第六章平面向量及其应用期末复习讲义高一年级下册数学人教A版

高一下学期《平面向量》期末复习综合练习

知识要点

向量的线性运算

运

定义法则（或几何意义）运算律

算

士立二角

①交换律a+〃=〃+”

加求两个向量和的

②结合律

法运算a

(a+〃)+c=a+(/?+c)

形法则平行四边形法则

求〃与b的相反向

减

量外的和的运算/\三角形法则a-b=a+(-h)

法

叫做a与Z,的差a

（i）W=WH⑵当4>o时，曲与。的方2(〃a)=(初)a

数求实数2与向量”

向相同；当义<（）时，及与〃的方向相同；(A+=痴+

乘的积的运算

当2=0时，Aa=0A(a+b)=Aa+Ab

向量共线定理与性质

（1）向量共线定理：如果b且/-0,则4〃。：

（2）向量共线性质：且人工0,则一定存在唯一一个实数4,使〃=昉.

向量的数量积的定义

①定义：非零向量3与B，它们的夹角为0,数量同Wcos。叫做向量£与分的数量积（或内

积）；向量”与丐的数量积记作7况即=|而|cos0；

b

向量的投影向量：向量。在b方向上的投影向量为1。|856国

平面向量数量积的性质与运算律

（1）平面向量数量积的性质

设五都是非零向量，2是单位向量，o为2与6（或工）的夹角.贝IJ

®a-e=7-a=^cos0；②£15o76=0；

两个向量a,B的夹角为锐角oZ.万＞0且3,B不共线：两个向量£,B的夹角为钝角=

且Z,九不共线.

平面向量线性运算的坐标表示

（1）两个向量和（差）的坐标表示

已知非零向量4=（内,》）5=（工2，%）

—*—♦—•—•

则：a+b=（%+再,y+y2｝；a+b=（x-x2,yi-y2）

（2）向量数乘的坐标表示

。=a,X）;则忘=（即,否）

平面向量数量积的几何与坐标运算

已知非零向量……。一=（再，短，e为向量〃、%的夹角•

结论几何表示坐标表示

模|a|=y/aa1a1=旧+y2

数量积ah^a\\b\cos0ab=xtx2+yty2

_abCOS*/,华+•”,

夹角cos〃=--------

\a\\h\V<+X-VX2+>2

iJ的充要条件ah=0司与+,北=°

〃〃/，的充要条件a=Ab（b^0）・yq+y%=°

1”•川与|列川的关laWWalSI(当且仅当时等号成1百均+)'*饪

系立)亚+＞：#+£

考点探究

典例1向量相等与共线

I.向量。与5不共线，AB=d+kb，AC=ld+b(kdeR),且血与AC共线，则攵，/应

满足()

A.k+l=OB.k-l=OC.A/+1=OD.X7-l=0

【分析】根据题意知笈+/；=(),然后根据A月与前共线可得出〃+肪=〃S+6)，从而可

得出A，/应满足的关系式.

【解答】解：〃不共线，二4+5工0,且Ab与前共线，

・・・存在实数3使d+朗=%出+5),

>/=1

W—1=0.

k=入

故选：D.

典例2平面向量数量积的性质及其运算

1、在AA3C中，AB=2AC=2fP,。为线段BC上的点，且8/==.若A户4。=],

则N8AC=()

A.1500B.120°C.60°D,30°

【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的夹角的运和求解即可.

【解答】解：在A4BC中，AB=2AC=2,P，Q为线段3C上的点，且丽=①=西，

•••丽•恋=3,

(AB+BP)(AB+BQ)=^,

--1-—2--5

339

2―.I―.1―,2―.5

(—ABH—/4(7),(―AB■!—AC)=—,

33339

2AB+2AC2+5ABAC=5>

2x4+2xl+54F-4C=5>

•••ABAC=-\y

二|4月114cleosA=-l,

2

即N8AC=120。，

故选：B.

2、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史？久,

风格独特,深受国内外人十所喜爱.加图甲是一个IF八功形窗花隔断,图乙是从窗花图中抽

象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEAGH的边长为2夜，历是正八边形

ABC-DEFGH边上任意一点,则朋久加分的最大值为（）

A.30+4及B.28+8夜C.26+16&D.24+16应

【分析】取48的中点O,连接MO,通过转化得M4MB=MO-2，则转化为求IMO\的

最大值，由图得当点“与点F或点E重合时，|而|取得最大值，计算|丽|最值即可.

【解答】解：如图，取4?的中点O,连接MO,连接OE,分别过点C,点D作BE

的垂线，垂足分别为/，J,

所以加/施=（血+（74）（血+0心=（同0+05.（加一方）=〃。2-82=碗2-2，

当点〃与点尸或点E重合时，|MO|取得最大值,

因为八边形ABC-DEFGH为正八边形，

则由正八边形的性质知，BE//CDENCBE=ZDEB=45°,

因为C/_LBE,DJ1.BE,

所以四边形CA7/为矩形，MCI,ADE7为等腰直角三角形，

则〃=20，BI=EJ=2,则AE=4+2及，130=41»

MO取得最大值为BO2+BE2=(&f+(4+2及『=26+16夜,

所以MA-MB的最大值为24+1672.

典例3平面向量的基木定理

1、在A4BC中，G满足GX+访+玄=。，过G的直线与AB,AC分别交于M,N两点.若

AM=>0)»AN=nAC(n>0),则3/〃+〃的最小值为—+马巨.

33

【分析】根据题意知G为A49C的重心，从而可得出从公工-府+上病，再根据M,G,

3m3〃

N三点共线可得出」-+4=1，然后根据基本不等式和“1的代换”即可求出3〃?+〃的最

3m3/7

小值.

【解答】解：•••G/i+G/j+GC:=0，

G为AA8C的重心，=—AM.AC=-AN,

mn

：.AG=-AB+-AC=—AM+—AN,且M,G,N三点共线，

333m3n

--+—=1,且>0,〃>0,

3w3〃

3w+n=(3m+n)•(——"f--)=1+—+>当且仅当」=，即〃=6，n时

3m3〃n3m333〃3/〃

取等号，

.•3〃+〃的最小值为：±+2®.

33

故答案为：±+空.

33

专题练习

一、单选题

I.已知平面向量。满足2+3=(2次),17(1,1).若;则斤=()

A.一2B.—C.4D.2

22

2.已知向量工方不共线，且"=痛+入Z=Z+(2/l-l)尻若"与2同向共线，则实数义的

值为()

A.IB.一!C.I或一1D.T或一1

222

3.在“8C中，E在边8c上，且EC=38E,D是边八8上任意一点，人E与8交于点P,

^:CP=xCA+yCB,则3x+4j，=()

33

A.—B.—C.3D.3

44

4.已知菱形A3CO的边长为2,人从4方=-2，G是菱形ABCD内一点，若GK+G8+GC=0\

贝()

A.；B.1C.-D.2

22

5.已知向量方=(-3,1),方=(2,1),则以下说法正确的是()

A.\b-a\=45B.G方向上的单位向量为（TF，吟|

C.向量方在向量万上的投影为典D.若亍=（卓,一挛]，则

5

2I5）

6.已知正三角形ABC的边长为4,D是BC边上的动点（含端点），则（血+。孙（。N+卅）

的取值范围是（）

A.[4,8]B.[8,24]C.[2,18]D.[4,20]

7.已知平而向量小6,3满足同=1,W=G,G/=-|,G-等5-寸=30。，则同的

最大值等于（）

A.2不B.41C.2右D.3百

8.如图，在正方形A8CZ）中，CE=2QE,£B和AC相交于点G,且F为AG上一点（不包

括端点），若BK=入BE+〃BA,则,+：的最小值为（）

A.5+3N/3B.6+26C,8+6D.15

9.向量B满足伍力=?，且V/wR,不等式防+5闫5-。|恒成立.函数

63

/*）=|x5-4|+x5-gd（xeR）的最小值为（）

A.B.1C.75D.75

10.如图所示，已知点G是△A3C的重心，过点G作直线分别交48,AC两边于M,N两点,

ULIUUUUIMUIU.M1

且="B，/W=yAC，则2x+y的最小值为（）

A.2/JB.272+3C.4D.2

二、多选题

11.已知向量。=（-2,2）,b=（l,l）,且2+5与Z-B的夹角为e,则（）

A.6/-/?=（-3,1）B.a±b

C.sin"-1D.3-5在3上的投影向量是（-2,2）

12.若“IBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,c=3,«=p。为的

外心，则（）

A.h=5/7

B.AA8C的面积为士叵

2

----------7

C.OAOC=-L

3

D.若M是边AC上靠近点A的四等分点，则8M=幽

4

13.中，下列说法正确的是（）

A.若而•觉＜0,则△A4C为钝角三角形.

B.若而=4［尚j+命j］4w［。，田），则点P的轨迹一定通过AABC的内心.

C.若G为“8C重心，则AG=g（AB+AC）

D.若点0满足网=网=国，|明=2,|的=6,则而尻=16

14.已知k51是三个非零向量，则下列说法正确的是（）

A.若&Y=5Y，WOa=b

B.若卜+4二|万一司，PPJnib

C.若卜得=|d|+W，则。〃万

D.若d/片，则（不/；/二伍@厅

15.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60。角的两条数轴，鼻，2分别是与x轴、y轴正方

向同向的单位向量.若O广=洸；+恒,则把有序实数对（X,）。叫做向量。户在斜坐标系Oxy

中的坐标，记作风=（*.），）.则下列说法正确的是（）

A.若丽=(一1,2),贝“西=J5

B.若4启=(2,-1),前=(一I,；)则A,B,C三点共线

C.若。H=(3,4),0^=(-4,3)则08_10月

D.若函=(3,0),05=(0,2),无=(2,4)则四边形OACB的面积为46

三、埠审题

16.平面向量a,h,c满足：打人耐.,且同叩=3,忖=2,则

R+以4=.

17.在矩形A6c。中，AH=4,BC=2,E为AQ的中点，F为A8的中点，Q为边C。上

的动点（包括端点），则炉•丽的取值范围为

18.已知中，角4乩C所对的边分别为a）,c,ABAC=^,h=\,c=6若

n

"=五琮加急得,则国的最小值为

19.如图，在A/SC中,AB=6,AC=4,BC=2A/7,DE分别是边AB,AC上的点，AE=2.

且而•荏=2，点P是线段DE的中点，且雨=立月+”e，则?=

20.如图，=|砺|=1,（函，砺），点C在以0为圆心的圆弧A4上运动，则可•而

的取值范围是

R

C

四、解答题

21.已知向量3，刃满足|a|=2,|b|=2\/3»cos(a.b)=—

4

(I)求2在♦上的投影向量：

(2)若向量与/13+B垂直，求实数N的值.

22.已知向量日二(1J),b=(-i,A:)

⑴若求实数u的值;

(2)若2与否的夹角是钝角，求实数々的取值范围.

23.已知在“IBC中，N是边AA的中点，且4两=就，设XM与CN交于点P,记

AB=a,AC=b.

⑴用表示向量AA/.CM：

(2)若2同=忖，口函J.而，求＜3万〉的余弦值.

24.奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车log。相似，因此得

名.如图，P是内的任意一点，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,总有优美等式:

PNS授或+

PB-S^PAC+PC-5AP/W=6-

⑴若P是AA8C的内心，2b=3a=4c,延长AP交BC于点D,求不：

(2)若P是锐角”8C的外心，A=23,PB=xPA+yPU,求不+)'的取值范围.

25.已知同=3,恸=4,且J与5的夹角为120°.

(I)求5在。上的投影向量；

⑵若伽+5)”依-5),求实数左的值:

(3)求向量B与向量〃+〃夹角的余弦值.

26.如图，在“3。中，点P满足正=2而,O是线段心的中点，过点。的直线与边A及4c

分别交于点母尸.

(\)^AO=xAB+yAC,求"和V的值；

12

⑵若丽-AAE(2>O),FC-〃研〃>0),求了+一的最小值.

27.在融。中，AC=2,BC=6,NACO=60.点O为7BC所在平面上一点，满足

OC=mOA+nOB(机、〃eR且小+〃/1).

⑴若用净，无表示玩;

(2)若点。为“WC的外心，求加、〃的值;

⑶若点。在4CB的角平分线上,当.六公；时,求口。的取值范围.

28.定义函数/(x)=〃7siiu+，M的“源向量”为两=(〃］，〃)，非零向量函=(〃?，〃)的“伴

随函数”为/(A-)=msiiHTmrosr,其中。为坐标原点.

⑴若向量喃的“伴随函数”为/(%)=2"»J求向量场？；

(2)在245C中，角4B、。的对边分别为a、b、c,若函数〃⑺的“源向量”为两=(0，1),

3

且已知a=8,/1(A)=-；

(i)求“1BC周长的最大值；

(ii)求|通+前|的最大值.

29.如图，点G是△045重心，P、。分别是边04、0B上的动点，且。、G、。三点共线.

(1)设P6=之。0,将配用2、而、OQ表示；

(2)设而7西，OQ-yOB,L,是否是定值?若是，求出该定值，若不是，请说明

X)'

理由：

(3)在(2)的条件下，记△048与△OPQ的面积分别为S、T,求£的取值范围.

30.如图，点P,Q分别是矩形A4C。的边上的两点，AB=3,4)=2.

(1)若P是线段0c靠近。的三等分点、。足8c的中点，求cos/PAQ；

(2)若。户=/LOdC=/lCR0S/lWl,求乂户AQ的范围；

(3)若加=24，连接AP交3。的延长线于点为8。的中点，试探究线段A3上是否存

在一点〃，使得/"7。最大.若存在，求3〃的长：若不存在，说明理由.

参考答案：

1.D

【分析】根据向量的运算性质,判断,+可〃(”5),即可求I.

【详解】由知，(〃+可〃(“一白)，则1=2.

故选：D

2.A

【分析】由共线定理可知存在M〃>°)使得云一//，然后由平面向量基木定理可得.

【详解】因为2与I同向共线，所以存在〃(〃>o)使得^=加，

B|JAa+b=〃[0+(2尤_1)5]=〃万+“(24—1)5,

又向量[]不共线，所以1|\，解得义=-!(舍去)或4=】.

1=^(22-1)2

故选：A

3.C

【分析】利用向量的线性运算，得岳=屋+评=，乱+(1-5，而，再利用平面向量基本

33

定理‘可得”“)，=丁不，然后就可得到结果.

【详解】•••A、P、E三点共线，设丽=/钛(0<!<1),

则齐=诙+丽=2而+/丽=己而+/=tCA+

44河

___,33

X-.CP=ACA+yCB,所以x=f,y=------1，即3x+4y=3.

44

故选：C.

4.D

【分析】由题设，先求出NCW,再由G4+GW+GC.=0.推理得到G是中线人七的一个三等分

点,从而将而?用福.林的线性组合表示，再代入所求式，即可求得

【详解】

如图，由荏•AD=|AB||AD|cosZ.DAB=4cosNDAB=-2,

因0</D4B<7t,则/。A3=等，乂因菱形48C。，则NCAB=g；

由G/+G分+GC；=0可得，AG=GB+GC,

__2__

取BC的中点为E，则有AG=Gli+GC=2GEJPAG=-AE,

^AGAB=-AE-AR=-(AI3+AC)AB=-AH+-AI3AC=-+-!-x4xcos-=2.

3333333

故选：D.

5.D

【分析】由条件根据向量线性运算坐标公式求$-a，再由向量的模的坐标表示计算

判断A,根据定义单位向量定义和向量的线性运算坐标公式求d方向上的单位向量，判断B,

根据向量的投影的定义求向量5在向量d上的投影，判断C,根据向量垂直的坐标表示，判

断D.

【详解】对于A：由1=(-3,1)1=(2,1)可得,/；-4=(5,0),所以|/；-4|=5,A错误;

对于B：因为a=(-3,1),所以同=，(—3)?+12=加,

所以日方向上的单位向量为卷B错误：

对于c,向量5在向量a上的投影为忸辰57/；=普=瑞=-半，C错误:

对于D：6N=（2,1）-=0，所以B工1，D正确.

故选：D.

6.B

【分析】利用三角形的对称性建立坐标系，利用坐标运兜再结合二次函数求出结果即可.

【详解】以8c中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则B（-2,0）,C（2,0）,A（0,2G）,

设。（属0'-2。42,

则方=（—X,2G）,Z）月=（一2-二0）,。二=（2-％0）,

所以（/乂+。@•（/）W+。0=卜2-2乂26＞（2-2尤2&）=4/!48,

因为-24x42,所以+8e[8,24],

所以（历+加）（西+配）的取值范围是[8,24].

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意建立坐标系，用坐标表示向量的数量积计算即

得.

7.A

【分析】由4408=150。,446=30。，即点四点共匹再利用余弦定理、正弦定

理求解即可.

【详解】设0^=。,0月=反的=才，

由同=1,W=J5,a-b=~t则cosZAO8=一日,

所以4408=150。，又«-1出一目=30。，所以NACB=30。,

即点A。氏C四点共圆，要使同最大，即|反|为圆的直径，

在“AOB中，由余弦定理可得八3=OA2+OB2-2OAxOBxcos/AOB=7,

即A8=",又由正弦定理可得2R=.…=2币,

sinZ.AOB

即忖的最大值为2"，

故选：A

8.B

【分析】先确定G的位置，接着由前=2尿+〃丽进行转化，利用共线定理得九十日=1，

再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.

【详解】由题可设8G=x8£,xw(0,l),

则由题意得BG=xBE=.r(^C+CE]=xBC+jxCD=xBC+jxBA,

?3

因为A、G、。三点共线，故x+/=lnx=1,

一3一

所以

所以8户=入8£+[1雨=

又A、G、F三点共线，所以:九+口=1,

5“31(31V5,「3“5zl、=c/3“52'、

所以；+-=-+-+=6+-^+—>6+2J^x—=6+2V5,

2〃八3)x3/zyx3//

当且仅当¥=|^,即p=q九=咛1时等号成立，

故弓+2的最小值为6+26.

故选：B.

9.C

【分析】先根据向量的夹角、模长及怛成立求出同=2,利用距离和的最值求解八川的最小

值.

【详解】作方=值,丽=B，OC=-ta^

因为不等式I坂+S闫5-划恒成立,则|砺-觉以砺-的,EP|C£j|>|AB\,

从而有A8_LOA,故|的=竽.85己=2.

设OD=xb.0E=—«,

则”幻=卜6_a+xB-；d=|OD-OA|+|OD-OE|=|AD|+|EZ)|,

作点E关于直线0B的对称点F,\OF\=l,\OA\=2,/尸。4=],

则/(x)=|A/5|+|E/5|=|A/5|+|FD%|4"l=J12+22-2xlx2xg=G，当且仅当凡DA三点

共线时取得等号.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二，一是恒成立条件的转化，可求|)|的值：二是

利用转化求得函数的最小值.

10.A

【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到卜?1，最后利用T的代换结合基

本不等式求解最值即可.

__1_1__

【详解】YG是AABC的重心，・•.AGMQAB+QAC,

又AM=x/\B,AN=yAC,•-=—AM+—AN,结合题意知x>O,y>0,

-3x3.y

因为M,G,N三点共线，.•.?+；=I,

3x3y

R"②+y）（五I+豆）=2豆1'+v?122

当且仅当孕=：即工=2电,y=©l时取等号，.•.2x+y的最小值为泡口，故A正

3y3A-633

确.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到

导小I,然后利用基本不等式得到所要求的最值即可.

11.ABD

【分析】根据向量线性运算的坐标求解可得16=(-3,1),Z+6=(T3)可求解A,根据数

量枳的坐标运算求解B,根据夹角公式可求解C,根据投影向量的公式即可求解D.

【详解】对于A,由7=(—2,2),办=(1,1)可得2-另=(一3,1),2+5=(-1,3),故A正确:

对于B,由于£$=-2+2=0,所以£_L6,故B正确;

/-r-r\°,+@・（力）3+33

对于C,cos…j…下硼丁而而方

由于夕e[0,7i],所以sin。V，故C错误;

\a-b]a力6+2a-

对于D,力在「上的投影向量为'而评:⑪/…⑷)，故D正确.

故选：ABD

12.ABD

【分析】根据余弦定理判断A,根据面积公式判断B,由正弦定理及数量积的定义判断C,

根据数量积的运算律化简求值判断D.

【详解】由余弦定理得//="+/-2/)ccosA=7,所以b=d,A正确;

3月

S&ABC—«csinBB正确;

2~r

因为。为dBC的外心，B=g,所以4OC=T，

JJ

b二出

设的外接圆半径为由正弦定理布=2R得/?=

2sinBG

币不(1、7

所以词|困cosZAOC=C错误;

因为4丽・=/，所以而=BA+AM=HA+-AC=HA+-（BC-HA}=-BC+-BA,

44、'44

所以时=化麻+。丽丫」觉—丽配狐」X4+2X9+，2X3XL吧,

U4J1616816168216

所以用11=业处，D正确.

4

故选：ABD

13.BD

【分析】根据以•吃〉。可确定角4为锐角，可判断A：根据单位向量、共线向量的概念可

判断B：根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D.

IlliIII1U

【详解】选项A：若而.前＜0,则因此角8为锐角，但AABC不一定为钝角

三角形，故A错误：

八与ACABAC

选项B：因为同，同分别衣示人在4右方向上的单位向量，所以同十同[的方向与

N7MC的角平分线一致.

/\

_4PAC

若而=2鬲+同He[°，+8），则Q的方向与28AC的角平分线一致，所以点〃的轨

迹一定通过AABC的内心，故B正确；

选项C：若G为“3c的重心，设边8c的中点为M,

则而=：戒=|x：（而+/）=：（而+高），故C错误：

选项D：设BC的中点为。，若点。满足|8|=|而|=|冈，则点。为AABC外心,

于是有8_LBC.又14M=2,|AC|=6,

^AOBC=^DO-DA)BC=DOBC-DABC=ADBC

」国+碉・国一通）=T四-珂。珂-|珂h'（62-22）=

16,故D正确.

~2

故选：BD.

14.BCD

【分析】根据平面数列数量积的定义即可判断A；对等式两边同时平方可得己名=0、

COS(«J5)=-1,即可判断BC；根据共线向量和数量积的运算律计算即可判断D.

【详解】A：由不厅以|Hcos(〃m)=忖8$(反3，不,•定有4=〃，故A错误；

B：因为k+可=卜叫，所以,+则4-5|2,即万2+276+52=万2—2万“；十方2.

得不5=0,所以故B正确；

C:因为,一方卜同十忖，所以加一彳=炯+利，即〃'一2〃.万十牙=〃，十2同同十万,，

得cos(叫=T,故及与石反向,所以4〃5,故C正确:

D：因为G〃乙所以存在实数％,使得]=乃，

此时(0•万)=(&♦[*=2k.5)己(5.^”=(6句笈=z(c/?)c,

即(无5上=仅e”，故D正口.

故选：BCD.

15.ABD

【分析】选项A,易知丽=-4+石，再由而2=(--+24)二利用向量数量积的运算法则，

展开运算即可：选项B,由丽=-2亚，即可作出判断：选项C,利用基底表示出的，班，

再判断西•圾=0是否成立即可：选项D,结合余弦定理与勾股定理兜出S△以「Sa”的值，

由S内边形os=SMAC+540比求解即可.

【详解】对于A,由题意得讲=-1+区，

故而”=(一冢+2司2=4?一4e；石+4r=1-4xlxlx；+4=3,

故|阿=6,正确；

+e

对于B,由题意得彳分=%1-4,BC=-ex^2»

所以丽=-2配，所以A,B,C三点共线，故B正确；

对于C,由题意得并=富+可，瑟="+国，

所以020月=(霆+忌)(-43+3可=_1242_7,£+12$

=-12-7xlxlxi+l2=-^0,故西与CA不垂直，故C错误；

乙乙

对于D,连接OC,在AOAC中，OA边上的高为Msin6()o=4x等=2石

所以SJ*=33X2石=36：

在△08C中，OB边上的高为,/sin60。=2x半=G

所以S△。叱=,X2XG=6,

故S四边形3a=^ACMC+S3Q8C=W5,故D正确.

16.3^+1/1+373

【分析】结合数量积的定义和性质求出72、和=入利用卜+〃+4=加二二『即可

求出答案.

【详解】因为Z_L2,所以12=0,

因为同=,=3,忖=2,=.

Ju

所以a.否=同囚cos（a,石）=3x2xcos]=3,

方.3=WHCOSS，3）=2X3XCOS^=3V3,

因为M+/；+$=（£+6+0\

染中+埠+中+2(£4+£.2+尻0=28+6x/3=（3>/3+l）2,

a-^-b+c

所以口+7+4=,«+1+2丫=蛔+1『=36+1.

故答案为：36+1.

17.[1,10]

【分析】建立适当的平面直角坐标系，引入参数乙结合向量数量积的坐标公式将。口。户表

示成，的函数，由此即可得解.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系:

由题意人（0,0）,8（4,0）,C（4,2）,0（0,2）,E（0,1）,*2,0）,设Q（f,2）,（0M4）,

从而Q巨=（T「1）.Qk=（2T「2）.Q百Q尸=/_2/+2=«_1）2+1,,«0,4],

所以班•炉=（1）2+1,/«0、4]的取值范围是[110].

故答案为：[1,10].

【分析】取而=2宿和而=2记，转化为而=/-而+」一戒，得到M,MQ三点

m+nnt十n

共线，得到|回的最小值，即为AAMN中边MN上的高，在△八中，结合余弦定理和面

积相等，列出方程，即可求解.

【详解】在AABC中，因为NBAC=?力=l,c=6,

如图所示，取48的中点N,可得血=2丽，

再延长AC到点M,使得AM=2AC,可得丽7=2祝

因为而=通+3-蔗=」_初+-_徊,

2(〃?+〃)tn+nm+nnt+n

因为」一+」一=l,所以M.M。三点共线，

m+nm+n

所以忸斗的最小值，即为AAMN中边MN上的高d,

在AAMN中，由余弦定理得|MN『+|4Vf—2MM|4V|COS4

=4+3-2X2X@X3=Z,所以|MN|=五,

4224112

又由SJMV=g|AM||AMsin八=3乂2*曰、：=乎,

可得3MMxd=^，即立x4=^,解得d=叵，

21142247

所以|码的最小值为容.

故答案为:粤.

【分析】先用余弦定理可得NBAC=g,然后由向量的数量积计算可得|而进而由平面向

量的线性运算可得?耳=Pt,从而由平而向量的基本定理可得的值，进而可

得结论.

【详解】由血史中，AB=6,AC=4、BC=2",

得ciC=*C*=36+328J,则々A。」.

2ABAC2x6x423

由AE=2,且茄.通=2得|诟卜|四cosg=2,则|回=2,即A/）=2.

由尸是OE的中点，所以Q=g（而+亚），

所以可=_；（而+码=_/+=

又血=»*-函，*=阮一而,

所以用=卡丽一网—；（方一西，

化简可得⑸=一亍加一，斤，

_____23x2

又用=x而+），近，所以x=-5，y=-5，则二=7.

故答案为：

20.-1.0

【分析】将国丽转化成物-反）（函一元）结合三角恒等变换公式即可求解.

【详解】连接OC,则匹卜网=|词=1,

由题可设NAOC=6Be

所以瓦•丽=(发—元)(说一元］双丽—就加一加碇+衣

=IX1xcos--1xIxcos/7-1x1XcosI--^1+1=--cos^-cos|—

sin”——cos0----

222

因为"枭，所以cos（夕一g,l

故Hr^=；-cos（e+q）w-^,0.

故答案为：总。.

1-

21.⑴

⑵不

【分析】（I）求出£石，再利用投影向量的意义求解即得.

（2）利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解即偿

【详解】（1）I4=I||B|8s（£,»=2x2j5x—^=3,

所以£在B上的投影向量为普•〃==〃=/.

\b\~124

(2)由向量2d—4与zld+石垂直，得(2ci-2B)・Gd+5)=0,

整理得2启+(2-万而彳-需=82+3(2-/12)-12/1=0，即3无+42-6=0,

22.(1)0

(2)(f,—1)U(T1)

【分析】（1）利用向量线性运算与垂直的坐标表示即可得解:

(2)利用向量夹角是钝角得到且2与B不反向共线，从而得解.

【详解】(I)因为a=(l,l),b=(-U),

所以1+M=(1,1)+2(T,A)=(T,2A+1),

因为21_卜+2石)，

所以7伍+25)=lx(—l)+lx(2A+l)=0,解得％=0；

(2)因为G与方的夹角是钝角，〃=(□),方=(一1次)，

所以>石=1x(-1)+以女=火一IvO,解得&<1,

又当lxZ=lx(-l),即&=_］时，&=此时Z与否的夹角为180。，故攵工一1,

综上可得&«TO,T)U(T1).

23.(1)AM=—a+—b,CN=-a-b

442

【分析】(1)根据向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解；

(2)由两_L检得扣「=九即结合2同=|可及数量积的定义即可求解.

【详解】(1)BC=AC-AB=b-a，

11O1

所以丸0=猫+丽=彳耳+—麻?=不+—(5—1)=一不+一方，

44、/44

CN=CA+AN=-AC+^AB=^a-b.

(2)因为E_L福，所以西•4月=(；乙一垃3=0,即:同2=儿心

所以;同?=同似8$侬6)=2同28§(万内，

所以85依5}=；,即卜出)的余弦值为:.

9

24.(1)/<="

⑵d

【分析】(1)根据奔驰定理以及内切圆的性质可得百4刀+厢力+斤.c=。，即可根据

沙=3a=4r得4西+6万+3前=6,进而根据线性运凫得6。以+3比=（4/1-9）冲,由共线

即可求解，

（2）根据奔驰定理以及外接国的性质可得丽.sin2A+而-sin人-京,sin3A=6,即可得

7^=一14\吊24十00\吊3八,结合三角恒等变换可得

sinA

.x+j=4cos2A-2coSi4-l=4|cosA-i^一1,即可根据函数的性质求解.

【详解】（1）由于P是“BC的内心，设AABC内切圆的半径为「，

由中心“*+丽+前可得而=3C/+而=ACr+无=3A"=6,即

«*<-/Xi/it-/yn*0

PAa+PBb+PCc=6^

由%=3a=4r,不妨设a=4用力=6m,c=3/〃,m>（）,

故4/M+6/啮+3尸心=6，

设/=义，贝I」一4/IPD+6（PD+O月）+3（夕方+£>3）=。，

故6加+3反=（42-9）也，

由于69+3配与初共线，而而与阮不共线，

9

因U匕必然4之一9=0,故丸=：,

4

（2）设“BC外接圆的半径为七

则由PA工..+PBS2京4加=°得

PA-R2sinZBPC+PB-R2sinZAPC+PC-R2sinZAPB=0,

222

即中sin2A+通sin28+无sin2C=0，

由于人=2B,所以丽.sin2A+两・sinA—定・sin3A=0,

因此尸已二也变丝土餐也，乂而=x⑸+y前，

sinA

所以

-sin2A+sin3A-2sinAcos/\+sin24cos/A+cos2AsinA

x+y==-2cosA+2cos:A+cos2A

sinAsinA

5

4cos、'A-2cosA-l=4IcosA——19

I44

八.71

0<A<—

2

0<B=^<^,解得

由于三角形为锐角三角形，所以

八〃34n

0<C=7t-----<—

22

故3sAe（0,：）

一。取最小值-。,

故当