第二章平面向量

第二章平面向量

测试七向量的线性运算（一）

I学习目标

1.理解平面向量，单位向量，零向量，相等向量，位置向量的含义；理解向量的几何表示.

2.理解两个向量共线的含义及其表示法.

3.掌握向量加法的定义以及向量加法的三角形法则，平行四边形法则和多边形法则.

4.掌握向量减法定义，能熟练作出两个向量的差向量.

5.掌握向量加法的交换律和结合律，并会运用它们进行向量运算.

II根底性训练

一、选择题

1.以下命题中正确的选项是（）

（A）两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同

（B）假设“，力是两个单位向量，那么。=b

（C）假设向量a和8共线，那么向量m8的方向相同

（D）零向量的长度为0,方向是任意的

2.如图，在平行四边形ABC。中，以下结论中错误的选项是（）

(A)AB=DC(B)AD+AB=AC

(C)丽-茄=丽(D)AD+CB=Q

3.在四边形ABC。中，演+而+瓦S=()

(A)DB(B)CA

(C)CD(D)DC

4.a.Z»为非零向量，且Ia+〃I=|a|+|〃|,那么一定有()

(A)a=Z>(B)a〃)，且〃，方方向相同

(C)a=—b(D)a〃瓦且a,方方向相反

5.化简以下向量：(1)M+前+B(2)AB-AC+~BD-CD

（3）~FQ+QP+~EF-~EM（4i苏一丽+丽，结果为零向量的个数是（）

(A)l(B)2(03(D)4

二、填空题

6.对于以下命题

①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线

④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上

其中真命题的序号为.

7.假设某人从A点出发向东走3km至点8,从点8向北走3km至点C,那么点。相对于点A的

位置向量为_____.

8.一艘船以5km的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30°,那么

船的实际速度的大小为,水流速度的大小为___.

9.如图，在UABCD中，~M=a,75d=b,用向量«,b表示以下向量在=______

A8=____

10.平面内有和点。，假设。4=a,0B=b,OC=c,=d,那么a—〃+c-d=

三、解答题

11.化简：

(1)AB-AC+BD(2)AB+CD-CB+DA

12.在单位圆中，3是。4的中点，尸。过4且PQ//Ox,MPLOx,NQlOx,那么在向量OM,

丽标庖丽丽丽苏而中.

(1)找出相等的向量：

(2)找出单位向量：

(3)找出与丽共线的向量;

⑷向量OM,ON的长度.

13.正方形A8C£）的边长为1,假设A8=a,BC=b,AC=c,求作向量a-b+c,并求出|。一b+cI.

Ill拓展性训练

14.向量“，力满足：。|=3,|。+8|=5,\a-b\=5,求|力|.

测试八向量的线性运算（二）

I学习目标

1.理解向量数乘的定义及其几何意义，掌握向量数乘的运算.

2.理解平行向量根本定理，会判断两个向量是否平行.

3.掌握轴上向量的坐标及其运算.

II根底性训练

一、选择题

I.假设3（x+3加一2仿一#=0,那么向量x=（）

（A）2a（B）-2a（C）-a（D）--a

55

2.假设而=5e,CD=-7e^.\AD\=\^C\f那么四边形八8。。是（）

（A）平行四边形（B）非等腰梯形

（C）菱形（D）等腰梯形

3.如下图，。是△ABC的边上的中点，那么向量而等于（）

反」诙

(A)-BC+-BA(B)-

22

(C)BC--BA(D)BC+-BA

22

4.向量。=e]—2e2，b=-2ei+4e2，那么向量。与力满足关系（）

Mb=2a（B）共线且方向相反（C）共线且方向相同（D）不平行

5.以下结论中正确的个数是（）

①假设1力|=2|。|,那么b=±2〃②假设b//c,那么。〃c③假设"=/"瓦那么。=b

④00=0⑤假设向量。与力共线，那么一定存在一个实数九使得

（A）0个（B）l个（02个（D）3个

二、填空题

6.化简：5（3。-28）+4（2力-3加=____.

7.与非零向量。共线的单位向量为__________.

8.数轴上的点月，B,C的坐标分别为2x,-2,x,\iAB=-3BC,那么工=____；IABI

9.向量”与b方向相反，IaI=6,Ib=4»那么。=____b.

10.在68C。中，而=〃，而=〃，AN=3NC,M为3C的中点，那么雨=

三、解答题

11.点。是△ABC边8。上一点，且5O=-8C.设试48=〃，AC=b,用向量a，b表示AD.

3

A

12.向量“，力满足，(a+3〃)一~=—(3a+2/>)»求i止：I可量a与6共线，并求IaI：l5|.

54^5

13.IaI=1,IbI=2.假设。=①，求Ia-hI的值.

ID拓展性训练

14.平面中不同的四点A,B,C,。和非零向量mb,且布=a+沙，而=5a-6b,

CD=la-2b.

(1)证明：4,8,。三点共线；

(2)假设。与b共线，证明A,B,C,。四点共线.

测试九向量的分解与向量的坐标表示

I学习目标

1.了解平面向量根本定理及其意义，会写出向量某一组基底下的分解式；

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标运算：

3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并会运用它处理向量共线问题.

II根底性训练

一、选择题

I.向量。=(4,2),向量力=(%,3),且。〃从那么x=()

(A)9(B)6(05(D)3

2.点A(0,1),B(l,2),C(3,4),那么罚一2前的坐标为()

(A)(3,3)(B)(-3,-3)

(0(-3,3)(D)(3,-3)

3.基底｛e”eii,实数x,y满足(3i—4y)ei+(2r—3y)e2=6ei+3e2,那么x—y的值等于()

(A)3(B)-3(C)0(D)2

4.在基底e?｝下，向量a=ei+2e2,/>=2的一融2,假设。〃从那么义的值为()

(A)0(B)-2

(O--(D)-4

2

5.设向量。=(1,—3),b=(—2,4),c=(―1,—2),假设表示向量4a,4b—2c,2(a-c),d的有

向线段首尾相连能构成四边形，那么向量〃为()

(A)(2,6)(B)(-2,6)

(C)(2,-6)(D)(-2,-6)

二、填空题

6.点A(l,-2)关于点B的对称点为(-2,3),那么点8的坐标为____.

7.假设M(3,-2),N(-5,—1)且诉>=•!•赤，那么尸点的坐标为_____________.

2

8.点0(0,0),4(1,2),8(4,5),点。满足而二百+1而，当点P在x轴上时，1=.

9.RABCO的三个顶点3),B(3,4),C(2,2),那么顶点D的坐标为____.

)0.向量苏二(匕12),丽=(4,5),丽二(IQQ假设A、B、。三点共线，那么攵=_____.

三、解答题

11.梯形人8co中，AB=2DC,M,N分别是。C,48的中点.设而二而二力选择基底仿，b｝,

求向量瓦丽在此基底下的分解式.

12.向量。=(3,-2),力=(-2,1),c=(7,-4),

(I)证明：向量小。是一组基底；

(2)在基底｛a,b｝下,假设c=w+yb,求实数x,，的值.

13.向量。=(1，2),6=(-3,x).假设机=2a+从n=a—3b,且，〃〃小求实数x的值并判断此间

时n与的方向相同还是相反.

14.点0(0,0),4(1,4),8(4,-2),线段A3的三等分点C,D(点C靠近A).

(1)求点C,。的坐标：

(2)假设点E相对于点B的位置向量为OC+2OD,求点£的坐标.

测试十平面向量的数量积及其运算律

I学习目标

1.理解平面向量数量积的含义及其性质和运算律：

2.理解向量在轴上的正射影定义以及和平面向量数量枳的关系：

3.会角运算律进行数量积的运算；

4.会用平面向量数量积处理垂直问题，两个向量的夹角以及向量长度等问题.

II根底性训练

一、选择题

1.假设IaI=4,\bI=3,(a,b>=135°,那么a-6=()

(A)6(B)(C)672(D)-65/2

2.laI=8,e为单位向量，〈a,e)—,那么。在e方向上的正射影的数量为()

3

(A)4A/3(B)4

(0-473(D)-4

3.假设向量a,"c满足a-b=a，c,那么必有()

(A)a=0(B)/»=c(C)a=0或b=c(D)a_L(万一c)

4.假设1a1=1,1%1=2,且(a+b)_La,那么<a,b>=()

(A)30"(B)60n(C)120A(D)150A

5.平面上三点4,B,C,假设|48|=3,|8。|=4,|0|=5,那么48,8。+8。・。4+。4・八8=()

A.25(B)-25(C)50(D)-50

二、填空题

6.。・8=—4,。在》方向上的正射影的数量为一8,那么在I。I和|加中，可求出具体数值的是____,

它的值为.

7.a,人均为单位向量，储，b)=60°,那么1。+3周=____.

8.IaI=4,I)|=1,\a-2b\=4,那么cos。〉=_____.

9.以下命题中，正确命题的序号是____.

(1)IaI2=，：

(2)假设向量心。共线，那么。•力=laiIb\,

(3)(a,b)2=(r•护；

(4)假设。•/>=0，那么。=0或b=0

(5)(a-b)•(〃+》)=IaI2—|A|2；

10.设向量a,b,c满足a+)+c=0,(a-b)±c.a_L).假设lai=1,那么nI24-IZ>I2+Ic\2

的值是__.

三、解答题

11.IaI=5,IbI=4,(a,b)—,求(a+A)•a和Ia+bI.

3

12.向量a,、满足(。一/>)•(勿+)=一4,且|a|=2,I/>I=4,求(a,h).

13.。为△AUC所在平面内一点，且满足（03-。。（08—。4）=（）,试判断△/1〃。的形状.

14.向量”，力满足：1。|=1,Ib\=2,\a-h\=V7.

⑴求Ia—2bI；

(2)假设(a+25)_L(ka—b),求实数k的值.

测试十一向量数量积的坐标运算与度量公式

I学习目标

1.掌握数量积的坐标表达式及其度量公式.

2.会用数量枳的坐标运算处理垂直，两个向量的角度，向量的长度等问题.

II根底性训练

一、选择题

1.。二(一4,3),b=(5,6),那么3/一4a・5=()

(A)83(B)63(057(D)23

2.向量a=(J5,1),b是不平行于x轴的单位向量，旦。/=4,那么)=()

(A)(坐1)(O(土孚)

(B)(-,(D)(1,0)

3.在△43C中，3(4,6),B(-4,10),C(2,4),那么△人8。是()

(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形

4.a=((),1),b=(},I),且〈a+/l"a)=-,那么实数加勺值为()

2

(A)-l(B)0(C)l(D)2

5.a=(\,2),b=(—2,—4),|c|=75,假设(a+6)・c=一，那么<a,c>=()

2

(A)3(T(B)60n(C)120A(D)15(T

二、填空题

6.假设a+b=(—2,—I),a~b=(4,—3),那么a•〃=____,〈a,6〉=.

7.向量a=(5,2)在向量方=(-2,1)方向上的正射影的数量为____.

8.在△48C中，4(1,0),8(3,1；,C(2,0)那么N8C4=__________.

9.假设向量。与。=(1,2)共线，且满足。-6=-10,那么a=

10.点A(0,3),8(1,4),将有向线段AB绕点A旋转角々到AC的位置，那么点。的坐标为

2

三、解答题

11.。=(—3,2)»b=(1»2),求值：\a-\-2bI»(2a—b)•(a+b),cosQ+b,a—b).

12.假设|a|=2JiT,)=(—2,3),且。_1_6,求向量。的坐标.

m拓展性训练

13.直角坐标系xO)，中，点A(0,1)和点以一3,4),OC为△408的内角平分线，且。。与48交于点

C,求点。的坐标.

14.左£Z,4B=0U),4C=(24),|A8区4,且△ABC为直角三角形，求实数上的值.

测试十二向量的应用

I学习目标

1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

2.会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题：能将物理问题转化为数学问题，同时会用建立

起来的数学模型解释相关的物理问题.

II根底性训练

一、选择题

I.作用于原点的两个力力=(1,1),黄=(2,3),为使它们平衡，需要增加力小，那么力△的大小为()

(A)(3,4)(B)(-3,-4)(C)5(D)25

2.在水流速度为自西向东，lOkm/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸,

那么船出发时行驶速度的大小和方向()

(A)北偏西30°,20km/h(B)北偏西60°,20km/h

(C)北偏东30°,20km/h(D)北偏东60°,20km/h

3.假设平行四边形A5C。满足|赢+而访那么平行四边形A8C。一定是()

(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形

4.QACZ)对角线的交点为O,P为平面上任意一点，且丽那么西+而+正+而=()

(A)2a(B)4«(C)6fl(D)8a

—►ARAC►ARAC1

5.非零向量与AC满足(2+f^)・8C=。且冬二上，那么△八8。为()

\AB\\AC\\AB\\AC\2

(A)三边均不相等的三角形(B)直角三角形

(C)等腰非等边三角形(D)等边三角形

二、填空题

6.自50m高处以水平速度10m八平抛出一物体，不考虑空气阻力，那么该物2s时的速度的大小为

，与竖直向下的方向成角为夕，那么tan®=______(^=10m/s2).

7.夹角为120°的两个力力和力作用于同一点，且I力|=I力I=mjn>0),那么力和力的合力/的天

小为___，/与及的夹角为____________.

8.正方形48co中，E,尸分别为边QC,8c的中点，那么cosN£4F、=___________.

9.在△ABC中，有命题：®7fi-AC=BC；②假设(族+而•(族一衣)=0,那么△ABC为等

腰三角形：③Q+前+3=0；④假设而•前>0,那么为8c锐角三角形.

上述命题中正确的选项是____________(填上你认为正确的所有序号)

三、解答题

10.水平电线A3对竖直电杆4。的拉力为300N,斜拉索3c的拉力为600N,此时电杆恰好不偏斜,

求斜拉索与地面成角，的大小以及由此引起的电杆对地面的压力(电杆自重不计).

11.某运发动在风速为东偏北60°,2m/s的情况下正在以10m/s的速度向东跑.假设风停止，运发

动用力不变的情况下，求该运发动跑步速度的大小和方向.

12.对于平行四边形48c点用是A8的中点，点、N在BD上,且用向量的方法证明:

3

M,N,C三点共线.

III拓展性训练

13.在Rl^ABC中，ZC=90°,且CA=C8,。是C3的中点，E是43上一点，且AE=2EB.

求证：AD_LCE.

14.如图，点4(4,0),8(4,4),C(2,6),求AC与。8的交点P的坐标.

测试十三平面向量全章综合练习

一、选择题

1.向量(A8+MB)+(8O—C8)+OM化简后等于()

MAC(B)BC(C)而(D)AM

2.点A的坐标为(I,一3),向量丽的坐标为(3,7),那么点8的坐标为()

(A)(4,4)(B)(-2,4)(C)(2,10)(D)(—2,-10)

3.向量a=(-2,4),b=(-1,—2),c=(2,3),那么(。+力)•(a—c)的值为()

(A)10(B)14(C)-IO(D)-I4

4.向量a=(2,f),b=(l,2).假设时，a〃加r=h时，alb,那么()

(A)/i=—4,tz=—\(B)ri=—4,ti=\

(C)h=4,ti=—[(D)0=4,t2=I

5.假设点。是△ABC所在平面内一点,满足次•丽=丽•沅=沅不，那么点。是△43。的()

(A)三个内角的角分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点

(C)三条中线的交点(D)三条高线的交点

二、填空题

6.河水的流速为2m/s,一只小船想要以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，那么小船在静水口

的速度的人小应为.

7.数轴上的点A,B,点A的坐标为-3,且向量标的长度为5,那么点8的坐标为.

8.p=(-2,2),q=(l,3),那么p在g方向上的正射影的数量为.

9.向量。=(2,3),8=(一1,2),假设(a+b)_L(a+M),那么实数2=___.

10.给出以下命题：

①②Ia|—Ib|VIa一力I：③|a,b|=|a||6|：

a'a

④(力•c)。一(c♦力与c垂直；⑤a,b是非零向量，假设la+bl=Ia-bI,那么。_Lb：

⑥a，b是两个单位向量，那么后=".

所有正确的命题的序号为____________.

三、解答题

11.点A(—2,1),B(l,3).求线殁AB中点M和三等分点P,Q的坐标.

12.\aI=2,\bI=4,〈。，力一.求Ia-bI和储，a-b）的余弦值.

3

13.向量只=(1,2),b=(x,1).

(1)求与a垂直的单位向量的坐标；

(2)求Ib~2aI的最小值以及比时。的坐标：

(3)当x为何值，a+2b与2a平行，并确定它们此时是同向还是反向.

14.如图，以原点。和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△0A8,使N8=90°.求点B的坐标和AB的

坐标.

参考答案

第二章平面向量

测试七向量的线性运算(一)

一、选择题

1.D2.C3.C4.B5.C

二、填空题

6.③7.“东偏北60°,6km”或“北偏东30°,6km”8.10km/h573km/h

9.h~a：a+b10.0

三、解答题

11.解：⑴而；

(2)原式=(获+瓦+3)+苏=而+而=0.

12.解：3Mp=NQ=OB；(2)OP,OQ,OA；(3)ON,P。：⑷|OM|=|ON|=^•

13.解：/W=a.^C=^AC=c,所以方二。一》，

BE=AC=c,DE=DB+BE—a—b+c»

Ia-b-YcI=2.

14.解：设48=a,A/）二）,做DABCD.

那么而*=。+4丽=。一力，

可得元=而=5,所以D48C。为矩形,

\b\^AD\=V52-32=4.

D

AB

测试八向量的线性运算（二）

11

O-力-

44

三、解答题

—21

11.答：AD=-a+-b.

33

12.略解：化徇得9。=7)，即所以IaI：IZ>I=7：9.

9

13.略解：由题意，得I。1=121I/>I»IxI=—,x=±-,

22

Ia—b1=12—11II=2I7-1I=1或3.

14.(I)证明：，：BD=CD—CB=2a+4b,/.BD=2AB,

・•.布〃丽，因为二者均经过点B,所以A,B,C三点共线.

(2)证明：与〃共线，设。=劝，，丽=(22+4)4而=(7%—2/

■—•r22+41

,:CD=0,BD丰。72—2^0>22+4#0.工BD=------CD,

7/1-2

：.~BD//CD,所以B,C,。三点共线，又A,B,。三点共线.

所以A,B,C,。四点共线.

测试九向量的分解与向量的坐标表示

一、选择题

I.B2.B3.A4.D5.D

二、填空题

|139

6.(一一，一)7.(-1,一一)8.t=--9.(-2,1)10.一2或11

2223

三、解答题

II.答：DC=±b;NM=a—上b.

24

3-2

12.(1)证明：•・•一#',・・.a与力不平行，所以向量如力是一组基底.

-21

3x—2y=7FE=1

(2)略解：(7,—4)=x(3,—2i+y(—2,1),<‘所以<'

-2x+y=-4,[y=-2.

13.略解：m=(—1,4+%),«=(10,2—3x),

因为机〃小所以一(2—3x)—10(4+6=0,x=-6,

此时雁=(一1,一2),〃=(10,20),有〃=一10雨，所以与〃方向相反.

—•—•*—*I.I

14.略解：(l)OC=QA+AC=OA+—A8=(l,4)+—(3,—6)=(2,2).

33

'・—•・•2•2

(2)0C+2OD=(2,2)+2(3,0)=(8,2).

OE=OB+OC+2OD=(4,-2)+(8,2)=(12,0).

测试十平面向量的数量积及其运算律

一、选择题

1.D2.D3.D4.C5.B

二、填空题

6.II；-7.V138.-9.①⑤10.4

24

提示：

10.由a+8+c=0,得c=一。一力，乂(。一))_Lc,/.(«—/>),(—a—ft)=0»

—IaI2—a,b-\ra,力+Ib\2=0.IbI=IaI=1.

又c=­a-b,

IcI2=I—a~bI2=(­a-b)•(一〃-。)=IaI2+2«•b-IbI2=2.

r.|c|=V2,综上,IaI2+IdI2+lc|2=4.

另外，可以结合图示，分析解决问题.

三、解答题

11.解：a•h=10»(a+力)•a=/+a•/>=35,

\a+h\=J(a+力尸=yla2+2ab+h2=扃.

12.解：由题意得2片一a•5一Z>2=—4,所以2/—a•力一从=-4,得a•力=-4,

13.略解：因为（04—00・（。4一。八）=0,所以C3A8=0,从而C8_LA3,ZXA8C为直角三角形.

14.略解：⑴Ia-bI2=a2-2ah~\-b2=l,所以。•方=一1,

Ia—2bI』/一4a力+4〃=21,即|a—2》|=.

⑵由得（。+2分）・（履一力）=0,即加2—。〃+2而力一2b2=（）,得仁一7.

测试十一向量数量积的坐标运算与度量公式

一、选择题

I.A2.B3.D4.A5.C

提示：

5.设c=G,y）,

由|0|=6，得『+）?=5.①，

由（a+5）.c=T，得（一1,-2）・（尤、）='^,；.一工-2），二4.......②

由①@解得。=(一］-6,-1+,或c=(—+V31-

22

5

当「=(一'一百,一1+^0时，cos(a,c)=a=-•-

22|a||c|亚加2

/.(a,c〉=120°,

另一种情况，计算结果相同.

二、填空题

O

6.-5：13507.8.13509.(-2,-4)10.(一1,4)或(1,2)

提示：

10.设C(x,y),那么而=(1,1),衣=(x,y-3),

由AC_L4B得，AB-AC=0,即x+y-3=0.......①

又|A8|=4C,.,.2=*+(厂3)2②.

X=U或.x=-i

结合①②，解得，2)或C(-l,4).

[y=2,1y=4

三、解答题

11.答:|a+2b|=J§y；(2a—b),(a-hb)=22；cc>s(a+b,a-b)=卓

-2x+3y=0…或]x=-6

12.解：设。=G,y),那么《，，，解得：,所以。=(6,4)或“=(—6,

狂+=52y=4y=-4

-4).

13.解：设C(x,y),那么OC=*,y),由可得：(OA,OC)=(OB,OC)

AC//AB7='一13

那么丽.反，所以34，解得-v=一-,y=—

ococy=——x+—y22

\OA\\OB\-55'

13

所以C(—不=).

22

14.解:由|AB-4得为W15,•・Z£Z,・•・2=-3,-2,-1,0,1,2,3,

当A=90°时，A8・AC=2k+4=0所以&=一2：

当B=90°时，荏.前=0,元=(2-2,3),所以《(2—#)+3=0,女=-1或3：

当C=90°时，ACBC=0,BC=(2-左3),所以2(2—2)+12=0,-8(舍).

综上k=-l或一2或3.

测试十二向量的应用

一、选择题

I.C2.A3.B4.B5.D

提示:

5.设=《£■=〃，那么l〃i|

\AB\\AC\

由。〃+/I)•BC=0.

m♦BC=-n•BC,/.|m|*|BC|cos(x-B)=-|w|•BC•cosC

cos5=cosC.又8、(0,n)

：.B=C.

乂由7〃•〃=',

2

|/n|*|/i|cos/l=—

cosA=—,又&0,兀)

2

.'.A=60°

.♦.△ABC为等边三角形.

二、填空题

4

6.l()V5m/s;—7.m,60°,8.-9.②③

2

三、解答题

10.答:e=6(r；300V3N.

11.解:如图，建立平面直角坐标系，作58CD,设|历|=2,|为1=10,那么C(l,Q),3(10,

CB=(9-V3),得|E|二2回k9.17m/s,tanZAOB=^-

0),

由计算器计算得NAOB七10.89,.

该运发动跑步速度的大小为9.17m/s,方向为东偏南约10.89°.

0

12.略解：欲证M,N,C三点共线，只需证MN//MC,可选择一组基底来表示这两个向量，再证明

二者具有关系MN=ZMC即可.