概率论与数理统计期末考试试卷答案1

数理统计练习

一、填空题

1.设A.B为随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B(A)=O.8,则P(A+B)=_0・7

2.某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率。

3、设随机变量X服从［0,2］上均匀分布，则1/3,

4、设随机变量服从参数为的泊松(Poisson)分布，且已知=1,

则2=］o

5.一次试赢成功率为，进行100次独立重灾试验，当1/2时，

成功次数的方差的值最大，最大值为25。

6.(X,Y)服从二维正态分布，则X的边缘分布为<

7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，则E(X)二。

8、随机变量X的数学期望，方差，k、b为常数，则有=；

D*X+b)=—

9、若随机变量X〜N(-2,4),Y〜N(3,9),且X与Y相互独立。设Z=2X—Y+5,

则Z〜N(-2,25)0

1()、的两个无偏估计量，若，则称比有效。

L设A.B为随机事件,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AUB)=0.6,则P()=_0.3_o

2.设X(B(2,p),Y(B(3,p),且P{X21)=,则P{Y21}=0

3.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y=3X-2,则E(Y)=4。

4、设随机变量X服从［0,2］上的均匀分布，Y=2X+1,则D(Y)=4/3。

5.设随机变量X的概率密度是：

，且，则=0.6o

6、利用正态分布的结论，有

…1(*-2产

『‘2(*”-45+4)22dx=-----°

7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，

则£(力=3/4°

8、设(X,Y)为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

,则X与Y的相关系数-1o

9、若随机变量X〜N(1,4),Y〜N(2,9),且X与Y相互独立。设Z=X—Y+3,

则Z〜N(2,⑶。

10、设随机变量X〜N(1/2,2),以Y表示对X的三次独立重复观察中“”

出现的次数，则=3/8。

1、设A,B为随机事件,日P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则0.6«

2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，

则密码能被译出的概率是」1竺。

5.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则=6<

6、设随机变量X~N(1,4),已知①(0.5)=0.6915,0(1.5)=0.9332,

则P0X|<2}=0.6247。

7、随机变量X的概率密度函数，则E(X)=1o

8、已知总体X~N(0,1),设XI,X2,Xn是来自总体):的简单随机样本

则之

1=1

9、设T服从自由度为n的t分布，若，则。

10、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数，

则E(X)=4/3o

1.设A,B为随机事件，且P(A)=0.6,P(AB)=P(),则P(B)=0.4。

2.设随机变量X与Y相互独立，且，，则P(X=Y)=_0.5_。

3.设随机变量X服从以n,p为参数的二项分布，且EX=15,DX=10,则"45。

4、设随机变量，其密度函数，则二2。

5.设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令

,则DY=1o

6、设随机变量X服从区间［0,5］上的均匀分布，Y服从的指数分布，且X,Y相互独立,

刘(X的联合密度函数fJ,y)=f-J-»

0其它

7、随机变量X与Y相互独立,且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=44。

8、设是来自总体X~N(0,1)的简单随机样本，

则汽(X,-又产服从的分布为X25-1)。

1=1---------------

9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为，

则目标能被击中的概率是V5o

10、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度，

则EK=1/2»

L设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P()=_0.6_o

2、设随机变量X的分布律为，且X与Y独立同分布，

则随机变量Z=max{XF}的分布律为

—

44

3.设随机变量X〜N(2,),且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=0.2。

4.设随机变量X服从泊松分布，则=o

5.已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为。

6.设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则2.4o

7、XI,X2,Xn是取自总体的样本，则〜。

8、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度，则EX-2/3o

9、称统计量的无偏估计量：如果=o

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。

1.设A.B为两个随机事件，若F(A)=0.4,P(B)=0.3,,则0.3。

2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则18.4。

3、设随机变量X〜N(1/4,9),以Y表示对X的5次独立重复观察中"”出现的次数，

MPir=2l=5/16o

4.已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4),则=。

5.称统计量的无偏估计量，如果。

6、设，且X,Y相互独立，则t(n)o

7、若随机变量X-N(3,9),Y-N(-1,5),且X与Y相互独立。设Z=X—2Y+2,

则Z〜N(7,29)。

8、已知随机向量(X,Y)的联合概率密度，则EY=1/3.

9、已知总体是来自总体X的样本，要检验，

则采用的统计量是5一?$2。

10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若，则。

1.设A.B为两个随机事件，P(A)=0.4,P(B)=0.5,,则0.55。

2、设随机变量X~B(5,0.1),则D(1-2X)=1.8.

3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，

则每次射击击中目标的概率为"4o

4.设随机变量的概率分布为，

则X的期望E片2.3。

5.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,

则X和Y的相关系数等于二1。_________________________________

\6.t

触―-104

列为

-21/91/32,

11/1ab

若X、Y相互独立，则a=1/6,b=1/9o

7、设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，则1/2o

8、三个人独立地破译一份密码：已知各人能译出的概率分别为，

则密码能被译出的概率是3/5。

9、支是来自总体X的样本，分别为样本均值和样本方差，

则(x-〃)Gt(n-i)。

S

10、的两个无偏估计量，若，则称比有效。

1.已知P(A)=0.8,P(A-B)=C.5,且A与B独立，则P(B)=3/8。

2、设随机变量X-N(l,4),且P{X(a]=P[X(a),则a=1。

3、随机变量X与Y相互独立且司分布，，，

则p(x=y)="。

4.已知随机向量(X,Y)的联合分布密度，

则E户2/30

5.设随机变量X〜N(1,4),则=0.3753。(已知((0.5)=0.6915,((1.5)=0.9332)

6.若随机变量X〜N(0,4),Y〜N(-1,5),且X与Y相互独立。设Z=X+Y—3,

则Z〜N(-4,9)。

7、设总体X〜N(l,9),是来自总体X的简单随机样本

,分别为样本均值与样本方差，则；。

8、设随机变吊.X服从参数为的泊松分布，且，则=6o

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，

则此两球颜色不同的概率为4/7。

10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为一错误;

把不符合儿的总体当作符合从而接受。这类错误称为二错误。

1.设A.B为两个随机事件，P(A)=O.8,P(AB)=O.4,则P(A—B)=0.4。

2、

10次犯

试验成

数，若

验成功

为0.4,—012

2.4o

3.

变量X

分布为

P0.0.0.0.

则P{X2>11=0.7。

4.设随机变量X的概率留度函数，则=。

5.袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取,

记首次抽到黑球时抽取的次数为X,则P{X=10}=0.39*0.7。

6.某人投篮，每次命中率为0.7,现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是。

7、设随机变量X的密度函数，且，则c=-2。

8、已知随机变量U=4—然，V=8+3Y,且X与Y的相关系数=1,

则〃与/的相关系数夕央=二1。

9、设，且X,Y相互独立，则t（n）

10、概率很小的事件在•次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为小概率事件原理。

1、随机事件A与B独立，0.4。

2.设随机变量X的概率分布为贝JX2的概率分布为

3.设随机变量X服从［2,6］上的均匀分布，则0.25。

4.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4,则=」&4_。

5、随机变量，则N（0,l）o

6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5,

则目标能被击中的概率是59/60。

7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，

若至少摸到一个白球的概率是，则袋中白球的个数是4<

8、已知随机变量U=1+2X,V=2-3Y,且X与Y的相关系数=-1,

则〃与/的相关系数夕火=J.

9、设随机变量X〜N（2,9）,且P{X（a}=P{X（a},则@=2。

10、称统计量的无偏估计量，如果=0

二、选择题

1.设随机事件与互不相容，且，则（D

A.B.C.D.

2.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A）。

A.B.C.D.

3、已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（D）。

A.B.C.D.

4、设随机变量，满足，是的分布函数，

则对任意实数。有（B）o

A.B.C.

D.

5、设为标准正态分布函数，

且，相互独立。

令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

1、设，为随机事件，，，则必有（A）<.

A.B.C.D.

2、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为，他连续射击直到命中为止,

则射击次数为3的概率是（C）。

A.B.C.D.

3.设是来自总体的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是（A）。

A.B.C.

D.

4.设为标准正态分布函数，

且，相互独立。

令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

5、设为总体的一个样本，为样本均值，

则下列结论中正确的是（D）。

A.；B.；C.：

D.；

1、已知A.B.C为三个随机事件，则A.B.C不都发生的事件为（A）。

A.B.C.A+B+CD.ABC

2、下列各函数中是随机变最分布函数的为（B)o

A.B.

C.D.

3.是二维随机向量，与不等价的是（D）

A.B.C.

D.和相互独立

4.设为标准正态分布函数，

且，相互独立。

令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

B.C.D.

5.设总体，其中未知，为来自总体的样本,样本均值为，

样本方差为，则下列各式中不是统计量的是（C)。

A.B.C.D.

1.若随机事件与相互独立，则=(B)o

B.C.D.

2、设总体X的数学期望EX=u,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是来自总体X的简单随机样本,

则下列〃的估计量中最有效的是(D)

A.—X]4—X—X3H—XB.-X.+-X,+-X.

6,62233333।3233

2411

C.二+-X,——X.——xD.-X[4—XH—X、H----

5155354414224344

3.4为标准正主分布向数，

且，相互独立。令，则由中心极限定理知

丫的分布函数F（y）近似于（B)o

A.B.C.I）.

4.设离散型随机变量的概率分布为，，则=（B)o

A.1.8B.2C.2.2D.2.4

5.在假设检验中，下列说法错误的是（C）。

儿真时拒绝称为犯第二类错误。B.不真时接受称为犯第一类错误。

C设，，则变大时变小。

D.、的意义同（C）,当样本容量一定时,变大时则变小。

1、若A与B对立事件，则下列错误的为（A）。

A.B.C.

D.

2.下列事件运算关系正确的是（A）。

A.B.C,D.

3.设为标准正态分布函数，

且，相互独立。

令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.I）.

4、若,则（I））。

A.和相互独立B.与不相关C.

D.

5.若随机向量（）服从二维正态分布，则①一定相互独立；②若，

则一定相互独立；③和都服从一维正态分布；④若相互独立，则

Cov（尤K）=0。几种说法中正确的是（B）。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

L设随机事件A.B互不相容，，则=（C

A.B.C,D.

2.设A,B是两个随机事件，则下列等式中（C）是不正确的。

A.,其中A,B相互独立B.,其中

C.,其中A,B互不相容D.,其中

3.设为标准正态分布函数，

且，相互独立。

令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

4、设随机变量X的密度函数为f（x）,则Y=5-2X的密度函数为（B）

5.设是一组样本观测值，则其标准差是（B）。

A.B.C.

D.

1.若A.B相互独立，则下列式子成立的为（A）。

A.B.C.

D.

2.若随机事件的概率分别为，，则与一定（D）。

A.相互对立B.相互独立C.互不相容D.相容

3.设为标准正态分布函数，

且，相互独立。令，则由中心极限定理知的

分布函数尸（y）近似于（B）。

A.B.C.D.

4、设随机变量X-N（n,81）,Y-N（u,16）,记，

则（B）。

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

5、设随机变量X的密度函数为f（x）,则Y=7—5X的密度函数为（B）

1v-71v-7

5555

C.D.-/(--)

5555

1.对任意两个事件和，若，则(D)。

A.B.C.D.

2、设、为两个随机事件，且，，

则必有（B）。

A.B.C.

D.、互不相容

3.设为标准正态分布函数，

且，相互独立。

令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

4、已知随机变量和相互独立，且它们分别在区间［—1,3］和［2,4］上服从均匀分布,

则E（XK）=（A）o

A.3B.6C.10D.12

5.设随机变量X〜N（u,9）,Y〜N（u,25）,记

，则（B）o

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl与p2的关系无法确定

1.设两个随机事件相互独立，当同时发生时，必有发生，则（A）。

A.B.C.D.

2.已知随机变量的概率密度为，令，则Y的概率密度为（A

A.B.C.D.

3.两个独立随机变量，则下歹J不成立的是（C）o

A.B.C.D.

4.设为标准正态分布函数，且，

相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

5、设总体X的数学期望EX=u,方差DX=o2,XI,X2,X3是来自总体X的简单随机样本,

则下列〃的估计量中最有效的是（B）

A.-X.+—X,+—X,B.-X.+-X,4--X

4'2'4313'3

L若事件两两独立，则下列结论成立的是（B）。

A.相互独立B.两两独立

C.D.相互独立

2.连续型随机变量X的密度函数f（x）必满足条件（C）。

A.0</（x）SlB.在定义域内单调不减

C.Cf（x）dx=1D.limf（x）=1

3.设是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，

分布函数分别为和，则（B）。

A.必为密度函数B,必为分布函数

C.必为分布函数D,必为密度函数

4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从［0,1］上的均匀分布，则服从均匀分布的是（B）o

A.XYB.（X,Y）C.X—YD.X+Y

5.设为标准正态分布函数，

ja,相互独立。

令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。

A.B.C.D.

三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍,

第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。

若在市场上随机购买一件商品为次品，

问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？

解设表示产品由第i家厂家提供，i=l,2,3；B表示此产品为次品。

则所求事件的概率为

P（A⑶=RAI=_______________P（A）P（glA）_______________

1P（B）P（A）P（B|A）+P（&）P（B|&）+尸（AJP（BIA）

-x0.02

=1--------1--------i------=04

-x0.02+-x0.02+-x0.04

244

答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%,

次品率分别为0.03、0.02、0.CU现从所有的产品中抽取一个产品，

试求（1）该产品是次品的概率；

（2）若检查结果显示该产品是次品，

则该产品是乙车间生产的概率是多少？

解：设，，表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。

（1）所求事件的概率为

P（8）=P（4）P（8|4）+P（4）P（8|A2）+P（4）P（81&）

=0.25x（）.03+0.35x0.02+0.4x0.01=0.0185

⑵P（A⑶⑻4）二0.35x0*038

P（B）0.0185

答：这件产品是次品的概率为0.0185,若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为（）.38。

三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3

,加工零件A时停机的概率是C.4。求（1）该机床停机的概率；

（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。

解：设，，表示机床在加工零件A或B,D表示机床停机，

（1）机床停机夫的概率为

P（8）=P（G）.P（OIG）+P（G）・P（OI4）=-xO.3+-xO.4=—

（2）机床停机时正加工零件A的概率为

1x().3°

p(G).p(oiG)3=2

P(GID)=

P(D)1111

30

三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2,

各机床所加工的零件合格率依次为94%,90%,95%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个,

发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解设，，表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分）

则所求事件的概率为

P（AI3）=P（AI8）=P（A）P（BIA）=___________rrr___________、

P⑻Yp（Ai）P（B\A）0.5x0.06+0.3x0.10+0.2x0.057

I=I

答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%,

乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期到大，

求他是乘坐火车的概率。（10分）

解：设，，，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。

O.O5XOO.15XOLO.4O.5XO.1=O-2Q9

则口右⑶=况外曾出3++

P⑻小⑷尸（814）

1=1

答：此人乘坐火车的概率为0.209。

三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、

15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。

求该人如期到达的概率。

解：设，，，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，

B表示如期到达。

则P（B）=ZP（4）P（8|4）=().05xl+().15x0.7+().3x0.6+().5x0.9=0.785

答：如期到达的概率为0.785。

四（1）设随机变量才的概率密度函数为

At,0<x<l

f(x)=

0,其它

求（1）心（2）X的分布函数〃（力；(3)P(0.5</<2)o

解：

(2)当人<00寸，F(x)=jy(r)t/r=0

当0Wx<1时，F(x)=工=[；2fdf=x2

当x>1时，F(x)==J；2/力=1

0,x<0

故F(x)=<W,0<x<l

1,x>\

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

四(2)、已知连续型随机变量2的概率密度为

kx+1,0<x<2

f(x)=<

(),其它

求(1)攵；(2)分布函数尸(J)；(3)P(1.5</<2.5)

解：

(2)当x<011寸，F(x)=Jy(zX/r=0

当0WX<2时，F(x)==£V(-0.5r+1Wf=—，+X

当X22时，F(x)=£/(r)</r=l

0,x<0

2

故F(X)=\_^L+Xy0<x<2

4

1,x>2

(3)P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=l/16

四(3)、已知连续型随机变量乃的概率密度为

一、\cijx,0<x<l

f(x)=

0,其它

求(1)a；(2)I的分布函数尸(x)；(3)P(IX).25)。

解：

(2)当x<0!付，F(x)=Jl/(r)Jr=0

当0«x<1时，F(x)=[[f(t)dt=4tdt=x3/2

当xNl时，R(x)=j,/Q)力=1

0,x<0

故「(幻=卜/2,0<x<l

1,x>I

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

四(4)、已知连续型随机变量1的概率密度为

[2x,xG(0,A)

'"=[(),其它

求(1)4(2)分布函数y(x)；(3)P(-0.5<¥<1)。)

解：

(2)当;v<0时，F(x)=f'f(t\k=0

当0Wxv1时,F(x)=[jWt=jx2tdt=X2

当xNl时.，F(x)=^J(t)dt=]

0,x<0

故/(x)=・V,0<x<l

[1,x>l

(3)P(-0.5<X<1)=F(D—F(-i).5)=1

四(5)、已知连续型随即变量X的概率密度为

求(1)c；(2)分布函数厂(x)；(3)P(-0.5<Z<0.5)o

解：

(2)当x<—1时，F(x)=J：=0

当一iMxvl时,产(x)=j：faW=J：--r-苫=—arcsin

'7r\]\—r乃

1n

=一(zarcsinx+一)

兀2

v

当x21时，F(X)=jy(/)jz=i

0,x<-\

|rr

故F(x)=<—(arcsinx+—),—1<x<1

冗2

1,x>I

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=l/3

四(6)、已知连续型随机变量2的分布函数为

2

F(x)=<A+Be,x>0

0,其它

求(1)A,B；(2)密度函数f(X)；(3)P(1<X<2)。

解：

⑵

f()=Fu)=rv'

x0,x<0

(3)P(1<X<2)=F(2)—F(l)=<?-,/2-^-2

四(7)、己知连续型随机变量厅的分布函数为

F(x)=A+Barctan.v

求(1)A,B；(2)密度函数f(x)；(3)P(1<X<2)o

解：

(2)

(3)Hcu<x<2)=F(2)—h(o)=—arctan2

四(8)、已知连续型随机变量Z的分布函数为

0,x<0

F(x)=A6,0<x<1

1,x>l

求(1)力；(2)密度函数fU)；(3)P(0<K0.25)o

解：

(3)P(0</0.25)=1/2

四(9)、已知连续型随机变量/的分布函数为

x>2

F(x)=

0,x<2

求(1)(2)密度函数f(x)；(3)尸(0W1W4)。

、解:

(3)P(0<X<4)=3/4

四(10)、已知连续型随机变量/的密度函数为

2x

xG(0,。)

fM=-万2

0,其它

求(1)a；(2)分布函数〃(x)；(3)P(-0.5<J<0.5).

解：

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=—

4病7

五(1)、设系统L由两个相互独立的子系统LI,L2并联而成，且L1.L2的寿命分别

服从参数为=/)的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统LL子的寿命,则系统L的寿命Z=max(X,Y)。

显然，当zWO时，FZ(z)=P(Z<z)=P(max(X,Y)<z)=0；

当z〉0时，FZ(z)=P(ZWz)=P(max(X,Y)Wz)

=P(后z,Y^z)=P(收2)=「。"*"[”6为由=(1一6一力(1一"生)。

因此，系统L的寿命Z的密度函数为

ae"+仇年-(«+为…”z>0

f/(z)=—Fz{z)=<

dz0,z<0

五(2)、已知随机变量X〜N(0,1),求随机变量Y=X2的密度函数。

解：当yWO时，FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=0；

当y>0时，FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=

因此，fY(y)=

五(3)、设系统L由两个相互独立的子系统LI、L2串联而成，且LI、L2的寿命

分别服从参数为a,尸(。,的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统L1.L2的寿命，则系统L的寿命Z=min(X,Y)。

显然，当zWO时,FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=O；

当z>0时，FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=l-P(min(X,Y)>z)

=\—P⑴z,JOz)=1—U[X>z)P(K>z)=1-Jcte^dx^dy=1-"⑦+⑶二。

因此，系统L的寿命Z的密度函数为

-(a+0«-Szz>0

f2{z}=-F7\z)='

dz0,z<0

五(4)、已知随机变量X〜N(0,1),求Y=|X|的密度函数,

解:当yWO时,FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=0；

当y>0时，FY(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=

=r1-/2^.=2rI

Jr而L。而

因此，fY(y)=

五(5)、设随机向量(X,Y)联合密度为

Ae-(2x+3>)x>0,)，>0;

fix,y)=

0,其它.

(1)求系数力；

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由;

(3)求P{0WXW2,0WYW1}。

解：(1)由1=

4

可得力=6。

(2)因(X,Y)关十X和Y的边缘概率密度分别为

fX(x)=和fY(y)=,

则对于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X与Y独立。

(3)P{0WXW2,OWYW1}=

=(一二1)(一e-3)］：)=(i_1)(i_"3)

五(6)、设随机向量(X,Y)联合密度为

工>0,),>0；

小力］。，其它

(1)求系数小

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由；

(3)求P{0WXW1,0WYW1}。

解：(1)由1=

\\A

=4一一*3*)(一一e_4v)=一，可得1=12。

3n4n12

(2)因(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为

fX(x)=和fY(y)=,

则对于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X与Y独立。

(3)P{0WXW1,OWYW1)=

=(-"T：)(-ef［：)=(1-"3)(1_"4).

五(7)、设随机向量(X,Y)联合密度为

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由。

解：(1)当x<0或x>l时,解(x)=0；

当OWxWl时，fX(x)=

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=

当y〈。或y>l时，fY(y)=0；

当OWyWl时，fY(y)=

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=

(2)因为f(1/2,1/2)=3/2,而fX(1/2)fY(1/2)=(3/2)*(3/4)=9/8Wf(1/2,1/2),

所以，X与Y不独立。

五(8)、设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为

f(J"'，o<x<y；

“71O,其它.

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断X与Y是否相互独立，并说明理由。

解：(1)当xWO时，fX(x)=0；

当x>0时，fX(x)=

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=

当yW0时，fY(y)=0：

当y>0时,fY(y)=

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=

(2)因为f(1,2)=e-2,而fX(1)fY(2)=e-l*2e-2=2e-3^f(1,2),

所以，X与Y不独立。

五(9)、设随机变量才的概率密度为

J)~[0,x其>它0

设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。

解：当y<0时，FY(y)=P(Y^y)=P(F(X)Wy)=O：

当y〉l时，FY(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=l；

当OWyWl时，FY(y)=P(YWy)=P((F(X)Wy)=

=F(F-\y))=y

因此，fY(y)=

五(10)、设随机向量(X,Y)联合密度为

O<x<y<\;

其匕.

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)：

(2)判断rX,Y是否独立，并说明理由。

解：(1)当x<。或x>l时,fX(x)=0；

当OWxWl时，fX(x)=

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=

当y<0或y>l时，fY(y)=0；

当OWyWl时，fY(y)=

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=

(2)因为f(1/2,1/2)=2,而fX(1/2)fY("2)=(3/2)*(l/2)=3/4Wf(1/2,1/2),

所以，X与Y不独立。

六(IX已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=7+9+2*6=28

〃(齐外二丽〃『2Cov(X10=7+9-2*6=4

Cbv(右匕六力二DX-DY=7-9=-2

=c—(x+y,x-y)=-2=-1

x+z-+-V28*V4-V28

所以，(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和

六(2)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X+Y,X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+1+2*2=14

改X-Y);l)X^DY-2Cw(X,P)=9+1-2*2=6

CovCRK六D二淅)二9-1二8

_c“(x+y,x-y)_8_4

P+YXY

X--』D(X+♦)而x—y)-714*76-后

所以，(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和

六(3)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X-Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+6-2*(-6)=27

〃(不丹=丽〃丹2Cov(X)0=9+6+2*(-6)=3

CovCTKX+n=DX-DY=9-6=3

_c—(x—y,x+y)_3_

Px-w-^D(X-Y)y[D(X+Y)~V27*V3-3

所以，(X-Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和

六(4)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X-Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=4+9-2*(-5)=23

〃(不丹=凯〃142Cov(%J0=4+9+2*(-5)=3

Cbv(六匕〃六〃V=4-9=-5

=c—(x-y,x+y)=-5=-5

XT"-y]D(X-Y)y]D(X+Y)―723*75"病

所以，(X—Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和

六(5)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为

求随机向量(X—Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=1+4-2*(-1)=7

/)(X+n=〃加■〃件2Cov(XJO=1+4+2*(-1)=3

Cov(六匕心?V=1-4=-3

_c(w(x-y,x+y)__3_-3

"XT”一^D(X-Y)^D(X+Y)-V7*V3-V21

所以，(X-Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和

求随机向量(X+Y,X-Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y);DX+DY+2Cov(X,Y)=5+4+2*2=13

。(六】。二丽〃F2Cov(%J0=5+4-2*2=5

Cov(^l：六D=。六