第一章常用逻辑用语学案

第一章常用逻辑用语

1.命题及其关系

学习目标］、1.了解命题的概念.（难点）；

2.理解命题的构成，并能指出此类命题的条件和结论.（重点）

3.能判断一些简单命题的真假.（难点）

一、识要点

1.命题：一般地，我们把用语言、符号或式子—表达的，可以―判断真假―的

陈述句叫做命题.

2.命题的真假：判断—为真—的命题叫做真命题，判断为假―的命题叫做假命题.

3.命题的形式：在数学中，“假设"那么q"是命题的常见形式，其中〃

叫做命题的一条件,g叫做命题的—结论.

探究点一、命题的概念及分类

问题1、我们在初中已经学过许多数学命题，你能举出一些数学命题的例子吗？当时是怎

么定义命题的？

问题2、观察以下语句的特点：（1）两个全等三角形的周长相等；

（2）5能被2整除；（3）对顶角相等；（4）今天天气真好啊！（5）请把门关上！（6）2是质数吗？（7）

假设x=2,那么f=4；（8）3+2=6.答复：①以上有几个命题？

命题必须具备什么特征？

问题3、数学中的定义、公理、定理都是命题吗？

结论：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫

做命题.其中，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

问题4、怎样判断一个命题是真命题还是假命题？

例1、判断以下语句是否是命题，假设是，判断其真假，并说明理由.

（1）求证小是无理数；（2）假设x£R,『+4x+420；

（3）你是高一的学生吗？；（4）并非所有的人都喜欢苹果；

（5）60x+9>4.

【变式训练1】、以下关于命题的说法正确的有（填写所有正确命题的序号）.

①命题“假设那么的逆命题是真命题；

②命题“假设x=l,那么f+x—2=0”的否命题是真命题；

③命题“假设f+）2=（）,那么x=y=0"的逆否命题为“假设xWO或yW（）,那么f+

尸0"；

④命题“假设"GM,那么用与命题“假设那么，代等价.

【变式训练2]、判断以下语句中哪些是命题，是真命题还是假命题？

(1)末位是。的整数能被5整除；

(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；

(3)两直线平行，那么斜率相等；

(4)ZiA8C中，假设NA=/8,那么sinA=sin8；

(5)余弦函数是周期函数吗？

探究点二、命题的结构

问题：在数学中，命题的常见形式为“假设p,那么,除此以外，还可用什么形式？

例2、把以下命题改写成“假设p,那么夕”的形式：

(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；

(2)斜率相等的两条直线平行；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)钝角的余弦值是负数.

【变式训练3】、指出以下命题的条件〃与结论q,并判断命题的真假.

(1)假设整数。是偶数，那么。能被2整除；

(2)对角线相等的平行四边形是矩形；

(3)相等的两个角正切值相等.

练一练

1.以下语句为命题的是(B)

A、对角线相等的四边形；B、同位角相等；

C、x22；D、Y—2x—3<0.

2.以下命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②假设灯=0,那么|x|+3=0；③

假设a>6,那么a/必矍④矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是.

3.把以下命题写成“假设p,那么夕”的形式.

(])ac>bc^a>b；

⑵x、y为正整数，当y=x+l时，)，=3,x=2；

⑶当心；时，如2—x+l=0无实数根；

(4)当〃儿=0时，。=0或/?=0或c=O；

(5)负数的立方是负数.

四种命题

四种命题间的相互关系

［学习目标］、1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念.

2.能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题.（重点、难点）

3.掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系.（易混点）

一、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判蛔假的陈述句叫做命题.其中判断为真的

语句叫做真命题，地近为假的语句叫做假命题.

二、四种命题及其关系命题表述形式

1.四种命题

原命题假设P，那么q

2.四种命题间的逆否关系

逆命题假设0,那么〃

3.四种命题的真假关系

假设「・那么

⑴两个命题互为逆否命题，它们有相否命题圆的真假性;

⑵两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

假设］Ch那么

题型一、四种命题的关系及真假判断逆否命题

TU1

［例1］以下命题中正确的选项是0

①“假设那么X,），不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“假设〃那么『十工一加=0有实根”的逆否命题；

④“假设x—3号是有理数，那么工是无理数”的逆否命题.

A.①②③④；B.①@④；C.②③④；D.①④

［例2］以下关于命题的说法正确的有（填写所有正确命题的序号）.

①“假设Iog24>0,那么函数K0=logaT（4>0,。为）在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“假设。=0,那么ab=（r的否命题是“假设“W0,那么4。会0”；

③命题“假设x,y都是偶数，那么工+），也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“假设那么墀"'与命题”假设bGM,那么Mr等价.

练习1、（2010天津理3）命题“假设/（力是奇函数，那么/（一）是奇.函数”的否命题是

（）

（A）假设/（“是偶函数，那么/（-x）是偶函数

(BJ假设/(x)是奇数，那么/(r)不是奇函数

(C)假设/(t)是奇函数,那么/(")是奇函数

(D)假设/(-”是奇函数，那么/")不是奇函数

练习2、命题“假设x,y都是偶数，那么工+)，也是偶数”的逆否命题是()

A.假设x+y是偶数，那么x,)，不都是偶数

B.假设工+)，是偶数，那么心)，都不是偶数

C.假设x+y不是偶数，那么x,y不都是偶数

D.假设x+y不是偶数，那么上，y都不是偶数

练习3、(1)命题“假设/")是奇函数，那么人一幻是奇函数”的否命题是(B)

A.假设,/U)是偶函数，那么人一外是偶函数

B.假设火幻不是奇函数，那么以一幻不是奇函数

C.假设人一冷是奇函数，那么人只是奇函数

D.假设八一x)不是奇函数，那么7U)不是奇函数

(2)命题“假设函数段)=^一〃a在(0,+8)上是增函数，那么mW1"，那么以下结论正确

的选项是()

A.否命题“假设函数在(0,+8)上是减函数，那么小>1”是真命题

B.逆命题“假设机W1,那么函数在(0,+8)上是增函数”是假命题

C.逆否命题“假设那么函数式五)=^一加工在(0,十8)上是减函数”是真命题

D.逆否命题“假设加>1,那么函数F(x)=e'-mx在(0,+8)上不是增函数”是真命题

题型二、四种命题的关系的应用

［例3］写出命题周3假设关于x的不等式父+ar+Z<0有非空解集,那么，24b”

的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

［例4］指出以下各组命题中，夕是q的什么条件？

(Dp：四边形的对角线相等；Q：四边形是平行四边形.

(2)p：x,y是实数，xy>0；q：|x+y|=|x|+|y|.

［例5］、求方程d*+2x+1=0有且只有一个负实数根的充要条件.

三、根底训练

1.命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数”的逆命题是0

A.“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数”

B.“假设一个数的平方是止数，那么它是负数”

C.“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数”

D.“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数”

2.以下命题中为真命题的是0

A.命题“假设x>），，那么久》|），］”的逆命题；

B.命题“假设Q1,那么幺>1”的否命题

C.命题“假设x=l,那么F+x—2=0”的否命题；

D.命题“假设*>0,那么A1”的逆否命题

3、与命题“假设小3c成等比数列，那么加=收”等价的命题是0

A.假设。，b,c成等比数列，那么从Wac

B.假设〃，b,c不成等比数列，那么加工如

C.假设y=oc,那么a，b,c成等比数列

D.假设序那么〃，b,c不成等比数列

4、假设命题“ad—2,。-3>0不成立”是真命题，那么实数a的取值范围是_［一

3,0］.

5、“假设aWA那么。,那么命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确

命题的个数是.

1.2充分条件与必要条件

充要条件

［学习目标］、1.了解真命题与推出符号的关系，领会符号语言的优越性.

2.理解充分条件、必要条件和充要条件的意义.

3.掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断方法，学会用数学的观点、方法分析解决问

题.

命题视角：充分条件与必要条件的判断，是历年高考的热点，其主要命题视角：①定义法

判断充分条件与必要条件；②集合法判断充分条件与必要条件；③等价转化法判断充分条

件与必要条件.

一、充分条件与必要条件

“假设p,那么是真命

命题真假“假设P，那么是假命题

题

推出关系P-------qP--------Q

〃是夕的一一条件p不是q的_一条

条件关系

q是p的一一条件q不是p的_一__条_件件

二、充分必要条件的判定

【例1】（1）（2014.湖北高考）设U为全集，A,B是集合，那么“存在集合。使得ANC,B

是“AGB=。”的（）

A.充分而不必要的条件；B.必要而不充分的条件；

C.充要条件；D.既不充分也不必要的条件

⑵（2013・山东高考）给定两个命题〃，/假设否〃是q的必要而不充分条件，那么〃是否q

的。

A.充分而不必要条件；B.必要而不充分条件

C.充要条件；D.既不充分也不必要条件

【变式训练1】

（1）（2014•安徽高考）“广0”是“hi（x十1）＜0"的（）

A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；

C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件

（2）（2014・长沙模拟）设4,8为两个互不相同的集合，命题〃：尤WAAB,命题中或x

SB,那么是「〃的0

A.充分且必要条件；B.充分非必要条件；

C.必要非充分条件；D.非充分且非必要条件

题型三：充分必要条件的应用

例1：方程a*+2x+l=0至少有一个负实根的充要条件是（）

A.（KaWl；B.水1；C.aWl；D.0＜aWl或水0

练习L（2013•兰州调研）“x£{3,目”是不等式2f—5x—320成立的一个充分不必要

条件，那么实数a的取值范围是（）

A、（3,+«＞）；B、（—8,--）u[3,+00）；

卜+220

练习2：.p：彳削彳，q：{x|1一加〈xWl+勿，加＞0},假设o是夕的必要非充分

[x—10W0.

条件.那么实数〃/的取值范围是.

例2.全集〃=R,非空集合力=立_3叶]<°卜

B=\x[—<o}.(1)当时，求([⑶A力；

xaz

⑵命题夕：工白，命题SX日,假设g是2的必要条件，求实数a的取值范围.

根底训练

1.集合M="|()V<1},集合N={R—24<",那么“〃£N”是的()

A.充分而不必要条件：B,必要而不充分条件；

C.充要条件；D.既不充分也不必要条件

2.函数/(©=*+〃a+1的图象关于直线1=1对称的充要条件是0

A.tn=-2；B.加=2；C.m=—\；D.tn=1

3、"x=g是“向量。=(工+2,1)与向量人=(2,2—幻共线”的一充分不必要条

件.

4.假设集合A={X[24<3},B={x|(x+2)(x-a)<0},那么“。=1”是“408=。”的()A.充

分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；

D.既不充分也不必要条件

5、命题p：卜一2|<3是命题/0W成立的必要不充分条件，那么实数。的取值范围是()

A.(0,5]；B.(-1,0)；C.(5,+8)；D.(-1,5)

6.”<1”是“数列m=〃2—2加(〃£1^)是递增数列”的(A)

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；

D、既不充分也不必要条件

7.集合A=x[g<2'<8,x£R,B={x|-l<x<m+1,x£R},假设x£B成立的一个充分不

必要的条件是x£A,那么实数m的取值范闱是___.

自测题：一、选择题

1.命题：“假设那么一1令<1”的逆否命题是0

A.假设那么或xW—1；B.假设一那么,d<1

C.假设心>1或x<—1,那么；D.假设戈21或xW—1,那么

2.集合M={M«vl},集合N={X|-2<X<1},那么“a£N”是QW的()

A.充分而不必要条件；B,必要而不充分条件

C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件

3.“a>0”是“间>0”的()

A.充分不必要条件：B.必要不充分条件；

C.充要条件；D.既不充分也不必要条件

4.（重庆）命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数”的逆命题是0

A.“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数”

B.“假设一个数的平方是正数，那么它是负数”

C.“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数”

D.“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数”

5.集合4={耶长4,x£R},B={x\x<a]f那么是"5"的（）

A.充分不必要条件；B.必要不充分条件

C.充要条件；D.既不充分也不必要条件

二、填空题（每题6分，共24分）

6.（江苏）设。和夕为不重合的两个平面，给出以下命题：

①假设〃内的两条相交直线分

别平行于夕内的两条相交直线，那么。平行于小

②假设a外一条直线/与a内的一条直线平行，那么/和a平行；

③设a和4相交于直线/,假设a内有一条直线垂直于/,那么a和4垂直；

④直线/与a垂直的充分必要条件是/与。内的两条直线垂直.

上面命题中，真•♦命•题的序号（写出所有真命题的序号）.

7.p是，•的充分条件而不是必要条件，是厂的充分条件，5是厂的必要条件，q是s的必

要条件.现有以下命题：

①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③，・是9的必要条件而不是

充分条件;④㈱〃是㈱s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.那

么正确命题序号是_______.

8.假设。可2,5]或工土出<1或x>4}”是假命题，那么x的取值范围是________.

[x+2201

9.p：x|，g3L"WxWl+〃z,m>0},假设。是〃的必要非充分条件，那

,[x—I0W0J

么实数m的取值范围是.

三、解答题（共41分）

10.p：3|W2,q：（x—m+1）^0,假设"p是㈱g

的充分而不必要条件，求实数，〃的取值范围.

11.求证:关于x的一元二次不等式加一6+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0<。<4.

x—2

12.（14分）全集U=R,非空集合代凡―©"1）*B=

⑴当。=；时，求((u8)CA;

⑵命题p：x£A,命题q：xWB,假设q是〃的必要条件，求实数。的取值范围.

［学习目标］:“且”“或”“非”的意义,“p且q”“p或q”“非p”的真

假.“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假.

一、简单的逻辑联结词

1.用联结词“且”联结命题〃和命题小记作小，读作“〃且0”.

2.用联结词“或”联结命题〃和命题小记作”，读作“〃或0”.

3.对一个命题〃全盘否认，就得到一个新命题，记作二°读作“非〃”或“〃的否认”.

4.命题〃/\心p7q,二的真假判断：

〃八9中〃、q有一假为假，有一真为真，〃与非。必定是•真•假.

二、应用举例

题型一：含有逻辑联结词的命题构成

例1、指出以下命题的形式及构成它的简单命题：

⑴方程f-3=0没有有理根；

⑵有两个内角是45。的三角形是等腰直角三角形；

(3)±1是方程/+«一工一1=0的根.

题型二：含逻辑联结词的命题的真假判断

例2：设〃、q是简单命题，那么“〃且夕为假”是“〃或q为假”的()

A.必要不充分条件

C.充要条件

练习1.写出由以下各组命题构成的“〃或,"P且/'，“非〃”形式的新命题，并判

断其真假.

(l)p：2是4的约数，q：2是6的约数；

(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；

(3)p：方程f+x—1=0的两实根的符号相同，q：方程f+x—1=0的两实根的绝对值相等.

例3.p：以一〃|<4；qt(x-2)-(3-x)>0,假设「p是「夕的充分不必要条件,那么，的取值

范围为()

A.a<—1或〃>6:B.—I或a26：C.—1；D.—1<a<6

练习2.命题p：E+Zr-3>0；命题q：J>1,假设-iq且〃为真，那么x的取值范围是

J人

题型三：逻辑联结词的应用

例4.〃>0且c/Wl,设p：函数y=log”（x+l）在（0,+8）上单调递减，q.曲线yuf+Qq

—3）x+l与x轴交于不同的两点.假设〃或弓为真，〃且4为假，求。的取值范围.

测练题

1、命题〃：m.WR,使tanxo=l,命题//一31+2<。的解集是{川<_女2},给出以下结

论：

①命题“pAq”是真命题；②命题"〃八Jq）”是假命题；

③命题"（1p）Vq”是真命题;④命题“（1p）V（nq）”是假命题.

其中正确的选项是（）

A.②③；B.①②④；C.①③④；D.①②③④

2、如果命题“非〃或非是假命题，给出以下四个结论：

①命题“〃且9”是真命题；②命题“p且q”是假命题；

③命题"p或q”是真命题；④命题“〃或夕”是假命题.

其中正确的结论是0

A.①③；B.②④；C.②③；D.①④

3、在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙

降落在指定范围”，那么命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为。

A.（lp）V（「q）；B.pV（「q）；C.（「p）八（「q）；D.pVq

4、（2012•江西盟校联考）命题p：“Vx£[0』],，

命题/『+4工+。=0"，假设命题“p\q»是真命题，那么实数。的取值范围

是。

A.（4,+oo）；B.[1,4];C.[e,4];D.（—8,1]

JT

5、（2012・山东高考）设命题p：函数y=sin的最小正周期为]；命题q：函数y=cosx的

图象关于直线入=方对称.那么以下判断正确的选项是0

A.p为真；B.为真；C.〃八为假；D.为真

6、c>0,设〃：函数y=c'在R上单调递减，q：曲线y=4f—4（（1+习+/+1与x轴交于

不同的两点，假设为真命题，“P八夕”为假命题，求。的取值范围.

7^设命题P：函数yu)=(。一,)是R上的减函数，命题4：函数次月二%2—4x+3在［0,a］

上的值域为［—1,3］.假设〃/\q为假命题，〃V9为真命题，求。的取值范围.

1.4全称量词与存在量词、

［学习目标］：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命

题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题直假性的判定.3.能正确地对含有一个量

词的命题进行否认.

全称量词与全称命题

⑴短语“所有的”“任意•个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示.

⑵含有全称量词的命题,叫做全称命题.

⑶全称命题“对M中任意一个M有p(x)成立"可用符号简记为马旦丝”)，读作“亚

任意x属于有。(x)成立”.

存在量词与特称命题

⑴短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“m”表示.

(2)含有存在量词的命题，口U做特称命题.

⑶特称命题“存在M中的一个加，使〃(戈o)成立"可用符号简记为三刈£加，P(xo),读作“在

在M中的元素xo，使〃(xo)成立”.

三、含有一个量词的命题的否认

命题命题的否认

VxWM,〃(x)mxoEM,-i〃(xo)

三xo£M,p(xo)

四.常见词语的否认形式有:

至少

原语至多有一对任意x^A

是都是>有一

句个使p(幻真

个

一个

否认不不都至少有两存在

也没

形式是是个使p(xo)假

有

五、应用举例

题型一：含逻辑联结词的命题的真假判断

例1:以下结论：

①假设命题P：3x0^R,tanxo—2；命题（/：X/x£R,x2—“〃八（―）q）”是假命题;

乙

②直线/i：ax-\-3y—1=0,h：x-\~by-\-1=0,那么/1JJ2的充要条件是彳=-3；

③“设〃、/?£R,假设川?22,那么42+匕2>4”的否命题为：”设。、b^R,假设〃力<2,

那么足+^W4”.

其中正确结论的序号为.（把你认为正确结论的序号都填上）

例2.（2012・湖南十二校联考）以下命题中的真命题是（）

A.mxo£R,使得sin工ocos4。=；

B.3xo^（—°°>0）,2xo>l

C.VxER,

D.Vx£（0,兀），sinx>cosx

题型二：全（特）称命题及其真假判断

例1：命题“存在&WR,便得高+如+5=0”的否认是________.

例2.（2012・济宁模拟）有以下四个命题：

pi：假设〃2=0,那么一定有〃_Lb；

pz：Bx,y£R，sin（x—y）=sin1一siny；

P3：Vtz<=（（）,i）U（l,+8）,函数/（1）="一2\十1者恒过定点g,2）；

〃4：方程x2+y2+Dx+Ey+/?=0表示圆的充要条件是U+E?—4F20.其中假命题的是（）

A.pi,〃4；B.〃2,P3；C.0,〃3；D."2,P4

例3.（2009•宁夏、海南高考）有四个关于三角函数的命题：（）

pi：R,>£R,sin(x—y)=sinx—siny

/1-cos2x兀

〃3：Vx£[0,兀],\---2---=siov；〃4：siov=cosynx+y=z

其中的假命题是（）

A.pi,〃4；B.p2,〃4；C.pi,P3；D.〃2,P3

题型三：命题的否认

一、含有一个量词的命题的否认

命题命题的否认

PxGM,p(x)二、命题的否认

Bx^Mfp(x)(1)全称命题

的否认是特称

命题；特称命题的否认是全称命题.

(2)"p或/'的否认为：”非〃且非/'；"〃且的否认为：“非〃或非

13)正确区别：命题的否认与否命题

“否命题”是对原命题“假设夕，那么的条件和结论分别加以否认而得的命题，它既否

认其条件，又否认其结论；“命题的否认”即“非〃”，只是否认命题"的结论.

命题的否认与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题

的真假无必然联系.

三、典例

例题1、写出以下命题的否认，并判断其真假.

(1)〃：不管，〃取何实数：方程f+x—〃7=0必有实数根；

Q)q:存在一个实数xo使得向+刈+1W0；

(3)/*：等圆的面积相等，周长相等；

(4)s：对任意角a,都有sin%+cos2a=1.

题型四：全称命题与特称命题的应用应

例1.命题“三4()£R,2x8—34X0+9<0”为假命题，那么实数a的取值范围为.

例2.(2013•石室在模拟)命题p：Vxe[l,2],炉一aNO,命题伙3xotR,而+2以0+2-a

=0,假设“p且q”为真命题，那么实数。的取值范围是()

A.。=1或〃W—2；B.〃W—2或1W〃W2；C.D.

练习：命题p：Vx£R,9'—3'—。=0,假设命题㈱〃是假命题，求实数。的取值范围.

测练题

一、选择题

1、(桓台第二中学2014高三期中)集合4={1,〃},8={123},那么“"3”是“4仁8”的()

A.充分而不必要条件；B.必要而不充分条件

C.充分必要条件；D.既不充分也不必要条件

2、(德州市2014高三期中)下面命题中假命题是

A.Vxe/?,3v>0B.3a,。wR,使sin(a+£)=sina+sin£

c.BmeR,使/是累函数，且在（0,+8）上单调递增

D.命题uBx^R,x2+\>3xff的否认是“Vx£R,f+i>3x”

3、1荷泽市2014高三期中）给定两个例题A8,假设Y是8的必要而不充分条件，那么「3

是A的

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；

C、充要条件；