概率一轮复习

古典概型

考纲展示A

1.理解古典概型及其概率计算公式.

2.会计算•些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.

考点1古典概型的简单问题

第田［步□顾基础熟悉教材固根基

自读自填

1.基本事件的特点

(D任何两个基本事件是的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和.

2.古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称占典概型.

(1)试验中所有可能出现的基本事件.

(2)每个基本事件出现的可能性.

3.如果一次试验中可能出现的结果有〃个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率

都是;如果某个事件力包括的结果有〃，个，那么事件力的概率尸(用=.

4.古典概型的概率计算公式

2(.4)=.

链1接阙材

(1)［教材习题改编］从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，基本事件共有个.

(2)［教材习题改编］抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现正面朝上的点数大于2且小于5的概率为—

㊂易I错制题

古典概型：关键在于基本事件的计数.

从1,3,5,7中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是—

第且芈但生练透基础送分型考点

［典题1］(1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球、5个红球.从袋中任取2个球，所

取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为()

⑵某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如卜表：(单位：人)

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

①从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学4,4，4,4,4,3名女同学〃，即员.

现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求4被选中且8未被选中的概率.

考点2较复杂古典概型的概率

古典概型：基本事件的个数；古典概型概率公式.

(1)［2015•云南昆明模拟］抛掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)

一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为.

(2)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成，小明不小心忘记了

密码中4个数字的顺序，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是.

第国步师生共研一重点保分型考点

［典题2］某市力，8两所中学的学生组队参加辩论赛，力中学推荐了3名男生、2名女生，6中学推荐了3名

男生、4名女牛.，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、

女生中班机抽取3人组成代表队.

(1)求月中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.

第因L芈速踪训k练全题点提技能

为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2000万张的熊猫优思卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金

卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四」I名胜景区旅游,

Q19

其中7是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有可持金卡，在省内游客中有可持银卡.

TJJ

(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率：

(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

考点3古典概型的交汇命题

第，L步^^探明常考常新型考点

［考情聚焦］古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新

颖，考查知识全面，能力要求较高.

主要有以下几个命题角度：

角度一

古典概型与平面向量相结合

［典题3］已知向量a=(必—1),6=(3,y),其中x随机选自集合{-1,1,3},y随机选自集合己知,9}.

⑴求a〃6的概率；

⑵求a_Lb的概率.

角咬二

占典概型与直线、圆相结合

［典题4］［2017•河南洛阳统考］将一颗骰子先后抛掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+"=0与圆(X-2)2

+/=2有公共点的概率为.

角度三

古典概型与函数相结合

［典题5］已知关于x的一元二次函数f{x)=af—4Z?x+1.

(L)设集合片{1,2,3}和g{-1J2,3,4},分别从集合P和0中随机取一个数作为a和b,求函数y=f\x)

在区间［1,+8)上是增函数的概率；

x+y—8W0,

(2)设点(a,6)是区域＞0,内的随机点，求函数y=f(x)在区间［1,+8)上是增函数的概率.

」＞()

角度四

古典概型与统计相结合

［典题6］某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工.根据这50名职工对该部

门的评分，绘制成频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为［40,50）,［50,60）,…，［80,90）,［90,100］.

⑴求频率分布直方图中a

⑵估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;

⑶从评分在［40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在［40,50）的概率.

几何概型

考纲展示A

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.

2.了解几何概型的意义.

考点1与长度（角度）有关的几何概型

第田［步□顾基础熟悉教材固根基

H读自原

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模

型，简称几何概型.

2.几何概型的两个基本特点

（1）无限性：在一次试验中可能出现的结果

⑵等可能性：每个试验结果的发生具有

3.几何概型的概率计算公式

%、构成事件月的区域长度面积或体积

"如一试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积

链接教材

［教材习题改编］在区间［-3,5］上随机取一个数人则［1,3］的概率为

㊂

儿何概型的特点：等可能性；无限性.

给出下列概率模型：

①在区间［—5,5］上任取一个数，求取到1的概率；

②在区间［—5,5］上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；

③在区间［-5,5］上任取一个整数，求取到大于1的数的概率；

④向一个边长为5cm的正方形/物力内投一点R求点2与正方形/风力的中心的距离不超过1cm的概率.

其中，是几何概型的有__________.（填序号）

第包底自生练透基础送分型考点

［典题1］⑴在区间［0,2］上随机地取一个数X,则事件“一IWlog,Q+；）W1”发生的概率为（）

3211

B.-C.-D-4

JJ

（2）［2017•河北衡水一模］在长为12cm的线段上任取一点C,现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB

的长，则该矩形的面积大于20cm°的概率为（）

1124

A-B.-C.TI）.7

b33□

⑶如图所示，在直角坐标系内，射线。7落在30°角的终边上，任作一条射线如，则射线勿落在Ny”内的

概率为________

考点2与体积有关的几何概型

第也步师生共研重点保分型考点

［典题2］［2017•山东济南一模］如图，长方体力吸》一〃中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点

在三棱锥4一4做内的概率为—

第且步跟踪训练练全题点提技能

1.在棱长为2的正方体ABCHBCR中，点。为底面力攻力的中心，在正方体力a》一45G4内随机取一点P,

则点〃到点。的距离大于1的概率为.

2.［2017•黑龙江五校联考］在体积为/的三棱锥S一力旗的棱仍上任取一点P,则三棱锥S—"T的体枳大于*

的概率是.

考点3与面积有关的儿何概型

第田［步□顾基础熟悉教材固根基

如图所示，圆中阴影部分的圆心角为45°,某人向圆内投镖，假设他每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的

概率为

(2)［教材习题改编］如图所示，在边长为a的正方形内有不规则图形。，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形

0内和正方形内的豆子数分别为勿，〃，则图形。面积的估计值为—

儿何概型：构成事件区域的长度［面积或体积)；几何概型的概率公式.

设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数，则斜边长小于充的概率为

第照［步多角探明常考常新型考点

［考情聚焦］与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一.

主要有以下几个命题角度：

角度一

与平面图形面积有关的问题

［典题3］(1)［2017•广东七校联考］如图，己知圆的半径为10,其内接三角形48。的内角儿8分别为60°和

45°,现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形1州内的概率为()

亚R3+^3

16n4Ji

4^16n

C.------产D.------尸

3+V33+V3

x+1,x20,

⑵如图，矩形如中，点—点笈的坐标为（1,。），且点。与点〃在函数4）=f_…。

乙

的图象上.若在矩形力收力内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）

1131

A-6B-4C8D-2

角度二

与线性规划交汇命题的问题

［典题4］（1）在区间［0,1］上随机取两个数x,y,记。为事件“x+zj”的概率，.为事件“即的概率,

乙乙

则（）

A.Pi<P2<|B.

C.1<A<PiD.p><|<p-

22

⑵［2017•山东枣庄八中模拟］在区间［1,5］和⑵6］内分别取一个数，记为a和b,则方程勺一£=1（水切表示

ab

离心率小于小的双曲线的概率为（）

1151731

A一R—C—I）—

2323232

角度三

与定积分交汇命题的问题

［典题5］［2015•福建卷］如图，点月的坐标为（1,0）,点C的坐标为（2,4）,函数f（x）=f,若在矩形力砥9

内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于一

1.［2016•新课标全国卷I］某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车

站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

A.1B.JC.D.：

J乙J

2.［2016•新课标全国卷H］从区间［0,1］随机抽取2〃个数加，即，…，Xn,yi,小…，力，构成〃个数对（小，

M）,（z2,姓），…，（为，％）,其中两数的平方和小于1的数对共有勿个，则用随机模拟的方法得到的圆周率n的

近似值为（）

4〃2/?4m2m

A.-B.-C.—D.一

mmnn

3.［2015•陕西卷］设复数z=a-l）+yi（x,y£R）,若则的概率为（）

B.1+-

42n2n

八1111

C-FT以厂行

4.［2016-山东卷］在［-1,1］上随机地取一个数k,则事件“直线人=々牙与圆（x—5）2+/=9相交”发生的概

率为.

条件概率、刀次独立重复试验与二项分布

考纲展示A

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.

2.理解〃次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.

考点1条件概率

第mL步□顾基础熟悉教材固根基

（读自限

条件概率

（1）定义

DAD

设力，〃为两个事件，且尸（力）＞0,称P（引冷=77一5一为在事件力发生条件下，事件夕发生的条件概率.

（2）性质

①DW尸（倒4）W1；

②如果8和C是两个互斥事件,则尸（夙JC\A）=P（B\A）+P（C\A）.

条件概率的性质.

（D有界性:0WP（引力W1.（）

（2）可加性：如果速和C为互斥事件,则尸（加U0|4）=P（创④+2⑷力）.（）

第旦年自生练透基础送分型考点

［典题1］(1)从】，2,3,4,5中任取2个不同的数，事件力：“取到的2个数之和为偶数”，喜件所“取到的

2个数均为偶数”，则以阴4=()

112^1

A-8BqC.-D.-

(2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2

号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()

人旦B11cA口之

27242724

考点2事件的相互独立性

第田［步□顾基础熟悉教材固根基

口读司填

⑴定义：设力，〃为两个事件，如果汽必=，则称事件月与事件〃相互独立.

⑵性质：若事件［与a相互独立，则力与反7与民力与下也都相互独立，P［B\A)=

第越［步师生共研二重点保分型考点

［典题2］为了分流地铁高峰的E力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22千米的

地铁票价如下表：

乘坐里程近单位：km)0<%<66<启1212VA<22

票价(单位：元)345

现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米.已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为J,

甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为J,J

(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量f,求，的分布列.

第❸步跟踪训练练全题点提技能

在一-块耕地上种植一种作物，每季种植成本为I000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,

且互不影响，其具体情况如下表：

作物产量(kg)300500

概率0.50.5

作物市场价格(元/kg)610

概率0.40.6

⑴设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求才的分布列;

⑵若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.

考点3独立重身试验与二项分布

第田［步□顾基础熟悉教材固根基

(读自限

独立重复试验与二项分布

独立重及试验二项分布

在〃次独立重复试验中，用¥表示事

件力发生的次数，设每次试验中事件

在相同条件下重复做的〃次试验称为

定义力发生的概率为P，此时称随机变量X

〃次独立重复试验

服从二项分布，记作________，并称

夕为________

4(7=1,2,…，力表示第7次试验结

在〃次独立重狂试验中，事件1恰好

计算果,则尸(444…4)=

发生〃次的概率为〃(>=〃)=C*/(1-

公式P(4)P(4)....

0)"一”(〃=0,1,2,…，77)

P⑷

(1)［教材习题改编］某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是构造数列{a},使得a=

1第万次出现正面，^,5.

»/I口匚右记+1■&(〃仁N),则S=2的概率为________

-1第〃次出现反面，

(2)［教材习题改编］小王通过英语听力测试的概率是鼻，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率

是.

二项分布：P(X=A)=cM"(i一0)'一”(4=0,1,2,…，/?).

设随机变量h46,-则P(X=3)的值是

第区步师生共研重点保分型考点

［典题3］［2017•湖南长沙模拟］博彩公司对2016年NBA总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣

的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结

果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛.前4场，马刺队胜利的概率为第5,6场马刺队因为平均年龄大,

体能下绛厉害，所以胜利的概率降为右第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为m

(D分别求马刺队以4：0,4：1,4：2,4：3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率：

(2)随机变量I为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X的分布列.

第因L芈速踪训k练全题点提技能

某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进

行投掷实心铅球(重3kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方

图的一部分(如图所示)，J知成绩在［9.9,11.4)的频数是4.

频率

o3O

•

o25

o•22

o•20

•

o15

•

o1O

•

OO5

O•O3

•

。469

5.8.49.911.412.9

(D求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记f表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求

&的分布列.

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

考纲展示A

1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.

2.能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.

3.利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义.

考点1离散型随机变量的均值与方差

第四步□顾基础熟悉教材固根基

若离散型随机变最/的分布列为

X汨照•••Xi•••Xn

••••••

P0P:A

⑴均值：称以给=为随机变量4的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的

(2)〃(川=工［必一/加］“为随机变量/的方差，它刻画了随机变量才与其均值/用的平均程

/=|

度，其算术平方根苗〃X为随机变量才的标准差.

链I接傲I材

(1)［教材习题改编］设1〜以〃，若〃0)=4,£0)=12,则〃的值为.

(2)［教材习题改编］一台机器在一天内发生故障的概率为().1.这台机器一周五个工作日不发生故障，可获利5

万元；发生一次故障仍可获利2.5万元；发生两次故障的利润为0万元：发生三次或者三次以上的故障要亏损1万

元.则这台机器一周内可能获利的均值是万元.

(3)［教材习题改编］随机变量f的分布列为

-101

Pabc

其中a,b,。成等差数列，若以$)=；,则〃(《)=

易I错狗题

离散型随机变量的均值与方差：随机变量的取值；对应取值的概率计算.

签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则彳的数

学期望为_______.

第反步多角探明常考常新型考点

［考情聚焦］离散型随机变最的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，常与排列组合、概

率等知识综合考查.

主要有以下几个命题角度；

角度一

与超几何分布(或古典概型)有关的均值与方差

［典题1］［2017•江西吉安高三期中］近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大

气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院的50人

进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病不患心肺疾病合计

男5

女10

合计50

3

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为:

□

(1)请将上面的列联表补充完整；

(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关，说明你的理由；

(3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的1()位女性中，选出3名进行其

他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为九求S的分布列，数学期望以及方差.

下面的临界值表供参考：

0.100.050.0250.100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式/:一:'"a+c一南丁，其中〃=a+6+c+d

角度二

与事件的相互独立性有关的均值与方差

［典题2］某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取

钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之•，小王决定从中不

重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X求才的分布列和数学期望.

角度三

二项分布的均值与方差

L典题3J某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6

个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一

等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为尤求I的分布列和数学期望.

考点2均值与方差的性质及其在决策中的应用

第田［步□顾基础熟悉教材固根基

(读自限

1.均值与方差的性质

⑴夕(a¥+6)=.

(2)〃(&什力)=(a力为常数).

2.两点分布与二项分布的均值、方差

/才服从两点分布~X〜B5,2)

〃（无—

第■步师生共研重点保分型考点

[典题4][2017•山东德州模拟]十八届三中全会提出以管资本为主加强国有资产监管，改革国有资本授权经

营体制.2015年1月20R,中国恒天集团有限公司新能源汽车总部项目签约仪式在天津举行，说明国有企业的市场

化改革已经踏上新的破冰之旅.恒天集团和绿地集团利用现有闲置资金可选择投资新能源汽车和投资文化地产，以

推进混合所有制改革，使国有资源效益最大化.

①投资新能源汽车：

投资结果盈利40%不赔不赚亏损20%

1

概率

263

②投资文化地产:

投资结果盈利50%不赔不赚亏损35%

概率P

8Q

⑴当