第2讲、常用逻辑用语

第2讲常用逻辑用语

知识梳理

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则为真（记作p=q）,则〃是4的充分条件；同时夕是p的必要条

件.

2、从逻辑推理关系上看

（I）若p=q旦q二p,则〃是的充分不必要条件：

（2）若〃％“且夕=>〃，则〃是<7的必要不充分条件：

（3）若/）=q旦qnp,则〃是ty的的充要条件（也说〃和4等价）；

（4）若〃％“且夕£〃，则〃不是“的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：〃nq,则〃是4的充分条

件，同时夕是〃的必要条件.所谓,•充分”是指只要〃成立，夕就成立；所谓'‘必要''是指要使

得〃成立，必须要q成立（即如果4不成立，则〃肯定不成立）.

二.全称量词与存在量词

（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题”对M中的

任意一个x,有p（x）成立“可用符号简记为读伸'对任意x属于有p（x）

成立”.

（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存

在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在

”中的一个%,使p（%）成立"可用符号简记为“*€M,P（.r0）”，读作“存在M中元素X。,

使PC%）成立''（存在量词命题也叫存在性命题）.

三.含有一个量词的命题的否定

（I）全称量词命题p:VxwM,p（x）的否定为叫eM,力（小）.

（2）存在量词命题p:叫€M,p（A））的否定-p为Vxe.

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【解题方法总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={%।p(x)}.4="⑷幻}.

(I)若A=B,则〃是夕的充分条件(〃=>“)，4是〃的必要条件；若A肿，则p是

4的充分不必要条件，q是〃的必要不充分条件，即〃=g「Lq%〃；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若BqA,则〃是q的必要条件，q是〃的充分条件；

(3)若4=8,则〃与“互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于•(=)大于(》小于(<)是都是任意(所有)至多有i个至多有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有

⑺(<)(>)

(I)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合例中的每一个元素上证明其

成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个人，使得其不成立即可，

这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断•个存在量词命题为真命题，只要在限定集合加中能找到一个与使之成立

即可，否则这个存在量词命题就是假命题.

必考题型全归纳

题型一：充分条件与必要条件的判断

【解题总结】

1、要明确推出的含义，是〃成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集

合.

3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.

例1.(2024•江苏扬州•扬州中学校考模拟预测)已知向量己=(而「9),1),贝U

“〃=-3”是“〃/区”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若〃?=—3,WJ5=（9-9）=9/；,所以之“：

若淳而,则加x（—l）-（-9）xl=0,解得加=±3,得不出〃?=-3.

所以“=-3”是“allb”的充分不必要条件.

故选：A.

例2.（2024.全国•高三专题练习）已知直线〃J.平面则“直浅平面/?”是“平面a_L平

面夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若“直线R/平面夕”成立，设/u。，且〃/〃，又立面a,所以//平面夕，又

/<=〃，所以“平面a_L平面夕，成立；

若“半曲a平曲〃”成立，且直线〃，平面a,可推出。〃平面夕或au平曲夕，

所以“直线all平面P”不一定成立.

综上，“直线all平面夕'是“平面a_L平面£”的充分不必要条件.

故选：A.

例3.（2024・天津和平•高三天津一中校考阶段练习）气0$2二=-1”是“8$。=!”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】cos2a=2cos:a-1=--,coscr=±-,

22

所以“cos2a=-；”是“cosa=；”的必要不充分条件.

故选：B

例4.（2024・天津南开•南开中学校考模拟预测）已知〃,AeR,则“a>〃”是“/〉/产的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】若。=0>4则不成立，若同>/，旦。<0=6,此时/推不出〃>6,

所以%>〃”是的既不充分也不必要条件

故选：D

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【解题总结】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

例5.（2024.山东潍坊.统考二模）若"x=a”是“sinx+cosx>l”的一个充分条件，则a的一

个可能值是.

【答案】:（只需满足aw（2E,2E+£|仕wZ）即可）

【解析】由sinx+cosx>1可得&sin卜则岫+日呼，

所以，2履+：<x+；<2E+,（LeZ）,解得2E<x<2E+］（ZeZ）.

因为“x=a”是“shu+cosx>l”的一个充分条件，故a的一个可能取值为

故答案为：4（只需满足。$2也.2布+弓］w€2）即可）.

4k2）

例6.（2024.上海长宁・统考二模）若"x=l”是的充分条件，则实数。的取值范围为

【答案】（—」）

【解析】=是“x>a”的充分条件，.•」=l=x>a,.”<1,

即实数。的取值范I目为（—1）.

故答案为：

例7.（2024・全国•高三专题练习）若“xv2”是“工<〃”的必要不充分条件，则〃的值可以是

.（写出满足条件。的一个值即可）

【答案】0（答案不唯一，满足。<2即可）

【解析】由于“x<2”是“戈<，”的必要不充分条件，所以。<2，

所以。的值只需小于2即可.

故答案为：0（答案不唯一，满足。<2即可）

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【解题忌结】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

例8.(2024.河北•高三学业考试)设非空集合?，。满足PcQ=P,则下列选项正确的是

()

A.VxwQ,有xwPB.Tx任Q,有x2P

C.改名。，使得xwPD.BxeP,使律式建。

【答案】B

【解析】•・夕0析=尸，

当。些。时，3x°wQ,使得七任P,故A错误；

-PQQ,；.VxeP,必有xwQ,即BreQ,必有xwP,故B正确：

由B正确，得心圮Q,必有XWP,••.玉•纪Q,使得XCP错误，即C错误：

当P-Q时，不存在使得玉壬Q,故D错误，

综上只有B是正确的.

故选：B.

例9.(2024•全国福三专题练习)己知下列四个命题：①Vxe(0,w),

xxx

a>b,②D.rw(0,l),logdx>log,,x,③(0,1),入•">/,④3xe(0,6),a>logax.

其中是真命题的有()

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】C

【解析】对于①，由0<…<1得：!>1,VXW(OM),’0>闾°=1,则

a'>bx,①正确；

对于②，V^e(O.l),log,a-log/?=log—<log,1=0,即0vlog、a<log、〃，则

b

loguxx>loghA,②正确;

对于③，函数y=D在(0,1)上为减函数，而则即

V-ve(O.l),/,③错误;

对于④，当XG（O,〃）时，a'cl，log4Ix>logub>log（,a=\,即a'〈log。x,④错误，

所以所给命题中，真命题的是①②.

故选:C

例10.（2024.贵州毕节・统考模拟预测）宜线4：x+（l+a）），=l-MaeR）,直线

l.：y=~xt给出下列命题：

-2

①mawR,使彳寻〃〃2：②亚/wR,使得4,4：

③VawR，乙与/,都相交：④丸/wR,使得原点到4的距离为2.

其中正确的是（）

A.①②B.②@C.②④D.①④

【答案】C

1_1

【解析】对于①，若则一石？二一5,该方程组无解，①错：

I—a，0

对于②，若，j,则卜士）｛一扑7,解得…|，②对；

对于③，当4=1时，直线4的方程为X+2），=0,即y=—此时，4、4重合，③错：

对于④，直线乙的方程为x+（〃+l）y+a-l=0,

|«-1|

若mawR,使得原点到《的距离为2,则J+（a+i）2=2,整理可得3/_10〃+7=0,

A=100-4X3X7>0,方程3a2-IOa+7=O有解，④对.

故选：C.

题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论

变否定.

2、全称量词命题和存在鼠词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

例11.（2024・四川成都•三模）命题"VxwR,x2+A1K0”的否定是（）

A.丸wR,x：+为一140B.3x0€R.Xo+x0-l>0

2

C.VAGR,x+x-l>0D.3x0GR.A,Q+^0-I>0

【答案】B

【解析】由题意可得，”\^€!<X2+大_]£0”的否定是三%G1<¥+$一1>。，

故选：B

例12.（2024・贵州贵阳・统考模拟预测）已知命题p：V〃wN,2"-2不是素数，则3为

（）

A.三〃任N,2"-2是素数B.V〃wN,2"-2是素数

C.▼〃任N,2"-2是素数D.3z:GN,2"-2是素数

【答案】D

【解析】命题〃为全称量词命题，该命题的否定为r，J〃eN,2"-2是素数.

故选：D.

例13.（2024.四川成都・成都七中统考模拟预测）命题”有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都小是素数

C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数

【答案】B

【解析】由于存在量词命题P：hwM,p（x）,否定为.所以命题“有一个

偶数是素数''的否定是“任意一个偶数都不是素数

故选：B

题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【解题总结】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命

题，去求真命题的补级即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取

到.

例14.（2024・全国•高三专题练习）若命题“孔€[-1,3],凉-伽-1h+3-〃<（）”为假命

题，则实数x的取值范围为（）

A.[-1,4]B,0,|C.[-L0]UD.[TO）U0，4

【答案】C

【解析】命题叼ae[T3],a--(2〃-1)4+3-"0”为假命题，其否定为真命题，

即“双«-1,3],加一(为一1卜+3-心0”为真命题.

令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=，-2x-1)。+x+320,

则W"即H+3X+4N。,

1g(3)>0(3x--5A>0

解得卜A或AWO'所以实数”的取值范围为[T0】U|J，4.

故选：C

例15.(2024・全国•高三专题练习)已知命题〃：HxeR,9+2工+2-〃<0,若〃为假命

题，则实数。的取值范围为()

A.(!,+<»)B.[!,+(»)C.(-8,1)D.(-coJ]

【答案】D

2

【解析】因为命题〃：HteR.X+2A+2-6/<0.

所以-P：%wR,*+2工+2-42

又因为〃为假命题，所以为真命题，

即BrwR,/+2工+2—〃之0恒成立，

所以A40,即22-4(2-4)40,

解得。仁,

故选：D.

例16.(2024・全国•高三专题练习)若命题/>:“玉€旦卜2-1卜2+4(1_2.+3&0”是假命

题，则攵的取值范围是()

A.(L7)B.[1,7)

C.(-7,1)D.(-7J]

【答案】B

【解析】因为命题“3xeR,(公一1卜2+4(1_公大+3£0”是假命题，

所以命题“VxeR,(公—l)f+4(l-Z)x+3>0”是真命题,

若公一1=0,即1=1或。=一1,

当攵=1时，不等式为3>0,恒成立，满足题意；

当攵=-1时，不等式为8x+3>0,不恒成立，不满足题意：

A2-l>0

当K-lwO时，则需要满足L,\2A/,->.\々A»

△=16(1--4x(k~-l)x3<0

化-1)仅+1)>0

即《解得l<k<7,

(A:-l)(Ar-7)<0,

综上所述，攵的范围是[L7),

故选：B.

例17.(2024.全国•高三专题练习)已知命题“Dxe[[,2],2、+1-a>0”为假命题，则实数

a的取值范围是()

A.(YO,5]B.[6,+oo)

C.(-3]D.[3,-KC)

【答案】D

【解析】因为命题“TX«1,2],2，+x-a>0”为假命题，则命题的否定“义力,2],

2%+%—aW0”为真命题，所以.1(2，+力二，汗叩，2].

易知函数y=2'+x在[L2]上单调递增，所以当x=l时，y=27x取最小值，所以

d^2'+l=3.所以实数a的取值范围为[3,内).

故选：D.

1.(2022•天津•统考高考真题；为整数”是“2x+l为整数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当x为整数时，2x+l必为整数：

当2工+1为整数时，x比一定为整数，

例如当2x+l=2时，x=i

2

所以叮为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.

故选:A.

2.（20