第31课 直线与方程

第31课直线与方程

普查与练习31直线与方程

1.直线的倾斜角与斜率

a.求直线的倾斜角和斜率的值（或范围）

（1）（2023汇编，20分）根据题目条件,解决下列各题.

①在平面直角坐标系X。），中，已知直线/上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移

4个单位长度后，仍在该直线上，则直线/的斜率为（A）

A.—2B.一；

C.1D.2

且4_])=艰+',

②已知向量m=(a,b),?j=(sin.v,COSA),J(x)=mn,则宜线ax+by

+c=0的倾斜角为（D）（2020河南模拟）

.ncit

A4B-3

c.yD当

③直线/过不同的两点A（cosO,sin?。）,8（0,1）,则直线I的倾斜角a的取值范围是

④已知点P在曲线,，=率上，。为曲线在点P处的切线的倾斜角，则9的取值范围是

（D）（2021浙江东阳三模）

A.（0八,3兀]仁B.「[兀,n2J

c

-（rf]D惇兀）

解析：①设平移前点的坐标为（a,份，将该点向右平移2个单位长度，再向下平移4个

单位长度后，得到的点的坐标为3+2,。-4）.

•・,点（a,6）与点（a+2,〃-4）均在直线/上，

b—（b—4）

・•・直线I的斜率k=—1=丁=-2.故选A.

a-（口十2）

②由题知凡1）=asin.v+bcasx.

•\AO)=J®，即asin0+加os0=asi琮+反0或，即〃=a,

・•・直线av+M'+c=O的余-率攵=一£=一I,倾斜角为乎.

故选D.

③当co矽=0时,sin20=h.・.A(0,1),与点B重合，故8s6W0：

当cos^O时，sna=^z^=—能=—cos。

—1Wcos0<0或0<cose〈1,/.tanaE[—1,0)U(0>I].

又,.,OWaVTt,

・••直线/的倾斜角a的取值范围是（0,如[苧，兀）.

-4小e1f-4小

@y=(e,+1)21

。'+k2

根据基本不等式，。叶土+224,当且仅当炉=氐即尸0）时，等号成立,

.*.ye[—1\/3,0）＞

•♦・tan"£[—巾，0）,，故选D.

b.求三:型代数式的取值范围

（2）（2023汇编，10分）已知X,y满足关系工=小弓.

的取值范围是I—1,1L：

②若yWO，则上”的取值范用是[一1，0）50,11.

解析：①由X=A/1-y2得F+FuMOWxWl,-1WyWl）,

，动点a，y）在若半圆上,如图所示.

..V_,y-0

一（-1）'

，若的几何意义为动点（x，,）和定点八（一1，0）连线的斜率.

设半圆与），轴的交点为8（0,1）,C（0,-I）,

0—1—1—0v

则k,\B=_]_。=1，心c=0_（_]）=-1,••・一lW^j7[Wl.

；・由•的取值范围是[-1,1].

②・..产0,H

.._v__

・•.士的几何意义为动点(x,y)和定点。(I,0)连线的斜率，如图所示.

人I

kBD=-1，kcD=1,1或—1,

-X1X1

vvI-r1-r

，丁」W-1或丁」21,A-l忘十或1且三WO,

\—x\—xyy

1-r

即一；的取值范围是[-1,0)U(0,I].

c.求动直线与线段相交的问题

(3)(2023汇编，15分)根据题目条件，解决下列各题.

①已知直线/：y=k(x1)与以A(3,2),8(0,1)为端点的线段有公共点，则上的取值范

围是(D)

A.[-1,1]B.[-1,3]

C.(-8,-1]U[3,+8)D.(—8,+8)

②已知42,3),8(—1,2),若点P(x,y)在线段AB上，则言的最大值为(C)

A.1B.|C.-1D.-3

③若直线小)，=丘一3与，2：2x+3y-6=0的交点在第一象限，则直线人的倾斜角a的

取值范围是一住

解析：①易知直线y=©x-l)过定点C(l，0),

2—0I—()

而以c=H=l，加c=—=—1，根据直线斜率的变化情况，

可知女的取值范围是(-8,+8).故选D.

工言可表示动点P(x，丫)和定点Q(3,0)连线的斜率.

•・•点P(x,y)是线段AB上的任意一点，

,,,_3-0_,,2-01

且以Q—2—3—-3，W_-3——2>

•••一3石不为・一1行的最大值为一*故选C.

③如图，直线，2：2x+3y—6=0与x轴和)，轴的交点分别为43,0),8((),2),直线八：y=kx

—3,恒过定点P(0,—3).根据图像易知，若直线人与/2的交点在第一象限，则八的倾斜角a

大于直线PA的倾斜角且小于直线PB的倾斜角.

v^=l，，直线PA的倾斜角为?

.•谭Va芍即/1的倾斜角a的取值范围是号,斗

2.直线的方程

a.灵活选择五种基本形式求直线的方程

(4)(2023汇编，25分)根据卜冽条件求直线I的方程.

①已知直线/的一个方向向量〃=(1,3),且经过点(1,1),则直线/的方程为3x—v—

2=0：

②已知直线/经过点P(3,-1),且在x轴上的截距等于在)，轴上的截距，则直线/的方

程是_x+3\，=0或x+v—2=0_:

③已知点4(1,2),5(-1,4),C(5,2),则△ABC的边AB上的中线所在的直线/的方

程是。+5丫-15=0:

④己知直线/的斜率为小且与两坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程是1

―6丫+6=0或x-6y-6=0:

⑤已知点P(2,I)到直线！的距离为2,且直线/过原点，则直线/的方程是「=0或3x

+4y=0.

解析：①直线/的一个方向向量〃=(1,3),则直线/的斜率为3,故直线/的方程为,

-1=3。-1),即3x—y—2=0.

②(法一)当直线I在y轴上的截距为0时，由题意可得/在x轴上的截距也为0,

-1-0|

・•・直线/过点(0,0),(3,一1),则直线/的斜率仁一^万=一?

•••由点斜式可得直线/的方程是产一%,即x+3y=0.

当直线/在y轴上的截距为〃，且〃W0时，由题意可得直线/在x轴上的截距也为小

则可设直线/的方程是2+5=1.

•・•直线/经过点P(3,-li,

31

1»解得。=2,

・••直线/的方程是x+y=2,即x+y-2=0.

综上所述，直线/的方程为x+3y=0或x+y—2=0.

（法二）由题意可知直线/的斜率必然存在，且不为零，

；・可设直线/的方程为y+l=©x—3）.令x=0,得y=-3A—1：令y=0,得x=1+3.=

直线/在x轴上的截距等于在y轴上的截距，，；+3=-3k-l,即然2+必+1=0,解得我

=-1或攵=一；，经验证两解均为原分式方程的解.直线/的方程为），十|=一。一3）或），十

1=一9一3）,即直线/的方程为x+y-2=0或x+3），=0.

③（法一）设边AH的中点为。（x,y）,则由中点坐标公式可得，

I一|2+4

工=”一=0,y=-y-=3,.••点。的坐标为（0,3）,.••边48上的中线CO所在直线的斜

3->21_1

率A=：7=一不，由点斜式可得直线的方程为3=—0），即4+5厂15=0.

v-3x-0

（法二）由法一得/丸0,3）,.•.边AA上的中线C。所在的直线方程为即x+

5厂15=0.

④设直线/在y轴上的截距为小则直线/的方程是产上+。令），=0,则尸一6“.•直

线/与两坐标轴用成的三角形的面枳为3,.・4—6外阴=3,解得〃=±1,.••直线/的方程是,

即x—6y+6=0或X—6>'—6=0.

⑤•・•直线/过原点，.•.可设直线/的方程为Ar+母=0（*+片/0）.又点外（2,1）到直线

/的距离为2,

・•・黑;方=2,化简得4A8—34=0,解得8=0或44=28,

「•直线/的方程是x=（）或3x+4y=0.

b.求含参直线系所过的定点

（5）（2021湖南模拟，5分）设mb是正数,若两直线八：（〃Ll）x+（3-2/〃）y+l=0Q〃eR）

12

和6：ax+/）y+2=0恒过同一定点，则^+石的最小值为4.

解析：直线八的方程可化为"心一2刃一x+3y+1=0,所以该直线恒过两直线工一2>=0

和一x+3y+l=0的交点.

x-2y=0,/(x=~2,

由,-x+3y+1=0得y=-1,

所以直线/i恒过点（一2,-I）.

根据题意可知，点(一2,—1)也在直线人上,

所以一24—)+2=0,即加+6=2.

因为小人是正数，

121

所以工+万=5(2。+份

=如+知）需4+2\偌）=4,

'2a+b=2,

当且仅当《超即，“一》时等号成立,

〔不=7b=I

所以51+横2的最小值为4.

3.两条直线的位置关系

a.根据直线平行与垂直的充要条件求参数

(6)(2020浙江杭州模拟，6分)已知直线八：or+21y—3=0和直线b：(1—。为+丁+1=0.

若IJb，则实数”的值为一一1或2_:若八〃/2,则实数〃的值为

解析：(法一)当/」/2时，a(l—a)+2Xl=0,

化简得a2—a—2=0,解得a=-l或a=2.

9

当/1〃，2时，a—2(I—a)=0,解得a=彳.

(法二)显然两直线斜率均存在.

3

〃

将直线方程化为点斜式，则尔＞'=

2A2*

若/1JJ2，则一］(〃-1)=-1,化简得/一。-2=0,

2

。

得

解-

2一=3

(7)(2021广东揭阳模拟,5分)已知倾斜角为0的直线/与直线3x~4y-1=0垂直，则cosJ

的值为(A)

A.B.C.|D.1

3

解析：•・•直线/与直线3x—4y—l=0垂直，宜线3工一4)，-1=0的斜率为7

4

-

・•・直线/的斜率为一本即匕的=黑^=3

0为钝角，且3sin，=-4cos^.

又sin%+cos%=I,即9sin%+9cosW=9,

/.25COS2^=9»解得cosG=一导故选A.

b.根据直线的位置关系巧设直线方程

（8）（2023改编，10分）已知直线加x+y+2=0,/2：2x~3y-3=Q.

①经过小/2的交点且与己知直线3工+）—1=0平行的直线/的方程是15x+5y+16=

0-：

②经过/i〃2的交点I■［与已知直线％+4），-7=0垂直的直线/的方程是41一），+1=0.

解析：①（法一）设直线/的方程为3x+y+m=0,—I.

3

-

5

x+y+2=0,

由《7

-

l2x-3y~3=0,5

・•・直线人与，2的交点坐标为（T

3

-

A3X5+(一解得〃尸号,

•••直线/的方程为3x+y4-y=0»即I5x+5y+16=0.

(法二)设直线/的方程为2L3厂3+g+)，+2)=0,

即(1+2)x+a-3)y+22-3=0.

•••直线/与直线3xI>-1=0平行，

2+2-3(x-3)=0,it

-(2+2)-3(2z-3)W0.解得"一

，直线I的方程为15x+5y+16=0.

②（法一）设直线/的方程为4x—v+m=O

由①得直线人与，2的交点为（一点

5/

.•.4X（—3+/〃=0，解得/"=1.

・••直线/的方程为4x-y+1=0.

（法二）设直线/的方程为2r—3厂3+3+），+2）=0,即（2+2）”+（＞1—3）），+船-3=0.

・••直线/与直线x+4y-7=0垂直，

r.A+2+4（x-3）=0,解得2=2.

，直线/的方程为4x-y+1=0.

4.距离公式的应用

a.三种距离公式的简单应用

（9）（2023汇编,20分）根据题目条件,解决下列各题.

①已知P是直线2x-3y+6=0上一点，O为坐标原点，凡点A的坐标为（一1,1）,若IPOI

=|M|,则点上的坐标是（3,4）:

②已知P（—3,2）,Q（5,一6）,则过点A（2,3）且与P,0两点等距离的直线方程是一5

+y-5=0或5工-y-7=0:

③与直线尔3x+4.y-12=0和直线6：6x+8v-9=0等跖离的直线/的方程是」2r+

I6v-33=O；

④已知点A(2,I),8(3,5),C(5,2),则△A8C的面积是，L_.

解析：①(法一)线段OA的中点为(一看直线OA的斜率为一I,

・•・线段OA的垂直平分线方程为)T=x+T，

x-y+1=0,工=3,

即%一>+I=0联立解得

,2v—3>'+6=0,尸4,

•••点P的坐标为(3,4).

(法二)设P(mb),则根据题意得q—————

[yl(i2+b2=yl(t/4-1)2+(b~\)2,

4=3,

解得，，工点尸的坐标为(3,4).

[b=4,

②(i)当直线斜率不存在时，直线方程为4=2,点P,。到直线％=2的距离分别为5和

3,不符合题意；

(ii)当直线斜率存在时，可设直线方程为y3=k(x2),整理得hyI32A=0二•点2,

。到直线的距离相等，J—.；/[3_2k|=W+比整理得|一54+1|=|3〃+9|,解

得上=-1或〃=5,故所求直线的方程为一x—y+3+2=0或5x—y+3—10=0,即x+y—5

=0或5x—y—7=0.

a

③(法一)直线京放+8)，-9=0化为6：3x+4y-=0.

设与直线/>,A等距离的亘线/的方程为3x+4\，+c=0,

解得。=一手,

・•・/的方程为⑵+16厂33=0.

9

-

(法二)直线86x+8v-9=0化为，2：2

9

-2+(-12)33

:------J-----=一才，，与直线人3x+4y-12=0和直线£6戈+8)，-9=()等距离

33

的直线/的方程是3%+4)，一万=0,即12丫+16)，-33=0.

④(法一)•・•点4(2,1),8(3,5),

5—1

/.\AB\=yj(2-3)2+(1-5)2=<17,且直线AB的方程为、-1==^-2),即4x

-y-7=0.

心4-2一7|__II

又点。(5,2),.•.点C到直线A8的距离d="+(-1)2-南

*,•△ASC的面积s=/x，r^乂7^=5"

(法二)・.,4(2,I),8(3,5),C(5,2),・••嬴=(1,4),AC=(3,I),

・••△48C的面积S=1x||Xl-3X4|=y.

b.与距离有关的最值问题

(10)(2023汇编，15分)已知直线/：2x~y~6=0,。是坐标原点，点P(x,)，)在直线/上.

①直线I与y轴的交点到直线产1)距离的最大值为_庖_；

②线段OP长度的最小值为—竽_：

③若Q为函数+1的图像上一点，则线段PQ的最小值为_喈_.

解析：①直线/与y轴的交点为例(0,-6),直线y=A(x+l)经过定点M—1，0)，过点

M作直线y=Mx+l)的垂线，垂足为〃，当点〃与点N重合时，=当点”与点N

不重合时，根据直角三角形中斜边大于直角边，可知所以点M到直线的最大距

离为—\j(0+1)2+(-6-0)2—V37.

②当OP与直线/垂直时，线段OP长取得最小值，最小值为不二二=缪.

(—I)2°

③设点Q的坐标为(向，川)，则他=找+1,可得点Q到直线/的距离为d=

|2xp-(AQ+1)—6||—A^+ZTQ—7||—(.¥()—1)2—6|-1)2+6,

小»可知—l(xo-1)=0

.2?+(-1)2-小一小

时，4有最小值华，即线段PQ氏的最小值为竽

5.对称问题

a.关于点对称的问题

(11)(2023汇编，15分)根据题目条件,解决下列各题.

①过点P(0,1)作直线/,使它被宜线(：微+)，-8=0和也%—3)，+10=0截得的线段

被点P平分，则直线/的方程为「+4丫-4=0.

②已知点PQ,-1),则直线3x-y-4=0关于点P对称的直线/的方程是3x-y-10

—•

③直线公+3)，-9=0与直线十一3)，+8=0关于原点对称，则a,力的值是(D)

A.a=l,b=9B.a=-1,b=9

C.a=1>b=~9D.a=—l,b=~9

解析：①设A：—8=0与/的交点为A(a,8—20,则点A关于点P的对称点为以一

a，2a—6).•.•点8在6上，二把8点坐标代入，2的方程，得一。一3(2a-6)+10=0,解得a

=4,・"(4,0).

V-Ix—0

•••点4在直线/上，，由两点式得直线1的方程说三7=百，

即X+4y—4=0.

②(法一)在直线3%—3，-4=0上任取两点A(l,-1),8(0,-4).由中点坐标公式得A,

B关于点P对称的点分别为(3.-1),(4,2),J直线/的方程为v[++1]=4x--3,即3%一厂10

=0.

(法二)易得直线/与直线4=0平行，，直线/的斜率为3.

又由法一知直线I过点(3,-1),・,・直线I的方程为y+l=3(x—3),即3A—y—10=0.

(法三)易得直线I与直线3x-y-4=0平行，，可设直线/的方程为3》一)，+〃=0(后-

4).由己知易得，点P到两直线距离相等，，6：二,="心？解得/)=—]o或8=一做舍

■\J3T143-+1

去)，则直线/的方程为3戈一厂10=0.

③;直线or+3y—9=0与直线x—3y+b=0关于原点对称，，在直线or+3y—9=0上

任意取一点(〃】，〃)，则点(〃?，〃)关于原点对称的点(一/〃，一押)在直线％—3y+》=0上，

a〃?+3〃—9=0,

两式相减得3+1)/〃-9—〃=0.

.一〃?+3〃+b=0,

•••点(加，〃)是直线依+3.丫-9=0上任意一点,

•••对任意〃?，都有(以+1)阳一9一力=0成立,

。+1=0,

解得J故选D.

-9-/?=0,

b.关于直线对称的问题

(12)(2023汇编,30分)根据题目条件,解决下列各题.

①点A(-l,2)关于直线式+,-3=0的对称点B的坐标是(C)

A.(4,1)B.(1,2)

C.(1,4)D.(2,1)

②已知点A(2,0)与8(0,4)关于直线at+y+Z>=0对称，则小人的值分别为(B)

13

3-7--

Ac.B.2

-5

2o--

,»2

-2

③△A8C的两条角平分线所在的宜线方程分别为k2L)，+1=0和A：x+)，+2=0,且

A(4,-1),则BC边所在的直线方程为3x+y+9=0.

④光线自点M(2,3)射到N(l,0)后被x轴反射，则反射光浅所在的直线方程为(B)

A.y=3x—3B.y=-3x+3

C.y=—3x~3D.y=3x+3

⑤已知圆C(X+2)2+(J，-3)2=2,从点P(l,3)发出的光线，经直线y=x+l反射后，

光线恰好平分圆C的周长，则入射光线所在直线的斜率为(C)

A.—2B.一C.-4D.一；

⑥已知直线/：3%+4)，-1=0,直线/i：2x+y—4=0,直线上与直线人关于直线/对称,

则直线12的方程为2A•+lly+16=0.

解析：①因为点A与点8关于直线x+y—3=0对称，

所以W-l)=一।，且"的中点在直线x+y—3=0上,

1+'让&一

0十)JU9

XR=1»

所以3二一解得即3(1,4).故选C.

VB-2W=4,

,^+7=1,

②因为点4（2,0）与8（0,4）关于直线ar+），+0=0对称，所以直线A3的斜率为了工=

2

-2X（—a）=-1»29

一2,48的中点坐标（1,2）在直线以+），+/）=0上，所以।「八解得，

〃+2+〃=0,

故选B.

③因为点A不在直线人和/2上，所以直线八和/2均不是NA的平分线.由角平分线的

性质知点44,-1）关于直线人和"的对称点均在直线8。上.设点八关于直线八和/2的对

称点分别为4（,如，〃°）和4"（加，〃），则直线AC的方程即为直线44”的方程.

〃+1

。（一「=f

由对称性可得及

/〃+4n-1

4-1=0,~2~+~r~卜2=0,

nio=_4

分别解方程组可得故A（4,—1）关丁电线7i：2A~J+1-0的对称

.〃o=3.

点为A（一4,3）,关于直线京x+y+2=0的对称点为A”（—1,-6）.故直线AA"的方程,

V-3

即直线BC的方程为■彳_7=-T+477,即3x+y+9=0.

—6—3-7I十4J

④如图所示，点M关于X轴的对称点为MQ,—3）,该点位于反射光线所在的直线上,

所以反射光线所在的直线方程为y—0=（上一1），即y=—3x+3.故选B.

⑤易得易心C（-2,3）.

因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过点C,所以点C关于直线y=x+l的

对称点M在入射光线上，所以直线CM的斜率为一［，且CM的中点在直线y=x+l上，

yw-3

Xw+2'x“=2,

所以，,解得即M(2,

),,w+3•%”—2Jy.y=­I

,2=2十**

又光源为点P（l，3）,所以入射光线所在直线的斜率为保矛=-4.故选C.

⑥（法一）在直线小2（+），-4=0上取两点4（2,0）,8（0,4）,设点A,8关于直线/的对

称点分别为4'（即，"），B\X2,”），

4r

-

-V=-1-8

•5

解4

8-

XI--=-

5，

>'|■<

84

-

5X-5

・•・直线/2的方程为工一84即2x+lly+16=0.

-十--

555

3才+4厂1=0,%=3,

（法二）联立直线/与/）的方程，得，解得••・直线/与人的交点为

2r+y—4=0,

（3,2）,该点在直线，2上.

TX3

1-2

由法一得点/V修一也在直线/2上，，直线，2的方程为8+-4

-2-T即2x4-lly+

55

16=0.

随堂普查练31

1.（2023汇编，15分）根据直线倾斜角与斜率的关系解决府题.

①已知直线/的倾斜角a满足方程二泮一=2,则直线/的斜率为（A）

A.一'B.gC.,D.一；

②已知△OBC是等边三角形，O为坐标原点，若08的斜率为坐，则BC的斜率可能为

（C）

A坐B坐C.一卓D.坐

③直线y=^v+6与圆E：（%一小）2+。-1）2=3交于M.N两点，则直线EM与EN

的倾斜角之和为一专一

.2sinTcosr

解析：®VT^-=2,——-=(an^=2

1+c0Sttl+2cos^-l2

ca

~tan244

Atana=------=~^即直线/的斜率为弋故选A.

1Tan弓

②设OB的倾斜角为yBC的倾斜角为乃

则匕叨=喙＜坐］,:./夕q

根据题意作图如下，有两种情况.

当点C位于第四象限时，力=£+?

当点。位于第二象限时，延长交X轴于点P，

则y2=ZC2+ZBOC2+/BOP=0+当

线EN的倾斜角为小

贝ijlanai=坐，即

，：EM=EN,AZ1=Z2,即方一"i=ai+(冗一向)，

••・”Y=「+(L0I),；・.十73号,

即直线EM与EN的倾斜角之和为号.

2.（2U23原创，3分）已知M-满足关系），=4一〉十枇十？十I,则代数式上1的最大值

以3A/15

为—ir-

解析：将方程），=4一*+41+5+1转化为（丁—1y=+4x+5,‘21,即。-2）2+（），

-1）2=9,,21,可知方程表示以3（2,1）为圆心，3为半径的半圆，所以代数式M表示半

圆A上的点与点4（一5,I）连线的斜率.

如图可知，当直线与半圆3相切于点C时，斜率取得最大置，最大值为tan/GAB.

因为BC=3,AR=7,所以AC=^72—32=2®,

3.（2020山东泰安模拟，5分）已知点欣如泡在直线3x+y+2=0上，且满足顺＞为一1,

则中的取值范围为（B）

A.（-3,B.（-8,_3）U（­1,十0°）

C.(-8,—3]uf-1,+8)D-(-3,-£)

解析：因为点”（向，和）在直线3x+y+2=0上，

所以州=—3即一2.

3

又xo＞_yo—I,所以3＞—3对一2一I,解得xo＞一不

（法一）因为，-3.ro-2

40

又物＞一不且沏xo,

所以_3_：W(_8,—3)U^—I，+8).故选B.

31

--

(法二)由上可知点M(M)，o)在射线3x+y+2=0(x>一§上，且射线的端点为4

4f

1

-『

4

如图所示.因为号可表示为点W和原点O连线的斜率,3Y，所以由图可知

xo-1o

色的取值范围为(-8,-3)UM,+8).故选氏

人0、z

用-V)M

\e

4.(经典题，5分)已知点<2,—3),仅3,2),直线外一)，-2=0与线段A8相交，则实

数a的取值范围是(C)

A.-y2]B(-8,U

C

解析：易知直线"一>一2=0经过定点C(0,-2),且斜率为a

—3—(—2)

如图，当直线依一)，-2=0经过点A(2,—3)时，a=kAC=——『二"

当直线办一厂2=0经过点8(3,2)时,

4

-

33

•••直线ax-y-2=0与线段AB相交，

・•・结合图像可知一方，4故选c.

5.(2023汇编，20分)根据所给条件分别求直线的方程.

(I)直线过点(一I,2),且在第二象限与坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线的方程；

答案：2x—>+4=0

解析：解：由题意可知直线的斜率存在且不为0,设直线的斜率为©Q0),则直线的方

程为厂2=依+1),

当％=0时，y=A+2>0：当y=0时，x=-»l<0.(2分)

K

乂直线在第二象限与坐标轴围成的三角形的面积为4,

所以;X(k+2)X-(一菅一1)]=4,解得k=2,

所以所求直线的方程为)，-2=2。+1),即2A—y+4=0.(5分)

(2)过点M(l,-2)的直线分别与x轴、,轴交于P,Q两点，若M为PQ的中点，求直

线产Q的方程：

答案：2x-y-4=0

ia=2,

解析：解：设P(a,0),Q0,b),则由中点坐标公式，可得，解得

b=—4,

・・・尸(2,0),0(0,-4),・••直线P。的截距式方程用+±=1,整理得2人一)，-4=0.(10分)

(3)已知射线OA：x-y=CQ20),OB：x+/y=0(x20),过点P(l,())作直线分别交射

线04,OB于点A,B.

(i)当线段48的中点为P时，求直线A8的方程；

答案：2x+C\/5—l)y—2=0

解析：解：设A(a,〃)3>0),因为线段A8的中点为P(l,0),

所以3(2一a，-a).因为点4在射线08上，所以2—。+审•(一〃)=0,解得〃=小一

1,（13分）

所以4小-1,小一1),.圻以直线A8的方程为]=小_]_「

即2M+(小一1»—2=0.(15分)

(ii)当线段AB的中点在直线y=Y上时，求直线AB的方程.

答案：VIL(小一1))，一小=0

解析：解：当直线A8的斜率不存在时，其方程为x=】，易知4,8两点的坐标分别为

A(l,1),8(1,一坐)，所以线段AB中点坐标为(1,上乎)显然该点不在直线)=%上.(17

当直线A3的斜率存在时，因为点A在射线OA上，点8在射线OB上，所以设A(a,

«)»B(/b,一〃工坐)，

g-b1a-{-y{3b

222，a=0,(a=y[3,

则<nAn解得「八(舍)或Vr

4一0—_Db=0U=2A/3~3,

I小b—1'

所以4(小，4)，故所求直线A8的方程为宝=苦不

即于r一(币一—#=。(20分)

6.(2021陕西模拟，5分j点M为圆C：(工+2)2+。+1)2=1上任意一•点，直线(l+3»x

+(l+22)y=2+52过定点P,则|MQ的最大值为(D)

A.26B.VHC.2^3+1D.VH+1

解析：整理直线方程得(x+y—2)+(3x+2y—5”.=0.

x+y—2=0,x=1>

联立解得,・・.P(1,1).

)，=1,

由圆的方程知圆心。(一2,-1),半径/•=1,且点P在阿C外，

・\IMPImx=|CP|+r=yj(-2-1)2+(-1-1)2+1=VH+1.故选D.

7.(2020山东青岛三模，5分)已知直线/|：『工一3y+2=0,I2：2ar+5y—a=0,若p：a

=0,夕：八与b平行，则下列选项中正确的是(C)

A.〃是q的必要不充分条件

B.«是〃的充要条件

C.〃是"的充分不必要条件

D.q是p的既不充分也不必要条件

2

解析：当4=()时，直线人为)，=§,直线/2为y=0,可知人〃，2，即〃能够推出若/1

与，2平行，则5/+3X2〃=O,且一3X(-a)-5X2H0,解得。=一，或a=0,即g不能推出

P，所以〃是q的充分不必要条件.故选C.

8.(经典题，5分)若三个不同的点0(0,0),人(sinasin?,仇8,5)在同一条直线.匕

则cos。的值是_看_.

5—()5

解析：因为。(0,0)>3(8,5),所以kcB=&_

o-uo

又0(0,0),A(sin<9,sin，)，8(8,5)为三个不同的点，且在同一条直线上，所以直线0/1

§sinz_0“4n

的斜率存在且攵d=%8，所以sinOWO,且,=1京_0,整理得8ss=§,所以85。=28$弓一

9.(2020辽宁大连一模，5分)在直角坐标系中，已知A(l,0),8(4,0),若直线x+my

一1=()上存在点P,使得|以|=2|PB|,则正实数小的最小值是(D)

A.TB.3C*D.小

JJ

解析：:点尸在直线3+”-1=0上，，可设产(1一小，力

由|必|=2俨用得(1一M5，-1)2+y=4乂［(1一冲-4/+力，化简得(苏+1)1+8■+12=0,

/.J=64m2-48(m2+l)>0,即，川23,

解得〃1小或〃大—5(含),，利的最小值为小•故选D.

4

10.(2019江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+不工>0)上的一个动点,

则点/)到直线x+y=0的距离拘最小值是4.

4*

解析：（法一）由题意可设点。的坐标为（xo,xo+；）（xo>0）,则点P到直线x+），=0的距离

•4。

=2（q£）端乂25|=4,当且仅当必=或时等号成立，所以点尸到

直线x+y=O的距离的最小值为4.

444

（法二）由y=x+*>0）,得y=I-p（.v>0）,设斜率为一I的直线与曲线y=x++>0）相切

于点《xo，xo+§,所以I—去=-1（刈>0）,所以冲