概率论与数理统计实验实践训练方案

《概率论与数理记录》试验指导书

【课程性质、目的和规定】

课程性质：概率论与数理记录试验是与《概望论与数理记录》课程相配套的

数学试验，它是为了理解和巩固这门课而设计的。

教学目H勺：通过本试验的教学，使学生掌握处理随机数据的基本措施，以及

获得建立某些实际问题的模拟能力，并深刻理解概率与数理的思想措施。

教学规定：本试验是数学与应用数学专业教学计划中《概率论与数理记录》

相配套H勺数学试脸，因此，试验与课程紧密结合，服务这门课，在该课程的理论

指导下开展数学试脸。在试验供应结合生产科研的实际问题，进行处理实际问

题能力口勺实践性环节的培养。

概率论与数理记录是研究大量随机现象记录规律口勺一门数学科学，通过本

试验（我们以excel为平台，教师也可选其他数学软件.Excel电子表格软件是

微软办公软件组的关键应用程序之一，它功能强大，操作简朴，合用范围广，普

遍应用于报表处理、数学运算、工程计算、财务处理、记录分析、图表制作等各

个方面。其数据分析模块简朴直观，操作以便，是进行概率与记录学教学的首选

软件），我们可以理解随机现象及其发生的概率，模拟系统的变化规律。鉴于该

课程的特点，为更好地实现教学目的，我们开发如下16个试验。教师可以根据

教学状况选其中6个试验进行教学。

【教课时间安排】

序号试验名称试验类型课时备注

1Excel日勺基本使用措施和技巧演示性试验2

随机事件的模拟一一模拟掷均匀

2设计性试验2

硬币的随机试验

随机模拟计算不时值一一蒲丰

3设计性试验2

投针问题

4敏感性问题调查综合性试验2

5正态分布综合试验综合性试验2

6产生服从任意分布的随机数设“性试验2

7产生服从二维正态分布的随机数设计性试验2

8随机变量综合试验综合性试验2

9定积分的近似计算设计性试验2

10参数的点估计设计性试验2

11区间估计演示性试验2

12非参数假设检查设计性试验2

13方差分析演示性试验2

14一元回归分析设计性试验2

15多元回归分析综合性试验2

16零件参数的设定综合性试验2

合计

试验一Excel的基本使用措施和技巧

1、问题的背景

概率论与数理记录是研究大量随机现象记录规律口勺一门数学科学，怎样对实践中的随机

现象进行模拟和处理数据，成为概率论与数理记录试验课程的重要内容.鉴于Excel的通俗

易懂和应用的普适性，我冶采用Excel来实现概率论与数理记录课程试验。因此，对Excel

H勺基本应用成为本门课程的基础.

2,试验目的J规定

(1)学习和掌握Excel的调用程序.

(2)学习和掌握Excel的基本命令.

(3)学习和掌握Excel的有关技巧.

(4)掌握基本记录命令的使用措施

3、试验重要内容

在多种电子表格处理软件中，Excel以其功能强大、操作以便著称，赢得了广大顾客的I

青睐.本试验学习某些常常使用口勺技巧，掌握这些技巧洛大大提高学生未来试验的效率.

(一)基本命令

(1)迅速定义工作簿格式

(2)迅速复制公式

(3)迅速显示单元格中的公式

(4)迅速删除空行

(5)自动切换输入法

(6)自动调整小数点

(7)用“记忆式输入”

(8)用“自动改正”方式实现迅速输入

(9)川下拉列表迅速输入数据

(二)基本记录函数

(1)描述性记录

(2)直方图

4、试验仪器设备

2、试验目的规定

本试验意在使学生掌握蒲丰投针问题，并由此发展起来时随机模拟法，从中体学会到新

思想产生日勺过程.

（1）学习和掌握Excel的有关命令

（2）掌握蒲丰投针问题

（3）理解随机模拟法

（4）理解概率的记录定义

3、试验重要内容

蒲丰投针问题：下面上画有间隔为"（">°）H勺等距平行线，向平面任意投一枚长为

/（/<"）的）针，求针与任一平行线相交的概率.进而求勺近似值.

对于〃=50,100,1000.10000,50000各作5次试验，分别求出万的近似值.写出书面

汇报、总结出随机模拟的思、绪.

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验四综合试验--敏感性问题调查

1、问题的背景

在问卷调查中，被调宜者由于种种原因不乐意回答问题，此类问题就是敏感性问题,对

敏感性问题日勺调查方案，关键要使被调查者原意作出真实回答问题又能保守秘密.进而能

根据调杳问题H勺特点，科学设计调查表，合理制定调查程序，分析调查成果是一种有趣口勺问

题.

2、试验目的规定

（1）学习和掌握运用概率记录处理实际问题H勺技能.

（2）学习和掌握对敏感性问题调查日勺基本措施和措施.

（3）学习和掌握敏感性问题调查H勺有关技巧.

3、试验重要内容

确定敏感性问题：如某学校学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率、或某小区居民

参与赌博的J比率、或某小区居民吸毒H勺比率、或某都市经营者偷税漏税户的比率、或某学

校学生考试作弊口勺比率.

调查方案的设计及操作程序：调查问题日勺设计、调查操作程序，调查样本容量确实定。

调查成果分析。

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验五正态分布综合试验

1.问题的背景

正态分布是实际生活中最常用日勺概率分布，在概率论与数理记录日勺理论研究和实际应用

中都具有重要H勺价值，应纯熟掌握和运用。

2.试验目的规定

学会产生服从正态分化的随机数并作密度函数和分4函数的图形，学会NORMDIST命令

和Excel绘图工具的使用，

3.试验重要内容

（1）运用随机数发生器分别产生n=100;1000;10000个服从正态分布N（6,1）的随机数,

每种情形下各取组距为2,1,0.5作直方图及累枳比例曲线图。

(2)固定数学期望u=0.05,分别取原则差为。=0.01、0.02、0.03,绘制密度函数

和分布函数H勺图形。

(3)固定原则差为。=0.02,分别取数学期望为u=0.03、0.05、0.07,绘制密

度函数和分布函数的图形。

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验六产生服从任意分布的随机数

1.问题的背景

实际中常常需要用到服从指定分布F(x)H勺随机数据。学会产生服从任意分布的随机数,

对此后的学习和实际应用而言，是非常有协助的。

2.试验目的规定

学会产生分布函数为预先指定口勺分布函数F(x)的|随机数；运用所产生的随机数据作直

方图、密度函数图和分布函数图。

3.试验重要内容

(1)分别产生1000、1。000个U(°，1)分布随机数，通过变换分别把它们转换为服从指数

分布Exp(3)和Gamma(2,2)日勺随机数，然后对所得到的Exp(3)随机数作组距为0.1的直方

图，对Gamma(2,2)随机数作组距为1R勺直力图，观测它们轮廓线的形状。

(2)用命令EXP0NDIST计算Exp⑶在x=0、0.1、0.2、…、3处曰勺值；用GAMMADIST

命令计算Gamma(2,2)在*=0、1、2、…、15处日勺值；并画出指数分布Exp(3)和Gamma(2,

2)：的密度函数的图形，与(1)中的直方图日勺轮廓线进行比较。

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验七产生服从二维正态分布的随机数

1.问题的背景

二维正态分布是最常用的多维持续型分布。设二维随机向量（％K）服从二维正态分布

N（4,封;〃2，无；/），由二维正态分布的）性质知，有关系数P=0或P六。对应于丫与P

独立或有关两种情形。

2.试验目的规定

（1）学会用计算机产生分量互相独立的J二维正态分布随机数；

（2）学会用计算机产生分量不独立口勺二维正态分布随机数。

3.试验重要内容

（1）若随机变量才与y互相独立且*~、3'才），丫~NWL则

（X,y）~外㈤;0）。据此结论产生服从二维正态分布N（7,l；6,l;0）的随机向

量（％Do

⑵设n维随机向量*=（乂，~N"3N）,其中〃=（必,〃"）’是邓j均

值向量，N=C是打勺协方差阵，%=由于N为正定阵，

故存在下三角阵。，使得w=cc'；若设”=（q，…，"J,〃口勺各个分量互相独立为服

从N（0,l）分布，那么可以证明X=〃十CU服从认为〃=…均值向量，认为

N=CC'协方差阵口勺n维正态分布。由上述结论，产生服从二维正态分布N（7,l；6,l;0・6）

的随机向量（ZDo

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验人随机变量综合试验

1.问题的背景

正态分布、卡方分布、t分布和F分布常被称为数理记录四大分布，它们在假设检查、

方差分析和回归分析中有着广泛H勺应用。

2.试验目的规定

(1)学会用Excel产生服从上述四大记录分布H勺随机数并能画出对应随机数的直方图；

(2)会用Excel计算上述四大记录分布的分布函数值和分位点。

3.试验重要内容

YY词73/=EX；~力2(〃)

试验原理：若独立同分布随机变量“义”~则松；

V2,、v2/、F=XIm〜■(〃?,〃)

又若X~力~X(〃)，且才与y互相独立，则Yin,再者，若

X/、

2t=I------

X~N(°，D,丫~Z~5),且X与J，互相独立，则Wn。(参见教材P270-P272

定义)，据上述原理，

(1)产生X2(6),X2(10),F(6,10)和t(6)四种随机数,并画出对应随机数的频数

直方图；

(2)在同一张图中画出了X(0,1)和t(6)随机数频数直方图，比较它们的异同；

(3)写出计算上述四种分布日勺分布函数值和对应上侧分位点命令。

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验九定积分的近似计算

1、问题的背景

不少记录问题，如计算概率，各阶矩等，最终都归结为定积分日勺近似计算问题(尤其

是高维积分).这一措施是求解数学物理、工程技术及经济管理近似日勺数值常用措施.

2、试验目的规定

(1)掌握ExcelH勺有关命令.

(2)进一步理解大数定律.

(3)掌握随机模拟口勺措施.

3、试验重要内容

(1)用随机投点法和平均值法计算定积分：

x

r\e—1rix

J,1-.........dx,—edx

Joe_j/J-i

(2)比较两种措施的精度.(n=100,1000,10000.对每一种n反复做5次)

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十参数时点估计

一、背景知识：

(一)参数点估计的计算措施

1、参数估计问题，一种是总体分布类型已知，但具有未知参数，对总体的未知参数进行估

计后可以近似确定总体分布；另一种是总体分布类型未知，通过参数估计来理解总体的重要

数字特性如总体均值、总体方差等.

2、点估计：设来自总体口勺样本为，X“，通过某种参数估计措施，构造记录量

AA

°=。（％,*2，・：＞“），用°来作为总体未知参数0的估计，这个随机量，就是。的点估计

量.

3、矩估计法的应用：分两种状况讨论，并只讨论到1阶到2阶矩.

（D总体的未知参数为总体H勺矩时

•总体均值近似于样本1阶原点矩即样本均值

n

i“

-对

•总体方差b日勺矩估计就是样本2阶中心矩即样本方差〃a

（2）总体分布类型已知，有1个或2个未知参数（我们重要考虑这两种）可以用样本的1阶、

2阶原点矩列出方程（组）求解未知参数。

AAA

•当只有一种未知参数.时・，可列出一种方程区二日的）解得a=a（*）.

•当有二个未知参数是时，可根据样本一阶和二阶原点矩列出一种二元方程组.

3、极大似然估计法

似然函数等于样本分布列（离散总体）或样本概率密度（持续总体〉口勺连积：

L（o）=y[p（xi\o）

r=l

〃夕）=力/（%;8）

极大似然估计法就是求e的极大似然估计d（所规定的।要概率），规定出小，就是规定似

然函数或InL（O）口勺最大值点.

规定极大似然估计，一般用三步：

（1）根据已知日勺样本分布，列出似然函数入（°）

（2）将函数两边取自然对数。

（3）由函数对8求导，令其等于0,算出肉向极大似然估计4.

（二）有关无偏性、有效性和相合性

A人

1、设夕=公用，、2,…，X"）是未知参数〃的估计量，若满足石0二夕，则称

AA

e=e（X|,X2,…,x“）是夕的无偏估计量也就是估计量J这个随机变量的取值集中位置是

0,

样本的均值又，样本方差s；分别是总体均值〃，总体方/日勺无偏估计

2、有效性：在儿种6的无偏估计量中，其方差越小口勺，阐明此估计量越有效.（可以理解，

方差越小则表明点越集中在〃附近，对°的估计效果越好）.

人人A

3、相合性：设°二/*，、2，,x”）是未知参数e曰勺估计，当"f8时，估计量4与6的

绝对误差不大于任意给定正数£日勺概率趋近于1，就称,="X,*2，-*“）为8的）相合估

计。

（三）有关方程和方程组求解的数值措施

见数值计算措施教材或试验指导书.

二、试验目的规定：

试验目的：通过本试验，使学生以Matlab为工具掌握参数点估计的计算措施日勺计算机实现;

对常见分布，掌握生成点估计量值的模拟措施，通过观测不一样样本量下估计量日勺值在真实

参数周围的分布状况，获得估计量时值在真实参数周围分布状况及其随样本量增长所发生变

化的数值经验.

试验规定：

1）学生在试验前应当掌握参数估计的有关理论，阅读试验本次试验口勺指导，理解Mstlab

中的々关计算工具.

2）独立准备好一种点估问题和有关样本数据，独立完毕从设计到求出成果的所有试验过

程.

3）独立撰写试验汇报，试验汇报要附上有关Matlab程序.

三、试验内容：

1、选择一种分布（提议选择正态分布或Weibull分布等）.

2、编制求参数点估计的矩法和最大似然法的Matlab程序.

3、用随机数生成措施在不一样样本量下产生多种样本.

4、用所生成的样本计算参数的估计量时值.

5、观测参数估计量U勺值在真值周围的分布状况，总结出有关数值经验.

6、观测参数估计量时值在真值周围H勺分布状况怎样随样本量不一样而变化，总结出有关数

值经验.

四、试验设备:

电子计算机，Matlab软件。

试验十一区间估计

1、问题的背景

对于一种总体，可以用某些参数进行表征，如平均隹、方差等.假如某个参数未知，记

录学提供了某些措施，它们可以用来估计未知参数介于那个区间内.估计是数理记录中重要

的内容，也是计算量很大的问题.此前在这方面口勺教学中都是使用计算器和查表，非常麻

烦.下面我们用Excle来处理这个问题.

2、试验目的规定

(1)掌握Excel的有关命令.

(2)掌握总体数学期里和方差日勺区间估计.

(3)理解大数定律的思想。

(4)掌握随机模拟的措施.

3、试验重要内容

(1)单个正态总体数学期望和方差的区间估计

从一大批袋装糖果中随机地取出内16袋，称得重鼠(g)如下

508507.68498.5502503511498511

513506492497506.5501510498

设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值和方差H勺区间估计(置信度分别为

0.95与0.9).

(2)两个正态总体数学期望的差和方差时商的区间估计

随机地从力批导线中抽取4根导线，又从8批导线中抽取5根导线，测得电阻（C）

为

A批导线：0.1420.1400.1440.136

B批导线：0.1380.1400.1340.1380.142

设测得的导线电阻值服从正态分布，且两个样本互相独立，试求总体数学期望日勺差和总体方

差的商的置信区间（置信度分别为0.95与0.9）.

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十二非参数假设检查（2、检查）

1、问题的背景

假设检查在数理记录中占有重要地位，它的推理措施与数学中一般使用的措施在表

面上类似，但实际上大不一样样.一般U勺数学推理都是演绎推理，即根据给定的条件，

进行逻辑推理，而记录措施则是归纳，从样本中的体现去推断总体II勺性质.

在处理实际问题中，我们往往假定总体的分布形式是已知的，但许多

时候我们对总体总是理解不多，总体分布是什么，不太清晰，这时我们只根据样本推断

总体.

2、试验目的规定

（1）掌握Excel的有关命令.

（2）掌握非参数假设检查检查）

3、试验重要内容

一道工序用自动化车末持续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随

机时，并假定生产任一零件时出现故障机会均相似.工作人员是通过检查零件来确定工序与

否出现故障H勺.现枳累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完毕的零件数如卜.:

459362624542599584433748815505612452434982640

7425657065936809266531644877346084281153593844527

55251378147438882453886265977585975549697515628

954771609402960885610292837473677358638699634555

570844166061062484120447654564339280246687539

790581621724531512577496468499544645764558378765

66676321771b310851

试观测该刀具出现故障时完毕日勺零件数属于哪种分布.（明显水平分别为0.1和0.05）.

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十三方差分析

1、问题的背景

方差分析是采用数理记录措施分析多种原因对研究对象某些特性值H勺影响，进而鉴

别多种原因对研究对象的某些特性值影响大小的一种有效措施.简朴一点说，方差分析

可以用来判断取自总体口勺两个或者多种样本的均值与否相等.

2、试验目的

（1）理解单原因方差分析口勺基本思想.

（2）掌握用计算机分析单原因方差分析问题.

（3）掌握检查的环节.

3、试验重要内容

为了研究咖啡因对人体功能的影响，特选30名体质大体相似的健康的男大学生态行

手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平：

A=o（〃吆）,4=1oo（〃吆）,4=200（"吆）.

每个水平下冲泡10杯水，外观无差异，并加以编号，然后让30位大学生每人从中任选一杯

服下，2h后，请每人做手指叩击，记录员记录其每分钟叩击次数，试验成果如下表：

咖啡因剂量叩击次数

A：°（〃吆）242245244248247248242244246242

248246245247248250247246243244

A,:100("?g)

24624825025224825()246248245250

:200Q〃g)

请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十四一元回归分析

1、问题的背景

回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的最常用日勺记录分析措施，其重要任

务是根据变量观测数据定量地建立所关注的变量和影响它变化的变量之间U勺数学关系

式，检查影响变量的明显程度和比较它们的作用大小，进而用一组变量的变化解释和预

测另一种变量的变化.本试验简介一元线性回归.

2、试验目的规定

（1）理解一元回归分析U勺基本思想，掌握一元线性回归模型及回归方程

（2）理解最小二乘法的原理，掌握最小二乘法

（3）掌握用计算机求回归方程并进行检查和预测的措施

3、试验重要内容

考虑家庭月收入x（元）及支出y（元）的关系，我们抽取10个家庭，由户主本人提供能

反应他在•种时期内月收入及支出的平均状况资料如下：

收入x（元）200150200250150200250300150120

支出y（元）180160220250140230210250230140

试对建立月收入和月支出的关系.

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十五多元回归分析

1、问题的背景

回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的最常用日勺记录分析措施，其重要任

务是根据变量观测数据定量地建立所关注的变量和影响它变化的变量之间的I数学关系

式，检查影响变量的明显程度和比较它们的作用大小，进而用一组变量的变化解释和预

测另一-种变量的变化.本试验简介多元回归.

2、试验目的规定

（1）理解多元回归分析的J基本思想，掌握多元线性回归模型及回归方程

（2）掌握用计算机求回归方程并进行检查和预测的措施

3、试验重要内容

某工厂每年所获利润重要取决于A、B两种产品的销售量。根据调查获得该企业1994

年一一2023年A、B两种产品的销售量及每年所获利润记录资料如下表:

年份A产品销售量B产品销售量

利润（匕）

（Xu）（万吨）（X"（万吨）

（百万元）

1994294516

1995244214

1996274415

1997254513

1998264313

1999284614

2023304416

2023284516

2023284415

2023274315

2023294615

2023314717

规定：（1）运用调杳所得资料求利润丫与两种产品A、B的销售量乂、的回归方程,

并阐明参数估计量MJ经济含义。

（2）据预测2023年A产品B勺销售量为50万吨、B产品H勺俏售量为18万吨,请预测2023

年该工厂可获得利润多少百万元？

4、试验仪器设备

计算机和数学软件

试验十六零件参数的设定

1、问题的背景

在现实生活中，有大量问题由于模型中随机原因诸多，很难用解析式模型来进行描述求

解.，这时就需要借助模拟的措施.如零件参数的设定.

零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能II勺某个参数取决于这些