第03讲 成对数据的统计分析 高频考点精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第03讲成对数据的统计分析(精

讲)

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：成对数据的相关性

题型二：回归分析

角度1:经验回归方程及应用

角度2：非线性经验回归方程及应用

角度3：相关系数〃

角度4：残差分析

题型三：列联表与独立性检验

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：变量的相关关系

(1)两个变量有关系，但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称

为相关关系.

(2)正相关、负相关

从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两

个变量F相关：如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋匏，则称这两

个变量负相关.

(3)线性相关、非线性相关

一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这

两个变量线性相关.

一般地,如果两个变量具有相关性，但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或

曲线相关.

知识点二：样本相关系数

第1页共40页

（1）相关系数，•的计算

变量/与变量y的样本相关系数「的计算公式如下:

£（七一工）（丫-y）

r——区‘一I，唇—----

（2）相关系数「的性质

①当/•>（）时,称成对样本数据正相关；当厂<（）时,称成对样本数据负相关.

当，・=（）时，成对样本数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范围为[-1,1],当I川越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越

强；当I川越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.

知识点三：一元线性回归模型

Y=bx+a+e

（1）数学表述式:如果两个变量之间的关系可以表示为，

E（e）=0,D（e）=b

我们称该式为y关于1的一元线性回归模型.

其中，y称为因变量或响应变量，%称为自变量或解释变量；。和匕为模型的未知参数，。称

为截距参数，匕称为斜率参数；e是y与法之间的随机误差.

（2）经验回归方程

我们将丁=法+〃称为y关于％的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图

ft__

Z（M—x）（y-》）

b=3------------------

形称为经验回归直线，其中J£（工.-方2

<>1

a=y-bx

（3）利用R2刻画回归效果

Z（x-x）2.

尺2的计算公式为*-1-与-------，其意义是尺2越大，残差平方和2（£一）炉越小，

方（凹-亍）2"

1=1

即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.

知识点四：列联表与独立性检验

⑴2X2列联表

如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2X2列联表.

XY合计

第2页共40页

r=oY=\

x=oaba+b

X=1cdc+d

合计a+cb+d，2=a+〃+c+d

(2)独立性检验

n(ad-be)2

依据上述2x2列联表构造统计量/=

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

利用z2的取值推断分类变量x和y是否独立的方法称为z2独立性检验,读作“卡方独立性

检验”，简称独立性检验.

常用的小概率值和临界值表

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

第二部分：典型例题剖析

题型一：成对数据的相关性

典型例题

例题1.(2022•全国•高三专题练习)某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图

所示的散点图.

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

v5101520253035°5101520253035

相关系数为勺相关系数为「2

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

0

51015202530355101520253035

相关系数为勺相关系数为々

下面关于相关系数的比较，正确的是

A.〃<弓B.弓<乙</;<4C.r2<r4<r3<r]D.r,<r2<ry<rx

第3页共40页

【答案】c

【详解】由图可知：勺4所对应的图中的散点呈现正相关，而且4对应的相关性比4对应

的相关性要强，故。<弓<4，弓，G所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情

况可知4<4<0,因此4vq<4<4，

故选：C

例题2.（2022•北京•高二期末）对变量工、）’由观测数据得散点图1,对变量）'、z由观

测数据得散点图2.由这两个散点图可以判断（）

A.变量％与丁负相关，x与z正相关

B.变量”与）.负相关，x与z负相关

C.变量工与丁正相关，工与z正相关

D.变量工与》正相关，x与z负相关

【答案】B

【详解】由散点图可知，变量1与y负相关，变量》与z正相关，所以，尤与z负相关.

故选：B.

例题3.（2022•全国•高三专题练习）对于X,y两变量，有四组样本数据，分别算出它

们的线性相关系数「（如下），则线性相关性最强的是（）

A.-0.82B.0.78C.-0.69D.0.87

【答案】D

【详解】由相关系数的绝对值1,1越大，变量间的线性相关性越强知：各选项中,・=0.87的绝

对值最大.

故选：D

同类题型归类练

1.（2022・全国•高三专题练习）在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（）

第4页共40页

2525

2020

1515

101()

55

05101520250510152025

相关系数，)相关系数，2

2525工------------

2020•••

小\・.

15

・...

・

10io.•

••

••••

55・・・

*

05101520250510152025

相关系数相关系数小

A.i\B.r2C.GD.〃

【答案】B

【详解】由散点图变化趋势可知,?;>0,4>0,4<°，

又第2组散点图中的散点更为集中，更接近于•条直线,

所以4<4，

故样本相关系数最小的是个

故选：B.

2.（多选）（2022•福建三明•而二期末）已知5个成对数据（x,y）的散点图如下，若去掉

点。（4,3），则下列说法正确的是（）

,4L4）

项2,3.5）

•ZX4.3）

C（3：2.5）

£（54）

--------------------------►

O\x

A.变量x与变量y呈负相关B.变量x与变量），的相关性变强

C.残差平方和变小D.样本相关系数，•变大

【答案】ABC

第5页共40页

【详解】由散点图可知，去掉点D后，与X的线性相关加强，且为负相关，所以AB正确，

由于），与工的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C正确，

由于与x的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，

所以样本相关系数，•变小，所以D错误，

故选：ABC

3.（2022•全国•高一课时练习）下列散点图中，两个变量之间存在正相关的散点图的序号为

【详解】由散点图可知：（1）（3）的散点呈左上到右下分布，故为负相关,

（2）（4）的散点呈左下到右上，故为正相关.

故答案为：（2）（4）

题型二：回归分析

角度1：经验回归方程及应用

典型例题

例题1.（2022•四川成都-高三期中（文））某单位为了了解办公楼用电量丁（度）与气

温之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，如下表：

气温M“c）181310-1

用电量y（度）24343864

由表中数据得到线性回归方程为»=-2工+&,当气温为-4C时，预测用电量为（）

A.68度B.67度C.66度D.52度

【答案】A

-18+13+10-13=24+34+38+64=4。

【详解】由表中数据可知:x=--------------=10,

4’4

因为回归方程为»=-2x+。过样本中心，所以占二60,

所以当x=-4时，£=-2K+60=-2X（T）+60=68.

故选：A.

第6页共40页

例题2.（2022•贵州•高三阶段练习（文））某农科所调研得出农作物A近五年的销售单

价（单位：元/公斤）如下表.

年份20172018201920202021

年份编号工12345

单价y1921262935

经计算，>'关于x的回归直线方程为，=八十14,则估计2025年该农作物的单价为

____________元/公斤.

【答案】50

【详解】因为据线性回归方程过样本中心点，

I、।士19+21+26+29+35:1+2+3+4+5p..

所以有-----------------=bx------------+14=>Z?=4,IHlnPy=4.v+14,

把;i=9代入，得3=4x9+14=50,

故答案为：50

例题3.（2022•河南•高二期末（文））2021年是中国加入世界贸易组织20周年，“入

世”是中国对外开放的一个里程碑，中国己经连续11年成为货物贸易出口第一大国，经济

全球化是历史潮流，大势所趋.“入世”20年，中国的发展证明，世界经济离不开中国，中

国发展也离不开世界.下表是中国2016~2020这5年来的国内生产总值（物）数据，已知

年份代码和国内生产总值呈线性相关关系.

年份20162017201820192020

年份代码X12345

国内生产总值）'/万亿美元11.212.313.914.314.7

（1）求年份代码X和国内生产总值》的回归直线方程y=bx+&

（2）预测2022年的国内生产总值.

参考数据：1x11.2+2x12.3+3x13.9+4x14.3+5x14.7=208.2.参考公式：线性回归方程

n

卞=加+金中，&=丹-------,a=y-bx.

江2

r-1

【答案】⑴»=0.9x+10.58

⑵16.88万亿美元

（1）

-1+2+3+4+5.

x==3,

5

第7页共40页

-=11.2+12.3+13.9+14.3+14.7=132

-5

55

=208.2,ZT=l2+22+32+42+52=55,

r=li=l

r208.2-5x3x13.28八八

所以力=-----°------=0.9,

55-5x3~

4=$—以=13.28-0.9x3=10.58,

所以年份代码人和国内生产总值’的回归直线方程5=0.9x+10.58

⑵

令x=7,得夕=0.9x7+10.58=16.88,

所以2022年的国内生产总值大约为16.88万亿美元.

例题4.（2022•吉林•长春市第二实验中学高二期中）郑州是一个缺水的城市，人均水资

源占有量仅为全国的十分之一，政府部门提出“节约用水，我们共同的责任”倡议，某用

水量较大的企业积极响应政府号召对生产设备进行技术改造，以达到节约用水的目的，下

表提供了该企业节约用水技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产用

水），（吨）的几组对照数据：

⑴请根据下表提供的数据，若乙）'之间是线性相关，求）'关于x的线性回归方程§=加+3

（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产用水为150吨，试根据（1）求出的线性回归方

程，预测技术改造后生产100吨甲产品的用水量比技术改造前减少多少吨水？

X12345

y22.53.74.36.5

【参考公式】

【答案】⑴R=1.08X+0.56

⑵41.44

⑴

-1+2+3+4+5.2+2.5+3.7+4.3+6.5.o

根据题意得:x=----------------=3，y-----------------------=3.8

55

之内一九7

1x2+2x2.54-3x3.7+4x4.3+5x6.5-5x3x3.8

所以人二七-------=1.08,

(12+22+32+42+52)-5X3X3

第8页共40页

所以%=$,一发=3.8—1.08x3=0.56，所以§=1.08x+0.56.

⑵

当x=100时，¥=1.08x100+0.56=108.56，

所以改造后生产100吨甲产品减少的用水量为：150-108.56=41.44吨.

例题5.（2022・山西-模拟预测（文））机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对

机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保

险.机动车辆保险般包括交强险和商业险，商业险包括基本险和附加险两部分.经验表

明新车商业险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的相关数据：

购车价格x（万元）5101520253035

商业险保费y（元）1737207724172757309736223962

⑴根据表中数据，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01）；

（2）某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上一年没有出险，则下

一年保费倍率为85%,上一年出险一次，则下一年保费倍率为100%,上一年出险两次，则

下一年保费倍率为125%.太原王女士2022年1月购买了一辆价值32万元的新车.若该车

2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，王女士到汽车维修店询价，预计修车费用为

800元，理赔人员建议王女士自费维修（即不出险），你认为王女士是否应该接受该建议？

请说明理由.（假设车辆2022年与2023年都购买相同的商业险产品）

参考数据：火X，=4456051=2809.86,£<=3500.

1=1/=1

■n

2（巷一项Y♦一?）—格

参考公式：-----------=弓---------.

£（8-对储”加2

J=!1=1

【答案】⑴»=74.6支+1317.66

⑵王女士应接受理赔专员的建议；理由见解析

（1）

-（5+10+15+20+25+30+35）-20（万元），

7

SU-"）（必一'）白'一lxy445605-7x20x2809.86..,.

2（—）2力.7P3500-7x4（2

a=y-bx=2809.86-74.61x20=1317.66

所以$=74.61x+1317.66

（2）

第9页共40页

价值为32万元的车辆的商业车险保费预报值为74.61x32+1317.66=3705.18元.

由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%,

即保费增力II3705.18x25%=926.307匕.

因为926.30>800,若出险，2023年增加的保费大于800元，

所以王女士应接受理赔专员的建议.

同类题型归类练

1.（2022•四川成都•高三期中（理））某单位为了解办公楼用电量），（度）与气温x（°C）

之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，如下表：

气温X(℃)181310-1

用电量），（度）24343864

由表中数据得到线性回归方程为），=-2.r+a，当气温为一4℃时，预测用电量为（）

A.69度B.68度C.66度D.52度

【答案】B

【详解】由表中数据可知嚏=10,亍=40,

根据（x，满足线性回归方程y=-2工+〃,得y=-2x+a，a=y+2x=60，

则回归方程为y=-2x+60，

当K=-4时，y=68,

故选：B.

2.（2022•青海•海东市教育研究室高二期末（文））已知某商品的广告费x（万元）与销售

额）'（万元）之间的数据如下：

X34567

y5.25.96.87.18

根据上表数据可得线性回归方程为$=0.68x+G,则当投入8万元广告费时，销售额约为

_______万元.

【答案】8.64

【详解】解:由题意可得工=-------------=5,y=--------------------=6.6,

则0.68x5+1=6.6,解得々=3.2,

故§，=0.68x+3.2.

当x=8时=0.68x8+3.2=8.64.

故答案为：8.64

第10页共40页

3.(2022・内蒙古•满洲里远方中学高一期末)某种产品的广告费用支出1(万元)与销售额

)'(万元)之间有如下的对应数据：

X24568

y3040605070

⑴作出销售额)'关于广告费用支出x的散点图；

⑵求出)'关于x的线性回归方程；

⑶据此估计估计广告费用为10万元时，销售收入的值.

-X)(yt-y)Z*戊一何

参考公式：A=J----------=-^--------，a=y-bx.

1=11=1

【答案】(1)答案见详解

(2)y=6.5x+17.5

(3)82.5万元

(1)

画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐标系中，作出散点图如图所示:

80

70

60

50

40

30

>

O

6810

(2)

设所求线性回归直线方程为$，=加+4，工=?(2+4+5+6+8)=5,

y=-x(30+40+60+50+70)=50,£W=]45,工为,=138(),

5r=li=l

£y1380—5x5x50

b=-.........=------------=6.5否=$，一宸=50-6.5x5=17.5,

£,145-5x52

LX：~5X'

因此，所求线性回归方程为f=6.5x+17.5.

(3)

当x=10时，下的预报值为丁=6.5x10+17.5=82.5(万元)，

第11页共40页

答：当广告费用为10万元时，销售收入约为82.5万元.

4.（2022•四川省通江中学高二开学考试（理））某车间为了确定合理的工时定额，需要确

定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到数据如下：

零件的个数M个）12345

加工的时间N小时）1.52.43.23.94.5

⑴求出），关于x的回归方程；

⑵试预测加工9个零件需要多少时间？

.力NT®；)

参考公式：b=——-j，§=y-^x

【答案】⑴y=0.75x+0.85；

(2)7.6.

(1)

-I+2+3+4+5°-1.5+2.4+3.2+3.9+4.5「

由表中数据得:x=------------=3,y=---------------------=3.1,

55

方及¥=54,2%：=55,

f=lJ=i

54-5x3x3.1

根据公式知：b=-------;—-=075,

f2-255-5x32,

Z"）工西一〃X

1-1/=!

。=夕一版=3.1-0.75x3=0.85,

•・・回归直线方程为：y=0.75x4-0.85.

（2）

将4=9代入回归直线方程得，y=0.75x9+0.85=7.6,

预测加工9个零件需要7.6小时.

5.（2022・全国•高二期中）"H^一五"规划提出单位国内生产总值（GDP）能耗降低20%左右

的目标，“节能降耗〃需要长期推行，这既有利于改善环境、可持续发展，又有利于民众生活

福祉的改善.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产过程中记录的产量x（吨）与相应的生

产能耗），（吨标准煤）的几组对照数据：

X34567

y2.73.54.14.75

⑴请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；

第12页共40页

（2）当该厂产量提升到10吨时，预测生产能耗为多少.

参考公式：回归方程§，=加+6中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

〃H_

Z（“可（凹-到2川-

力=J--------=-^---------，a=y-bx.

之苍-可一EY-怖2

1=1f=1

【答案】⑴…58X+1.1

⑵当产量提升到10吨时，预测生产能耗为6.9吨标准煤

⑴

切3+4+5+6+7-2.7+3.5+4.1+4.7+5.

解：因为X=------------=5,），=-------------------=4,

JJ

55

=8.1+14+20.5+28.2+35=105.8,gx：=9+16+25+36+49=135.

r=l/=1

105.8-5x5x45.8八

所以$二丹---------=------------------------=------=U.5o

_2135-5x251()

所以4=了一位=4—0.58x5=1.1,

所以了关于工的线性回归历程为J=0.58x+1.1.

⑵

解：当x=10时，5=6.9,

所以当产量提升到10吨时，预测生产能耗为6.9吨标准煤.

角度2：非线性经验回归方程及应用

典型例题

例题1.（2022•云南昆明-高三开学考试）根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年

到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量丁（单位：千吨）与年份的散点图如下:

20172018201920202021年份

记年份代码为x（x=L2,3,4,5）,对数据处理后得:

ytty：1?/

r=lJ-l

第13页共40页

60.451.52107617

⑴根据散点图判断，模型①y=桁+4与模型②y=4+c哪一个适宜作为y关于X的回归方

x

程？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果，建立关于x的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中

的氨氮总量（计算结果精确到0.0D.

参考公式：回归方程“中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

v=.--------=------z-，U=y-vx.

i=!

【答案】⑴模型②适宜作为），关于"勺回归方程.

71R

（2）y=—+2.77,3.97千吨.

由散点图得模型②适宜作为y关于x的回归方程.

由题知:

自"'一"》17-5x0.45x617-5x0.45x63.5

I」__________=____________-______________—_____

昌2_|.5-5x0.452~1.5-5x0.45?-0.4875

c=y-dt=6-7A79x0.45^2.769^2.77»

所以了关于I的回归方程为y=7.18/+2.77,

即y关于X的回归方程为y=上7I上Q+2.77,

2022年对应的年份代码为x=6,得），=7多12+2.77=3.97,

所以，预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量约为3.97千吨.

例题2.（2022•湖北-高三开学考试）设某种植物幼苗从观察之日起，第x天的高度为）'

（cm）,测得的一些数据如下表所示：

第工天

高度）'（cm）0479111213

⑴根据以上数据判断），=法+。与y=d五+c哪一个更适宜作为）’关于*的经验回归方程

（给出判断即可，不需说明理由）？

第14页共40页

（2）根据（1）的判断，建立》关于x的经验回归方程，估计第loo天幼苗的高度（估计的高

度精确到小数点后第二位）；

（3）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机选取其中的4个点，记这4个点中幼苗的高

度大于》的点的个数为X,其中9为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量X的

分布列和数学期望.

附：对于一组数据、（七,然），其经验回归直线方程？=欣+4的斜率的最小

nn__

汇（七一手）（》一?）“工/一〃石

二乘估计为b=J------------=耳---------.

次匕-叶欣2

J=l1=1

【答案】（l）y=d4+c

⑵北瓢号，20«（cm）

⑶分布列答案见解析，数学期望为与

（1）

根据表中数据可得y=""+c更适宜作为）'关于x的经验回归方程；

（2）

令〃=五，则），="〃+c,根据已知数据表得到如下表：

Xi4916253649

P-4xi2345G7

y0479111213

；283-7x4x859

140-7x16-28

故y关于1的经验回归方程

2«o

令x=100J=h20.64（cm）；

（3）

这7天中幼苗高度大于》=8的有4天，X服从超几何分布，其中N=7,M=4,〃=4

第15页共40页

P（X=l）q；P（X=2）=提尸（X=3）=*P（X=4）=（;

JJJJJJ

所以随机变量4的分布列为：

X1234

418121

P

35353535

416

随机变量X的期望值E（X）=4x,=亍.

例题3.（2022•全国・高二课时练习）为研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促进粮

食增产，减少对周围环境的污染，某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，

并对这些数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值，其

中，化肥施用量为工（单位：千克），粮食亩产量为了（单位：百千克）.令4=ln%,

z/=In>;.（/=1,2,-J0）.

10101010

Zx

/=!/=1

65091.552.51478.6

却10，01010

r=!J=li=l

30.5151546.5

（1）根据散点图判断，），="+阮与y=哪一个更适宜作为粮食亩产量》关于化肥施用量》

的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立）'关于x的回归方程，并估计化肥施用量为27千

克时，粮食亩产量的值；

ft

Z"泻一〃而

附：①在回归直线方程々中，3=弋-------------,a=v-fin；

之U”疝*

/-I

第16页共40页

【答案】（1）,y=以"更适宜作为y关于X的回归方程模型

（2））,=」；810千克.

（1）

由散点图可知：）'随x的变化呈现非线性的变化趋势,

y=以"更适宜作为）'关于％的I可归方程模型.

（2）

由y=得：Iny=dInx+Inc,即z="/+lnc,

运

30.5-10x1.5x1,51

d=/=1Inc=z-t/T=1.5——x1.5=1,

n46.5-10xl.52"3'

I?，—3

；=i

.\c=e,y关于x的回归方程为：）,=』；

当3=27时，y=3e=8.1,即当当化肥施用量为27千克时，粮食亩产量为810千克.

例题4.（2022•广东佛山・高三阶段练习）国庆期间，某市文旅部门在落实防控举措的同

时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应.下面是文旅部门在某地区推出六款

不同价位的旅游套票，每款的套票价格汇（单位：元）与购买人数》（单位：万人）的数据

如下表：

城市展馆科乡村特色红色景点登山套游园套观海套

旅游类别

技游游游票票票

套票价格］（元）394958677786

购买数量>'（万

16.718.720.622.524.125.6

人）

在分析数据、描点绘图中，发现散点（43）（14注6）集中在一条直线附近，其中匕=m.£,

利=In

（1）根据所给数据，求》关于x的回归方程；

附:①可能用到的数据：之力4=75.3,£匕=24.6,£^=18.3,Jv,2=101.4.

/=!r=!i=lf=!

②对于一组数据3⑼），（岭，秋），…，（匕，例），其回归直线“=/n，+a的斜率和截距的最

〃__

£vicoi-nvco

小二乘估计值分别为'———,a=^-hv.

1=1

第17页共40页

【答案】⑴

【详解】（1）因为散点&必）（l<i<6）集中在一条直线附近，设问归直线方程为&=从,+

由八:工斗"打，①=。£⑨=3.05,

6r-l6i=|

各―晶75.3-6x4,1x3,051—丁…「一

则八弋2T=®.4-6X4/2=7-^v=3.05--x4.1=l,

乙匕一,八，

1-1

所以变显“关于y的回归方程为G=:U+I,

因为匕=加玉，供=lny”所以ln），=：lnx+l,故）,=口

综上，了关于x的回归方程为）,=ef；

同类题型归类练

1.（2022•福建省福州延安中学高二期末）某公司对某产品进行市场调研，获得了该产品的

定价x（单位：万元/吨）和一天的销售量y（单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统

计表，并作出了散点图.

⑴根据散点图判断，y="+法与y=c+L「哪一个更适合作为），关于x的经验回归方程模型:

（给出判断即可，不必说明理由）

⑵根据（1）的判断结果，试建立），关于x的经验回归方程；

⑶若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据（2）的经验回归方程，预计定价为多少时,

该产品一天的利润最大，并求此时的月利润.（每月按30天计算，计算结果保留两位小数）

第18页共40页

-可（尤-反）-，时

参考公式：经验回归方程？=良+6，其中Bza-------；—=-4--------，a=y-bx.

/=1；=1

【答案】⑴y=c+hx，

（2）y=-5+—；

x

⑶定价为0.45万元/吨时，一天的利润最大，月利润最大为45.00万元.

（1）

根据散点图知y=c+h/更适合作为），关于x的回归方程.

（2）

令Z=L则尸c+攵・z,

X

10_

gza-e，350-10x10x3

/=i

c=y-k'Z=-5,y=-5+—,

x

•••，关于X的回归方程为了=-5+』.

x

（3）

一天利润为7=»。-0.20）=（；-5）。-0.2）=6—5（入+¥）46-10辰=1.5.

（当且仅当x=々02•即x=0.45时取等号）

每月的利润为30x1.5=45.00（万元）

・.・预计定价为0.45万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元.

2.（2022•全国•高二课时练习）某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制

成表格如下：

表1

年份20112012201320142015

年份序号X12345

营业收入），（亿元）0.520.3633.6132352

年份20162017201820192020

第19页共40页

OI2345<b71V10山年的字号

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型）"和〃均为常数）来拟合y和x

的关系，这时，

可以令，=/，得y=/”+〃，由表1可得】与），的相关数据如表2.表2

t1491625

y0.5293633.6132352

t36496481100

y571912120716822135

⑴根据表2中数据，建立），关于1的回归直线方程（系数精确到个位数）；

⑵根据（1）中得到的回归直线方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4000亿

元的年份.

f(“厂斤)(匕-万)

参考公式；回归直线方程£=瓦+&中，3=J-----------------,a=v-pii.

E(z<-«)2

f=1

10)10

参考数据：7=38.5,y=703.45,£(r.-Ff=1.05Ixi04,-?)=2-327><,()5-

j=lr=l

【答案】⑴5=22-144

(2)3574亿元，2024年

(1)

£10(—)(%-刃

〜2.327x1()5

解：易得----------%1.051X104«22,

E(—)2

1=1

第20页共40页

a=703.45-22x38.5«-144,

故y关于/的回归直线方程为y=22・144.

（2）

解：2023年对应的，的值为169,故该年的营业收入为$=22x169-144=3574（亿元），

所以估计2023年的营业收入为3574亿元.

依题意，有22，-144>4000.解得0188.4,即％?>188.4.

因为13v「188.454,

所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14.即2024年.

3.（2022•吉林・长春吉大附中实验学校高二期末）某市统计了该市近五年的环保投资额了（万

元）得下表：

年份201720182019202020