第27讲 与圆有关的位置关系（练习）（解析版）-2024年中考数学一轮复习讲义

第27讲与圆有关的位置关系

录

题型过关练

题型01判断点和圆的位置关系题型13利用切线的性质定理证明

题型02根据点和圆的位置关系求半题型14切线的性质与判定的综合运

径用

题型03判断直线与圆的位置关系题型15作圆的切线

题型04根据直线与圆的位置关系求题型16应用切线长定理求解

半径题型17应用切线长定理求证

题型05根据直线与圆的位置关系求题型18判断三角形外接圆圆心位置

点到直线的距离题型19求外心坐标

题型06求圆平移到与直线相切时圆题型20求特殊三角形外接圆的半径

心坐标题型21由三角形的内切圆求长度

题型07求圆平移到与直线相切时运题型22由三角形的内切圆求角度

动距离题型23由三角形的内切圆求周长、面

题型08圆和圆的位置关系积

题型09判断或补全使直线成为切线题型24求三角形的内切圆半径

的条件题型25直角三角形周长、面积和内切

题型10利用切线的性质求线段长圆半径的关系

题型11利用切线的性质求角度题型26三角形内心有关的应用

题型12证明某条直线时圆的切线题型27三角形外接圆与内切圆综合

题型过关练

题型01判断点和圆的位置关系

I.（2023•广东广洲•统考一模）已知。。的半径为5,当线段。4=6时，则点A与。。的位置关系是（）

A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定

【答案】B

【分析】根据点4到圆心的距离大于半径即可求解.

【详解】解：'：OA=6>5,

・・・A点在圆外，

故选:B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆

上，小于半径时点在圆内是解题的关键.

2.（2023・广东广州•广州大学附属中学校考一模）已知。。的半径是8,点P到圆心O的距离d为方程--

4%一5二0的一个根，则点/>在（）

A.。。的内部B.。。的外部

C.0。上或0。的内部D.。。上或0。的外部

【答案】A

【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若d>8,则点P在。。的外部，若

d<8,则点尸在O0的内部，若d=8,则点尸在。。上，即可解答.

【详解】解：解方程/一4%—5=0可得，/=5,%2=-1，

•・•点P到圆心O的距离d为方程公-4x-5=0的一个根，

；・d=5<8,

・••点P在。。的内部，

故选A

【点睛】本题考杳了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答

的关键.

3.（2023•新疆乌鲁木齐•统考一模）在中，=90。,8。=8,tanA=2,以点A为圆心，半径为8

的圆记作圆人，那么下列说法正确的是（）

A.点C在圆A内，点4在圆4外

B.点。在圆A上，点B在圆A外

C.点C、8都在圆A内

D.点C、8都在圆A外

【答案】A

【分析】由解直角三角形求出AC=4,由AC和A8与圆的半径的大小关系，即可判断出点。和点8与04

的位置关系，即可得出答案.

【详解】解：如图，在中，ZC=90°,BC=S,tanA=2,

B

•潦=2,曜=2,

：,AC=4,

：.AC<8,

・••点C在。力的内部，

*：AB>BC,

：.AB>8,

••・点8在。A的外部，

故选A.

【点睛】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是

解决问题的关键.

题型02根据点和圆的位置关系求半径

4.（2022•山东枣庄•校考一模）点P是非圆上一点，若点P到。。上的点的最小距离是4sn,最大距离是

9cm，则0。的半径是.

【答案】6.5cm或2.5cm

【分析】分点P在。。外和。。内两种情况分析；设。。的半径为xcm,根据圆的性质列一元一次方程并求

解，即可得到答案.

【详解】设。。的半径为%cm

当点P在。。外时，根据题意得：4+2%=9

=2.5cm

当点P在。。内时，根据题意得：2%=9+4

••X—6.5cm

故答案为：6.5cm或2.5cm.

【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解.

5.（2023・四川成都・统考二模）已知P是。。内一点（点P不与圆心0重合），点P到圆上各点的距离中，最

小距离与最大距离是关于”的一元二次方程a/-12ax-20=0的两个实数根，则O。的直径为.

【答案】12

【分析】根据题意知。。的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解.

【详解】解：:P是O。内一点，

・・・0。的直径为最小距离与最大距离的和，

•・•最小距离与最大距离是关于工的一元二次方程a/一"ax-20=0的两个实数根，

•••0。的直径为一卫二12,

a

故答案为：12.

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，•元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数

的关系.

6.（2023・上海•校考一模）如图，矩形力BCD中，AB=8,AD=6,以A为圆心，r为半径作使得点。

在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是.

【答案】6<r<10

【分析】首先利用勾股定理得HKC的长，利用以A为圆心，丁为半径作。4使得点。在圆内，点C在圆

外，得出r的取值范围即可.

【详解】解：如图，连接/C,

•.•矩形矩形ABCD中，AB=8,AD=6,

:.AC=10,

•••以以A为圆心，r为半径作04,使得点。在圆内，点C在圆外，

••・半径r的取值范围是：6<r<10,

故答案为：6<r<10.

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键.

题型03判断直线与圆的位置关系

7.（2022.安徽蚌埠.统考一模）如图，在平面直角坐标系中，以L5为半径的圆的圆心。的坐标为（0,2）,将

0P沿），轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与OP的位置关系是（）

C.相离D.无法确定

【答案】A

【分析】根据题意,将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系.

【详解】解：如图,•••圆心。的坐标为（0,2）,将OP沿y轴负方向平移1.5个单位长度,

••・平移后的点P的坐标为（0,0.5）,

二OP=0.5»

•・•半径为15,

PO<r,

•••圆P与入•轴相交，

故选4

【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x轴的位置关系是解题的关键.

8.（2022•山东青岛・统考一模）如图，在小△ABC中，zf=90°,sinB=£4c=5cm,以点C为圆心,

以2cm的长为半径作圆，则0c与A8的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.相切或相交

【答案】A

【分析】计第C点到八夕上的高即可判断：

【详解】解：如图，过C作CO_L48于。，

由题意得：A5x^=5,48=%m,

由勾股定理得：BC=yjAB2-AC2=

RfABCD中,CO=4CsinNB=3cm，

■:2cm<3cm,

・•・圆与A8相离，

故选：A.

【点睛】本题考杳了直线与圆的位置关系，利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题关键.

9.（2021.上海崇明・统考二模）已知同一平面内有。。和点A与点B,如果O的半径为3cm,线段04=

5cm,线段O8=3cm,那么直线48与€）0的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

【答案】D

【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直

线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相

离.

【详解】的半径为3cm,线段。4=5cm,线段。4=3cm

.••点A在以O为圆心5cmK为半径的圆上，点8在以O圆心3cm氏为半径的OO上

当A8_L08时，如左图所示，由。8=3cm知，直线48与。0相切：

当A8与08不垂史时，如右图所示，过点。作OO_LAB于点。，则OZXOB,所以直线A8与。0相交；

・•・直线A8与。。的位置关系为相交或相切

故选：D.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与

半径的大小，从而可确定位置关系.

题型04根据直线与圆的位置关系求半径

10.（2023・上海虹口•校联考二模）如图，在矩形48C0中，对角线AC与BD相交于点。，AB=5,BC=

12.分别以点。、0为圆心画圆，如果。。与直线4。相交、与直线CO相离，且。。与。。内切，那么。0

的半径长r的取值范围是（）

A.-2<r<42B.-<r<6C.9<r2<-D.9<r<13

【答案】C

【分析】过点。作0E_L40,勾股定理求得8。=13,进而根据平行线分线段成比例得出OE=g/!B,OF=

根据题意，画出相应的图形，即可求解.

【详解】解：如图所示，当圆。与4。相切时，过点。作0EJ.4D,

•・•矩形4BCD中，对角线AC与8D相交于点0,AB=5,BC=12.

:・AD1CD,CD=AB=5,AD=BC=12,BD=\/AB2+AD2=13,

・・・OE||DC

・•・**，

当圆。与CO相切时，过点。作0F1C0于点F,如图所示,

则。"=［力。=6

则，=兰+6=史

22

••・0。与直线人。相交、与直线C。相离，且OD与。。内切时，9<r<y,

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置

关系，根据题意画出图形是解题的关键.

11.（2021•浙江宁波・统考一模）如图，在RtzMBC中，Z.C=90°.z.fi=30°,AC=2,以C为圆心，r为半径

作圆.若该圆与线段A8只有一个交点，则r的取值范围为

【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC,即可得出答案.

【详解】解：过C作CQJ_A4于D,

在心△BCA中，

VZACB=90°,AC=2,NB=30。,

."8=4,

：.BC=y/AB2-AC2=<42-22=273,

根据三角形的面积公式得：AB・a)=AC・4C,

当圆与时A8相切时，r=V3,

当点A在圆内，点8在圆外或圆二时，r的范围是2VW2g,

综上所述：r的取值范围是尸75或2VW2g,

故答案为：尸V5或2c及28.

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是

解此题的关键，用了分类讨论思想.

12.(2022・湖北襄阳•统考一模)在平面直角坐标系中，已知点4的坐标为(3,1),若。/1与坐标轴有三个公

共点，则。4的半径为.

【答案】/历或3

【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，画出符合要求的图形进行求解即可.

¥环

5-

二

-10\12345^

【详解】即图2

••,点A的坐标为(3,1)

・•.如图1,当。A经过原点时，半径为。4=V324-I2=V10

如图2,当OA与y轴相切时，半径为点A到），轴的距离为3

故答案为：国或3

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形性质，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心

到直线的距离与半径比较来判断，若圆心到直线的距离是d,半径是心则①上「，直线和圆相离，没有交

点；②d=r,直线和圆相切，有一个交点：③dvr,直线和圆相交，有两个交点.

题型05根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离

13.（2023•江苏淮安・统考一模）已知。。的半径为5,直线，与。。有2个公共点，则点。到直线优勺距离可

能是（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】A

【分析】根据题意得点。到直线I的距离小于圆的半径，即可解答.

【详解】:。。的半径为5,直线/与。。有2个公共点，

・•・点。到直线I的距离0<d<5.

故选：A.

【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系.熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，

是解题的关键.

14.（2020・河北唐山・统考二模）已知。。的半径为5,直线4B与O0有公共点，则圆心。到直线48的距离

不可能为（）

A.5B.5.5C.4.5D.I

【答案】B

【分析】直线48与。。应是相交或相切的位置关系，根据圆心距小于等于半径即可判断.

【详解】:直线4。与。。有公共点

・,・直线力8与O0应是相交或相切的位置关系

・•・圆心距小于等于半径

V5.5>5

选项错误

故选B.

【点睛】本题考直了直线和圆的位置关系，当圆心距人于半径归直线和圆相离，当圆心距等于半径时直线

和圆相切，当圆心距小于•半径时直线和圆相交.

15.(2022・北京•统考二模)在平面直角坐标系无。y中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N

上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形MN的“近距离”，记为d(M,N).特别地，

当图形M与图形N有公共点时，d(M,N)=0.

已知A(-4,0),B(0,4),C(4,0),D(0,-4),

(1)d(点A,点C)=,d(点A,线段BD)=；

(2)。0半径为r,

①当r=1时，求。0与正方形ABCD的“近距离”d(0O,正方形ABCD)；

②若d(0O,正方形ABCD)=1,则r=.

(3)M为x轴上一点，0M的半径为I,G)M与正方形ABCD的“近距离”d(0M,正方形ABCD)<

1,请直接写出圆心M的横坐标m的取值范围.

【答案】(1)8；4；(2)①2&-1；②2&-1或5；(3)-6<m<2&-4或4-2鱼<机V6.

【分析】(1)图形M,N的“近距离”的定义可求解：

(2)①根据题意作图，根据“近距离''的定义即可求解；

②根据题意分圆在正方形ABCD内部和外部分别作图求解；

(3)由题意可求NOCB=45。，分点M在x轴正半轴且。M在正方形ABCD的外面与内部，及点M在x

轴负半轴且。M在正方形ABCD的外面与内部，由题意列出不等式，即可求解.

【详解】(1)VA(-4,0),C(4,0),

d(点A,点C)=8；

VB(0,4),D(0,-4),

・•・线段BD在y轴上

，d(点A,线段BD)为A点到y轴的距离，即4

故答案为：8；4；

(2)①如图，当r=1时，

过点O作OEJ_AB于E点，OE与。O交于H点，

则OE《AB=NF"=2企

・•・00与正方形ABCD的“近距离”d（OO,正方形ABCD）=EH=OE-OH=2V2-1；

②如图，当。O在正方形ABCD内部时，d（0O,正方形ABCD）=1

即EH=OE-OH=1

则0H二OE-EH=2a-1

当。0在正方形ABCD外部时，d（。0,正方形ABCD）=1

即BG=1

则0G=0B+BG=5

故答案为：2V2-I或5；

（3）如图，VOB=OC,

AZOCB=45°,

当点M在x轴正半轴且。M在正方形ABCD的外面时，OM的半径为1

*/d（OM,正方形ABCD）<1

由图可得OMz-OC-lVl

即OM2-4-l<l

，0M2V6

即m<6；

当点M在x轴正半轴且（DM在正方形ABCD的内部时，OM的半径为1,

过点Mi作MiG_LBC,

Vd（OM,正方形ABCD）<1

AMiG-r<l

VMiG=CMsin45°=—（4-m）

r2

解得m>4-2或

.,.4—2\/2<m<6

当点M在x轴负半轴且0M在正方形ABCD的外面与内部时，同理可得一6<m<2遮一4

综上，m的取值范围为一6<m<2V2-4或4-272<m<6.

【点睛】本题属于圆的综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，三角函数的运用等知

识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题.

题型06求圆平移到与直线相切时圆心坐标

16.（2020•辽宁盘锦・统考二模）如图，半径r=2左的。M在％轴上平移，且圆心M在x轴上，当OM与

直线y=x+2相切时，圆心M的坐标为()

(-6,0)D.(2,0)或(60)

【答案】D

【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切

两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解.

【详解】①当圆位于直线右侧并与直.线相切时，连接如下图所示:

=x+2

・・.4(0,2),8(-2,0),A/lOB是等腰直角三角形，Z-ABO=45°

：.AB=2V2

7r=2V2

是等腰直角三角形，484M=90。

・・・OM与直线A8相切于点A

*：AO1BM

：・0B=OM=2

・•・圆心M的坐标为(2,0)；

②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C,如下图所示:

与直线A8相切，MCA.AB

：.MC=r=2yf2

根据直线AB的解析式：y=%+2可知Z4B0=乙MBC=45°

・・・A8CM是等腰直角三角形

:,MB=V2MC=4

VF(-2,0)

・•・圆心M的坐标为(一6,0),

综上所述：圆心M的坐标为(2,0)或(一6,0),

故选：D.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并

进行分类讨论是解决本题的关键.

17.(2022.河南南阳・统考一模)如图，直线y=-：工-3交x轴于点A,交)，轴于点8,点P是x轴上一动

点，以点尸为圆心，以1个单位长度为半径作0P,当0P与直线AB相切时，点尸的坐标是()

B.(.0)或(*,0)

"(V，。)或(Y，。)

【答案】B

【分析】由题意根据函数解析式求得人(-4,0),B(0,-3),得到。4=4,08=3,根据勾股定理得到

AB=5,设。P与直线AB相切于0,连接PO,则PD_LA&PD=\,根据相似三角形的性质即可得到结

论.

【详解】解：•・•直线y=-3交x轴于点A,交)，轴于点8,

，令x=0,得产-3,令产0,得x=-4,

(-4,0),B(0,-3),

・・・OA=4,OB=3,

.MB=5,

设。P与直线A8相切于。,

连接PD>

则PDL45,PD=[t

VZADP=ZA0B=9(r,

工AAPD^AABO,

,PDAP

••~——^~9

OBAB

.1AP

35

•,"P*

3

，0P上或OP=U,

33

・・・户(一10)或产(一?，。)，

*5J

故选:B.

【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的

理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键.

18.(2022・安徽滁州•校考一模)如图，直线/与x轴、y轴分别相交于点A、B,已知8(0,VI),

28.40=30。，点P的坐标为(1,0),OP与y轴相切于点。，若将OP沿入轴向左移动，当OP与该直线相

交时，横坐标为整数的点P的坐标.

【答案】(-2,0)(-3.0)(-4,0)

【分析】先分别求得OP与直线/相切时点尸的坐标，然后再判断。P与直线/相交时点P的横坐标x的取

值范围，即可求得坐标为整数的点尸的坐标.

【详解】如图，OP'与。P〃分别切于。、E.

由8(0,75),LBAO=30°,易得04=3,则4点坐标为(-3,0).

连接P。、P"E,则P'DJL48、P"E1AB,则在RtZkADP'中，AP1=2XDP*=2,

同理可得，AP,f=2,则P'的横坐标为-3+2=-1,尸〃的横坐标为一1一4二一5,

・•・当。P与直线/相交时，点。的横坐标x的取值范围为一5<x<-l,

•••横坐标为整数的点/的坐标为(-2,0)、(—3,0)、(-4,0).

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得。P与直线/相切时点P的坐标是解题的关键.

题型07求圆平移到与直线相切时运动距离

19.（2021上•吉林四平•九年级统考期末）如图，。。的半径OC=IOc〃7,直线/J_OC,垂足为％且/交

。。于A,B两点,AB=\6cm,则/沿OC所在直线向下平移c〃，时与。O相切.

【分析】根据垂径定理可求出4H=；力8=8cm,再利用勾股定理可得。/=6cm,从而C〃=4cm,再由/

与。O相切，则点。到直线/的距离等于从而得到/沿。。所在直线向下平移的距离等于CH=

4cm,即可求解.

【详解】解：•・•直线LLOC,AB=\6cm,

=-AB=8cm,乙AHO=90°,

2

V0A=OC=10cm,

在RtA/lOH中，由勾股定理得

OH=>/AO2-AH2=V102-82=6cm,

：.CH=OC-OH=4cm，

若/与。。相切，

贝I」点0到直线I的距离等于OC=l（）c〃?，

・•・/沿0C所在直线向下平移的距寓等于CH=4cm

即；沿0c所在直线向下平移4cm时与。。相切.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关

键.

20.（2020.九年级单元测试）已知。。是以坐标原点为圆心，半径为1,函数y=、与0。交于点4、B,点、

P（x,0）在x轴上运动，过点尸且与04平行的直线与。。有公共点，则x的范围是.

【答案】且-0

【分析】由题意得％有两个极值点，过点P与。O相切时，”取得极值，作出切线求解即可.

【详解】将OA平移至PQ的位置，使PQ与圆相切，连接OD如下图所示：

由题意得，0。=1,/-DOP1=45°,Z-ODPX=90°

故可得。尸］=&,即工的极大值为企，

同理当点I，在y轴左边时也有一个极值点上，此时工取得极小值-V2

综上可得工的范围为：-企工工工&,且今0

故填：一或<x<V2,且存0

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，找出两个极值是关键.

21.（2020上•全国•九年级期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的。P的圆心P的坐标为

（-3,0）,将。P沿x轴正方向平移，使。P与y轴相切，求平移的距离.

【答案】1或5.

【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可.

【详解】当0P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；

当0P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.

故答案为：I或5.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的

半径.

题型08圆和圆的位置关系

22.（2023.吉林四平•校联考三模）如图，已知长方形ABC。中，48=4,40=3,圆3的半径为1,圆4与

圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（）

A.点C在圆A外，点。在圆A内B.点C在圆A外，点。在圆A外

C.点。在圆A上，点。在圆A内D.点。在圆A内，点。在圆A外

【答案】C

【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可

【详解】

•・•圆A与圆B内切，AB=4,圆8的半径为1

・••圆4的半径为5

*：AD=3<5

・,•点。在圆A内

在Ri&A8C中，AC=7AB.2+BC2=<42+32=5

，点C在圆A上

故选：C

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键

23.（2022・上海徐汇・统考二模）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我仅称此两圆的

位置关系为“外相交已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5,则圆心距的取值可以是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根据两圆“外相交''的定义，得到圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，进行解答

即可.

【详解】解：设圆心距为乩由题意得，圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，即

5<（!<5+2

:.5Vd<7

A.4V5,故选项错不可以，不符合题意；

B,5=5,故选项不可以，不符合题意；

C.5<6<7,故选项可以，符合题意；

D.7=7,故选项不可以，不符合题意.

故选:c.

【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系两圆“外相交”，得出圆心距d满足5<87是解答此题的关键.

24.（2021・四川绵阳•一模）如图,©0/的直径48长度为12,03的直径为8,ZAOJO2=30°,03沿

直线。。2平移，当。。2平移到与O。/和48所在直线都有公共点时，令圆心距0/。2=筋则工的取值范围

C.4Sv<4V3D.2<r<8

【答案】D

【分析】由题意得出点。2在点。的右侧，。。2与。0/和A8所在直线都有公共点时，0/02的最大值和最

小值，分别画出图形求解得出X的取值范围，根据对称性可得点。2在点。/的左侧时的结论.

【洋解】解：当点。2在点。的右侧时，

当。。2向左移动到与直线A8相切时，如图1所示，设切点为M,

则02M=4,

又；NAOzO尸30。,

••・。/。2=2・。2知二8,

当。。2继续向左移动到与。。/内切时，如图2所示，此时O/Q=6-4=2,

所以当。Q平移到与。。/和AB所在直线都有公共点时，2<x<8；

故选：D.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的工的最大值和最小值是解决问题的

关键.

25.（2021•山东青岛・统考一模〉【问题提出】用〃个圆最多能把平面分成几个区域？

【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次

递进，最后猜想得出结论.

探究一：如图1,一个圆能把平面分成2个区域.

探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？

如图2,在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前I个圆有2个交点，将新增加

的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域.

探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？

如图3,在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新

增加的圆分成2x2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域.

（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？

仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图.

（2）【一般结论】用〃个圆最多能把平面分成几个区域？

为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前5-1）个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成

部分，从而增加个区域，所以，用〃个圆最多能把平面分成

个区域.（将结果进行化简）

（3）【结论应用】

①用10个圆最多能把平面分成个区域；

②用个圆最多能把平面分成422个区域.

【答案】（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，

将新增的圆分成2x3=6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域；（2）

2n-2；2n-2；n2-n+2；（3）①92；②21

【分析】（I）在探究三的基础上，新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成2x3=6部

分，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2xl+2x2+2x3个区域；

（2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前5-1）个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2小

2）部分，从而增加（2«-2）个区域,所以，用〃个圆最多能把平面分成2+2x域2x2+2x3+2x4+...+2（n・l）区

域求和即可；

(3)①用〃=](),代入规律，求代数式的值即可；

②设〃个圆最多能把平面分成422个区域，利用规律构造方程，可得方程小-n+2=422解方程即可.

【详解】解：(1)在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交

点，将新增的圆分成2x3=6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成

2+2x1+2x2+2x3=14个区域；

(2)为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前5-1)个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成(2〃-

2)部分，从而增加(2〃-2)个区域，所以，用〃个圆最多能把平面分成区域数为

2+2xl+2x2+2x3+2x4+...+2(n-1),

=2+2(1+2+3+...+/?-1),

=2+2x-(l+n—l)(n—1)♦

2

=2+n(n-1),

=n2-n+2;

故答案为：(2/7-2)；(2〃-2)；n2-n+2；

(3)①用10个圆，即〃=10,n2-n+2=102-10+2=92；

②设n个圆最多能把平面分成422个区域，

可得方程九?—n+2=422,

整理得n2—n—420=0,

因式分解得(九—21)(n+20)=0,

解得n=21或九=一20(舍去)，

・••用21个圆最多能把平面分成422个区域.

故答案为：21.

【点睛】本题考查图形分割规律探究问题，圆与圆的位置关系，利用新增圆被原来每个圆都分成两个交

点，其交点数就是新增区域数，发现规律后列式求和，利用规律解决问题，涉及数列n项和公式，代数式

求值，解一元二次方程，仔细观察图形，掌握所学知识是解题关键.

题型09判断或补全使直线成为切线的条件

26.(2020.安徽芜湖•校联考三模)如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧，点B与下列

格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）

C.点(6,0)D.点(6,1)

【答案】B

【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置.，再根据切线的性质得出，当OB_LBF时F点的位置即

由切线性质可知当OB_LBF时，BF与圆相切,

当ABQ'D9A.RFA时，NO'RF=NFBA+NO'RA=NO'RD+NO'BA=90°,

此时OB_LBF,BF与圆相切,AF=OD=1,AB=BD=2,

・・・F坐标为（1,3）,

同理可得F（51），

所以满足条件的F点的坐标为：（5,1）或（1,3）,

故选B.

【点睛】本题考查由垂径定理确定圆心和切线的性质，确定圆心是本题的关键.

27.（2019下•九年级课时练习）在中，L.C=90°,AB=10,AC=8,以C为圆心作OC与AB

相切，则OC的半径长为（）

A.8B.4C.9.6D.4.8

【答案】D

【分析】过点C作CD_LAB于点D,先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的

长即可.

【详解】解：如图，过点C作CD_LAB于点D,

VzC=90°,AB=10,AC=8,

：.BC=y/AB2+AC2=6,

*：S^c=^ACBC=^CD-AB,

・“。=空丝=4.8,

AB

则以C为圆心CD为半径作。C与AB相切.

故选D.

【点睛】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

28.（2022・吉林长春・吉林大学附属中学校考一模）如图，已知乙40B=30。，M为OB边上任意一点，以

M为圆心，2cm为半径作OM,当。M=cm时，OM与OA相切.

【答案】4

【分析】过M作MN1OA于点N,此时以MN为半径的圆OM与OA相切，根据30。角所对直角边为斜

边的一半可得OM的长.

【详解】解：如图，过M作MNJ_OA于点N,

VMN=2cm,Z.AOB=30°,

/.0M=4cm,

则当OM=4cm时,0M与OA相切.

故答案为4.

【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30。角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练

掌握其知识点.

29.（2019下•九年级课时练习）的斜边48=5cm,直角边4c=3cm,圆心为C,半径为2cm和

3cm的两个圆OG和。Q与直线AB有怎样的位置关系？半径为多少时，AB与。。相切？

【答案】0G与AB相离；。。2与AB相交；当半径为当cm时，AB与0c相切.

【分析】过点C作CD14B于点D,利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的

长，进而判定圆。G和。的与AB的位置关系，根据切线的判定得到。。的半径.

【详解】解：如图，过点C作于点D.

在RtUBC中，

Z.ACB=90°,

BC=7AB2-4c2=4cm»

由面积公式，^AC-BC=AB-CD,

•••8=等=募（5）,

-.-y>2,

•••CG与AB相离；

.--CQ与AB相交；

当半径为Scm时，AB与OC相切.

【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的判定，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知

识点.

题型10利用切线的性质求线段长

30.（2023•山东泰安,统考一模）如图，是。。的直径，C为00上一点，过点C的切线与A8的延长线

交于点P,若/C=PC=3A/3,则PB的长为（）

【答案】D

【分析】连接。C，根据4C=PC,OC=0A,证出乙4=N0C4=NP,求出4力=4。。4=NP=30。，在

Rt△0PC+,tanzP=^,coszP=解得OC、0P的长度即可求出PB的长度.

【详解】解：连接。配如图所示，

V/C=PC,

/.Z/1=乙P,

*：0C=OA,

LA—乙OCA,

LA.—Z.OCA=乙P,

〈PC是。。的切线，

・・・/OCP=90。，

■:乙A+4P+WCA+Z.OCP=180°,

：.z.A=乙OCA=zP=30°,

在RtAOPC中，tan/P啜，cos乙P=警

：.0C=PCxtanzP=373x—=3,OP=-^-=噜=6,

3cos"12

2

，：PB=OP-OB,OB=3,

:・PB=3,

故选D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此

题的关键.

31.（2023•重庆九龙坡・重庆市育才中学校考一模）在中，乙C=90。，点O是斜边48边上一点，

以。为圆心，。/1为半径作圆，。。恰好与边相切于点。，连接力D.若40=8。，。。的半径为3,则

GD的长度为（）

A.9B.3、3C.3D.2近

42

【答案】B

【分析】连接。D,可证明。0||力。，进而证明乙84D=乙。4。=48=30。，则28。。=60。，所以4D=

BD=0D-tan60°=3\/3,CD=-AD=—,于是得到问题的答案.

22

【详解】解：连接。。，则。0=04

D

A

O

*»LBAD=Z.ODA,

与边8c相切于点D,

：,BC10D,

：.L0DB=ZC=90°,

：.0D^AC,

：.LODA=Z.CADf

：.LBAD=ZMD,

*：AD=BD,

/./.BAD=乙B,

・••乙BAD=Z.CAD=乙B,

'：LBAD+Z-CAD+Z-B=3/B=90°,

：.LBAD=乙CAD=Z-B=30°,

：.ABOD=60°,

'：0D=3,

•\AD=BD=OD•tan60°=3内.

・・。=那=唳

故选:B.

【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直

角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数的应用等知识，正确地作出所需要的辅助

线是解题的关键.

32.（2023•内蒙古乌兰察布•校考模拟预测）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦/W

与小圆相切于点C,则弦A6的长为cm.

【分析】根据切线的性质得到OC_LA从根据垂径定理得到入。=/从根据勾股定理计算，得到答案.

【详解】解：・・・AB是小圆0的切线，

：，OCLAB,

•KB是大圆。的弦，

・・"C=1/W,

在七△A。。中，AC=y/OA2-OC2=V102-62=8(cm),

则AB=24C=16(cm),

故答案为：16.

【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是

解题的关键.

33.(2022•浙江衢州•统考二模)如图，在矩形人8。。中，AB=6,BC=8,E为AD上一点,且4E=2,

产为AC边上的动点，以为£1户直径作00,当0。与矩形的边相切时，/?尸的长为.

【分析】。。与矩形的边相切，但没有具体说与哪个边相切，所以该题有三种情况：第一种情况是圆与边

AD.8c相切，此时82二人民第二种情况是圆与边人8相切，利用中位线定理以及勾股定理可求出8口的

长；第三种是圆与边C。相切，同样利用中位线定理以及勾股定理求得8立

【详解】解：①当圆与边A。、3c相切时，如图1所示

AD

IDI

BFC

图1

Mz-AEO=BFO=90°

所以四边形4EF8为矩形

即BF=AE=2；

②当圆与边A8相切时，设圆的半径为R,切点为〃，圆与边AO交于E、N两点，与边8c交了M、F两

点，连接EM、HO,如图2所示

图2

此时OE=O"=O”=R,点。、H分别是EF、AB的中点

，2OH=AE+BF即BF=2R-2

*：BM=AE=2

：.MF=2R-4

在RtZkE/M中，EM2+MF2=EF2

■:EM=AB=6,EF=2R

・・・62+(2R-4)2=(2R)2

解得R=Y4

将R="代入BF=2R-2

4

9

③当圆与边C。相切时，设圆的半径为R,切点为〃，圆与边AD交石、。两点，与边4C交M、F两点,

如图3所示

图3

此时OE=OF=OH=R

•：AE=2

：.ED=6

，：点、O、〃分别是七尸、C。的中点

/.2OH=ED+FC即FC=2R-6

*：BM=AE=2

：.MF=BC-BM-FC^MF=\2-2R

a：EM=AB=6,EF=2R

・••在Rt△EMF中EM?+MF2=EF2

即62+(12-2R)2=(2R)2

解得

R=Y4

*：BF=BM+MF=2+(12-2R)=14-2/?

ABF=y.

【点睛】本题考查了切线的性质、中位线定理以及勾股定理，关键是分清楚情况，数形结合，将几何问题

转化为方程问题.

题型11利用切线的性质求角度

34.(2022・广西南宁•校联考一模)如图，。0与正五边形A8C0E的两边相切于4c两点，则41OC的

度数是()

A.144°B.130°C.129°D.108°

【答案】A

【分析】根据切线的性质，可得/Q4E=90。，/OC7）=90。，结合正五边形的每个内角的度数为108。，即

可求解.

【详解】解：VAE.CO切。。于点A、C,

••・NQA£=90°,ZOCD=90°,

・••正五边形A8CQE的每个内角的度数为：目3m空=108。，

:.^AOC=540°-90°-90°-108°-108°=144°,

故选：A.

【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理

是解题的关键.

35.（2023•山东泰安・统考一模）如图，AB.4c是。。的弦，过点A的切线交CB的延长线于点。，若

乙BAD=35°,则iC=

A

【答案】35

【