概率论重点及课后题答案

第九章假设检验

一、大纲要求

⑴理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能

产生的两类错误。

（2）了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验.

二、重点知识结构图

1.提出假设

基本步骤

2.找统计量

3.求临界值

4.求观察值

5.作出判断

假

设

检两类错误

第一类错误：〃。为真拒绝”。

验

第二类错误："。为假接受

〃检验法

正态总体的均值/检验法

Z2检验法

和方差的检验

尸检验法

三、基本知识

1.假设检验的几个术语

.一〃0

定义1给定公不等式NZ确定了关于又的一个区域

F,〃0一攵

当又落入此区域内，就拒绝"o（接受称上式这类区域为“。的拒绝域，记为

Z.

不等式<k确定了关于X的另外一个区域

-一听心+哈）

当又落入此区域内，就接受“0（拒绝称上类区域为接受域，记为Z.

〈我称为临界值形式的接受域.，一脸,4+吟）称为区

间形式的接受域.

定义2称”°为原假设（或零假设），称％为备择假设（或备选假设、对立假

设）.

定义3称允许作判断有错误的概率。为显著性水平（或检验水平），它是用来

衡量原假设与实际情况差异是否明显的标准.

定义4称k为临界值

小概率原理:小概率事件在一次试验中是不大会发生的.

2.假设检验的两类错误

第一类错误：”0正确，但拒绝了它，这类错误称为“弃真错误”.

第二类错误：儿不正确，但接受了它，这类错误称为“存伪错误”.

3.假设检验的基本步骤

⑴提出假设；

（2）找统计量（这里要求该统计量含有待检验的参数）;

（3）求临界值（求接受域）；

（4）求观察值；

（5）作出判断.

4.〃检验法

已知方差，，假设检验“0：〃=4.

（1）提出假设/："=%.

(2)找统计量.确定样本函数：〃=上普~N(0』),称其为〃的统计量,它含有

CT/VH

待检验参数〃.

⑶求临界值.给定显著性水平研0＜。＜1),查正态分布表求出临界值心2,使

p{|w|N〃山2}=a,即尸相V%2}=1-a•

(4)求观察值.根据给定的样本求出统计量〃的观察值小

(5)作出判断.若同＜心，则接受H。；若同＞ua,2，则拒绝/.

5」检验法

未知方差b2,假设检验/：=氏•

⑴提出假设%：〃=%.

(2)找统计量.因为未知,这时〃已不是统计量，所以不能用〃检验法,这里用

S?来代替小找出统计量：答.

S14n

(3)求临界值.对给定显著性水平a(O＜a＜l),由，分布表查得临界值，使

P{M，2}=a.

(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量/的观察值不

⑸作出判断.若同＜勒2，则接受H。;若用＞ta/2，则拒绝H。.

6.二检验法

已知期望〃，假设检验〃：/=*

⑴提出假设〃：4=*

(2)找统计量.确定样本函数的统计量：

1〃

z2=—S(^,-A)2-Z2(«)

5)i=i

⑶求临界值.对给定显著性水平仪(Ova＜l),由才2分布表查得临界值

焉(〃)与显a/2(〃)，使

尸{一之焉(〃)}="I，P{/<%%(〃)}=f

即P{沈M2(〃)V/V竟2(〃)}=1—a

22

(4)求观察值.根据给定的样本算出统计量Z的观察值Z1.

(5)作出判断.若求an(〃)</V焉(〃)，则接受”;若♦N瘟(〃)或K<

显a/2(〃)，则拒绝名•

7.厂检验法

2

已知期望，假设检验H°H=O

2

⑴提出假设HO：4=(7.

(2)找统计量

T(Xi)2

尸=詈得----------F(%，%)

(3)求临界值.对给定显著性水平a(Ovavl),查产分布表，求得七2(/，4)及

Z-a/2(四，％),使

P{/2以2(4,〃2)}=多P{FW£“2(〃1,〃2)}=£

即「{£一卬2(4,%)</〈七2(%,%)}二1一。

(4)求观察值.由所给定的样本算出统计量的值Ft.

(5)作出判断.若九/2(4，％)<《〈工/2(4,%)，则接受/；若耳之％(牛巧)

或耳右耳”2(勺，叼)，则由绝4•

四、典型例题

例1有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到:

第一批棉纱样本4=200,X=0.523kg,S]=0.218kg;

第二批棉纱样本n2=100,X=0.576kg,S2=0.176kg.

试验证两批棉纱断裂强度的均值有无显著差异（检验水平a=0.05）?如果夕=0.1

呢？

解这是两个正态总体的均值检验问题，检验4:EX=EY.

因为是大样本（勺,均较大），所以OX、DY可用S；、S；代入,近似有

_（⑺（,2、

又~NEX,3-,q~NE/A

ln2）

故YEXEY,S；F

l勺%）

由于X与丫相互独立，若:EX=EY成立，则

又—F〜N（0,J幺

Y_y

故u=.〜N（0』）

〃2

因此,只要是大样本（容量较大时），不管总体x、y是否服从正态分布，是否

力x=。八都可以按〃检验法，已知的情况去做近似检验.

由已知得4=200,X=0.523,S,2=0.2182

2=100,X=0.576,=0.1762

必“又一卜0.532-0.576

区+昆10.2182।0.1762

忖十%V200+100

当a=0.05时,查表得”=1.96.

因|〃|=1.88<ua/2=1.96,故H。被接受，即在检验水平a=0.05下可以认为这两

种棉纱的强力值无显著差异.

当a=0.10时渣表得“2=L65.

因问=1.88>%2=L65,〃落入拒绝域,应否定修，即在检验水平。=。1°下

可以认为这两种棉纱的强力值有显著差异.

例2某农业试验站为了研究某种新化肥对农作物产量的效力，在若干小区

进行试验.测得产量（单位:kg）如下：

施肥343532333034

未施肥29273228313231

设农场的产量服从正态分布，检验该种化肥对提高产量的效力是否显著？

（a=o.io）

解设x为施肥后的产量，y为施肥前的产量.已知X~N（4

（4届）.由于总体方差端和均未知，应先对方差进行检验，即%,

Hx:cr：*b；.

16_17

由题意可知反=_£Xj=33,「=一£工=30

6i=i7,=|

1617

S：=W/X,-N）2=3.2,s^=-x（y,-y）2=4

>；=10/=1

Q232

F=4=—=0.8

S；4

已知a=0.1，F=6,%=7,查表得月乂勺-L-1）=^0.05（5,6）=4.95.

因为尸<玲。5（5,6）,所以接受“°,即认为端=蟾.

提出检验问题，即：〃]<〃2，H：：冉>〃2

t=1•1-^-=2.828

（--1居+色-1应斯+公

V（勺+%-2）

己知（a=0.10）,查表得〃（"+巧-2）=5（11）=1.3634.

因为/=2.828>小（11）,所以拒绝”。，即认为该种化肥对提高产量的效力显

著.

例3某种配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数据是:10,53,46.按照

某种遗传模型，其频率之比应为〃2：2〃(1-〃)：(1-〃)2,问数据与模型是否相符?

(a=0.05)

解令四=〃2,〃2=2〃(1-〃),〃3=(1-〃)2,欲检验的假设为〃。：数据与模型

相符.

设观察到的三类数量分别为人〃2,%，其中q+%+%=〃，则P的似然函数为

“p)=(p2[2p(l—p)『[(1一(勺=10,n2=53,713=46)

由于强3=旦+竺+±+2/旦=。

dppp\-p1-p

解得〃的极大似然估计为〃=与产=与詈=。335

从而P1=『=().3352=().112

p2=2〃(l-p)=2x0.335x0.665=0.45

23=(1—〃了=0.6652=0.44

统计量观测值为

Z=2-------------------

1=1〃pj

_(10-109x0.112)2(53-109x0.45『(46-109x0.44)2

109x0.112--109x0.45109x0.44

=0.801

已知a=0.05,自由度〃—1—1=3—2=1,查表得忌。5⑴=3.84

由于*=0.801<3.84=/⑴，故接受名,即数据与模型相符.

例4设某次考试考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算

得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在a=0.05时是否可以认为这次考试全体

考生的平均成绩为70分？

解设该次考试考生的成绩为X，则X〜NJ。?).把从X中抽取的容量为

的样本均值记为X，样本标准差记为S,检验假设4:〃=70,%:〃X70.则

Ml=-，1-M2(〃-1)

己知〃=36,N=66.5,S=15,r0975(36-l)=2.0301，所以

=S(35)=2.0301

所以接受假设“。：〃=70,即a=0.05时，可以认为这次考试全体考生的平均成绩

为70分.

例5某一指标服从正态分布，今对该指标测量8次，所得数据为:68,43,70,65,

55,56,60,72.在以下两种条件下，检验片):CF2=82(«=0.05).⑴总体均值〃未知;(2)

总体均值4=60.

解⑴检验假设〃。：。2=82,用/检验,得

■—=54.875,(n-l)S2=^(X,-X)2=652.8

8i=|/=1

如2(〃-1)S?652.8I—

故Z二J二,点02

查表得忌侬(8)=17.535,卷75⑻=2.180.因总必⑻>/>彳嬴⑻，故接受

”0.

(2)检验假设"°:〃=8?,而〃=60，故

("l)S2=Z(X,-〃)2=663

r=l

(/7-l)S2663

=10.4

―不_―V

由于Zo.O25(8)>r>由975(8)，故接受H。.

例6从某锌矿的东西两支矿脉中，各抽取容量分别为9和8的样本分析后,

计算其样本含锌量(％)的平均值与方差分别如下：

东支》=0.230,S；=0.1337,%=9

西支F=0.269,S?=0.1736,n2=8

假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，对于。=0.05,能否认为两支矿

脉的含锌量相同？

解设东支矿脉的含锌量为x,x〜西支矿脉的含锌量为y.y~

N（〃2，。；）；其中从、外均为未知参数.

⑴检验假设Hoi:才=8:of工6.则

已知勺=9,S：=0.1337,々=83；=0.1736,计算得

01337

F=-------=0.7702

0.1736

查表得心（8,7）2。,小（8,7）=百花;而

因娱V尸＜4.90、故接受假设”01,即认为苗=田.

(2)检验假设“02:M=〃2,"|2:MW〃2，这属于i检验,检验统计量为

/=/―卜丐(-2)〜6+〃「2)

-1)S；+(々-1)S；V十%

已知nt=9,S：=0.1337,n2=8,S；=0.1736,计算得

78x0.1337+7x0.1736V17

查表得伉£15）=2.1315.因“V2.1315,故接受假设即认为两支矿脉的

含锌量相同.

"例7在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽糖干燥过程中会形

成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA）,于是80年代初期开发了一种新的麦芽糖干燥

过程.下囿给出分别在新老两种过程中所形成的（NDMA）含量（以1（）亿份中的份数

计）.

老过程645565564674

新过程212210321013

设两样本分布来自正态总体，两总体方差相等，两样本独立，分别以从、出记

对应于新老两过程的总体均值，检验假设

"o:M-必=2,:一生>2（a=0.05）.

解该检验的拒绝域为

Sw、一十一

V4%

已知〃]=12,%=12,a=0.05，查表得心（q+%-2）=1005（22）=1.7171.

由已知数据计算得

N=5.25,F=1.5

(〃「l)S；+(〃2-l)S；_10.25+6.5

〃i+%一123

=11.87>1.7171

由于，在拒绝域中，故应拒绝〃（）.

例8某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类产品,各在一周的产品中取

样进行分析比较，取使月原料A生产的样品220件，测得平均重量为2.46kg,样本标

准差S=0.57kg;取使用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55kg,样本标

准差S=0.48kg,设这两个样本独立，问在a=0.05下能否认为使用原料B的产品

平均重量比使用原料A大？

解检验假设H（）：-人=0,■：从-4<°・

这个问题是大样本问题，故可近似认为统计量：

z=4^~N（ai）

\尸

于是检验的拒绝域为

已知a=0.05,Zo05=1.65，所以

_2.46—2.55—0_,_

Z=,=-1.7z6<-1.65

0.5720.482

V220+205

由于Z落在拒绝域中，故应拒绝即认为使用原料B的产品平均重量比使

用原料A的大.

例9某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（单位:。）.今在生产的

一批导线中取样本9根，测得5=0.007,设总体为正态分布，问在a=0.05下能否

认为这批导线的标准差显著地偏大？

解检验假设:a<0.005,0.005.

该检验的拒绝域为

、（A?-l）S22，J

W=f-2%t〃T），

已知a=0.05,〃=9,/（〃-1）=15.507,所以

8xOK"

=15.68>15.507

0.0052

由于/落在拒绝域中，故应拒绝”。,即在a=0.05下这批导线的标准差显著

偏大.

例10—自动车床加工零件的长度服从正态分布车床正常时，加

工零件长度为10.5,经过一段时间生产后，要检验这车床是否正常工作，为此抽取

该车床加工的31个零件，测得数据如下：

零件长度10.110.310.611.211.511.812.0

频率13710631

若加工零件长度方差不变，问此车床工作是否正常?（a=0.05）

解检验假设”。：〃=4=105H\：%=10.5.则

于是检验的拒绝域为

已知〃=31,计算得X=11.08,5=0.516.从而

|X-A>|JH.08-10.5|

=6.26

S/G10.516731

查表得%2(〜1)=^0.025(3。)=2.0423.

由于"=6.26>仇2s（30）=2.0423,故拒绝H。.即可以认为该车床工作不正常.

例11某车间的白糖包装机包装量X〜NJ。。?）,其中，〃=500g,/未知.

一天开工后为检验包装量是否正常，抽取了己经装好的糖9袋,算得样本均值

X=504g，样本标准差为S=5g，试确定包装机工作是否正常?（a=0.01）

解检验假设〃。：;/=500,H、：”500（可省略）.样本均值X=504，样本方差

S?=25.于是

/=X-a=504-500=24

V2579

已知仪=0.01,〃一1二8,查表得以2（〃-1）=dK8）=3.3554.

由于M<%2（〃T），故接受“。•可认为包装机二作正常•

例12某市居民上月平均伙食费为235.5元，随机抽取49个居民，他们本月的

伙食费平均为236.5元，由这49个样本算出的标准差S=3.5元.假设该市居民月伙

食费X方差正态分布，试分别在a=0.05和a=0.01时，检验”本月该市居民平均

伙食费较之上个月无变化”的假设.

解检验假设/：〃=2355”1：4*235.5.

由于方差，未知，故采用“佥验法，其拒绝域为

已知〃=49,X=236.5,S=3.5，计算得

闻(236.5—235.5)

=2

klS3.5

由于49-1=48>30,故可用ua/2代替勒2（49-1）.

当a=0.05时，/025=196<2,故应拒绝“0.即本月该市居民平均伙食费较

之上个月有显著升高.

当a=0.01时，/此=2.58>2，故接受H。.即本月该市居民平均伙食费较之

上个月无显著变化.

例13一位研究者声称至少有80%的观众对商业广告感到厌烦，现在随机询

问了120位观众，其中70人同意此观点，在a=0.05时，问是否可同意该研究者的

观点？

解把“观众对商业广告感到厌烦”（即"20.8）作为原假设”。.本问题的归

结为在a=0.05时，检验假设Ho：pNP。=0.8,Hl:p<pQ=0.8.

1第，个观众同意此观点

设随机向量(/=1,2,...,120)

0第i个观众不同意此观点

在”0为真时・，X],X2,…,X|20为来自总体服从两点分布8（1,0.8）的一个样本，且

EX,=0.8,OX：=0.16.由于〃=120较大,由中心极限定理可知

Ex「npo

八Ei"

于是检验的拒绝域为W=〃=厂<-%

120

已知〃=120,ZX产70,1%=0.8,w005=1.65，计算得

1-1

70-120x0.8

=-5.93<-1.65

7120x0.8x0.2

故拒绝H。,即在此数据的基础上，不能同意该研究者的观点.

五、课本习题全解

9-1①提出假设”。：刈=网=32.05.

②找统计量.〃=工华~N（0,1）.

07n

③求临界值.对给定的。=0.05渣表得I*®二196;对给定的a=0.01，查表

得“0.005=2.575.

④求观察值.X=31.13,//=-2.05.

⑤作出判断.当a=0.05时，网=2.05>1.96,所以拒绝名；当^=0.01时,

|«|

=2.05<2.275，所以接受儿.

9-2①提出假设”。：广〃。=5.

②找统计量上半〜N（0,l）.

③求临界值.对给定的a=0.01,查表得“0.00,=2.575.

④求观察值.X=5.32,〃=3.2.

⑤作出判断.当a=0.01时，问=3.2>2.275,所以拒绝名.

9-3⑴①提出假设"。：〃=〃o=5O.

②找统计量.〃二二华~N（0,l）.

cr/\in

③求临界值.对给定的a=0.05渣表得w0（25=1.96.

④求观察值.〃=2.25.

⑤作出判断.当。=0.05时,W=2.25>1.96,所以拒绝H..

⑵①提出假设"o：〃=〃o=5O.

②找统计量./=工华~

r(n-l).

S/yjn

③求临界值.对给定的a=0.05渣表得/0025（8）=231.

④求观察值.又=48.5,S=2.5/=-1.8.

⑤作出判断.当a=0.05时，M=1.8<2.31、所以接受名.

9-4①提出假设"O：〃=4=2.7.

②找统计量.公-X---—-〜氏t(n-(

S/Jn0-

③求临界值.对给定的a=0.05，查表得r0（ps（29）=2.04.

④求观察值.S=—5,|r|=0,18——.

〃7^2x2.05/730

29

⑤作出判断.当a=0.05时，M<2.04，所以接受名.

9-5①提出假设"o：4二%.

②找统计量.〃=工华~N（0,l）.

07n

③求临界值.对给定的a=0.01，查表得Mog=2.575.

④求观察值.“=1.5.

⑤作出判断.当a=0.01,时=1.5<2.575，所以拒绝40.

9-6⑴①提出假设儿：〃=〃0=100.

②找统计量.〃二二半~N（0,l）.

③求临界值.对给定的a=0.05渣表得=1・96.

④求观察值.其=99.9,u=0.25.

⑤作出判断.当a=0.05时,I"=0.25<1.96,所以接受40.

⑵①提出假设儿：/=其=］灸.

②找统计量.Z2=FZ（Xj-〃）2~72（〃）.

i=l

③求临界值.对给定的a=0.05渣表得总心（9）=19.0,/切⑼=2.7.

④求观察值./=8.2.

⑤作出判断.当。=0.05时,2.7</<19.0，所以接受％.

9-7①提出假设“0：。2=其=0.04.

②找统计量.Z=jfx—又）2~/（〃一］）

°0/=1

③求临界值.对给定的a=0.05,查表得点您（14）=26.1,总97504）=5.63.

④求观察值./=1.84.

⑤作出判断.当a=0.05时,/<5.63,所以拒绝名,有显著差异.

9-8①提出假设"（）：。=%=9.

②找统计量./二丁之肉一反尸〜/（〃_］）

。0i=1

③求临界值.对给定的二=0.05,查表得ZO.O2S（9）=19.0,ZO,O75（9）=2.7.

④求观察值.区=62.9,/=£（Xj-62.9）2.

9,-.i

⑤作出判断.当。=0.05时，2.7</<I%所以接受“。,即可认为溶化时间

的标准差为9.

9-9（1）①提出假设HO：〃=〃O=5OO.

②找统计量.〃二工半~以0,1）.

cyIyjn

③求临界值.对给定的a=0.05,查表得W0O25=1.96.

④求观察值.-=501.3,〃=0.82.

⑤作出判断.当a=0.05时，问=0.82<1.96,所以接受“°,即包装机工作

正常.

⑵①提出假设儿：〃=4。=2.7.

②找统计量.f=(〃-1)

S/y/n'7

③求临界值.对给定的夕=0.05渣表得办加⑼=2.26.

④求观察值.X=501.3,S2=31.57,|r|=0.73.

⑤作出判断.当a=0.05时，“<2.26,所以接受名.

9-10⑴①提出假设“0：/=加=25.

②找统计量./2=-9产~Z2(%).

5)M

③求临界值.对给定的a=0.05,查表得总侬（10）=20.5,/97s（10）=3.25.

④求观察值.Z2=12.

⑤作出判断.当a=0.05时，3.25<20.5,所以接受〃（）.

(2)①提出假设Ho:o-=cr0=5.

②找统计量./二;12〃⑴-对〜/,—1)

b()j=l

③求临界值.对给定的a=0.05渣表得2.7.

④求观察值.X=501.3,S2=31.57,z2=11.37.

⑤作出判断.当a=0.05时，2.7</<19,所以接受儿.

9-11①提出假设H0：z/-z/2=0.

②找统计量.

③求临界值.对给定的a=0.05,查表得W0XG5=1.96.

④求观察值.“二排

⑤作出判断.当a=0.05时，网＞1.96,所以拒绝名.

0

9-12⑴①提出假设儿：筌=1.

b2

-ZIlXj—幻2

一!旧

②找统计量.F=4〜Fg-1).

4TM

③求临界值.对给定的a=0.05查表得

笈皿(5,5)=715,597s(5,5)=0.14

1Ic2

④求观察值.S；=—x39.33,S；=—X269,尸=T=0.146.

55S1

⑤作出判断.当a=0.05时，0.14〈尸＜7.15,所以接受名.

⑵①提出假设，。：4-"2=0・

②找统计量./尸二的一外）〜2）.

Swp+工

③求临界值.对给定的a=0.05渣表得100^（10）=2.23.

④求观察值.X=0.14067,F=0.13883"=0.57.

⑤作出判断.当a=0.05时,M=0.57v2.23,所以接受名.

9-13⑴①提出假设儿：M=l.

%

-42（X「乃2

②找统计量.卜'---------------”3-1,省-1）.

-力2

③求临界值.对给定的a=0.01,查表得（磔（8,9）=6.69,%9s（8,9）=

1

7.34

④求观察值.S：=64,S；=226,b=3=028.

S2

⑤作出判断.当a=0.01时，—<F<6.69,所以接受H。.

7.34

(2)①提出假设，0:”-4=0.

②找统计量.…[2).

SWP+工

V4%

③求临界值.对给定的a=0.01渣表得10Go507)=2.9.

OO

④求观察值.X=533,Y=562,t=,.

8x64+9x22611

V17V9+10

⑤作出判断.当a=0.01时，”〉2.9,所以拒绝名.

9-14①提出假设4°:从一〃2=。•

②找统计量.〜

③求临界值.对给定的。=0.05,查表得办值。1)=220.

0.051

④求观察值.X=17.681,7=17.630J=

/0.018+0.02

v1T

⑤作出判断.当a=0.05时,M<2.2,所以接受“0.

9-15(1)①提出假设儿:M=l.

%

②找统计量.“二-二：----------”(勺-1,%-1).

③求临界值.对给定的a=0.10，查表得

凡抽(8,5)=4.82,%5(8,5)=义.

3.09

11c2

④求观察值.5；=—x3.69,S；=—x19.2,尸=*=0.12.

85so

⑤作出判断.当a=0.10时，/v',所以拒绝％.

3.69

⑵①提出假设名：W=1.

0*2

一1丑Vi（Xj-〃］）2

②找统计量.R=X----------------/（々，小）.

下（-2

%77

③求临界值.对给定的a=0.10,查表得F（9,6）=4.06,F（9,6）=—

D05O953・3^^

④求观察值.F=0.128.

⑤作出判断.当a=0.10时，/＜」一,所以拒绝名.

3

9-16①提出假设/：〃-〃2=0.

②找统计量.-x—yy2）.

Swp+L

va%

③求临界值.对给定的号=0.05渣表得kS5（13）=2.16.

0.24-0.13

④求观察值.

/6x0.1048+7x0.0272h1_

V13V7+8

⑤作出判断.当a=0.05时,“＜2.16,所以接受儿.

2

9-17①提出假设〃0：工=1.

%

L1Z%（X,-W

②找统计量.F=3_—------］）.

」7之（匕-力

〃2-1/=1

③求临界值.对给定的a=0.05渣表得/；（6,7）=51.2,/＜（6,7）=—.

W25）975J•，

④求观察值.S-=0.1048,S；=0.0272,F=#3.85.

⑤作出判断.当。=0.10时，2•〈尸＜5.12,所以接受4.

9-18根据题目要求,考虑假设检验“0:尸(x)=玲(工)，乩:F(x)力4(x).其中与

服从泊松分布淇分布律为

P{X=k}=—e-A(火=0,1,2,…)

之的极大似然估计为样本均值反，其观察值为

1

X=(0+65+444-9+4)=0.61

200

则统计量为

z20.7853

金明

其中〃=200,p,是按2=0.61的泊松分布律计算出的X的取值为

0,1,2,3,4

这五种情况的概率.

查表得Zo,05(4)=9.49>/,故接受H°.

9-19根据题目要求,考虑假设检验/：F(x)=玲(x)淇中外服从等概率分布淇

分布律为

p[X=k}=-e-z(2=1,2,,6)

6

由观测数据得〃=120,〃〃,.=20,则统计量为

/=Y^—^-=—(9+36+1+0+25+25)=4.8

<=i咆20

其中〃=120.查表得扁(5)=11.1>/,故接受I.

六、自测题及答案

1.设总体X〜N(〃Q2)，X，X2，,X"是来自X的样本，记元y'tX”：

ni=l

力(Xj-X)2，当JU和/未知时，则

1=)

(1)检验假设H。://=//0所使用的统计量是.

(2)检验假设H。:a2=其所使用的统计量是.

2.设总体X服从正态分布,方差/未知，对假设

"。：〃=外,修：〃尸也进行假设检验时,通常采取的统计量是，服从

分布，自由度是.

3.在/检验时，用统计量z2=5T产，若&d=反时用检验,

(J

它的拒绝域为.若工区时，用检验,它的拒绝域为

4.设总体X〜8(〃,p),设假设检验/：〃二Po；M：〃wpo的拒绝域为W=

{X《G}U{XNG}，(G<G)，则犯第一类错误的概率为；犯第二类错

误的概率为.

5.某加工厂生产一批轴承，质量检查规定,废品率不超过3%可以出厂,否则不

能出厂.现从这批产品中抽查100件,发现有5件废品.为判断这批产品能否出厂,

要求检验的假设为"。：〃=0.03;耳：〃>0.03;在显著性水平a下,选定的统计量

为，其观测值为；该统计量近似服从分布,拒绝域

为.

6.设总体X〜Nj,/),〃和cr2未知，假设检验=•若采

用t检验法，则在显著性水平a之下，其拒绝域为().

(A)(B)卜|即"2(〃-1)

©|"a(I)(D)卜L-1)

7.设又和S?是来自正态总体的样本均值和样本方差，样本容量为

〃,|X一闯>/005(〃-1)我为().

(A)"():〃=〃。的拒绝域(B)〃0：〃=〃。的接受域

(C)〃的一个置信区间(D)人的一个置信区间

8.设总体其中O-.2未知，假设检验儿：4w1,必：4>1.若取得显

著性水平a=0.05,则其拒绝域为().

(B)又>1+()05(〃-1)竟

(A)|X-l|>u0,05

(C)|X-l|>/005-^r(D)X<l-r005(/?-l)-^r

9.对正态分布的数学期望”进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受

"。：4=〃。,那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是().

(A)必接受”。⑻可能接受“°,也可能拒绝

“。

(C)必拒绝Ho(D)不接受H。，也不拒绝H。

10.自动包装机装出的每袋重量服从正态分布,规定每袋重量的方差不超过a,

为了检查自动包装机的工作是否正常，对它生产的产品进行抽样检查，假设检验

22

H0:a<a,Hl:<r>a;a=0.05,则下列命题正确的是().

(A)如果生产正常，则检测结果也认为生产正常的概率为0.95

(B)如果生产不正常，则检测结果也认为生产不正常的概率为0.95

(C)如果检测结果认为生产正常，则生产确实正常的概率为0.95

(D)如果检测结果认为生产不正常,则生产确实不正常的概率为0.95

11.设九乂2,.,X”为正态总体N(〃,l)中抽取的样本，在显著性水平a下检验

儿：〃=05：〃工0).取拒绝域为W=((X„X2,,X〃):册冈训酒｝•试求当

//=1时,所烦的第二类错误的概率.

12.甲、乙两台机床生产同一型号的滚球,现从这两台机床的产品中分别抽取

8个和9个，测得滚球珠的直径(单位:mm)如下：

甲机床15.014.515.215.514.815.115.214.8

乙机床15.215.014.815.215.014.815.114.8

设滚珠直径服从正态分布，问乙机床的加工精度是否比甲机床高(a=().()5)?

13.一种元件，要求其使用寿命不得低于1000h,现在从一批这种元件中随机地

抽取25件，测得其寿命平均值为95()h,已知该元件寿命服从标准差<7=100/?的正

态分布，试在a=0.05下，确定该批元件是否合格？

14.某台机器加工某种零件，规定零件长度为100cm，标准差不得超过2cg每

天定时检查机器运行情况，某日抽取10个零件，取到平均长度又=101cm,样本标

准差为S=2cm,设加工的零件长度服从正态分布.问该日机器工作状况是否正常

(a=0.05)?

15.甲、乙相邻两地段各取了50块和52块岩心进行磁化率测定，算出样本标

准差分别为S：=0.0139,=0.0053,试问甲、乙两段的标准差是否有显著差异

(a=0.05)?

16.在集中教育开课前对学员进行测验，过了一段时间后，又对学员进行了与

前一次同样程度的考查，目的是了解学员两次考试的分数是否有差别(a=Q05).

从两次考卷中随机抽取12份考试成绩，如下表：

考查次数考分总计平均

第1次80.591.081.085.070.086.069.574.072.583.069.078.594078.5

第2次76.090.091.573.()64.577.581.()83.586.078.585.()73.596080.0

［答案］

1.(1)当人未知时，检验假设%:〃=以。，应选服从〃-1个自由度的，分布统计

量I=上半，其中S=X)2为样本标准差.于是/=Xj氏

(2)检验假设%:a2=，应选统计量/=牝嬖1=彳.

2.s