概率论与数理统计习题集及答案1

《概率论与数理统计》作业集及答案

第1章概率论的基本概念

§1.1随机试验及随机事件

1.(1)一枚硬币连丢3次，观察正面II、反面T出现的情形.样本空间是：S=；

(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S=；

2.(1)丢一颗般子.A：出现奇数点，则八=；B：数点大于2,则8=.

(2)一枚硬币连丢2次，A：第一次出现正面，则A二;

B：两次出现同一面，则=;C：至少有一次出现正面，则C=.

)

§1.2随机事件的运算

1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生，而C不发生表示为：.

(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：.

(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为：.

2.设5={%:04工45},/4={^:1<%43},B={x:2W<4}：则

(1)A<JB=,(2)AB=,(3)AB=,

(4)A^JB=,(5)AB=o

§1.3概率的定义和性质

1.已知P(AuB)=().8.P(A)=0.5,P(B)=0.6,则

(1)P(AB)=,(2)(P(AB))=.(3)P(A<JB)=

2.已知P(A)=0.7,P(AB)=0.3,则尸(A历=.

§1.4古典概型

1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个，求：(1)正好有2个女同学的概率，

(2)最多有2个女同学的概率，(3)至少有2个女同学的概率.

2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.

§1.5条件概率与乘法公式

1.丢甲、乙两颗均匀的段子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是o

2.已知P(A)=l/4,P(例A)=l/3,P(A|B)=l/2,则P(AuB)=°

§1.6全概率公式

有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个

签，说明两人抽“中’的概率相同。

2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中

随机地取一个球，求取到红球的概率。

§1.7贝叶斯公式

1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80舟能出厂，求(1)

该厂产品能出厂的概率，(2)任取一出厂产品，求未经调试的概率。

2.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为，

B被误收作A的概率为，信息A与信息B传递的频赞程度为3：2,若接收站收到的信

息是A,问原发信息是A的概率是多少

§1.8随机事件的独立性

1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭•合的概率

均为P,求L与R为通路(用T表示)的概率。

R

3.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为，和，是否命中，相互独立，求

下列概率：(1)恰好命中一次，(2)至少命中一次。

第1章作业答案

§1.11：(1)S={HHH、HHT,HTH,THH、HTT,THT,TTH,TTT\；

(2)S={0,1,2,3}

2：(1)A=[\,3,5}8={3,4,5,6)；

(2)A={正正，正反)={正正，反反},C={正正，正反，反正}。

§1.21：(1)ABC；⑵ABC；(3)ABC；(4)AuBuC；(5)ABDACDBC；

(6)AB<JACuBC或ABC+ABC+ABC+ABC；

2：(1)ADB={x:1<xv4}；(2)AB={x:2<x<3}；

(3)AB={x:3<x<4|：

(4)4=1或2WxW5}；(5)AB={%:1<x<4)0

§1.31：(1)P(ABi=,(2)P(AB)=,(3)P(AuB)=.2：P(AB))=

§1.41：(1)C；C；2/c柒⑵((+C；C；2+《C；2)/Cc，⑶『(+C；C；2)/C；；.

2：门/今二

§1.51：.2/6；2：1/4。

§1.61：设A表示第一人“中”，则P(A)=2/10

设B表示第二人“中”，则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

1A1-1

-To9+Io9-To

两人抽“中’的概率相同，与先后次序无关。

2：随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是，所求概率为：

p=X+X=

§1.71：(1)94%(2)70/94；2：；

§1.8.1:用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=ABUCD,

从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性

P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)

=P?+P2-P"=2p2-p4

2：(1)++=；

(2)l-=

第2章随机变量及其分布

§随机变量的概念，离散型随机变量

1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球

中的最大号码.，试写出X的分布律.

2某射手有5发子弹，每次命中率是，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止,

用X表示射击的次数，试写出X的分布律。

§0-1分布和泊松分布

1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布，求

(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；

*

(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；

2设随机变量X有分布律：X23,Y-n(X),试求：

P

(1)P(X=2,YW2)；⑵P(YW2)；(3)已知YW2,求X=2的概率。

§贝努里分布

1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为，计算机

是否被使用相互独立，问在同一时刻

(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少

(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少

*

(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少

(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少

2设每次射击命中率为，问至少必须进行多少次独立史击，才能使至少击中一次的概率不

小于

§随机变量的分布函数

0x<-i

1设随机变量X的分布函数是：F(x)=4).5-1<X<1

1x>l

(1)求P(XW())；P(0<X<1)；P(X21),(2)写出X的分布律。

Ax

%>0.求（1）常数A,（2）P（1<X<2）.

2设随机变量X的分布函数是：F(x)二7+x

0x<0

§连续型随机变量

kx0<x<

1设连续型随机变量X的密度函数为：f(x)=廿/上

。其他

(1)求常数R的值；(2)求X的分布函数F(x),画出F(x)的图形,

（3）用二种方法计算P（-<X<.

0x<\

2设连续型随机变量K20的分布函数为：F（x）=<Inx\<x<e

1x>e

（1）求X的密度函数画出/（x）的图形，（2）并用二种方法计算P（X>.

§均匀分布和指教分布

1设随机变量K在区间（C,5）上服从均匀分布，求方程4X2+4Kx+K+2=0

有实根的概率。

2假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从a=0.2的指数分布，如某人正好在你前面

走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。

§正态分布

1随机变量X〜N(3,4),(1)求P(2CXW5),P(-4<X^10),P(X|>2),P(X>3);

(2)确定c,使得P(X>c)=P(X<c)o

2某产品的质量指标X股从正态分布，11=160,若要求P（120〈X〈200）2,试问。最多取多

大

§随机变量函数的分布

!

1设随机变量X的分布律为；X|012

P

Y=2X-1,求随机变量X的分布律。

2(1-x)0<%<1

2设随机变量X的密度函数为：/(X)=<

0其他

Y=X2；求随机变量Y的密度函数。

3.设随机变量X服从(C,1)上的均匀分布，Y=-2\nX，求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案

§1：X3|45

P

2：X12345

pXXXXXXXXXXI

§1：(1)P(X=1)=P(X21)-P(X22)=-=,

(2)P(X21)=,

(3)P(XW1)=1-P(X22)=1-=□

2：(1)由乘法公式：

P(X=2.YW2.)=P(X=2)P(YW2IX=2)=X(e~2+2e-2-I-2e'2)=2e~2

(2)由全概率公式：P(YW2)=P(X=2)P(YW2|X=2)+P(X=3)P(YW2|X=3)

917,

=X5e+X——e=+=

2

由贝叶斯公式：(二0.27067

(3)P(X=2|YW2)=PX=2.y.2)=0.516

P(Y<2)-0.52458

§1：设X表示在同一时刻被使用的台数，则X〜B(5,,

(1)p(X=2)=Cj0.620.43(2)P(X23)=C^).630.42+C'0.640.4+0.65

(3)P(XW3)=1・C50.640.4-0.65(4)P(X>1)=1-0.45

2：至少必须进行11次独立射击.

§1：(1)P(X<0)=；P(0<X<1)=；P(X>l)=,

(2)X的分布律为：X|-11

P

2：(1)A=1,(2)P(I<X<2)=1/5

0x<0

§1：(1)k=2,(2)F(x)=<x20<x<1；

1x>\

(•0.5fOf0.5)

(3)P(-<X<=Jf(x)dx=J2xdx=—；

或=F(0,5)-F=---0=­o

44

八\/x\<x<e,、

2：(1)JM=\(2)P(X>2)=l-ln2

0其他

§1：3/52：⑴I⑵/2.

§1：(1),,,;(2)c=3,2：。W。

§1:Y-113

P

卡fOJU1加），=

-e~y/2)，>0

2：力（丁）=,2；

0其他0y<0

第3章多维随机变量

§二维离散型随机变量

1.•

2.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球

个数，用Y表示取到的白球个数，写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。

3.设二维随机变量（x,y）的联合分布律为：x7012

试根据下列条件分别求a和b的值；0a

(1)P(X=1)=0.6；1b

(2)P(X=l|K=2)=0.5；⑶设F（x）是丫的分布函数,F（1.5）=0.5o

§二维连续型随机变量

z(x+y)o<x<i,0<^<1

1.(X、y)的联合密度函数为：/(x,y)=•

0其他

求(1)常数k；(2)P(X<l/2,Y<l/2)；(3)P(X+Y<1)；(4)P(X<l/2)o

kxy0<x<1,0<y<x

2.(X、V)的联合密度困数为：/(x,y)=<

0其他

求(1)常数k；(2)P(X+Y<1)；(3)P(X<l/2)o

§边缘密度函数

1.设(x,Y)的联合密度函数如下，分别求x与丫的边缘密度函数。

1

—')=后-(--1---/-)；-(-]--+--,-2-)-00<X<-+O0,-oo<y<+00

2.设a,Y)的联合密度函数如下，分别求x与y的边缘密度函数。

ex0<y<x

0其他

§随机变量的独立性

KY

1.(X,Y)的联合分布律如下，123

试根幅下列条件分别求a和b的值;11/61/91/18

(1)p(y=i)=i/3；2ab1/9

(2)P(X>l|y=2)=0.5：(3)已知x与y相互独立.

2.(X.Y)的联合密度函数如下，求常数c,并讨论X与y是否相互独立

0<X<1,0<^<1

0其他

第3章作业答案

§i：xn2：(1)a=b=

i(2)a=b=

2(3)b二

§1：(1)k=1；(2)P(X<l/2,Y<l/2)=1/8；(3)P(X+Y<1)=1/3；(4)P(X<l/2)=3/8。

2：(1)k=8；(2)P(X+Y<1)=1/6；(3)P(X<l/2)=l/16o

1

§i：dy=--CO<x<+oo;

fxM=J-^7r2(l+Ji2)(l+y2)'万(1+V)

■HO

-00<y<400；

/?()，)=J(l+x2)(l+y2)

xe~xx>0ey>0

2；fx(X)=A(y)=

0x<0'0y<0,

§(1)a=l/6b=7/18；(2)a=4/9b=l/9；(3)a1/3,b=2/9o

2：c=6,X与Y相互独立。

第4章随机变量的数字特征

§数学期望

1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则E：〈是:

(A)1；(B)；(C)；(D)2.

2..

江2<x<41

3.设X有密度函数：/(x)=8H八，求石(X),成2乂-1),£(、)，并求X

0其他x-

大于数学期望E(X)的概率。

4.设二维随机变量(X,y)的联合分布律为：X、|012

已知E(XK)=0.65,0a

则a和b的值是：1b

(A)a=，b=；(B)a二，b二；(C)a=，b=；(D)a=，b=。

4.设随机变量（X,Y）的联合密度函数如下：求石X,£Y,七（XY+1）。

[xy0<x<l,0<y<2

“力斗。其他

§数学期望的性质

1.设X有分布律：X0123则石(X、2X+3)是:

P

(A)1；(B)2；(C)3；(D)4.

2.设（X,y）有/«），）=匕〉’Yv.yyl,试验证E（xy）=E（x）E（y）,但x与丫不

0其他

相互独立。

§方差

1.丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX,DX.

(x+l)/40<x<2

2.X有密度函数：/（x）=-HU，求D(x).

0其他

§常见的几种随机变量的期望与方差

1.设X~4（2）,Y-5（3,0.6），相互独立，贝i]E（X-2Y）,£＞（X-2丫）的值分别是:

（A）和；（B）-1和4；（C）和；（D）和.

2.设X〜U(a,b\y~N(4,3),X与丫有相同的期望和方差，求。，〃的值。

(A)()和8；(B)1和7；(C)2和6；(D)3和5.

§独立性与不相关性矩

1.下列结论不正确的是•)

(A)x与y相互独立，则x与y不相关；

<B)x与y相关，则x与y不相互独立；

(C)E(XY)=E(X)E(Y),则X与y相互独立；

(D)f(^y)=fx(x)fY(y),则X与y不相关；

2.若cov(x,y)=o,则不正确的是()

(A)E(XY)=E(X)E(Y)；(B)F(X+K)=£(.¥)+E(K)；

(C)D{XY)=D(X)D(y)；(D)D(x+y)=D(x)+D(y)；

3.(x,y)有联合分布律如下，试分析x与y的相关性和独立性。

x7-101.

-11/81/81/8

01/801/8

11/81/81/8

4.E(xr)=E(x)E(y)是x与y不相关的()

(A)必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分。

5.E(xy)=E(x)E(y)是x与丫相互独立的()

(A)必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分。

6.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下：试验证X与y不相关，但不独立。

2心/4x2<j<1

0其他

第4章作业答案

§1：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3,4/3,17/9；

§1：D；

§1：7/2,35/12；2：11/36；

§1：A；2：B；

§1：,；2：-1/144,-1/11；

§1：c；2：c；3：x与y不相关，但x与y不相互独立；4：c；5：A；

第5章极限定理

*§大数定理

§中心极限定理

1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为的指数分布，现有元件30只，一只在用，其

余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件

至少能使用一年（8760小时）的近似概率。

2.某一随机试验，“成功”的概率为，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别

求最多“成功”6次的概率的近似值。

第5章作业答案

§2：；3：,；

第6章数理统计基础

§数理统计中的几个概念

1.有n=10的样本；，，，，，，，，，，则样本均值又=，样本均方差

S-,样本方差S?=„

2.设总体方差为从有样本X'X2,…,X”，样本均值为又，则Cou（X1,5）=0

§数理统计中常用的三个分布

1.查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9;,Zo,i（5）=，，0.9（1°）二o

2.设X-X2,…，X”是总体/（"?）的样本，求&5），D（X）O

§一个正态总体的三个统计量的分布

1.设总体X~N(〃,b2),样本X「X2,…,X”，样本均值又，样本方差夕，则

X-p又一A

<7/yfnS/yfn

4次(Xj-X)2〜,4■力(Xj-")2〜,

bi=10i=l

第6章作业答案

22

§1.1=1.57,5=0,254,5=0.0646；2.Cov(X1,X)=b/n；

§1.,,；2.E(X)=m,D(X)=2ni/n；

§1.N(0,1),r(n-l),，2(〃)；

第7章参数估计

§矩估计法和顺序统计量法

伍丫弋07f)<Y<]

i.设总体x的密度函数为：/-w=r；"■,有样本x「x,,…,x”，求未

0其他

知参数8的矩估计。

2.每分钟通过某桥量的汽车