数人r）在区间m，例上的最大值与最小值的步骤

（1）求./U）在区间（〃，♦上的极值;

（2）将第一步中求得的极值与/（〃）,比较，得到/"）在区间必，上的最大

值与最小值.

I.判断正误：

（1）函数的最大值一定是函数的极大值.（）

（2）开区间上的单调连续函数无最值.（）

（3）函数人r）在区间3句上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.（）

【答案】（1）X（2）7（3）X

2.函数y（x）=2r—cosx在（一8,+8）上.（填序号）

①无最值；②有极值；

③有最大值：④有最小值.

【解析】(x)=2+sinx>0恒成立，所以K0在(-8,+8)上单调递增，

无极值，也无最值.

【答案】①

［质疑•手记］

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

疑问2：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

疑问3：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

［小组合作型1

求函数在给定区间上的最

I*"..

值

》例II求下列函数的最值：

(1)J(x)=xi~^.x2—Zr4-5,［―2,2］；

(2yU)=e-Ar-eA,x£［0［］.

【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最

值.

【自主解答】(1y(幻=3^一工一2=(3工+2)。-1),

2

令/'(x)=。，得1为=-X2=

当X变化时，f(x),NO变化情况如下表：

2

X-212

30(1,2)

fM+0—0+

1577

-17

於)行2

从上表可知，函数人工)在［-2,2］上的最大值是7,最小值是一1.

,flY,1l+e2v

(2V(x)=〔N一©)=-^-ev=—.

当x£［0,1］时，/&)<0恒成立，

即,/U)在［0/l上是减函数.

故当x=l时，/U)有最小值式1)=5-e;

当x=0时，段)有最大值_*0)=e°—e°=0.

求函数最值的四个步骤

(1)求函数的定义域；

⑵求/(x),解方程/(幻=0；

(3)列出关于x,/),f。的变化表;

(4)求极值、端点值，确定最值.

［再练一题］

7T

1.(2019.盐城质检)函数y=x+2cosx在区间［0,全上的最大值是_______.

【导学号：01580015］

【解析】9•*y1=1_2sinx,0,,

令)J=0,得工=去

由于式0)=2,周=看+小，艰号

・••函数的最大值为"小.

【答案】|+V3

由函数的最值确定参数的

值

》例2已知函数应¥)=五一6Qf+b,1,2］的最大值为3,最小值为

—29,求a,b的值.

【精彩点拨】首先求出/。).然后讨论〃的正负，根据函数/W的单调

性得出用〃，〃表示的函数的最值，从而列出关于。，〃的方程组，求〃，b.

【自主解答】由题设知。W0,否则以0=〃为常函数，与题设矛盾.

X-1(-1,0)0（（），。）a（。，1）1

f'U)+0—0+

3

—1—单调递单调递-苧+人单调递3

fix)b1一呼+〃

减

+6增增

从上表可知，当x=0时，兀0取得极大值人,

当工=。时，段）取得极小值一段+〃，

而火0）»（。），又犬1）》（一1）,

故只需比较/（0）与人1）,.«—1）与./（〃）的大小.

因为火0）一六1）=右一1＞0，

所以大外的最大值为＜0）=〃，所以方=i.

又因为五-1）-«a）=；m+1）2（〃-2）＜0,

3

所以火幻的最小值为负-1）=-1一呼+Z?

3

=一于，

所以一%=一坐,

所以a=幸.

故所求函数的解析式是风（）=/一坐1.

［探究共研型］

与最值有关的恒成立问

。*金工__

题

如图1-3-6为），=危），x^［a,例的图象.

图1-3-6

探究1观察口，加上函数y=/（x）的图象，试找出它的极大值、极小值.

【提示】/（»）,/（对为函数的极大值，火⑼，儿⑷为函数的极小值.

探究2结合图象判断，函数），="）在区间［〃，/”上是否存在最大值，最小

值？若存在，分别为多少?

【提ZF】存在./(X)最小依=_/(〃)，_A幻疑大值=/(X3).

探究3函数y=/(x)在团，加上的最大(小)值一定是其极值吗？

【提示】不一定.也可能是区间端点的函数值.

卜例图设函数於^I+ZA+LICEER,/>0).

⑴求府)的最小值力⑺；

(2)若/?(/)<-2r+；7?对/£(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.

【精彩点拨】(1)利用配方法，即可求出二次函数人外的最小值力⑺；

(2)构造函数g(f)=〃(f)—(―2/+小)，只需使g⑴在(0,2)上的最大值小于零即可

求得小的取值范围.

［自主解答］(1)・・7(幻=«工+。2一户+f-iaeR,»o),

当x=-t时，八七)取最小值式一。=一户+1-1,

即〃⑺=一户+/—1.

(2)令g⑺=〃(1)一(一2/+〃?)=一尸+3/—1—m,

由屋⑺=—3尸+3=0,得，=1或，=—1(不合题意，舍去).

当,变化时，gf(f),g⑺的变化情况如下表：

t(0,1)1(1,2)

g'⑺十0—

g(f)单调递增极大值1-m单调递减

，g⑺在(0,2)内有最大值g⑴=1-m.

〃。)<一2/+根在(0,2)内恒成立等价于g(z)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1一

/〃<0.；・机的取值范围为(1,+8).

1.涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值

来解决.若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论.

2.不等式恒成立、能成立常见的转化策略

⑴恒成立台。>外加大值，4V/(X)恒成立勺(X)城小伤；

(2)/U)>g(x)+k恒成立台火v［fix)-g(x)］以小值；

(3次¥)>g(x)恒成立免信)最小依>g(x加大低；

(4)4〉兀丫)能成立07>/(幻坡小假，。<，人幻能成立今白中幻奴大仇.

［再练一题］

3.上例⑵若改为“存在/《［(),2］,使何)<—2/+〃?成立”，则实数〃？狗取

值范围如何求解？

【解】令g(/)=/?a)—(―21+〃z)=—户+31—1—〃?，

由/(0=—3尸+3=0,得/=1或/=—1(不合题意，舍去).

当/变化时，g'(f),虱/)的变化情况如下表：

t0(0,1)1(1,2)2

—

g'w+0

单调极大值

g⑺-1-m单调递减一3一in

递增1-in

・•・g⑺在［0,2］上有最小值g(2)=-3-/?7,

存在［0,2］,使/?«)<—2f+成立，

等价于g⑺的最小值g(2)<0.

-3—m<0,ni>—3,

所以实数机的取值范围为(-3,+8).

［构建•体系］

I.函数产x—sinx,，，兀的最大值是_______.

7T

【解析】=1—cos.,.y=.Lsinx在兀上是增函数，；.)r

大值=兀・

【答案】71

2.函数人此二%3-3『+2在区间［-1,1］上的最大值是_______.

【导学号：01580017)

【解析】f(%)=3储-6x=3x(x—2).

令/'(幻=。得的=0,K=2(舍去).

当工£［一1，0)时，/«>0,於)递增；

当x£(0,l］,fW<(),一)递减;

：.x=0时，危)取最大值2.

【答案】2

3.函数/(x)=|ex(sinx+cos幻在区间0,，上的值域为.

【解析】Vxe［o,,A/(x)=e'cosx^0,

・M0)W/x)W周，即;居哈

【答案】.圜

4.已知函数/(九)="(X—《)-21n%(〃?£R),g(x)=一彳，若至少存在一个xo

e［l,e］,使得人w)vg(xo)成立，则实数机的取值范围是_______.

【解析】由题意，不等式,/U)<g(x)在［1,e］上有解，.,・"a<21nx,即受日”