第二章 2.1.2　离散型随机变量的分布列(二)

2.1.2离散型随机变量的分布列(二)

【学习目标】1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用2理解两点分布和超匚何分

布.

理题导空预习新知夯实基础

知识点一两点分布

随机变量X的分布列为

X01

p1一〃p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称片P(X=1)为成功概率.

知识点二超几何分布

思考在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式.

套案**

口菜doo-

梳理一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则P(X=A)

h'F」",Z=01,2,…，m,其中阳=i而n{M,〃},且“WN,MWN,〃，M,N^N”,称分

IN

布列

X01•••m

C?./C%4CQ启!,

p

ex-c%C%

为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分

布.

类型一两点分布

例I(1)某运动员射击命中10环的概率为0.9,求他在一次射击中命中10环的次数的分布列;

(2)若离散型随机变量X的分布列为

X01

P9c2-c3-8c

求出c,并说明X是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？

考点离散型随机变量的分布列

题点两点分布

解(1)设该运动员射击一次命中10环的次数为X,

则P(X=D=0.9,P(X=O)=1-0.9=0.1.

X01

p0.10.9

I2

(2)由(9c2—c)+(3—8c、)=l,解得c=g或c=,

i?i

又9/-c20,3—8c20,所以dWcW1所以c=、.

VOJ

X的取值为()/，故X服从两点分布，成功概率为3—8c=；.

反思与感悟两步法判断一个分布是否为两点分布

(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.

(2)验概率：检验尸(X=O)+P(X=1)=1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是

两点分布，否则不是两点分布.

跟踪训练1已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行

检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列.

考点离散型随机变量的分布列

题点两点分布

C&)4949I

解由题意知，X服从两点分布，2乂=0)=忒=与，P(X=1)=1—而.所以随机变量X

的分布列为

X01

491

p5050

类型二超几何分布

例2一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球

有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.

⑴求取出的3个球的颜色都不相同的概率；

⑵记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.

考点超几何分布

题点求超几何分布的分布列

解(】)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数〃一日二20,取出的3个球的颜色郴不相

同包含的基本事件的个数为aaci=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为2=条=

4U

3

To-

(2)由题意知X=0,1,2,3.

P(X-O)-CJ-2O,?('-1)一而一20，

P(X-2)-TF-20,P(X-3)-CC20

所以X的分布列为

X0123

1991

P20202020

引申探究

1.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量明求随机变量〃的分布列.

r21

解由题意可知，7=0.1,服从两点分布.又P(〃=l)=34，所以的分布列为

01

11

P22

2.将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取I个球”，

其他条件不变，结果又如何？

解(1)取出3个球颜色都不相同的概率

C|XC1XC|XA51

PL_?-------^6-

(2)由题意知X=0,1,2,3.

331

P(X=0)=m=0,

C1X3X3X33

P(X=1)=658,

C?C1X3X33

P(X=2)=~?-85

所以X的分布列为

X0123

1331

P8888

反思与感悟超几何分布的求解步舞

(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由其有明显的两部分组成，如“男生、

女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分.具有该特征的概率模型为

超几何分布模型.

(2)算概率：可以直接借助公式尸(X=&)=’r；："求解,乜可以利用排列、组合及概率的知识

求解，需注意借助公式求解时应理解参数M,N,〃，k的含义.

(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来.

C.P(X=4)D.尸(XW4)

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

答案C

c-xcS

解析X服从超几何分布，基本事件总数为cl?,所求事件数为cyc-x,...p(x=4)=一

3.若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=0.8,P(X=l)=0.2.令Y=3X-2,则尸”=一

2)等于()

A.0.8B.0.2C.0.4D,0.1

考点离散型随机变量的分布列

题点两点分布

答案A

解析因为y=3x-2,所以x=/v+2).当丫=-2时，x=o,所以p(y=-2)=p(x=o)=

0.8.

4.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1

人的概率为.

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

答案?

解析设所选女生数为随机变量X,则X服从超几何分布，所以〃(X4l)=P(X=0)+P(X=

I、C？CkCjCi4

1)=WH=M

5.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2

个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求拍奖人

所得钱数的分布列.

考点超几何分布

题点求超几何分布的分布列

解设抽奖人所得钱数为随机变量或则4=2610.

*2)=品普，

尸&=6)=而不

尸(10)=瓦=/

故。的分布列为

*-*2610

28161

P

454545

1.两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试脸结果只有两种可能，要注

意成功概率的值指的是哪一个量.

2.超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N,M和〃

就可以根据公式:

P(X=A)=Cf尸”求出X取不同值k时的概率.学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合

条件以及组合知识理解M,N,〃，&的含义.

一、选择题

1.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(

AClCh

A.CBB-CT

ekei

C.I"cl?D--~

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

答案D

设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则尸(X23)=P(X=3)+P(X=4)=^

解析

CIOs

2.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是()

A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X

B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X

某射手的命中率为()8现对目标射击I次，记命中目标的次数为X

D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次

数

考点超几何分布

题点超几何分布的概念

答案B

解析由超几何分布的定义可知B正确.

3.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()

A.京B.表C.&D.忐

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

答案c

解析记X为2张中的中奖数，则p(x=2)=罂=志.

4.10名同学中有。名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率碳,

则a等于()

A.1B,2或8C.2D.8

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

答案B

解析由题意知，阴黑吕

解得4=2或8.

5.一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球

的个数记为X,则下列概望等于美探的是()

A.P(0vXW2)B.P(XW1)

C.P(X=1)D.P(X=2)

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

答案B

解析本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率.

6.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是云的事件

为()

A.恰有1个是坏的B.4个全是好的

C.恰有2个是好的D.至多有2个是坏的

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

答案C

解析“X=k”表示“取出的螺丝钉恰有2个是好的”，

C4c尸1311

则P(X=A)=-^—伏=1,234).所以P(X=1)=而，P(X=2)=行，尸(X=3)=》P(X=4)=不

故选C.

7.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次

数，则?(X=3)等于()

37217

AToBioC-40D-40

考点离散型随机变量分布列的性质及应用

题点排列、组合知识在分布列中的应用

答案D

解析“X=3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次挣到中奖彩票，故P(x=3)=^=

A10

7X6X3_7

10X9X8=55'故选D.

二、填空题

8.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于

30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁

的人数，则尸(X=l)=.

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

答案H

解析易知p(x=i)=甯

9.在A,8两个袋中都有6张分别写有数字0,1,234,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片,

两张卡片上的数字之和记为X,则P(X=7)=.

考点离散型随机变量分布列的性质及应用

题点排列、组合知识在分布列中的应用

答案|

_41

解析P(X=7)=$X6

10.有同一型号的电视机100台，其中一•级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品

不多于1台的概率为.(用式子表示)

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

clc4+cm

答案~-

解析二级品不多于1台，即一级品有3台或4台.

11.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑

球得1分，设得分为随机变量屐则428的概率.

考点超几何分布

题点利用超几何分布求概率

5

答案

6

C^Cj05

解析由题意知P(428)=l—P4=6)—a<=4)=1

宏-CC6,

三、解答题

12.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同

学只能背诵其中的6篇\试求:

(I)抽到他能背诵的课文的数量X的分布歹I」；

⑵他能及格的概率.

考点超几何分布

题点求超几何分布的分布列

解(1)X的所有可能取值为0,123.

P(x=o)=鲁』，

Cjta_3

P(X=1)=Go-io'

clc\1

P(X=2)=Cjo~T

cia1

P(X=3)=

而=6-

所以X的分布列为

X0123

13X

P

30K)6

112

(2)他能及格的概率为P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=5+d='

13.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故

障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出

的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：

品牌甲乙

首次出现故障

0yW11aW2x>20<x^2x>2

时间M年)

轿车数量(辆)2345545

每辆利润(万元)1231.82.9

将频率视为概率，解答下列问题:

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概逖；

（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X，生产一辆乙品牌轿车的

利润为X2,分别求X”X2的分布列.

考点离散型随机变量的分布列

题点求离散型随机变量的分布列

解（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件4,则P（4）=2F+=3*.I

（2）依题意得，X的分布列为

X1123

139

P

255010

X2的分布列为

X21.82.9

19

PTolo

四、探究与拓展

14.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白

球的概率是台从袋中任意携出3个球，记得到白球的个数为X,则P（X=2）=.

考点