第23讲用样本估计总体（原卷版）

第23讲用样本估计总体

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课程标准课标解读

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数1.掌握从常见统计图表中获取有用的信息，体会统

（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数计数学在实际生活中的应用，通过实例，理解百

的统计含义。分位数的含义。

2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数2.掌握求样本数据的众数、中位数、平均数；

（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的3.理解用样本的数字特征、直方图估计总体的集中

统计含义。趋势；

3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律。4.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差，

4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方

位数的统计含义。法。

蹩知识精讲

知识点01用样本估计总体的集中趋势参数

1.平均数

（1）均值：一般地，把总体中所有数据的称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。

2.众数：一组数据中出现次数最多的数。

3.中位数：一般地，将一组数据按照的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间

的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的即为

这组数据的中位数。

【微点拨】平均数、中位数和众数的特点

（1）平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化。容易受

极端值的影响。

⑵中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中（数据个数

为奇数或数据个数为偶数且中间两数相等)，也可能不在所给的数据中(数据个数为偶数且中间两数不相等)。

当一组数据的个别数据变动较大时，可以用描述其集中趋势。

(3)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有多个数据多次重复出现时，众数往往更能反映问

题。

4.频率直方图中的数字特征

(I)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。

(2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积”来求出。

(3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。

A.8间B.9间

C.10间D.11间

知识点()2用样本估计总体的离散程度参数

1.极差：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为.

2.样本方差和样本标准差

3.标准差

因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根称为这

组数据的标准差.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度：标

准差越小，数据的离散程度o

对标准差的理解

(1)标准差反映的是这组数据偏离平均数的大小.在实际应用中，常被理解为。

(2)常结合平均数、方差(标准差)的大小来进行人员的筛选和选拔。

5.分层抽样数据的方差

A.4B.6C.8D.10

知识点03百分位数

i.k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk,它使得这组数据中至少有k%的数

据小于或等于Pk，且至少有(100k)%的数据大于或等于pko

2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤

第I步，将所有数值按从小到大的顺序排列：

第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第位和下一位数之间，通常取这两个位置上数

值的平均数为k百分位数；

3.四分位数：常用的分位数有25百分位数，50百分位数（即中位数）和75百分位数.这三个分位数把一组由小

到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上

四分位数。

【即学即练3】从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下:82,85,88,90,92,92,92,96,96,

98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数，第75百分位数分别为（）.

A.92,85B.92,88C.92,96D.96,96

考法01用样本估计总体的集中趋势参数

（I）求出直方图中用的值；

（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的

方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个.

考法02用样本估计总体的离散程度参数

【典例2】某工厂36名工人的年龄数据如下表.

工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄

A.408.44J.36K.31S.27T.43A8.34AC.39

C.40L38U.4IAD.43

0.41M.39V.374£38

£33N.43W.34AFA2

F.400.45X.42AG.53

G.45P.39K37AH.31

//.42Q.38Z.444.49

7.43R.36AA.42AJ.39

（I）川系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,

列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的平均值7和方差均;

考法03百分位数估计

fii分层提分

题组A基础过关练

1.某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本

量为50,男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约

为（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

A.45B.50C.55D.60

3.甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表

甲乙丙T

平均成绩w环9.08.98.69.0

方差$22.82.92.83.5

如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

上班时间182021262728303233353640

下班时间161719222527283030323637

则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（）

A.28与28.5B.29与28.5C.28与27.5D.29与27.5

5.某班级有50名学生，其中有3（）名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测

验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女牛.的成绩分别为88,93,93,88,93下

列说法一定正确的是（）

A.这种抽样方法是一种分层随机抽样

B.这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数

C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D.该班男生成绩的平:均数小于该班女生成绩的平：均数

6.为了鉴定某种节能灯泡的质量，对其中100只节能灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：（单位：小

时）

寿命450550600650700

只数2010301525

则这些节能灯泡的平均使用寿命是小时.

8.已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：

甲组：27、28、37、4（）、50：

乙组：24、八、34、43、48、52.

若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数分别对应相等，则"=.

m

9.某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如F：

甲:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94.110,107.

乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.

计算出学生甲、乙的25%分位数和50%分位数.

10.某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况正行统计，发现消费金额（单位：万元）都

在区间［0.309］内，其频率分布直方图如图所示.求：

（1）直方图中的。的值；

（2）在这些购物者中，消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的人数.

题组B能力提升练

1.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每口测温报告，以卜是高三一班，二班各io名同学的体温记

录（从低到高）：

高三一班：36.1,36.2,m,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0（单位:℃）,

高三二班：36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,〃，37.1（单位：℃）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

2.一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6,则这个样

本的平均数是（）

A.6.6B.6C.66D.60

A.平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B.平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C.平均数大大增大,中位数可能不变，方差也不变

D.平均数可能不变,中位数可能不变，方差可能不变

7.2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平

台的学习成绩如下：83,85,88,90,91,91,92,93,96,97,则这10名党员学习成绩的75%分位数为

8.一个高中研究性学习小组对本地区2019年至2021年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐

公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得

出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒.

9.某果园试种了A,B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，

记A,8两个品种各10棵产量的平均数分别为［和亍，方差分别为s；和s）

4（单位kg）60504060708080809090

8（单位kg）406060808050808070100

（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；

（2）求x»y»$］，G；

（3）果园要大面积种植这两种桃树中的一利依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由.

10.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布

直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：

高一参赛学生的成绩的众数、中位数.

题组C培优拔尖练

I.若某同学连续三次考试的名次（第一名为1,第二名为2,以此类推，且可以有名次并列的情况）均不超

过3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定

不是尖子生的是（）

A.甲同学：平均数为2,中位数为2

B.乙同学：平均数为2,方差小于1

C.丙同学：中位数为2,众数为2

D.丁同学：众数为2,方差大于1

2.已知一组数据的平均数和方差分别为91,27,若向这组数据中再添加一个数据为91,新数据组的平均

数和方差分别为X,则（）.

3.关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（）

A.质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查

D.为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生4co人，按性别进行分层抽样，样本量按比例

分配，若从女生中抽取的样本量为80,则男生样本容量为60

A.7B.7.5C.8D.9

5.（多选）某汽车制造厂分别从4B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使

用的最远路程（单位:18km）.

根据以上数据估计这两类轮胎的息体情况，下列说法正确的是（：）

A.A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数

B.A类轮胎行驶的最远路程的极差小于8类轮胎行驶的最远路程的极差

C.A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数

D.A类轮胎的性能更加稳定

6.（多选）某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居

民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题

的正确率如图所示，则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的第60%分位数为75%

B.讲座前问卷答题的正确率的平均数大于70%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

7.随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾

客的评价也成为电子商铺的"生命线''.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电

商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为

顾客的评价指数1，得到了如下的频率分布表：

评价指数X

频数1()10204020

(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；

8.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知

程度，对