概率论与数理统计的习题集及答案

概率论与数理统计

第一部份习题

第一章概率论根本概念

一、填空题

1、设A,B,C为3事件，那么这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设尸(A)=0.1,P(AuB)=0.3,且A与8互不相容，那么尸(3)=。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，那么取得2只白球，1只红球的

概率

为。

4、某人射击的命中率为07现独立地重复射击5次，那么恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的

一种，那么同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A,6为两事件,2(4)=0.7,尸(44)=0.3,那么尸("11月)=。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有I个正面的概率为。

8、设A,3为两事件，P(A)=0.5,P(A-B)=0.2,那么P(而)=。

9、10个球中只有1个为纥球，不放回地取球，每次1个，那么第5次才取得红球的概

率

为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和y分别表示先后掷出的点数，A={x+Y=\o}

B={X>Y}t那么P(3|A)=。

11、设A,8是两事件，那么A8的差事件为。

12>设A,8,C构成一完备事件组，且尸(4)=0.5,尸(豆)=0.7,那么P(C)=,P(AB)=.

13、设A与8为互不相容的两事件,2(3)>0,那么尸(4|6)=。

14、设W与3为相互独立的两事件，且P(1)=0.7,P(8)=0.4,那么P(A8)=。

15、设4,8是两事件，P[A)=0.9,P(A8)=0.364I^P(AB)=。

16、设A8是两个相互独立的事件，P(A)=0.2,P(5)=0.4,那么尸(4U3)=。

17、设A8是两事件，如果Ang,且P(A)=07P(B)=0.2,那么P(A|8)二。

111——

18、设尸(A)=—,P(3)=—,P(AU5)=—,那么P(AU8)二。

342

19、假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%。从中随机取一件，结果不

是三等品，那么为一等品的概率为

2()、将〃个球随机地放入〃个盒子中，那么至少有一个盒子空的概率为。

二、选择题

1、设P(A5)=0,那么以下成立的是()

①月和〃不相容②和8独立③尸(A)=OorP(B)=0®P(A—B)=P(A)

2、设A,仇。是三个两两不相容的事件，且P(A)=P(B)=P(C)=。，那么〃的最大

值为

()

①1/2②1③1/3④1/4

3、设/和4为2个随机事件，且有P(C|A3)=l,那么以下结论正确的选项是()

①P(C)<P(A)+P(B)①②P(C)>P(A)+P(B)-1

③P(C)=P(AB)④P(C)=P(AUB)

4、以下命题不成立的是()

①AU8=A后U8②4U8=XU5

③(A8)(A月)=①④AuBnBuX

5、设AN为两个相互独立的事件，P(A)>0,P(B)>0.那么有()

①P(A)=1-P(B)②P(A|B)=0③尸(彳|目)=1-P(A)④尸(A|B)=P(B)

6、设A3为两个对立的事件，P(A)>0,P(B)>0,那么不成立的是()

①P(A)=1-P(B)②P(A|3)=0③尸(A|豆)=0④P(AB)=1

7、设4,6为事件，尸(AUS)=尸(A)十尸(6)>0,那么有)

①力和8不相容②力和8独立③力和3相互对立④P(A-8)=P(A)

8、设A,8为两个相互独立的事件，尸(A)>0,P(3)>0,那么P(AU8)为()

①P(A)+P(B)②1一尸(X)P(b)③1+P(1)P(加④1一P(而)

9、设A,3为两事件，且P(A)=0.3,那么当下面条件()成立时，有P(B)=0.7

①A与8独立②A与8互不相容③A与8对立④A不包含3

1()、设A3为两事件，那么(AUB)(WU耳)表示()

①必然事件②不可能事件③A与8恰有一个发生④4与3不同时发生

11、每次试验失败的概率为〃(0<〃<1),那么在3次重复试验中至少成功一次的概率

为()

①3(1-p)②(I-”),③1-〃3④C；(l—p)p2

12、10个球中有3个红球7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一球，那么最后三

个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为()

①C\(―)②(2)(2)2③C^(—)(—)2④空工

1010101010

13、设/(A)=0.8,尸(3)=0.7,P(A|B)=0.8,那么以下结论成立的是(

①A与5独立②A与5互不相容

③3nA④P(AU8)=P(A)+P(3)

14、设A,8,。为三事件，正确的选项是()

①P{AB)=1-P(AB)②P(AU月)=P(A)-P(B)+1

③P(ABC)=1-P(ABC)④P(A-B)=P(BA)

15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为〃，那么〃为()

①1/2②1/4③1/18④1/36

16、A,B两事件的概率都是1/2,那么以下结论成立的是()

①尸(4U3)=1②P(AB)=1③P(AB)=P(AB)④P(AB)=%

17、ARC为相互独立事件，O<P(C)<1,那么以下4对事件中不相互独立的是()

①AU8与C②4一8与。③A8与C④AC与D

18、对于两事件A3,与=3不等价的是()

①印8=。②A月=。③AuB④耳uX

19、对于概率不为零且互不相容的两事件A,3,那么以下结论正确的选项是()

①彳与否互不相容②无与后相容③P(AJB)=P(A)P(8)@P(A-3)=P(A)

三、计算题

1、某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品。从中取30个进行检查，求次

品数不多于1个的概率。

2、某人有5把形状近似的钥匙，其中有2把可以翻开房门，每次抽取1把试开房门，

求第三次才翻开房门的概率。

3、某种灯泡使用1000小时以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000小时以后至多有

1个坏的概率。

4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%,35%,

20%。各机床加工的优质品率依次为85%,90%,88%,将加工的零件混在一起，从中

随机抽取一件，求取得优质品的概率。假设从中取1个进行检查，发现是优质品，问是

由哪台机床加工的可能性最大。

6、某人买了A8,C三种不同的奖券各一张，各种奖券中奖的概率分别为

0.03,0.01,0.02；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖那么此人

一定赚钱，求此人赚钱的概率。

7、教师在出考题时，平时练习过的题目占60%,学生答卷时，平时练习过的题目在考

试时答对的概率为95%,平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30%。求答对而

平时没有练习过的概率

8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。

9、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽

的结果去猜想第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人拍到电影

票的概率。

10、一批产品的次品率为0.1,现任取3个产品，问3个产品中有儿个次品的概率的可

能性最大。

11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，(1)求

这两个球颜色相同的概率；(2)两球中至少有一红球的概率。

12、设4,8是两个事件，用文字表示以下事件：XU瓦AU民A民彳后。

13、从1〜100这100个自然数中任取I个，求(1)取到奇数的概率；(2)取到的数能

被3整除的概率；(3)取到的数能被6整除的偶数。

14、对次品率为5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认

为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放

回，如此进行五次。如果5个灯泡都是合格品，那么认为这箱灯泡合格而接受，每箱灯

泡有100个，求这箱灯泡被接受的概率。

15、某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能翻开他办公室的门，如果他一把一把

地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求(1)他试了3次才能翻开他办公室的门

的概率；(2)他试了5次才能翻开他办公室的门的概率

16、1()个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取2个，求其中一个是黑色的条件

下，另一个也是黑色的概率。

17、装有10个白球，5个黑球的罐中丧失一球，但不知是什么颜色。为了猜想丧失的球

是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丧失的球是黑色球的概率。

18、设有三只外形完全相同的盒子，I号盒中装有14个黑球，6个白球；II号盒中装

有5个黑球,25个白球；川号盒中装有8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒,

再从中任取一球，求

(1)取到的球为黑色球的概率；

(2)如果取到的球为黑色球，求它是取自1号盒的概率。

19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中I型的有4支，II型的有5支，III型的有6支;

这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中I型的有5个，H型的有7个，III型的有8个。

现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。

20、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果笫1个人抽的结果尚未公开，由第2个人

抽的结果去猜想第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电

影票的概率。

21、甲、乙、丙、丁4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为0.2,0.3,0.4,

0.7,

求此密码能译出的概率是多少。

22、袋中10个白球，5个黄球，10个红球，从中取1个，不是白球，求是黄球的概率。

23、设每次试验事件A发生的概率相同，3次试验中A至少出现一次的概率为19/27,

求事件A在一次试验中出现的概率。

24、甲、乙、丙3台机床独立工作，由1个人看管，某段时间甲、乙、丙3台机床不需

看管的概率分别为().9,().8,().85,求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。

25、一批产品共有100件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件

产品中至少有1件废品。如果在该批产品中有5%是废品，问该批产品被拒收的概率是

多少。

26、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为2的概率。

27、甲、乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女同学15

名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。

28、一幢10层的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客

在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有2位及2位以上

乘客在同一层离开的概率。

29、某种动物由出生到2()岁的概率为().8,活到25岁的概率为0.4,问现在20岁的动

物活到25岁的概率为多少？

3()、每门高射炮(每射一发)击中目标的概率为().6,现有假设干门高射炮同时发射(每

炮射一发)，欲以99%以上的概率击中目标，问至少需要配置儿门高射炮？

31、电路由电池A与2个并联的电池3和。串联而成，设电池A,B,C损坏的概率分

别为0.2,0.3,0.3,求电路发生间断的概率。

32、袋中10个白球，5个黄球，从中不放回地取3次，试求取出的球为同颜色的球的概

率。

33、假设目标在射程之内的概率为0.7,这时射击的畲中率为0.6,试求两次独立射击至

少有一次击中的概率。

34、假设某地区位于甲乙二河流的集合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设

某段时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲河流泛滥时乙河流

泛滥的概率为0.3,求(1)该时期内这地区遭受水灾的概率；

(2)当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。

35、甲、乙、丙3人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7o如果有1

人击中，那么飞机被击落的概率为0.2,如果有2人击中，那么飞机被击落的概率为0.6,

如果有3人击中，那么飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。

36、一射手命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.3,求该射手3发子弹得到不

小于29环的概率。

38、甲、乙2名乒乓球运发动进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为0.6,乙胜的概

率0.4,比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更

有利。

39、有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元。假设在一年内

死亡，那么其家属可以从保险公司领取2000元。假设每人在一年内死亡的概率都是

0.002,求保险公司获利不少于1()000元的概率。

4()、在12名学生中有8名优等生，从中任取9名，求有5名优等生的概率。

41＞特色医院接待患者的比例为K型5()%,L型30%,M型20%,对应治愈率为().7,

0.8,0.9,一患者己治愈，问他属于L型的概率？

42、某人从甲地到乙地，宾火车、轮船、飞机的概率分别为().2,().4,0.4,乘火车迟到

的概率为().5、乘轮船迟到的概率为().2、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如

果他迟到，问他乘轮船的概率是多少？

43、一对骰子抛掷25次，问出现双6和不出现双6的概率哪个大？

44、一副扑克(52张)，从中任取13张，求至少有一张“A”的概率？

45、据以往资料说明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率

为0.6,孩子得病下母亲得病的概率为0.5,母亲及孩子得病下父亲得病的概率为0.4,

求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

46、某人忘记了号码的最后一位数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过3次的

概率；假设最后一位数字为奇数，此概率是多少？

47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为a,假设只有一

支部队参加战斗，那么取胜的概率为0.4；假设两部队参加战斗，那么必胜；假设两部

队未能按时赶到那么必败。欲达0.9以上的概率取胜，求。的最低值。

48、工人看管三台设备，在1小时内每台设备不需要看管的概率均为0.8,求

(1)三台设备均不需要看管的概率；

(2)至少有一台设备需要看管的概率；

(3)三台设备均需要看管的概率。

四、证明题

1、假设我们掷两次骰子，并定义事件A="第一次掷得偶数点"，B="第二次掷得

奇数点”，C="两次都掷奇数点或偶数点”，证明A,B,C两两独立，但A,B,

C不相互独立。

2、设每次试验A发生的概率="〃次独立重复试验中至少出现一

次A"证明"加P(A〃)=1

3、设X〜伙〃,p),证明EX=〃〃,QX=，w(l—〃)

4、证明，如果尸(A|8)>P(A),那么P(BIA)>P(8)

5、当尸(A)=a,0(B)=/?时，证明：P(A|B)>a+

b

6、证明：P(A)>0,那么P(B|4)21-里生

户(4)

7、设A,民。三事件相互独立，那么与。相互独立。

8、设AuA,/=1,2,3,那么尸(A)NP(A)+尸(,心)+尸(右)-2

9、4，4同时发生，那么A发生，证明尸(A)NP(A)+P(A2)-1

10、10个考签中有4个难签，3人依次抽签参加考试，证明3人抽到难签的概率相等。

11、设4B为两事件，证明P(B-A)=P(B)-P(AB)

12、证明如果A与B独立，那么A与豆独立、彳与B独立、彳与豆独立

13、如果P(A)>0,证明人与5独立的充分必要条件是P(6|A)=P(3)

第二章随机变量及其分布

一、填空题

2k

1、设随机变量X的分布律为P(X=Q=。=(女=0,1,2i),/1>0,那么4=。

k\

2、设随机变量X服从参数为1/3的0-1分布，那么X的分布函数为二。

3、设随机变量X〜N(l,4),P(XNa)=%,那么a=。

4、设随机变量X的分布律为P(X=Q=W■伙=12-N)乂>0,那么。=。

N

5、设随机变量x服从(0』)区间上的均匀分布，那么随机变量y=x?的密度函数为。

(X-1)2

6、随机变量X的密度函数为/(x)=Ze8(-oo<x<+oo),那么攵二。

7、随机变量X的密度函数为X〜N(l,4),那么丫=2X—1〜。

8、假设P(XWX2)=1—P，P(X>芭)=。,阳<々，那么尸区<X<工2)=。

9、设离散型随机变量X的分布函数为

且P(X=2)=g,那么〃=,b=o

10、设连续型随机变量X的密度函数为/(x)=\ke2那么

01

k=,P(1<X<2)=,P(X=2)=。

11、设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的

产品

不放回，直到把2个次品都找到为止，设X为需要进行测试的次数，那么尸(X=3)=。

12、设/(x)为离散型随机变量的分布函数为，假设p(a<x<〃)=Fs)—na),

那么P(X=〃)=。

13、一颗均匀骰子重复掷10次，设X表示点3出现的次数，那么X的分布律P(X=k)=°

14、设X为连续型随机变量，且P(X<0.29)=0.75,V=1-X,且尸(V4幻=0.25,

那么k=o

15、设随机变量X服从POISSON分布，且P(X=1)=P(X=2),那么P(XN1)=。

I田C

16、连续型随机变量X为/")=京0一"…+4匚p(%)dr=那么。=。

17、设月(%),《(%)为分布函数,囚>设。2>。，4耳(幻+生与。)为分布函数，那

么

%4-a2—o

0x<0

18、假设连续型随机变量的分布函数尸(x)=|0<x<6,那么A=。

1x>6

19、设随机变量X的概率密度/(幻二3"凶，那么X的分布函数为。

20>假设随机变量X〜N(l,0.52),那么2X的密度函数/(%)=。

二、选择题

1、假设函数/(幻是一随机变量X的密度函数，那么()

①/(x)的定义域为［0』］②/(幻值域为。1］③/(万非负④/(幻在R］连续

2、如果/(九)是()，那么/(x)一定不可以为某一随机变量的分布函数。

①非负函数②连续函数③有界函数④单调减少函数

3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是()

①?优=0,1,2,…)②号优=1,2,…)③分=0,12・・.)④/=—1,一2,…)

4、下面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的是()

.37r•37r

sin^^<x<—,、，—sinx^-<x<_

①/W=2②〃。)=A2

A0其地0其他

343乃

71<x<—

万_1一2④:1-COSX

③g(x)=<八

0其他0其他2

5、设随机变量X〜N(0,l),6。)为其分布函数，P(X>x)=a,那么x=()。

✓y

①①々I—a)②①一(——)③①"(a)④①t

2

6、设离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=b赞(k=1,2,...)，那么2=()o

①4>0的实数②人+1③%+］④%

7、设随机变量X~N(4，/),那么。增大时，尸(|X—〃|<b)是()

①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定

8、设随机变量X的分布密度/(x),分布函数尸(x),/(x)为关于y轴对称，那么有

()

①F(-a)=1-F(a)②Fi-a)=--F(a)③F(-d)=F{a)④F(-tz)=2F(a)-1

9、设片(x),F2(X)为分布函数，qF、。)—生入(x)为分布函数，那么以下成立的是()

、3

2=---2-②1Q=3④q=l,a=---

①q=-,6/2c

555-5222乙

1xeG

1()、要使/*)=%cosxxe是密度函数，那么G为()

0x^G

①----,—②0,一③一,71④［乃,2乃］

2222

11、设随机变量的分布密度为/(不)二一—，那么y=2x的密度函数为()

万(1+x)

万(1+x2)"(4+x2)乃(1+4%2)乃(1+1尢2)

12、设连续型随机变量X的分布函数为尸。)，密度/。)，那么()

①尸(X=幻=0②F(x)=P(X〉幻③F(x)=P(X=x)®/(x)=P(X=x)

x0<x<l

13、设随机变量X的密度函数为f(x)=\2-xl<x<2,那么尸(X<1.5)=()

0其他

1.51.5

①0.75②0.875③卜2-x)dx@j(2-x)dx

01

14、设随机变量X~N(1,1),分布函数为尸(x),密度/(x),那么有()

①P(X<0)=P(X>0)②/(x)=/(-x)

③P(X<1)=P(X>1)@F(A)=F(-x)

三、计算题

1、10个灯泡中有2个是坏的，从中任取3个，用随机变量描述这一试验结果，并写出

这个随机变量的分布律和分布函数及所取的三个灯泡中至少有两个好灯泡的概率。

2、罐中有5个红球，3个白球，有放回地每次任取一球，直到取得红球为止。用X表

示抽取的次数，求X的分布律，并计算P{1<XW3}。

A

3、设随机变量X的分布律为尸(X=k)=-------(k=1,2,…)，试求A的值。

k(k+\)

4、离散型随机变量X的分布律为

⑴求P(—1vX<l)；

X-2-1012

(2)求y=x2的分布律:

1/51/61/51/1511/30

(3)求X的分布函数。

5、离散型随机变量X的分布律为P(X=Q=C：p*(l—p)4M,且P(XZ1)=2

求P。

6、对某一目标射击，直到击中时为止。如果每次射击的命中率为〃，求射击次数X的

分布律。

7、离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=其中k=l,2,…,

求y=s山工x的分布律。

(2)

8、设连续型随机变量X的分布函数为：尸(x)=A+Barctanx

求：(1)常数A3(2)X的概率密度。

9、随机变量X的密度函数为

求(1)系数A；

t(11、

(2)X落入---，一的概率；

I22)

(3)X的分布函数。

1()、某车间有2()部同型号机床，每部机床开动的概率为().8,假设假定各机床是否开动

是独立的，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗的电能不少于

270个单位的概率。

11、设随机变量x〜u(o,2),求y=x2的分布。

1

13200

12、设测量误差x的密度函数为/(刈=c求

40疡

(1)测量误差的绝对值不超过30的概率；

(2)测量3次，每次测量独立，求至少有I次测量误差的绝对值不超过30的概率。

13、在以下两种情形下，求方程/+X/+1=0有实根的概率。

(1)X等可能取｛1,2,3,4,5,6)；

(2)X〜U(l,6)

14、设球的直径(单位：mm)X-(7(10,11),求球的体积的概率密度。

15、离散型随机变量X只取-1,0,1,行，相应的概率为2

2a4a8。16a

求。的值并计算P(|X区11X20)

100

x>100

16、设某种电子管的寿命X的密度函数

x<100

0

(1)假设1个电子管在使用150小时后仍完好，那么该电子管使用时间少于200小

时的概率是多少？

(2)假设1个电子系统中装有3个独立工件的这种电子管，在使用150小时后恰有1

个损坏的概率是多少。

17、设钻头的寿命(即钻头直到磨损为止所钻的地层厚度，以米为单位)服从指数分布,

钻头平均寿命为1000米，现要打一口深度为2000米的井，求

(1)只需一•根钻头的概率；

(2)恰好用两根钻头的概率。

18、某公共汽车站从上午7时起第15分钟发一班车，如果乘客到达此汽车站的时间X

是7时至7时30分的均匀分布，试求乘客在车站等候

(1)不超过15分钟的概率；(2)超过10分钟的概率。

19、自动生产线在调整以后出现废品的概率为0.1,生产过程中出现废品时重新进行调

整，问在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少？

20、设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从POSSION分布，每个顾客购置某种

物品的概率为〃，并且各个顾客是否购置该物品是相互独立的，求进入商店的顾客购置

该种物品人数的分布律。

21、设每页书上的印刷错误个数服从泊松分布，现从一本有500个印刷错误的£00页的

书上随机地取5页，求这5页各页上的错误都不超过2个的概率。

22、每天到某炼油厂的油船数X服从参数为2的泊松分布，而港口的设备一天只能为三

只油船效劳，如果一天中到达的油船超过三只，超出的油船必须转到另一港口。求：

(1)这一天必须有油船转走的概率；

(2)设备增加到多少，才能使每天到达港口的油船有90%可以得到效劳。

(3)每天到达港口油船的最可能只数。

23、某实验室有12台电脑，各台电脑开机与关机是相互独立的，如果每台电脑开机占

总工作时间的3/4,试求在工作时间任一时刻关机的电脑台数超过两台的概率以及最有

可能有几台电脑同时开机。

24、设有各耗电7.5KW的车床10台，每台车床使用情况是相互独立的，且每台车床每

小时平均开车12分钟，为这10台车床配电设备的容量是55KW,试求该配电设备超载

的概率。

25、一台电子设备内装有5个某种类型的电子管，这种电子管的寿命1单位：小时)服

从指数分布，且平均寿命为1000小时。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的

概率为95%,两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为70%,假设两个以上电子管

损坏，那么设备不能正常工作。求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作

的概率(各电子管工作相互独立)。

26、某地区18岁的女青年的血压(收缩压，以mm—Hg计)服从N(1lOJZ?)。在该

地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X。⑴求P{XW105},P{100<X<120}；

(2)确定最小的x,使P{X2x}40.05。①(9)=0.7976,①(1.645)=0.95

6

27、将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内。调节器整定在d℃,液体的温度X

是一个随机变量，且X〜N(d,0.52)⑴假设d=90,求X小于89的概率。(2)假设要求保

持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少？

0)(2.327)=0.99,0(2)=0.9772

ax<1

28、设随机变量的分布函数尸(X)=«bxlnx+cx+d\<x<e

dx>e

(1)确定a,4的值；(2)P[\X\<-)

2

fA+Be~Zxx>0

29、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=(A>0)

0x<0

求⑴常数小Z7的值；(2)尸(一

30、有一个半径为2米的圆盘形靶子，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积

成正比，并设均能中靶，如以X表示击中点与靶心的距离，求X的分布函数和密度函

数。

1—1x1—1<x<11

31、设随机变量X的密度函数£.(x)=,,求y=x?+i的密度函

o其他

数。

32、设随机变量的分布律为

X%%3%

0.20.10.7

求随机变量Y=SinX的分布函数。

33、10个元件中有7个合格品和3个次品，每次随机地抽取1个测试，测试后不放回,

直至将3个次品找到为止，求需测试次数X的分布律。

<

.V

<O

-<

O<1求y

34、x的分布函数为&(©=-X<的分布函数。

1<

-X<2

->2

35、设某产品的寿命丁服从7(160,。2)的正态分布，假设要求寿命低于12()小时的概

率不超过().1,试问应控制。在什么范围内，并问寿命超过21()小时的概率在什么范|制

内？

36、某厂决定在工人中增发高产奖，并决定对每月生产额最高的5%的工人发放高产奖,

每人每月生产额X〜N(4000,602),试问高产奖发放标准应把月生产额定为多少？

37、在长为1的线段随机地选取一点，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少？

XG(0,^)

38、设x的分布密度为九(幻=〈%2求y=s加x的密度函数。

Q工/(0,4)

39、设X的分布密度为fx(A)=-e^

求(1)Y=X2(2)y=|X|(3)y=ln|X|的概率密度。

四、证明题

1、设厂(幻为随机变量X的分布函数，证明：当王<工2时，有歹(七)《尸(工2)

2、证明：假设X服从参数为4的指数分布，那么P(X>〃+s|X>s)=P(X>r)

3、证明：x服从［力)上均匀分布，那么y=cx+d也服从均匀分布。

4、设随机变量X的分布函数Fx(x)为严格单调连续函数，那么y=Fx(X)服从均匀

分布。

5、设随机变量X的分布密度/(%),分布函数/(%),/(%)为关于y轴对称，证明：

1r”

对于任意正数〃有F(-a)=l-F(a)=--jof(x)dx

6、设随机变量X的分布密度/。)，分布函数b(x),/(x)为关于y轴对称，证明：

对于任意正数。有P(\X\<a)=2/⑷-1

7、设/(x),g(x)是两个随机变量的密度函数，证明：对于任意正数a(0vaV1),

有af\x)+(1-a)g(x)是某一随机变量的密度函数。

第三章多维随机变量及其分布

一、填空题

0x4-y<0

1、因为二元函数b(x,y)=《J八不满足，所以F(x,y)不是某一个

1x+y20

二维随机变量的联合分布函数。

2、设二维随机变量的联合分布律为

X123

Y

11/163/81/16

21/121/61/4

那么「(y=i|x=2)=。

3、设x和y是独立的随机变量，其分布密度函数为

[10<x<l(e-yy>0

以⑴其他，力⑴[。y<0

那么(x,y)的联合分布密度函数为。

4、设二维随机变量的联合分布律为

X123

Y

11/61/91/18

21/3ab

假设X和y独立，那么a=,b=。

5、设X1〜N(1,2),X2~N(0,3),X3〜N(2,l),且三个随机变量相互独立，那么

P(0<2X,+3X2-X3<6)=o

6、假设随机变量X〜仅2,〃),y〜仅4,〃)，且P(X21)],那么Pgl)=。

ce~(x+y)x>0v>0

7、设(XI)的联合密度函数为/(x,v)二4一二二一那么c=。

0具他

8、设(X,y)区域D上服从均匀分布，其中D是由X轴，y轴及直线y=2x+l所围成

的区域，那么P(X<-',丫<,)=。

82

34

9、设x和y是两个随机变量，且p(X20,y20)=—,p(x>o)=p(y>o)=-,

77

那么P{max(X,y)20}二。

10、设相互独立的x和y具有同一分布律，且P(X=O)=P(X=I)="L那么随机

2

变量

z=iwx{x,y}的分布律为。

11、设相互独立的x和y具有同一分布律，且P(X=O)=P(X=I)=一,那么随机

变量

Z=min{X,Y}的分布律为。

12、设平面区域D由曲线y=,及直线y=0,i=l,x=e2,(X,F)区域D上服

x

从均匀分布，那么(X,Y)关于X的边缘密度在x=2处的值为。

13、设相互独立的x和y具有同一分布，且x〜N(O」)，那么z=x—y〜。

二、选择题

1、设随机变量X,y相互独立，分布函数为Fx(x)，4(y),那么max(X,y)的分布函

数为()

①max(Fx(x),K(幻}②min{尸丫(x),4(x)}

③Fx(x)xFr(x)@l-[l-Fx(x)][l-FY(X)]

2、设随机变量X,y相互独立,且X〜N(O,2),y〜Ml,4)，那么以下各式成立的是()

①p(x+y<0)」②p(x-yK0)」

22

③p(x+y<1)=-®尸(X-y<i)=-

22

3、设随机变量X,Y相互独立，X〜N(0,l),y~N(0,l),那么X+y的密度函数

为()

II1H1

①——e2②一e4③;e4@-^e4

24242♦兀J2乃

4、设随机变量X,y相互独立且同分布，P(X=-l)=P(X=l)=0.5,那么以下结论

正确的选项是（)

①p（x=y）=o.5②p（x=y）=i③p（x+y=o）=L④p（x—y=o）=2

44

5、设随机变量X,y相互独立，且X〜N（4Q2）,y〜阳〃2，。2），那么x—y为

（）

①N（〃]+b；）②N（〃]-4。：-0-2）

③N（M+〃2，b；-cr；）④N（〃]-〃2。：+。；）

6、设（X,y）的联合密度函数为了1），）=1%那么X与Y为（）

[0其他

①独立同分布②独立不同分布③不独立同分布④不独立也不同分布

7、设随机变量X,y相互独立，且均服从（0,1）均匀分布，那么以下中服从均匀分布的

是（）

①（x,y）②x+y③x?④x-y

8、随机变量x,y相互独立同分布，那么x+y和x-y（）

①不独立②独立③不相关④相关

9、设（x,y）的联合分布律为

X01

01/4b

1a1/4

事件｛x=o｝与事件｛x+y=i｝相互独立，那么凡〃值为（）

®a=—,b=—@a=—,b=—@a=—,b=—®a=—,b=—

63-88-3644

三、计算题

1、设二维连续型随机变量必力的联合概率密度为

求：⑴系数4Q）P｛（X,Y）^D｝t其中。为由直线产x,x=/,及x轴围成的三角形区

域。

2、设随机变量x,y相互独立，且x,丫的分布律如下表：

X-3-2-1Y123

P1/41/42/4P2/51/51/5

求：（i）（x,功的联合分布律；（2）z=2x/y的分布律；（3）u=x-y的分布律。

3、甲、乙两人约定晚上在某处见面，但没有说好具体时间，甲、乙到达该处的时间分

别为随机变量x和匕旦甲到达的时间均匀分布在6时至8时之间；而乙到达的时间均

匀分布在7时至10时之间。（X,丫）的联合概率密度为：

1

-

66<x<8,7<y<10

/(x,y)=<0求先到一人等候对方不超过10分钟的概

其他

率。

4、设随机变量x和y相互独立，且x〜u（i,2）,y〜u（i,3）,求方程有两个不相等的

实根的概率。方程：产+2X/+y=o

5、一口袋中有4个球，标有1,2,3,4o从中任取1个，不放回，再从袋中任取1个

球，

以x和y表示第一、二次取得的球的数字，求x、y的联合分布。

6、设随机变量x和y相互独立，x〜NT。？），丫〜u（-冗，储,求x+y的分布。

1(7171

7、随机变量X和Y的联合分布函数为尸（x,y）=