概率论与数理统计教案第1章 随机事件与概率

概率论与数理统计教学教案

第1章随机事件与概率

授课序号01

教学基本指标

教学课题第1章第1节随机事件课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点样本空间、随机事件、事件的关系与运算教学难点事件的关系与运算

参考教材作业布置课后习题

大纲要求了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。

教学基本内容

随机试验与样木空间

1随机试验：

（1）可以在相同的条件下重复进行；

（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；

（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果将会出现.

在概率论中，把具有以上三个特点的试验称为随机试验，简称试验，记为E.

2样本空间：

对于随机试验，虽然在试验前不能确定哪一个结果将会出现，但能事先明确试验的所有可能结果，我们将

随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即试验E的每一个结

果，称为样本点.

二.随机事件

1.随机事件：在一次试验中可能出现也可■能不出现的结果,统称随机事件，简称事件，记作A,8,C,.

2.随机事件的类型：

（1）必然事件.每次试验中都发生的事件称为必然事件，必然事件可以用样本空间S表示；

（2）不可能事件.在每次试验中都不发生的事件称为不可能事件，不可能事件可以用空集0表示；

（3）基本事件.每次试验中出现的基本结果（样本点）称为基本事件•，基本事件可以用一个样本点表示；

（4）复合事件.含有两个及两个以上样本点的事件称为复合事件.

3.两点说明：

（1）在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生；

（2）严格来讲必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们不是随机事件，但为了研究问题的

方便，我们把它们作为特殊的随机事件.

三.随机事件的关系与运算

I.事件的关系

（】）若Au8,则称事件4是事件3的子事件，表示事件A发生必然导致事件3发生.

（2）若Au&且8uA,则称事件A与事件3相等.

（3）事件称为事件4与事件8的和事件，表示力，片中至少一个发生.

（4）称04为〃个事件A，4,…,A,的和事件，称0儿为可列个事件4,4,…的和事件.

*=1*=i

（5）事件AQ8称为事件A与事件3的积事件，表示儿8司时发生，ACIH一般简写为八人

（6）称夕儿为〃个事件4,4,…,4的枳事件，称斗人为可列个事件4,A2,的积事件

k=\&=1

（7）事件称为事件人与事件8的差事件，表示4发生且8不发生.

（8）若八口4=0,称为事件A与事件3是互不相容或互斥的，表示事件A与事件〃不能同时发生.

（8）若AU3=S且AL8=0,称事件A与事件3互为逆事件，或称事件A与事件8互为对立事

件，即事件中必有一个发生，且仅有一个发生，4的对立事件记作彳，即囚=S-4.

2.事件间的运算律：设A及C为事件，则有

（1）交换律：A\JB=B\JA,AC\B=BV\A.

（2）结合律：A\J（B\JC）=（A\JB）\JC,An（Bno=（AnB）nc.

（3）分配律：AU（笈nc）=（AUA）n（auc）；

An（/suc）=（an4）u（4nc）.

（4）德摩根律：而丽=3nB.

例1.设从B,C分别表示第1,2,3个产品为次品，用力，B,。的运算可表示下列各事件：

（1）至少有一个次品ABC;

（2）没有次品ABC=A\BC;

（3）恰有一个次品ABCABCABC;

（4）至少有两个次品ABCLABCUABCUABC=ABBCCA；

(5)至多有两个次品(考虑其对立事件)

(ABCUABCUABC)U(ABC(JABC(JABC)\J(ABC)=ABC=A{JB\JC.

授课序号02

教学基本指标

教学课题第1章第2节概率课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点概率的概念，概率的基本性质，古典型概率，概教学难点古典型概率，概率的加法公式

率的加法公式

参考教材作业布置课后习题

大纲要求理解概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式.

教学基本内容

一.频率与概率

I.频率：在相同条件下，进行了〃次试验，在这〃次试验中，事件力发生的次数〃人称为事件力发生的频

数，比值区称为事件A发生的频率，记作，（A）.

n

2.频率的性质：设/I是随机试验片的任一事件，则频率£（A）具有性质：

（1）

⑵Z,（S）=1,Z/0）=0；

（3）若A，4,…，4是两两互不相容的事件，则以AU4U…U4）=Z,（A）+£（A2）+…+〃4）.

事件发生的频率大小表示其发生.的频繁程度.频率大，事件发生就越频繁，这表示事件在一次试验中发

生的可能性就越大，反之亦然.

3.频率的稳定性

由于频率是依赖于试验结果的，而试验结果的出现具有一定的随机性，因而频率具有随机波动性，即使对

于同样的n,所得的频率不•定相同；另一方面大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率A（A）逐

渐稳定于某个常数.

4.概率的统计定义：随机事件A在大量重复试验（观测）中，即n-8时，其频率稳定在某一常数上，这

一常数称为随机事件A的概率，记作P（A）.

二.古典概率与几何概率

1.古典概率

（1）（概率的古典定义）设试验的样本空间S包含〃个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，若事件

［包含4个样本点，则事件力的概率为

£=事件包含的样本点数

）一1一样本空间中样本点总数.

2.排列与组合有关公式

（1）加法原理：设完成一件事有勿种方式，其中第一种方式有％种方法，第二种方式有&种方法，

第勿种方式有乙种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事的方法总数为«,+々+…+/.

(2)乘法原理：设完成一件事有勿个步骤，其中第一个步骤有9种方法，第二个步骤有怎种方法，……,

第房个步骤有〃，“种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为

xx•••xnm.

(3)排列公式：从〃个不同元素中任取〃(144式冷个元素的不同排列总数为

A：=n(n-l)-(n-k+l)=-—.

(n-k)\

(4)组合公式：从〃个不同元素中任取在(1WkW〃)个元素的不同组合总数为

i〃("1)…+nl

"\k)k\[n-k)\k\

3.几何概率：设样本空间S是平面上某个区域，它的面枳记为"(S),点落入S内任何部分区域力的可能

性只与区域力的面积〃(A)成比例，而与区域力的位置和形状无关，该点落在区域力的事件仍记为4则事件力

的概率为

P(A)=^^

〃⑸

三.概率的定义与性质

1概率的公理化定义：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于七的每一事件A赋予一个实数，记为

尸⑷,如果尸(A)满足以下条件:

1°非负性：对于每一个事件A,有尸(A)NO；

2。规范性：对于必然事件S,有P(S)=1;

3c可列可加性：设A，阳…是两两互不相容的事件，即44=0,iwj,3=1,2,…，有

P(0a)=£p(4),则称P(A)为事件A的概率.

2.概率的运算性质

(1)O<P(A)<1,P(0)=O.

(2)若4,…,A”是两两互不相容事件，则有P(4U&U-U4)=P(&)+P(&)+•••+PQ4J

(3)对于任意两个事件A8,有P(A—8)=尸(A)—P(AB),特别地，若则有

P(A-B)=P(A)-P(B),因而有P(A)NP(8).

(4)对于任意两个事件A8，P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

(5)设A,仇C为任意三个事件，则有

P(AU"Uc)=MA)+P⑻+MG-P(A13)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).

（6）对于任意事件4P（A）=1-P（A）.

四.例题讲解

例1.箱中放有〃+/?个外形一样的手机充电器（不含充电线），其中&个充电器具有快充功能，其余。个没

有快充功能，k（k<a+b）个人依次在箱中取一个充电器，

（1）作放回抽样（每次抽取后记录结果，然后放回）；

（2）作不放回抽样（抽取后不再放回）；

求第=，幻人取到具有快充功能的充电器（记为事件用的概率.

例2.设有N件产品，其中有V件次品，今从中任取〃件，问其中恰有4（A$min｛儿A7｝）件次品的概率是

多少？

例工货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地.现从货架上随机抽取两件,

求这两件商品来自同一产地的概率.

例4.某接待站在某一周曾接待过12次来访，己知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以

推断接待时间是有规定的？

例5.某福利彩票游戏规则：购买者从01-35共35个号码中选取7个号码作为一注进行投注，7个号码中

6个为基本号码另外1个号码为特别号码，每注彩票2元，每期销售彩票总金额的50%用来作为奖金.

奖项设置为一等奖：选7中6+1（不考虑基本号码的顺序）；二等奖：选7中6；三等奖：选7中5+1；

四等奖：选7中5；五等奖：选7中4+1；六等奖：选7中4；七等奖：选7中3+1.试计算单注中奖概率.例

1.10假设每个人的生日随机分布在365天中的某一天，在有〃（水365）个人的班级里，生日各不相同（记为

事件力）的概率为多少？存在至少两人生日在同一天（记为事件的概率为多少？

例6.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点时报时一次，求他等待时

间短于10分钟的概率.

例7.（会面问题）某销人员和客户相约7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人半个小时，过时就

离开.如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率.

例8.对某高校学生移动支付使用情况进行调查，使用支付宝的用户占45%,使用微信支付的用户占35%,

同时使用两种移动支付的占10%.求至少使用一种移动支付的概率和只使用一种移动支付的概率.

例9.A,6是两个事件,已知P（5）=0.3,P（AJB）=O.6,求一（4》）.

授课序号03

教学基本指标

教学课题第1章第3节条件概率课的类型复习、新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式教学难点条件概率，乘法公式、全概率公

式，贝叶斯公式

参考教材作业布置课后习题

大纲要求理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式。

教学基本内容

一.条件概率与乘法公式

1.条件概率

(1)设48是两个事件，且P(A)>0,称P(8|A)=CM为事件A发生的条件下事件8发生的条件

尸(A)

概率.

(2)称P(人忸)=华答为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.

2.条件概率P(B|A)的性质:

(1)非负性：对于每一事件5,有P(@A)20：

(2)规范性：对于必然事件S,有P(S|A)=1；

(3)可列可加性：设综B2,…是两两互不相容事件，则有P(j可A)=£P(同A)：

,=|1=)

(4)P((与一1)|A)=P(耳|A)-P电B?|A)；P(B\A)=l-P(B\A)；

与尸(即

P(4UIA)=4)+P(B2IA)-P(4B2\A).

两点说明：计算条件概率的方法：

(1)在缩减的样本空间力中求事件8的概率，就得到P(3|A)；

(2)在样本空间S中，先求事件尸(4砌和P(A),再按定义计算P(A|A).

3.乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A)(P(A)>0),P(AB)=P(A\B)P(B)(P(B)>O).

推广：设4,…4为〃(〃之2)个事件，且p(A4…Ai)>°，则有

PGM?…4)二~阕入出…4.2)一/(阕4)月(4)•

二.全概率公式与贝叶斯公式

I.样木空间的划分：设S为试验石1的样本空间，用，色,…B”为上的一组事件，若

（1）=…,叫

（2）gU与U…U纥=S,

则称田，生,…为样本空间S的一个划分，或完备事件组.

2.全概率公式

定理：设试验E的样本空间为S,A为石的事件，片,生,…坊为样本空间S的一个划分，且

P（BJ＞0,（i=l,2,•・•/）,则

网4）=尸（刈4）。（4）+2（川生）。（坊）+…+PG4|q）P（纥）.

全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问

题，最后应用概率的可加性求出最终结果.

3.贝叶斯公式

定理：设试验2的样本空间为S,月为少的事件，与，鱼，…为样本空间S的一个划分，且P（A）＞0,

P（B）＞0（i=l,2,…,〃），则

叱）=――，

方P（A|鸟）P（鸟）

六।

三.例题讲解

例1.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中

任选一名职工，计算

（1）该职工技术优秀的概率；

（2）一知选出的是男职工，他技术优秀的概率.

例2.在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品.现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的

概率

例3.某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件力）、“图书”（记为事件8）、“电影”（记为事件C）,调查读

者的阅读习惯有如下结果：P（A）=0.14,P（B）=0.23,P（C）=Q37,P（/AB）=O.O8,P（AC）=0.09,

P（BC）=0.13,P（ABC）=0.05,试求：P（A|8.C）,P（ALB\C）.

例4.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统（I）和（H）,每种系统单独使用时，系统（I）和系统（H）

的有效概率分别为0.92和0.93,在系统（【）失灵的情况下，系统（H）仍有效的概率为0.85,求两个报警系统

至少有一个有效的概率.

例5.（传染病模型）设袋中装有一只红球，，只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并

再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到

白球的概率.

例6.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占20%,二厂生产的占70%,三厂生产的占10%,

又知这三个厂的产品次品率分别为2乳1%,3%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

例7.设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮件进入账户1,另有20%的邮件进入账户2,其余10%

的邮件进入账户3.根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为陶，2%,5%,问某天随机收到的一封邮件

为垃圾邮件的概率.

例8.对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时，其

合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95$.已知某日早上第一件产品是合咯品时，试求机

器调整良好的概率.

例9.某机器由尔氏。三类元件构成，其所占比例分别为0.1,0.4,0.5,且其发生故障的概率分别为0.7,

0.1,0.2.现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？

授课序号04

教学基本指标

教学课题第1章第4节事件的独立性课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点事件的独立性的概念、用事件独立性进行概率计教学难点用事件独立性进行概率计算

算、独立重里试验的概念

参考教材作业布置课后习题

大纲要求理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计

算有关事件概率的方法。

教学基本内容

一.事件的独立性

1.两个事件的独立性：设是两事件，如果满足等式P(A3)=P(A)P(3),则称事件A,B相互独立，

简称AB独立.

注：事件4与事件4相互独立，是指事件4发生的概率与事件B发生的概率互不影响；反之，若事件4

发生的概率与事件B发生的概率互不影响，则事件A与事件B相互独立.

2.事件独立性的性质

性质1.设A,3是两事件，且P(A)>0,A,3相互独立，则尸(用4)=尸(B).

性质2.若事件A与事件B相互独立，则A与瓦彳与£不与反也相互独立.

3.有限个事件的独立性：设A，4，…A,是〃1之2)个事件，如果对于其中任意任意的

・

1</1<4<<ik<n,具有等式「(44」4)二尸(4)2(4>・)(4),则称4，4r4是相互独立事

件.

4.三个事件相互独立：设4,B,。是三个事件，如果满足P(A8)=P(A)P(8),P(BC)=P(B)P(C),

P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(3)P(C),则称事件A,C相互独立.

注：(1)〃("23)个事件相互独立，则其中任意两个事件相互独立，即两两独立，反之不成立.

(2)若事件4，42,…A“(〃22)相互独立，则其中任意攵(24攵工〃)个事件也相互独立.

(3)若〃个事件A，&,…4(〃之2)相互独立，则将A，4,…A,任意多个事件换成它们各自的对立事件，

所得的〃个事件也相互独立.

5.若事件A，4