第2章平稳过程习题答案

第二章平稳过程

I.指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？

(1)设随机过程X(f)=e-x，，。0,其中X具有在区间。丁)中的均匀分布

解：•・•该随机过程的数学期望为

・•・该随机过程不是平稳过程。

12)设随机过程{Xa),-8</<+8}在每一时刻的状态只取0或1数值，而在不同时刻的状态是

相互独立的，且对任意固定的i有

P{X(t)=\}=pP{XQ)=O}=l-p其中Ovpvl

解：•・•该随机过程的数学期望为

mx(0=EX⑴=1•P{X(f)=l}+0-P{X(t)=O)=p(常数)

该随机过程的自相关函数为：

=P{X")=I)P{X(/+r)=l)=p2结果与t无关

/.该随机过程是平稳随机过程。

13)设{X〃,”21}是独立同分布的随机序列，其中X,的分布列为

Xj1-1

，卜1,2,…

2

P

22

定义丫”=力),试对随机序列{匕，〃21},讨论其平稳性。

六1

解：*/EXj=1P{X7=l}+(-l)P{X.=-1)=1.1-1.1=0

/.EYn=E(^Xf)=^£Xy=0(常数)

j=i；=i

又因为随机序列匕的自相关函数。

/In+〃？

RY(//,n+m)=EY(n)Y(n+m)=Em为自然数

_j=lhl

・・・。匕=Xj=XDXj=±[EXj一(EX,尸]=£EX；=np

<>=!)j=i>=•J=I

即工(7/Z)

Ry(〃,n+〃2)=npRY

・•・该随机过程不是平稳过程。

[4)设随机过程X(r)=Acos(例/十中),一8</<十8,其中g为正常数，A,中是相互独立的随机变量,

上.A服从在区间［0.1］上均匀分布，而①服从在区间［0,2万］上的均匀分布。

解：:/"«)=四(7)=E［Acosd［十①)］=(Ida•(—cos^or+(p)d(p=0(常数)

而自相关函数为：

•••该随机过程是平稳随机过程。

(5)设随机过程X(r)=cos3,-8</<+o>,其中出在区间(g-万△,/()+］△)中服从均匀分布。

①一;△，0o+(△)

解：随机变量”的概率密度为八。)=1

0其它

例Q

=EX(/)=f%F-L()()1+A

mJcositdi=——sSIincot("

AA/例

=怖sin伶)cos%不是常数

・•・该随机过程不是平稳过程。

r

(6)设有随机过程X(f)-X十匕roVfV+co,而随机向量(、,丫)「的协旗师为

解：Vmx(t)=EX(t)=E(X+Yt)=EX+tEY

当，工0时/%.(/)不是常数

・•・该随机过程不是平稳随机过程。

(7)设有随机过程X(f)=X+H+Z，2,—8v，<+8,其中X,Y,Z是相互独立的随机变量，各自的数

学期望为0,方差为1。

解：v=EX(t)=E[X+Yt+Zt2]=EX+tEY+12EZ=0(常数)

自相关函数&.",/+7)工&(7)

J该随机过程不是平稳随机过程。

18)设有随机过程XQ)=X(随机变最)，那么£X=a,OX=b2

解：V/w((r)=EX(r)=EX=6/(常数)

•••该随机过程是平稳随机过程。

2.设随机过程X(f)=sin3,其中U是在［0,2上均匀分布的随机变量。试证

(1)假设，£九而7=｛12…｝,而｛X"),/=1,2,…｝是平稳过程；

(2)假设/wT,而丁=［0,+8),而｛X(/),/N0｝不是平稳过程。

证明：(1)•・•该随机过程X(/)=sinUf的数学期望为

MAt)=£X(/)=f—sinvtdv=--cosvt^=--[0082^-11=01常数)

xJo2乃2m2m

・・・｛XQ),/=1,2,…｝是平稳随机过程。

⑵•・・｛X(，)Jw[().+8)｝的教学期望为

T

mv(t)=EX(t)=Es\nVt=[—sinvrJv=--COSVZ|Q=—!—[1-COS2^Z]不是常数

J02乃2加12m

，｛X(/)je[0,+co]｝不是平稳过程。

3.设随机过程

其中如是常数，A与G是独立随机变量。中服从在区间(0,2n)中的均匀分布。A服从瑞利分布，

其密度为

设随机过程y(/)=Acos例Z+Csing/,rov/v+oo,其中B与C是相互独立正态变量，且都具有分布

N(0,<T2)O

(1)试证X")是平稳过程

证明：对于随机过程X(/)=A8s(@o/+①)的数学期望为

(常数)

自相关函数

/.Rs(t,t+r)=2o-~­—cos(w0r=cr'cos(w0r

・•・该随机过程为平稳随机过程。

(2)用本章例4说明丫⑴是平稳过程

证明：VE(B)=E(c)=0DB=DC=cr2>0

根据例4,随机过程丫⑴是平稳随机过程。

4.设S⑴是周期为T的周期函数，而①是在区间(0,T)上的均匀分布的随机变量，随机过程

祢为随机相位周期过程。试问X(t)是否为平稳过程，乂问它是否具有各态历经性

解:,:n\x(r)=EX⑴=£+(p)d(pt+(p=uS(u\du=yJ

(周期函数性质)

・•・/”、.0)=y^S[u}du=常数

又R\(r,r+r)=EX(t)X(t+r)=E[S(t+①)SQ+<D+r)]

・•・S(f)SQ+①)的周期也为T。

%Q,/+丁)=3(S(u)S(u+r)du=y])S(〃)S(〃+r)du=/?v(r)

:.X⑺=5(/+①)是平稳随机过程。

再讨论随机过程X⑴的各态历经性

V<X(o>=lim—广X⑴di=lim—『X(t)dt

/—>4002/Ji/T4O021J1

5.设｛X(r),ev/v+oo｝是随机相位周期过程，它的一个样本函数X⑺如以下图所示。周期7和振幅。

都是常数，相位％是区间(0，7)上的均匀分布，求£XQ)

蒯：根据上图.得

o+

那么E(X(/)]=r«18a：/-/0)/7f//0+(-1)8^(/-/0-^)/7W/0

%T九+GoT4

6.随机过程

其中A和中是相互独立的随机变量，而中在区间(0,2兀)上均匀分布，试问X。)是否具有各态历经性

解：/£¥(/)=E|/4cos(<v0/+4>)]=EA•E8s(gi+中)

=EA-£COS^0/+(p)'^-d(p=EA-Asin(gf+⑼甲=0(常数)

1,「11]27一

----EA~•sin2rw0T(Tsinco{}T+——cos)

2%-----L27-----------co()S

----EA~•sin2(o/----(Tsinco/-\----cos2(DJ--------)

2gL27O)QG

2

=—^—EA•sin2。0r--sin(ocT---!-cos2。()7+——)

2a)oL。2。27%0277yol

・•・该平稳过程具有数学期望各态历经性。

下面讨论相应函数的各态历经性。

令y(f)=X(f)X"+r)(固定/)由于A与中相互独立，那么有

令ff+00那么有

・•・该平稳过程不具备自相关函数各态经性

7.随机过程

其中A和B号均值为零不相关的随机变量，且用2二项2。试证明X(t)具有数学期望各态历经性，

而尢相关函数各态历经性。

解：vmx(r)=EX(t)=E[Asin+Bcosf]=EA-sint+EBcosr=0(常数)

22

=EA[cos(r+r-t)]+EAEBsin(/+/+r)=EA-cosr=Rx(r)

•・•该随机过程是平稳随机过程。

现证数学期望各态历经性

2「sin2r1simTcos27-I-1

=EA----------------------；——->0当了一>+co时n4

T222T2

•••该平衡过程具有数学期望各态历经性

1

=—+—cosrEA-cosr=Rx(r)(利用均方极限的性质4)

/

即自相关函数无各态历经性

8.设平稳过程｛xa),—oov7<内｝的相关函数Rx(7)=4"北"D，其中A,a都是正常数；而

臣(/)=(),试问XQ)对数学期望是否具存各态历经性。

A1+|r|)2

解：•/limRx(r)=lim'f,=0=(EX(r))(L'hospiial法则〕

r-sT—>ooe""

即平稳随机过程X(t)具有limRg=欣

・•・平稳随机过程关于数学期望具有各态历经性。

9.设X")和丫(。是相互独立的平稳随机过程，证明ZQ)=x(r)y(/)也是平稳随机过程。

证明：*/mz(t)=EZ(t)=EX(z)K(r)=£¥“)•£Y(/)=mx-mY(常数)

=EIX(/)X(/+r)]-E[Y(t)Y(t+r)]=RX(T)RY(T)与t无关

・•・随机过程ZQ)=XQ)y(/)也是平稳随机过程。

io.设平稳过程X。)和丫⑴相互独立。令za)=z«)+y(f),试求z«)的自相关函数。

解：RZ(U+T)=£Z(r)Z(r+r)=E[X(t)+K(r)][Z(r+7)+Y[t+r)]

♦：xa),y«)都是平稳过程

AEX(t)=mx(常数),EY(t)=my(常数)

Rz(r,t+r)=Rx(r)+RY(T)+2mx-mY

lr|2

11.平稳过程｛X(/),-8<r<+oo｝的相关函数为Rx(r)=4ecos^r+cos3/zr度求均方值EX(r)

解：根据平稳过程自相关函数的性质有

13.设有随机过程

其中A包①是相互独立随机变量，而A的均值为2,旗为4；3在(-乃，乃)上服从均匀分布；。在(-5,

5)上服从均匀分布，试求X⑺的自相关函数，并问XQ)是否平稳以及是否具有各态历经性。

解：'/mx(r)=EX(r)=EAcos(W+。)=•£cos(69f+。)

=2psinJj-L.sm谓1-o.(cos0)[-!-郎]=0(常数)

t|1()27V|124

・•・该随机过程具有平稳性。

丁・・D/、4sin5。

又・co/?(r)=co-------=0n=m2

—2rr->x>5Tr

・••该平稳过程关于数学期望具有各态历经性。

又VX(/)X(/+r)⑺Xg/f

・•・该随机过程不具有相关函数各态历经性。

14：设有随机过程

其中平稳过程X(。和汽。仅随机变量V三者相互独立，且mx=0,"7,=0

3r

Rx(7)=2e2'cosg汇,&⑺=9+e~»又EV=2,DV=9

试求Z(t)的数学期望，和相关函数。

3r2

解：•・•Rx⑺=26一刈cosfw0r,Ry(r)=9+e~

22

・•・EX=Rx(0)=2EY=9+1=10

・•・DX=EX2-(EX)2=EX2-m1=2

・•・=EZ(t)=E[VXu)Y(l)]=EV-EX(t)EY(t)=200=0

•；DV=EV2-(EV)2.•・EV2=13ADZ⑴=13-20=260

15：设X〃，是雷达的发射信号，遇到目标的回波信号为却是信号返回时间，回

波信号必然伴有噪声，记为Nit),于是接收机收到的全信号为

假定X(I)和N(I)平稳相关。

(1)求互相函数Rxy(f)；

(2)假设N(t)的数学期望为零，且与X相互独立，求Rxy")。

(1)先求互相关函数

(2)VX(t)与N(t)相互独立，且EN(/)=0

/.RXY(r)=aRx(r一4)+EX(/)-EN(i)=aRx(r-rj

16：设有两个平稳过程

X(f)=Qcos(3(J+①)，Y(t)=Z?sin(ct?(/+<I>),一10<f<+co其中为常数，而①是在(0,

2元)上均匀分布的随机变量，试求Rxy(r)与Rwc(r)。

解：RXY(T)=EX(t)Y(t+r)=E[abcos((f)()t+中)sinQ/+例/+①)]

17.设｛*(/),—</<母；，是独立同分布随机过程，且E(X)/=0,OX(r)=l,试问X(f)是否为

平稳过程？又X")是否均方连续.

解：1网(，)=砧⑺=。(常数〕

EX2=DX=1,7二耐

&(//+r)=EX(/)X(/+r)=«这与/无关

EX(r)-EX(/+r)=0,r^0

・•・该随机过程是平稳随机过程

又因为Rx«)在工=0点不连续，根据定理X")不均匀连续。

18.设卜(。,-8</<收｝是平稳过程

(1)假设存在7>0使得Rx(T)=Rx(0),那么对固定的1有

X(t+T)=X(t),a.s.(提示：P\X-EX\>s\<^-)

£

证明：根据概率论中的契比雪夫不等式有

是平稳过程故£[x(r+r)-x(/)]=()

・•・+7)-X(7)|之(目X(，+乃一X(.=型93

£~8~

,:存在r>o,使得%(7)=0(0)，那么对上式DO.

X(t+T)=X(t\a.S[证毕]

(2)假设X")可导，那么ElX(f)X'(，)]=Rt'(O)

证明：・・•E[X(r)X(r)]=/x(r)l.i.m""+‘")一”")

△ioAr

13)假设X(f)可导，那么X'Q)是平稳过程，且它的相关函数

证明：・・・X«)是平稳过程,故，?“)=，％(常数)，&«"+r)=%«)

而以X5=dLi.mX"+.)-X⑺破(-—碇⑺-。

AtTO加&->0Z

・•・"[(1)=0(常数)

又VR.(td+T)=EXr(r)Xr(/+r)

19.设｛乂(。,-8</<+00｝和｛｝/(。,70</<转｝是平稳相关随机过程。假设X⑺和y(f)满足微

分方程

其中a是非零常数，那么它们的数学期望满足：

证明：两边同时取数学期望有：

即EY'(t)+aY(t)=EX⑴m'Y(t)+amY(/)=mx(Z)

因为XQ),VQ)是平衡随机过程，那么5xS-〃，x(常数)，加y«)-〃W(常数)

0+amY(/)=mx(/)即〃为=—wv

a

20.设｛X«),YO<，<4W｝是平稳过程，且EXQ)=l,RZ)=l+eTH,试求随机变量

S=「X。)力的数学期望和方差.

Jo

解：•・•ES=Erx⑺由=J；EX⑴出=£\dt=1

21.设复随机过程

其中①是在（0,2万）上均匀分布的随机变量，向力o常数，试求ZQ）的相关函数，并讨论其平稳性。

2i（itp

解：•・•%（0=EZ（t）=（研①）=广_Le0"（p=—\\'^e-d（p

Jo24241°

=_L"W广二二1"，叫"2m_“=二I.叫cos%—心亩24—1］=0（常数）

2万i2m27d

随机过程ZQ）=3（叫"力，-8<1+8是平稳过程。

22.设X〃，是数学期望为零的平稳正态过程，又y（f）=X2（f）,求证

证明：显然£［丫（。］=£%2（，）=0（°）=，

+00x2y2exp[--------------—(x2-2rxy+y2\\dxdy其中r=*/

-00-2a2(l-r2),0⑼

]dy令〃=V=^：

crVl-r

f+"x2e~x212<r2dxfX(/^+crVl-r2u)2e2du

2TDJJ—」—

22

1(*+8r->-)，八八i，-r/^a1

=■.___■[r-x-+<y-(l-r-)]x-edx

b4小昌十卷J"3一相』

-00

=cr4[l-r2]4-3r2o-4=2r2(r4+cr4=2R，f)+R；,(0)=&(7)

上面的证明同时也说明y（r）=X2（t）是平稳随机过程。［证毕］

23.（1）以下函数哪些是功率谱密度，哪些不是？为什么？

解：根据功率谱密度的性质，功率谱密度是实的，非负的偶函数,所以S1（。）,S33）,5式⑼不

是功率谱密度，而§2«"）是功率谱密度“

（2）对上面的正确功率谱密度表达式计算自相关函数和均方值

解「邑⑻二看匕co2+121

(I+2)(〃+3))+3692+2

・•・自相关函数为

而均方值为

24.平均过程XQ）的功率谱密度为

求X（r）的均方值

解：vEX%=EXQ）X«）=%（。）=&⑹，力=

25.试说明以下图所示函数不可能是某个平稳过程的自相关函数。

解：如果自相关函数在丁二0连续，那么它必在T上连续，但在该题中自相关函数在

T=0连续，但它并不在（-8,+8）上连续。故该图所示的函数不可能是某个平稳过程的自相关函数。

26.以下平稳过程X⑺的自相关函数，试求XQ）的功率谱密度。

a

(1)&(7)=e~^cosd)0r(a>0)

解：S,(。)=网&«)]=尸丁cosgzj

8_1「'♦■00

e~l,Tcosfc>+<y)zJr=——cos@十例))加

0aJ()

.「[(69+69)2]广力、，1

••1+----；——ecos@+g)rdr=—

a"JJoa

.+8a

/.earcos(a)+co)rdr=-----------

%(}/+(0+软)2

同理=K^尸

Sx(co)=a------------+-----------

Cl~+(啰+0))~Cl~+(69—67o)~

1I予IT一“十

1-------T<r<T

12)&«)={T

0其它

解：：S,(M=F[/?v(r)]=匚R(2"dt=J：[l一母L"公

2T2T“2714•2心⑺

=----costyr=----7[rcos^r-l]=——[nl-cos69/1=——sin——(3J

7。荷iT(J7Teo712

r

Rx(r)=4^cos"+COS3;ZT

]T

解：丁Sx(co)=F\Rx(r)]=F\4e^COS^T+cos3^r1=4F[e~cos^rj+F[cos3^r]

=4[1~1--rl+乃眸(g-3))+5(0+3乃)]

\+((O-7l)~1+(0+万厂

2ar

(4)Rx(r)=(re~(cosZ?r-ab~'sinZ?|r|)其中a>0

2*|r|

解：VSx(co)=F[RX(r)J=F[cre_*(cosZ?r-absin4叫

=F[(j2ea^cosbr-a2absinZ?|r|]

=(j1F[e~1^cosbr]-<j2ab~1F[e~^rsinZ?|r|]

/"(A*fsin相]

而川/川sinZ?|z|]=Je-u|r|sinZ?zrJr=Je~arsin/?rcosGrnr/r

b+Bb-uj

-(j2ab~]

SX(GJ)=<y~-o-------------------------；------------------27：以

+(GT—8)~。〜+(G7+〃)42+3+0)2Cl2+(G7-Z?)2

下平稳过程XQ）的功率谱密度，试分别求X"）的自相关函数

1|GJ\<G7

⑴Sx(⑺=«(

0其它

"」国3）]=（匚•400ir;J

解：Rx3Sx=—P"e'duj=—sinGTOT

2.TJ"。7TT

⑵%⑹=8刎+2中

10,同《10

0,其它

解：Rx（7）"[SxM==匚九（四。如

1一回,MK。。

(3)Sx(。)=«%

0,其它

解：Rx(r)=K[5x(0)]=(匚Sxr

8.200千

COSBTd0=-

2sm3—

%)7zzj()r-2

1

(4)Sx(G7)=

(1+0)

解：论S）,（GT）二—二

/R么/?r(r)=—e

1+GT"2

当4之0时

由于/?x«）是偶函数

⑸5x(vv)=y^—，其中%>OM=1,2,…,〃

W+%

解：:Rx«)=小,(。)]=尸归/1

J=1W+々2」I+/1.

b

⑹gssi(，、\。~其a它[0区2a

-1

解：•・•Rx(r)=F[Sx(az)]=—CSx(ujy^dcu

24j

=—「""e油Zs+-L\2ab2eitOTdGJ

2〃J-2。2/rJa

28：记随机过程

其中X(f)是平稳过程，①为区间(0,2n)上均匀分布的随机变量，斫为常数，且X⑺和

6是相互独立的，论XQ）的自相关函数为/?丫《）,功率谱密度为Sy（o）

试证：（1）丫⑺是平稳过程且它的自相关函数Ry«）=；Rx«）cos巩r

⑵V⑺的功率谱密度为5丫（。）=；［Sx（。一5）-Sx（。+%）］

证明：11）先证丫“）是平衡过程

=mx•，:^-cos（GT（）r+（p）d（p=0（常数）

丫⑴=X（t）cos（gt+中）是平稳随机过程，且&⑺=^Rx⑺cos环/

r

（2）Sy⑺=RRy（r）］=F-RX（r）p^+］/2•

2

=；［Sx（w一%））+S*（s+GT（I）1（利用Fourier变换的性质）

29：如以下图所示系统中，假设输入的平稳过程，输出为

y(r)=X(r)+X(r-r),试求Y(t)的谱功率为Sy3)=2sx(0)0+cosW)

解R?(ZJ+r)=EY(t)Y(t+r)=£[(X(/)+X(r-TXX(/+r)+X(r+r-T)]

=2Sx(0)+Sx(s)""®+Sx(⑺e"0=2Sx(GT)[l+cosfi7T]

(利用Fourier变换的性质)

30：设平稳过程为

其中。是常数，①是在10,2n）均匀分布的随机变量，Q是具有分布密度/（力为偶函数的随机变量,

Z

巨牛与。相互独立，试证X⑺的功率谱密度为：Sx(GJ)=a7[f(GJ)

证明：根据相关函数的定义有：

31：假设二个随机过程

X(t)=A(r)cosG7Z,y«)=8(，)sin力，-oo<+<-KO

其中A(t)和4〃/是相互独立数字期望为零的平稳过程，且有相同的自相应函数。

试证：ZQ)=x“)+yQ)是平桧过程，而x⑺和丫“)都不是平稳过程

证明：:Ex(r)=E[A(t)cos5]=EA(f)•cos3=0

Rx+=E[A(t)costut-A(t+r)cosuj(t+r)]=coswtCOSCGJT+GTT)/?4(r)-^rX“)不是

平稳过程

同理可证r(/)也不是平稳过程。

理证z⑺=X(t)+Y(t)是平稳过程。

因为因z«)=EZ(f)=E[X(r)+y(r)]=EX(t)+EY(t)=0(常数)

=EX(t)X(t+7)+EX(t)Y(t+r)+EY(t)X(t+r)+EY{t}Y{t+r)

=RA(r)cos创cos(函+5)+A8(7)sinasin("+次)

=RA(r)[coscov]=RA(T)COSOK(与/无关)

・•・Z(r)=XQ)+Hr)是平稳随机过程。

32.设平稳过程XQ)和y(f)是平稳相关的,试证：

证明：・・・Rxy(T)=R/(—7)

04-00f+00

,MT

・•.SXY(co)=J,RXY(r)e-dT=J,R次(-力

:，RJSxy3)]=&[S次(M]，/”/Sxy(@)]=-Im[Syx(69)]

33.设X")和y")是两个不相关的平稳过程，数字期望分别为〃.，加丫都不为零，定义

Z(t)=X(f)+Y(t),试求互谱密度SXy(M和Syz(3)。

解：

RXY(T)=£X(/)y(r+r)=EX(t)EY(t+T)=nixmY

芯

：,SXY(a))=F[RXY(T)]=F[mK-mY-1J=mxmYF[\\=2(co)mxmY

z

向Rxz(r)=EX(r)l(r十r)=欣(t)[X(f十r)十Y(t十r)]=/<v(r)十/?xr(r)

・•,Sxz(s)=尸[/"(项=/⑻⑺+0丫(初=FIRX⑺]+/回⑺1

=Sx(co)+2THS(co)mx-mY

34.设复随机过程X⑺是平稳的，试证:

(1)自相关函数满足0(—7)=0⑹。

(2)X")的谱功率是实函数。

证明：VRX(-T)=EX(t)X(t-v)

•••RX(T)=EX(t)X(t-r)=EX(Jt)X(t-T)=EX(t-r)X(O=Rx(r)

(1)式成立。

・・・

又Sx(⑼=F[RX(T)]=J二Rx⑺二由公

iafrinn

=]:瓦7:=J：Rx(-r)edr=^RxMedv

=Sx(①)

即Sx(69)=Sx(M

・•・Sx(⑼是实函数。

35.如果一个均值为零的平稳过程X")(-8v《+8)输入到脉冲响应为

{a>⑴的线性滤波器，试证明它的输出功率谱密度为

解：根据平稳过程的输入谱密度和输出谱密度之间的关系有

其中H(ico)=fh(t)e-,Mdt=Iae^e-^dt

J-ooJ0

=a「/a♦⑹'4二a宣3两，心二^LeSll

Joia)+auico-^a

・华一,)丁(C-Zsin<yT)-l]

a~+co

cosoT-1)一诂-⑷飞皿5T]

a~+co~

2

・•.I"(3)「二，"，(1-2""cosG2+e-2a7~)

cr+。

2

aaT2aT

・•・Sy(0)=Sx(o)|”(M/=,,(1-2e-coscoT+e-)Sx(co).

CT+6T

36.将自相关函数为&⑺=S05(r)的白噪声电压X(/)输入到如以下图所示的二级R-C电珞系统。

(1)求系统的脉冲响应函数。

(2)求输出电压的均方值。

F-：(1)由电学知识可知输出电压所满足的微分方程为:

18

1,1

・•・xa)=y(，)+RG孚+叫。半+R£RG与提

'■dtdtdt~

两边取双边拉普拉氏变换有:

・•・y(〃)=------------------------------------------x(〃)

1+(R?G+RC)P+RR2cle2P72

・•・传递函数”(p)满足:

136

.U/、%-11]9rl1

..H(p)=­[----------1---------]=—[--------------------

4p+182+〃4〃+2p+18

・•.〃(，)=U'[H(p)]=-(e-2t当

4

r>0

0其它

(2)根据定义有：

EY2(t)=&(0)=f+\h2(t)dt=S0「梨(如+1j2产)力二篇

J-8J-81610

37.在如以下图所示的R-C电路系统中，如果输入电压为

其中X0在(0,1)区间上服从均匀分布，。在(0,2n)上服从均匀分布，且X。与。相互独立。试分

别同时间域法和频率域法求输出电毯y⑺的自相关函数。

解：wayl：采用时间域法。

因为该问题的输出电压)C)满足的微分方程为

令”太那么有;誓+刈=.

在上面的方程两边取双边Laplace变换有:

那么｝7〃)=，-X(p)

p+a

a

H(p)=

p+a

而脉冲响应函数为

再求*(。=*。+(：05(2加+。)的自相关函数。

Z?Y(r)=EX(r)X(r+r)=E[(Xft+cos(2加+6))(Xo+cos(2m+2TTT+8))]

加+

=EXI+EXQ-EcosQm+2/rr+8)+EX0•Ecos(20)

=EX；4-0+0+—E[cos(4^r+2m+2，)+cos2^r]

2

=[DX0+(EX0)]+-cos2^r△+2cos2m

3

r+8f+8

/.Ry⑺=J。J。代(4一4-7)力(4)h(A2)dA]dZ2

叶:工飞+(尔尔否-4-)]3一%"见四也

可；J；,a"-吗"4c包+，[；J；'COS2](4一4—7)3-呐-必d4d4

=-+—f，xrxcos2万(/U—4-r)e-a4-“d4d4tc?s2m(当7>。时)

32JoJovh一32〃+4乃2

由于Ay«)为偶函数，故对任意的z■有

way2:采用频域法求解

VSx⑷=F[RX(r)]=F[-+1cos2m]=-F[l]+-F[cos2^r]

23

=-2^(co)+—7r[6(a)-27U)+6(d)­}■2;r)]

34^

而回论)[二—^=

uo+a"+a

a〜27r7i

・•,Sy(M=Sx(M|"(M「二E7⑷+产。-2爪加+2初

271alo,、九a2入、兀a?.八、

---2——-d(co)+————-de(z(o-17r)+————-de(co+2^)

3co~+a~2co~+a~2co~+a'

.1f+8

・・