概率论与数理统计练习册 习题答案 张天德 练习册7答案

第7章假设检验

重点：假设检验，两类错误，正态总体参数的假设检验.

难点：正态总体参数的假设检验.

7.1假设检验的基本概念

1.假设检验第一类错误的概率记为原第二类错误的概率记为£,下列说法错误

的是（）.

A.a+/3=\；B.a=P｛拒绝〃ol"o为真｝；

C.a即为检验水平；D.〃=P｛接受/也不真｝.

【答案】A

解：a=P｛拒绝/此为真｝,£钾接受Hol“。不真｝，两者不是对立事件，因此A

错误.

2.在假设检验问题中，犯第一类错误的概率a的意义是（）.

A.在Ho不成立的条件下，经检验Ho被拒绝的概率

B.在Ho不成立的条件下，经检验Ho被接受的概率

C.在Ho成立的条件下，经检验Ho被拒绝的概率

D.在Ho成立的条件下，经检验Ho被接受的概率

【答案】C

3.设检验水平为记H°,凡分别为原假设和备择假设，则

P｛接受4向不真卜L

解：P｛接受引力不真｝=P｛接受％阳0为真｝二1"｛拒绝冏为真｝=1-a.

4.设总体X服从正态分布N（",l）,X，X?,…,人是该总体的样本，对于假设

%：〃=2,必：〃>2,已知拒绝域是｛又>2.6｝,则犯第一类错误的概率

为.

解：犯第一类错误的概率。=片拒绝儿|名为真｝

=P[X>2.6^=2]=P

>^^|=1-0(1.8)=O.O36.

5.设X，X2，,XI6是来自总体N(〃,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题:

若该检验问题的拒绝域为W=｛又211｝,则〃=11.5时，该检验犯第二类错误的

概率为多少？

解；犯第二类错误的概率

P=P｛接受"oI4不真｝=P｛接受“0I必为真｝=p｛x<ll|z/=11.5)

由于〃此时又~N(11.5,1/4),故

/\

/?=P｛X<11｝=<D=0)(-l)=l-(D(l).

I/2

7.2正态总体参数的假设检验

1.某厂生产的某种型号的电池，其寿命X~N(4，/),现随机抽取n只电池，测

出其寿命的样本均值和为了，样本方差分别为s',要检验该厂生产的电池的平均

寿命是否为提出假设儿：〃=«),“尸4工〃°,选用的检验统计量及分布为〔).

A.^^~N(0』)；Y—U

B.—^~N(0,l)；

b7ns/

【答案】D.

解：方差未知时均值的检验选用统计量乃半

S/\]n

2.甲、乙两位化验员,对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，

得到样本方差分别为S；和S；.若甲、乙两人测定值的总体都服从正态分布.要在

显著性检验水平。=0.05下检验两人测定值的方差有无显著差异，检验的拒绝域

为().

气(均一1,%-1)<wF〃(〃|一1,%一D”

1-----

S2

B.%—1)蓬时5Ti1

C.{合W0q(%-1,%-1)U条之七(〃|T，〃2-1)

s?

D.

<Fa{nA-\yn^-\)\J-^->Fa(z^-1,^-1)-

2邑《

【答案】c.

解：双边检验拒绝域在两侧，且有%5「1,〃2-1]>尸4（〃「1，4-1），因此选C.

-1——

22

3.设用〃值检验法进行假设检验，若显著性水平a=0.05,则（）时，拒绝Ho.

A.p=0.12B.p-0.25

C.p=0.08D.p=0.01

【答案】D.

4.某厂生产一种电子元件，已知该元件寿命服从正态分布，且寿命的方差不超过

64小时产品为合格.现从一批该种元件中随机抽取容量为n的样本，以检验这批

元件寿命的方差是否合格，选用的统计量是.

解：均值未知，检验方差选用统计量5一产

b

5.某产品以往的废品率不高于5%,今从一批产品中抽取一样本，以检验这批产

品的废品率是否高于5%,提出假设儿:〃W0.05,>0.05,在显著水平。下,

检验的拒绝域为

：方差未知，选用统计量7=土半~«〃-1），题目为右边检验，因此拒绝域

SIyjn

T>ta(n-\).

6.设X1,,X”是取自正态总体N（〃,/）的一个样本，其中/已知，检验问题

"0:〃=氏，乜：〃*A），则选取的统计量及其拒绝域分别是_______.

【答案】品,\U\>ua/2.

7.设某电器零件的电阻服从正态分布，平均电阻一直保持在2.640,改变加工工

艺后，测得100个零件的平均电阻为2.620,如改变工艺前后电阻的标准差保持

在0.06Q,问新工艺对此零件的电阻有无显著影响（a=0.05）?

96概率论与数理统计练习册

7.设某种零件的电阻服从正态分布，平均电阻一直保持在2.640.改变加匚匚之后，测得

100个零件的平均电阻为2.620,假设改变工艺前后电阻的标准差均保持在0.06。.同：新工

艺对此零件的电阻有无显著影响(a=0.05)?

8.设某厂生产的某种细纱支数服从正态分布,其标准差为L2.现从某日生产的一批产品

中随机抽】6续进行支数测量,测得样本标准差为2.1,何：该种细纱支数的精度是否有变化？

,样本方差分别为0.89%和0.83mg.

9.某企业向化验机构送去丸8两种产品,以检验钙含量是否相同.化验机构从乱世种产

品中各随机抽取质量相同的8份进行化验,测得钙的平均含量分别为20.4mg和19.4必假设

丸8两种产品中钙含量均服从正态分布且方差相同,取a=0.05,问：4,8两种产品的钙含量是

否有显著差异？

9.解：设A,B两种产品中钙的平均含量分别为从与外，需检验假设

%：4二〃2，

^一丫作为检验统计

因为of=O'2=跳且未知,故在％为真时，取丁=

S忘

量，且7~1（，21+鹿2—2）.

由之“2（勺+〃2-2）｝=a

得“0的拒绝域为（-8,-匕2（〃1+“2-+八2-2）,+8）.

这里％=4=&a=0.05,查表得J/2(4+%-2)=fa025(14)=2.145,

即拒绝域为-2.145]U[2.145,+oo).

由f=20.4,5=19.4,s：=o.89,s~=0.83,得

=2.16>2.145，

7(0.89+0.83)2

14V8

%+n2-2

所以拒绝”。，即在显著性水平a=0.05下，认为两种产品的钙含量有显著差

异.

第7章测验题

一、选择题

1.对显著性水平a,检验假设“()：〃=〃)，H、：从丰风,问当儿,〃，a一定时,

若增大样本容量〃，则犯第二类错误概率。().

A.不变B.减小

C.增大D.无法确定

【答案】B

2.假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取16件，测得平

均重量为820克，标准差为60克，若以显著性水平a=0.01与a=0.05,分别检验

这批产品的平均重量是否为800克，即4：4=8(X),必：4尸800,则(B)

A.在两个水平下都拒绝原假设

B.在两个水平下都接受原假设

C.在a=0.01下接受原假设，在a=0.05下拒绝原假设

D.在a=().()l下拒绝原假设，在a=().O5下接受原假设

【答案】B

3.设总体X〜N(小b),现对〃进行假设检验，若在显著性水平a=0.05下接受

了H°:=人,则在显著性水平a=0.01F().

(A)接受“°(B)拒绝"o

(C)可能接受,可能拒绝H。(D)犯第一类错误概率变大

【答案】A

二、填空题

1.微波炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要质量指标.某厂该指标服从正态分布,

长期以来其均值都符合要求不超过0.12.为检验该厂近期生产的微波炉是否仍

合格，提出的原假设和备择假设是.

【答案】%:丛>0.12.

2.对期末考试后甲、乙两系学生的某科成绩进行抽样分析，分别从两系抽取20位

和25位同学的成绩，算得平均成绩分别为69.5分和63分。假定两系的学生成

绩服从方差分别为12分和8分的正态分布，欲检验甲系学生的平均成绩是否显

著高于乙系的(昕0.()5),选用的统计量为L

解：由于两总体方法已知，因此选用统计量。=-1一兀.

O

3.设总体X服从正态分布N(〃』)，*,X2，X3，X是该总体的样本,对于领设

%:〃=0,刀：〃=1,已知拒绝域是｛9>0.98｝,则犯第二类错误的概率

为.

解：犯第二类错误的概率尸=尸｛接受"。|修为真｝

=P{X<0.98|

X-10.98-1

<=0(-0.04)=0.484.

1/2-1/2

三、解答题

1.某材料抗拉强度X服从正态分布，且=70,%=2.5,工艺改革后，从用新工艺

加工的材料中抽取9个样品，测得其抗拉强度平均值展=72,若方差无变化，问

这种材料的抗拉强度是否比以往有所提高0.05)?

解：设这种材料的抗拉强度为随机变量X,X〜N(〃Q2)

根据题意，需检验假设=：〃>4o

取检验统计量。二工半,

在名为真时,u〜M(),i)

(7；\Jn

对于给定的检验水平a=0.()5,单边检验满足

X一〃o=0.05,得拒绝域为［1.65,叶）,

cr/y/n

由x=72,a=2.5,ju｛）=70,n=9>得检验统计量的观察值"=2.4>1.65,

落入拒绝域，故拒绝H°.认为这种材料的抗拉强度是比以往有所提高.

2.公司从生产商购买牛奶，怀疑生产商在牛奶中掺水以谋利.通过测定牛奶的冰

点，可以检验牛奶是否掺水.天然牛奶的冰点温度近似服从正态分布，均值

为=-0.545。。，牛奶掺水可使冰点温度升高.现测得生产商提交的5批牛奶的冰

点温度，其样本均值为了=-0.535。。，样本标准差s=（）.01C.问是否可以认为生

产商在牛奶中掺了水？（显著性水平&=0.05）.

解按题意需检验假设

Ho:ju<%=-0545,乩：">氏.

在原假设”。成立时，取检验统计量7=七