第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想-2024年新八年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）

第04讲解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想

◊＞模块一思维导图串题型

题型一三角形中利用面积求斜边上的高

题型二几何图形中巧妙割补求面积

地型三~勾股树”及其柘展类型求面积

勾股定理与面积问题、方程思想

跳型四几何图形中的方程思想一折&问题（利用等边建立方程）

题型五几何图形中的方程思想一公边问题（利用公边建立方程）

题型六实际问题中的方程思想

◊＞模块二题型归纳举一反三------------------

【题型一三角形中利用面积求斜边上的高】

］例1.（2023上•江苏南通八年级校考阶段练习）如图，“ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方

形网格的格点上，则AC边上的高是.

【变式1-1］（2023上•广东深圳•八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成•个

大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到则58C中A8边上的高是—.

【变式1・2】（2023上•吉林长春•八年级校考期中）如图，5x5网格中每个小正方形的边长都为1,.4?。的

顶点均为网格，的格点.

1

(1)AB=，BC=,AC=

⑵次BC的形状为__________三角形；

(3)求A8C中AC边上的高.

【变式1・3】(2023上•江苏盐城•八年级统考期中)我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与

这条边上高的长度之差.如图1,中，A。为灰?边上高，边8c的“边高差”等于3C-4),记为"8C).

图1图2

⑴如图2,若中，AB=AC,NBAD=NCAD,AD=5f80=3,则/?(8C)=

(2)若一ABC中，ZB=90°,AB=5,BC=\2,则/?(AC)=；

(3)若_A8C中，A3=25,AC=17,8c边上的高为15,求取3。)的值.

【题型二几何图形中巧妙割补求面积】

1Yl例Z如图，在四边形A'。。中，已知/690°,ZACB=30°,AB=6,AD=\3,CD=5.

(1)求证：.ACQ是直角三角形;

(2)求四边形48co的面积.

2

【变式2・1】已知〃，b,c是_4BC的三边，且〃=26，0=3而，c=疯.

(1)试判断A8C的形状，并说明理由；

⑵求/8C的面积.

【变式2・2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1,<8。的顶点在格点上.

(I)直接写出三角形的周长，面积

(2)直接写出AC边上的高=.

【变式2・3】计算：如图，每个小正方形的边长都为1.

(1)求线段与的长；

(2)求四边形48co的面积;

(3)求证：ZBCD=90°.

【题型三“勾股树”及其拓展类型求面积】

住］例3.如图，在RtZ\A8C中，/BAC=90。,分别以R【Z\A8C的三条边分别作等腰直角三角△A6D,

▲BCE,AACF,若它们的面积分别表示为S2,S3,jjliJS,,S2,S3的关系是()

3

（3）拓展应用：如图，R△ABC中，N84C=90。，分别以..ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形:

△ABD、XACE、ABCF,若图中阴影部分的面积$=7.5,$=3.5,S3=5.5,则S-.

【题型四几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程）】

例4.已知直角三角形纸片A8C的两直角边长分别为6,8,现将一48c按如图所示的方式折叠，使

点A与点8重合，则CE的长是（）

25

D.

氏7

【变式4・1】如图，有一块直角三角形纸片,ZC=90°,AC=4,BC=3,将斜边A4翻折，使点B落在直

角边AC的延长线上的点£处，折痕为A。，则80的长为（）

B.1.5u1D.3

【变式4-2】如图，将长方形纸片A8CO折叠，使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为E/L

(I)求证：BE=BF.

(2)若AB=4,A£>=8,求所的面积.

【变式4・3】如图.在RlAAAC中，ZC=90°,把以/?「沿直线D石折叠,点A与点A重合.

5

(1)若N£BC=16。，则NA的度数为_；

(2)若AD=5,BC=6,求CE的长；

⑶当一3CE的周长为砥加>0),48=〃(〃>0),求/5C的面积.(用含机、〃的代数式表示)

【题型五几何图形中的方程思想一公边问题(利用公边建立方程)】

例5.已知：如图，在.工8C中，ZC=90°,AO是,ABC的角平分线，8=3,80=5,则AC=

【变式5・1】如图，在RtZiABC和RtZMOE中，ZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,延长BC,DE交于

点M.

⑴求证：点4在NM的平分线上；

(2)^AC//DM,/W-12,18,求8c的长.

【变式5・2】(23-24八年级上•江苏南京.阶段练习)已知..ABC中，AB=AC=5,BC=8,点、D在BC边上.请

从A,3两题中任选一题作答.

6

A

A.如图1,若AD_LA3；

B.如图2,若BD=AB；

我选择A题，则4。的长为

我选择B题,则A。的长为.

【题型六实际问题中的方程思想】

例6（2023上•河南郑州•八年级校考期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形,

在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池

边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？

【变式6・1】如图1、2（图2为匿I的平面示意图），推开双门，双门间隙C。的距离为2寸，点C和点。

距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则4B的长是（）

7

4.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

【变式6-2】在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点4B,其中A3=AC,由于某

种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点"(4、H、8在一条直

线上)，并新修一条路C”,测得C8=1.5千米，CH=1.2千米，”8=0.9千米.

⑴问C”是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明.

(2)求原来的路线AC的长.

【变式6・3】大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所.如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中

间是过道，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度8C=3〃z,BE=\m.

(1)要想求AC的长度，我们可以设AC为则43=

(2)请求出滑梯AC的长度.

8

6模块三小试牛刀过关测--------------------

一、单选题

1.（2024・陕西商洛•二模）如图，，工8C的顶点A,B,。均在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边

上的高为（）

&底n86「小n4石

八・O・LLz・

2585

2.（2024•江苏镇江•二模）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今

有垣高一丈.倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？其内容可以表述为：“有一面

墙，高1丈.将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上.如果使木杆下端

从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上.问木杆长多少尺？“（说明：

1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）

A.（x+l）2=x2+102B.102+（x-l）2=x2

C.x2=（x-l）2+l2D.（x+l）2=x2+l2

3.（23-24八年级下•广东中山•期中）如图，在RtZ\A8C中，NC=90。，4C=6,BC=8,将它的锐角A翻

折，使得点A落在边8c的中点。处，折痕交AC边于点E,交AB边于点F,则OE的长为（）

4.（23-24八年级下•四川泸州•期中）如图，所有的四边形都足正方形，所有的二角形都足直角二角形，其

中最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,。的面积的和为（）

9

A.4B.5C.10D.25

二、填空题

5.（23・24八年级下•江西宜春•阶段练习）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵

地，去本四尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离

竹根4尺，试问折断处离地面尺.

6.（23-24八年级下•河北邢台•阶段练习）如图，在网格图中，小正方形的边长均为1,点A,B,C均在小

（2）在..ABC中，边上的高为.

7.（23-24八年级下•广东广州•期中）如图，在中，Z4CB=90°,BC=6,点。为斜边上的

一点，连接8,将△8CO沿C。翻折，使点3落在点£处，点尸为直角边AC上一点，连接。尸，将匹

沿。〃翻折，点A恰好与点石重合.若4）=5,则的长为.

8.（23-24八年级下•山东荷泽・期中）如图，己知”=1,过点P作1。尸，且PR=1；再过点出乍£81。生

且R£=l;又过点八作6A且6A=1；又过点A作62,。吕且AB=1;……，按照这种方法依次

作下去得到一组直角三角形Rl^O尸6，氐△。[巴，为△。66，……,它们的面积分别为航，

S2,S3,S],.......>那么§2023=•

10

03

Pi

PA

P\

O

三、解答题

9.（23-24八年级下.山东济宁.阶段练习）如图，有两只猴子在一棵树高5m的点B处，它们都要到A

处的池塘去喝水，其中一只猴了•沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另•只猴子爬到树顶。后直线跃向

池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶。到池塘A的距离有多少米？

D

10.（23-24八年级下•江西南昌・期中）如图是一张直角三角形力纸片，ZC=90°,AC=6,Z?C=8.

（1）在图1中，将直角边AC沿AO折叠，使点C落在斜边A8上的点E处，求8的长;

（2）在图2中，将.BAG沿尸G折叠，使点片与点A重合，求所的长.

11.（23-24八年级下•山东淄博•期中）在四边形A8CO中,

NZM8=NB=NC=NQ=90°,AB=CQ=10,BC=AD=S.

DC

AB

备用图

II

（I）若尸为边上一点，如图①将沿直线AP翻折至的位置，当点8落在CD边上点E处时，

求P8的长：

⑵如图②，点Q为射线。。上的一个动点，将△AOQ沿AQ翻折，点。恰好落在直线8Q上的点N处，求。。

的长.

12.（23-24八年级下•北京海淀•期中）如图，在△ABC中，AB,AC三边的长分别为友,9,行，

求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再

在网格中画出格点J8C（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需求“AC

的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将A8C的面积直接填写在横线上：：

（2）思维拓展：我们把上述求AABC面积的方法叫做构图法.若/8C三边的长分别为2加〃，厢a，

同（a>0）,请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为。）画出相应的一ABC；并求出它的面积

（3）探索创新：若.三边的长分别为名固+⑹广,也府+4"，2+/（〃］〉0,〃>0,且加工〃）请

用以上方法求工8c的面积.

13.（23-24八年级上•山西太原•期中）请阅读下面文字并完成相关任务.

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石在我国最早对勾股定理进行证明的是

三国时期吴国的数学家赵爽.

⑴如图I是著名的赵爽弦图，由四个全等的史角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形

的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即

12

5力x4+(〃-从而得到等式。2=904+(〃-不，化简便得结论这里用两种求法来表示

同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法现在，请你用“双求法'’解决下面问题:

如图2,在_48C中，AO是3c边上的高，A8=4,AC=5,BC=6,设求工的值.

图1图2

(2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽

的弦图.

如图3,如果大正方形的面积为18,直角三角形中较短直角边长为较长直角边长为力，且/+〃="+10,

那么小正方形的面积为

(3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是.

A.函数思想B.整体思想C分类讨论思想D.数形结合思想

14.(23-24八年级上•山西运城・期中)综合与实践

勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》

中就有“若勾三，股四，则弦五''的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图

13

⑵如图4,以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断号，邑，Sj的关系并证明.

(3)如图5,将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线)的周长为80,OC=5,

直接写出该飞镖状图案的面积.

14

第04讲解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想

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题型一三角形中利用面积求斜边上的高

题型二几何圄形中巧妙割林求面枳

题型三“勾股树”及其拓展类型求面积

勾股定理与面积问题、方程思想

题型四几何图形中的方程思想一折&问题（利用等边建立方程）

题型五几何图形中的方程思想一公边问题（利用公边建立方程）

题型六实际问题中的方程思想

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【题型一三角形中利用面积求斜边上的高】

例1.（2023上•江苏南通八年级校考阶段练习）如图，MAC的顶点A,R,C在边长为1的正方

形网格的格点上，则AC边上的直是

【答案】V2

【分析】本题考杳勾股定理，三角形的面积计算.利用等积法求解是解题关键.由图可知=旦其边

上的高为3,即可求出SX8C=3.由勾股定理可求出4。=30，设AC边上的高为x,结合三角形面积公式

可列出关于x的方程，解出X的值即可.

【详解】解：由图可知3C=2,且其边上的高为3,

S.„r=-x2x3=3.

由图可知AC=j3?+32二班,

设AC边I.的高为x,

15

ABC=；X3AX,

.\-x3x/2x=3,

0

解得：x=叵，

・•・AC边上的高是血.

故答案为：&.

【变式1・1］（2。23上东深圳•八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个

大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到.工8C,贝kA8c中48边上的高是.

【答案】35

5

【分析】作CZ）J_AB于。，根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高CO即可.

【详解】作C0_LAB于。如图所示:

•・•小正方形的边长为1,

A8=Jf+22=5

V5ABC=2x2--xlxl--x2xl--x2xl=1.5,

•••SA8c=gxA8xCO=gx6xCD=1.5，

解得：CD二正,

5

故答案为：述.

5

【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出一ABC的面积等于正方形面积臧去其他3个

16

三角形的面积是解题的关键.

【变式L2】(2023上•吉林长春•八年级校考期中)如图，5x5网格中每个小正方形的边长都为1,j8c的

顶点均为网格上的格点.

⑴A8二，BC=，AC=；

(2).ABC的形状为_________三角形；

⑶求一A8C中AC边上的高.

【答案】⑴2应，4夜，2而

(2)直角

(3)|Vio

【分析】(1)本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解.

(2)主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，直接把三边长度分别平方，可以发现人)+6。2=/^72即

可判定三角形的形状.

(3)考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解.

【详解】(1)由题可知，AB=E/=2五;

BC=y/42+42=4x/2：

AC=y)22+62=2VlO.

(2)解：VAB2=8,8c2=32,AC2=(2710)2=40；

，AB2+BC2=4c?；

・•・MBC为直角三角形.

(3)如下图，过点8作AC的垂线，垂足为。；

•••BD±AC；

•・•A8C是宜角三角形；

：.-AB-BC=-AC>BDi

22

.2V2x4x/2

••DU=------==；

2V10

・•・8。=：标.

17

【变式1・3】(2023上•江苏盐城•八年级统考期中)我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与

这条边上高的长度之差.如图1,.工8c中，人。为8C边上高，边8。的“边高差”等于9C-4D,记为力(8C).

图1图2

(1)如图2,若•工8C中，AB=AC,ZBAD=ZCAD,AO=5,80=3,则M8C)=.

(2)若/8C中，N8=90°,A8=5,BC=12,则%(4C)=；

(3)若二/WC中，AB=25,AC=\7,BC边上的高为15,求爪BC)的值.

【答案】(1)1

⑵吧

13

⑶13或-3

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算；

(1)根据等腰三角形的性质得出40=力C=3,求出8C=6,即可求出结果：

(2)作Z?”_LAC于"，根据勾股定理求出AC=13,根据三角形面积得出;从。"6〃=3丛丛8。，求出

8〃瑶，即可求出结果；

(3)分两种情况画出图形，求出结果即可.

解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为。、。，斜边为c,那么a2+b2=c2.

【详解】(I)解：.AB=AC,ZBAD=ZCADf

•••BD=DC=3,

BC=61

h(BC)=BC-AD=6-5=i.

故答案为：1.

(2)解：如图3中，作于，，

18

ZABC=90°,AB=5,BC=12,

•••AC2=AB2+BC2=\69,

二AC=13,

-ACBH=-ABBC,

22

...於tin=—60；

图3

・•.h.(AC)=AC-BH=\3--=—.

1313

故答案为1詈09.

JIJ

(3)解：如图4所示，

•・ZAZ)8=ZADC=90。，在中，AB=25,AD=15t

根据勾股定理得：BD2=AB2-AD2=400,

BD=201

在RlADC中，AC=17,AD=15,

根据勾股定理得：DC2=AC2-AD2=64,

二£>C=8,

BC=BD+DC=20+8=28,

A(BC)=BC-AD=28-15=13；

如图5所示，

BC=BD-DC=20-S=\2,

19

/!（BC）=BC-AD=i2-15=-3.

综上所述，M3。）为13或-3.

【题型二几何图形中巧妙割补求面积】

例2.如图，在四边形A8CD中，已知NB=9()°,ZACT=30°,45=6,AD=13,CD=5.

.一

(1)求证：.AC。是直角三角形；

(2)求四边形人8c。的面积.

【答案】(1)见解析

(2)186+30

【分析】(1)根据30。角的直角三角形的性质得到AC=2AB=I2,再根据跟勾股定理的逆定理即可得证；

(2)根据勾股定理得到8c=66,再利用三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：VZB=90°,ZACB=30°,AB=6,

/.AC=2AB=\2,

在.ACO中，AC=12,40=13,CD=5,

222

V5+12=13,即5c2+C£>2=AZ)2,

・•・是直角三角形；

(2)解：•••在・工8c中，?B90?,A8=6,AC=12,

,*BC—y1AC2—AB2—yjl22—62=6百»

^S/ARC=-BC?AB为乐6=18x/3,

XVSV/,CD=^ACCD=^X5X12=30,

♦♦,四⑷IMZK；〃=%ABC+SAAB=1*也+3。-

・•・四边形A8CQ为18百+30.

【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，30。角的直角三角形的性质，三角形的面积.熟练掌握勾

股定理的逆定理是解题的关键.

【变式2-1】已知。，b,。是一ABC的三边，且a=2\/5,0=36，c=>/66•

(1)试判断A8C的形状，并说明理由；

(2)求的面积.

20

【答案】（1）.A8C是直角三角形，理由见解析

⑵9&

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解•：

（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解.

【详解】（1）解：“WC是直角三角形.理由：

Va1=（2>/3）=12>护=3瓜）=54,c2=（>/66j=66,

•**a2+〃=c2»

・•...A8C是直角三角形，且NC是直角；

（2）解：工8C的面积=gx26x3指=9&.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

【变式2・2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1,的顶点在格点上.

（I）直接写出三角形的周长，面积.

（2）直接写出AC边上的高=.

【答案】（l）3jil+相，13

（2）|V65

【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；

（2）利用面积法，进行计算即可解答.

【详解】（1）由题意得：

AB2=22+32=13>

802=42+62=52，

AC2=82+12=65,

，AB=瓜BC=2g/C=A；

故周长为：旧+2而+相=38+而；

工BC的面积为：4x8--xlx8--x2x3--x4x6=13,

222

故答案为：3万+病，13；

（2）设AC边上的高为儿

21

•・•/8C的面积为不4。/

.,.-765/?=13,

2

A=—>/65=—>/65,

655

故答案为：^\/65.

【点睛】本题考查了勾股定理和面积法，熟练掌握利用面积法构造方程求出未知元素是解题的关键.

【变式2・3】计算：如图，每个小正方形的边长都为1.

⑴求线段CD与BC的长；

（2）求四边形ABCO的面积；

（3）求证：ZBCD=90°.

【答案】（1）BC=2逐，CD=卡

29

⑵彳

（3）见解析

【分析】（1）根据勾股定理解答即可；

（2）运用分割法解答即可；

（3）连接80,根据勾股定理的逆定理解答即可.

【详解】（I）•・•每个小正方形的边长都为I,

•*-5C=VF+4T=2x/5»C£>=@=卡

（2）S四边彩.R「C=5X5一!xlx5—4xlx4—1x1—<xlx2—!x2x4

2

29

----

2

(3)连接8。,

22

40

,BD=y]32+42=5,

♦：BC2+CD2=（2X/5）2+（V5）2=25,BD2=5?=25,

，BC2+CD2=BD2,

•••△8C。是直角三角形，且8。为斜边，

AZBCD=90°.

【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答.

【题型三“勾股树”及其拓展类型求面积】

WE,△Ab,若它们的面积分别表示为S-S2,S3,MS.,S2,S3的关系是（）

A.S]+S2=S3B.S]+S3=S2

C.S,=S2=S3S.,s2,S3无等量关系

【答案】B

【分析】根据勾股定理可得AC?+人/?2=302,根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式讲行分析即可求

解.

【详解】解：:RtA/ABC中，ZMC=90°,

AC2+AB2=BC2；

•••△ABO是等腰直角三角形，A6是斜边，

,AD=BD，

贝I」AB^ALf+BD2=2心，

23

AD2=-AB2

2

故S］」A£>2=_LA82,

24

同理，S,=-BE2=-«C2,S.=-AF2=-AC\

2424

*/AC2+AB2=BC2,

贝IJ_LAC2+，4〃2=LBC\

444

即Sj+S3=S2,

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【变式3・1】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

8cm,正方形A的面积是8cm\。的面积是14cn/，C的面积是18cm二则。的面积为cm2.

【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面枳和等于最大正方形的面积64,

由此即可解决问题.

【洋解】解：如图记图中三个正方形分别为尸、Q、M.

根据勾股定理得到:人与4的面积I内和是P的面积；C与。的面积的和是Q的面积；而P’。的面积的和是M

的面积.

即A、B、C、。的面积之和为M的面积.

M的面积是8?=64,

「.A、B、C、。的面积之和为64,设正方形。的面积为它n?.

「.8+14+18+x=64,

;x=24.

24

故答案为：24.

【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A,B,C,。的面积和即是最大正方形M的面

积是解题的关键.

【变式3-2］如图，在RlZXABC中，ZC=90°,分别以各边为更径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希

波克拉底月牙"，若BC=3,AC=4,则图中阴影部分的面枳为.

【答案】6

【分析】根据勾股定理求出A8,分别求出三个半圆的面积和..A8c的面积，两小半圆与直角三角形的和减

去大半圆即可得出答案.

【详解】解：在RIAAC8中NACB=90。，BC=3,AC=4,

由勾股定理得：

AB=ylAC2+BC2=V42+32=5»

阴影部分的面积为：

S=L"+〃x⑶+—4」50=6,

2\2）2⑴22⑶

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积.利用规则图形面积的和差关系求阴影

面积是这类题型的关键.勾股定埋是解决.二角形中线段问题最有效的方法之一.

【变式3-3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周

髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦

图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

⑴将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点4、瓜D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定

理.

⑵探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为$，52,邑，请猜想$，52,S3的

等量关系，并证明你的结论.

25

(3)拓展应用：如图，R△ABC中，N84C=90。，分别以..ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：

△ABD、AACE.ABCF,若图中阴影部分的面积$=7.5,$=3.5,S3=5.5,则S-.

【答案】(1)见解析

(2)S]+§2=$3,见解析

(3)1.5

【分析】本题考查勾股定理的证明及运用；

(1)通过三个百■角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推寻出勾股定理：

22

(2)由题意得$=/,s2=btS3=c,可得$+S2=S3；

(3)OE分别交防、CF于点、G、点、H,设AB=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,SAA8G=m,S^ACH=n,

由/+〃=c2,可得S△桢0+S&1a=$△-由此构建关系式，通过计算即可得到答案.

【详解】(I)证明：由题意得与形ADC8=S,AE8+S_8EC+S.W,

C

a

AaEhD

(a+6)(。+〃)abc2ab

=++,

2--2---2---2

，『+2ab+b2=c2+2ab,

2

/+从=c.

(2)解:S,+S2=S3,理由如下，

■:a2+b2=c2»

:.$+$2=§3；

(3)解：如图，DE分别交BF、CF于点、G、点、H,

26

F

D/2

H

Si

S3

Ir

B

•••△ABO,^ACE,ABC户均是等腰直角三角形,

AAB=BD,AC=CE,BC=CF,

设A8=8O=a,AC=CE=b,BC=CF=c,=m,SAACH=n,

:

八即）=g"，SACE=，SKT=1c

XVa2+b2=c2

••'△ABD+S&ACE~SdBCF，

・：S△ABD=S、+ni,S^ACE=〃+S4,S3BCF=S?+S3+m+n

:.S[+，制+〃+S』-S2+S3+tn+n

:.S4=S2+5一S[=3.5+5.5-7.5=1.5.

故答案为：1.5.

【题型四几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程）】

、.例4.已知直角三角形纸片A8C的两直角边长分别为6,8,现将一48c按如图所示的方式折叠，使

点A与点B重合，则CE的长是（）

【答案】B

【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE,设AE=x,则=CE=S-x,再RL/CE中利用

勾股定理即可求出CE的长度.

【详解】解：•••△人。£翻折后与△%>£；完全重合，

:.AE=BE,

设AE=x,则8E=x,CE=8-A,

•・•在Rt,BCE中，CE?=BE?-BC-

即（8-x）2=X2-62,

27

解得，X

4

7

：.CE=-.

4

故选：B

【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性

质，折叠前后图形的形状和大小不变.

【变式如图，有一块直角二角形纸片，NC=90。，AC=4,BC=3,将斜边A3翻折，使点〃落在直

角边AC的延长线上的点E处，折痕为A。，则3。的长为（）

35

A.-B.1.5C.-D.3

43

【答案】C

【分析】利用勾股定理求得A4=5,由折叠的性质可得A4=AE=5,DB=DE,求得CE=1,设OB=OE=x,

则CD=3-x,根据勾股定理可得12+（3-X）2=V,进而求解即可.

【详解】解：VZC=90°,AC=4,BC=3,

；・AB=y]32+42=5»

由折叠的性质得，AB=AE=5tDB=DE,

：,CE=\,

设DB=DE=x,贝lJC£）=3-x,

在RrCED中,l2+（3-x）2=x2,

解得x

J

故选：c.

【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【变式4-2】如图，将长方形纸片ABCO折置，使点。与点3重合，点C落在点C处，折痕为

28

(I)求证：BE=BF.

(2)若:48=4,40=8,求43所的面积.

【答案】（1）详见解析

⑵10

【分析】（1）根据翻折变换的性质得/BEF=4DEF,由平行线的性质得ZBFE=ZDEF,可得ZBEF=/BFE,

根据等腰三角形的判定即可得到结论;

（2）根据勾股定理列出关于线段人石的方程即可解决问题.

【详解】（1）由翻折变换的性质得：ABEF=/DEF,

•・•四边形48CD为矩长方形,

工DE〃BF,

：•ZBFE=ZDEF,

ABEF=ZBFE,

/.BE=BF.

（2）由翻折变换的性质得：BE=DE,

设=则8E=OE=8—x,

由勾股定理得:

(8-x)2=42+x2,

解得：x=3,

；・BF=BE=8-3=5,

:.S•oBEtrF=—2X4X5=10.

【点睛】此题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识.解题的关键

是翻折变换的性质、勾股定理等知识点来解题.

【变式4・3】如图，在中，NC=90°,把“AC沿直线OE折叠，点A与点B重合.

（1）若NE8C=16。，则/A的度数为_；

(2)若4?=5,BC=6,求CE的长;

⑶当ABCE的周长为〃仙>0）,48=〃（〃>0）,求./8C的面积.（用含小、〃的代数式表示）

*【答案】（1）37。

29

【分析】(1)由折叠的性质得到再根据三角形内角和定理得到2/4+16。=90。，由此即可得

到答案；

(2)由折叠的性质可得AE=8E,AD=BD=5,则A8=10,勾股定理得AC=8,设CK=x,则

AE=BE=S-x,由勾股定理得(3-x『=f+62,解方程即可得到答案；

(3)根据三角形周长公式得到/TC+a+/处=,〃，由折叠的性质得AE=3E,由此得到AC=〃LAC,再

根据三角形面积公式得到3c2,利用勾股定理推出;=t匚，则

m-n

【详解】(1)解：由折叠的性质可得N£8Q=NA,

ZC=90°,

JZA+ZABC=90°,

/.NA+/ABE+NEBC=90°，

・•・2/4+16。=90°,

AZA=37°,

故答案为：37。；

(2)解：由折叠的性质可得八。=40=5,

・•・AB=AD+BD=10,

在Rt^AAC中，由勾股定理得AC=《AB-BC?=8,

设CE=x,则AE=8E=8-x,

在Rt砧。中，由勾股定理得3炉=。炉+8。2,

J(8-X)2=X2+62,

解得x=:，

4

4

C

(3)ft?：•・•.BCE的周长为〃K，〃>0),

30

/.BC+CE+BE=m,

由折叠的性质得A£=8石，

:.BC+CE+AE=m,

BC+AC=m»

/.AC=m-BC,

2

：.SAlfC=|ACBC=|BC(m-BC)=；BCm-gBC,

在RtZXABC中，由勾股定理得AC2+8C2=AB，

/.(;H-BC)2+BC2=7?2,

，〃/-28。〃?+28。2=〃2,

A-2BC2+2BCm=ni2-n2,

••-BCm——BC=----------,

224

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键.

【题型五几何图形中的方程思想一公边问题（利用公边建立方程）】

［、1例5.已知：如图，在/8C中，ZC=90°,AO是/8C的角平分线，8=3,BD=5,则AC

【答案】6

【分析】作。如图，根据角平分线的性质可得OE=CD=3,勾股定理求出无，证明

RtACD=RtA£D（HL）,推出AC=AE,设4C=A£=x,根据勾股定理列出方程即可求出AC.

【详解】解：作DE/AB于点、E,如图,

丁在中，ZC=90°,AO是54C的角平分线，8=3,

DE=CD=3,

,,BE=\)52-32=4»

,:DC=DE,AD=AD,

ARtACD=R(AED(HL),

31

・•・AC=AE,

设AC=AE=x,贝lj/AB=4+x,AC=3+5=8,

在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB\

B|J/+82=(.r+4)2,解得：x=6,

即AC=6；

【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟

练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键.

【变式5-1］如图，在〃。和中，N8=NDh90。，AC=AE,BC=DE,延长小。，DE交于

点M.

⑴求证：点A在NM的平分线上；

(2)若AC〃OM,AB=12,8W=18,求8c的长.

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】(I)连接证明&ABCwRtAOE(HL),可得46=41,根据角平分线的判定即可解决问题;

(2)证明CM=AC,设BC=x,所以CW=AC=18-x,根据勾股定理即可解决问题.

【详解】(1)证明：如图，连接AM,

在Rt/\ABC和Rt^AOE中,

32

VZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,

.-.Rl4fiC=RlADE(HL),

.\AB=ADr

AB工BM,AD工DM,

二.MA平分N