提优点14　抛物线中的阿基米德三角形

抛物线中的阿基米德三角形【知识拓展】设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线切线，切线相交于点C.由抛物线的弦AB，与过弦AB的端点的两条切线围成的△ABC称为阿基米德三角形(线段AB常称为阿基米德三角形的底边，C称为顶点).阿基米德三角形的常见性质如下：(1)阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴.(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点P(x0，y0)，则另一顶点C的轨迹为直线y0y＝p(x＋x0).(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB(F为抛物线的焦点)，阿基米德三角形的面积的最小值为p2.(4)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为eq\f(a3,8p).(6)点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,2p)，\f(y1＋y2,2)))(推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦AB与x轴交点D的横坐标互为相反数).【类型突破】类型一定点问题例1已知曲线C：y＝eq\f(x2,2)，D为直线y＝－eq\f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点.证明设Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq\o\al(2,1)＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).规律方法1.抛物线的切线方程可用解析法(Δ＝0)求解，但用导数更方便.2.阿基米德三角形的顶点C与底边AB所在直线是极点极线.训练1(2024·武汉模拟改编)记曲线C的方程为x2＝4y.设D为直线y＝－2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F.证明：直线EF过定点.证明设D(t，－2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，由y＝eq\f(1,4)x2，得y′＝eq\f(x,2)，则kDE＝eq\f(x1,2)，则直线DE的方程为y－y1＝eq\f(x1,2)(x－x1)，即y－y1＝eq\f(x1,2)x－eq\f(xeq\o\al(2,1),2)，将xeq\o\al(2,1)＝4y1代入上式，得x1x－2y1－2y＝0，所以直线DE的方程为x1x－2y1－2y＝0，同理可得直线DF的方程为x2x－2y2－2y＝0.因为D(t，－2)在直线DE上，所以tx1－2y1＋4＝0，又D(t，－2)在直线DF上，所以tx2－2y2＋4＝0，则点E，F的坐标都满足tx－2y＋4＝0，所以直线EF的方程为tx－2y＋4＝0，故直线EF过定点(0，2).类型二轨迹问题例2如图，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程.解(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2，2)，代入y2＝2px，解得p＝1.(2)设Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),2)，y1))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,2),2)，y2))，y1≠0，y2≠0.切线l1：y－y1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(yeq\o\al(2,1),2))).代入y2＝2x得ky2－2y＋2y1－kyeq\o\al(2,1)＝0，由Δ＝0解得k＝eq\f(1,y1)，∴l1方程为y＝eq\f(1,y1)x＋eq\f(y1,2)，同理l2方程为y＝eq\f(1,y2)x＋eq\f(y2,2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,y1)x＋\f(y1,2)，,y＝\f(1,y2)x＋\f(y2,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(y1y2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))∵CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝8，x0∈[2，2eq\r(2)]，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x0x＋y0y＝8，))得x0y2＋2y0y－16＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(2y0,x0)，,y1y2＝－\f(16,x0)，))代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(y1y2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))可知M(x，y)满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,x0)，,y＝－\f(y0,x0)，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝8得eq\f(x2,8)－y2＝1，考虑到x0∈[2，2eq\r(2)]，知x∈[－4，－2eq\r(2)].∴动点M的轨迹方程为eq\f(x2,8)－y2＝1，x∈[－4，－2eq\r(2)].规律方法1.切点弦变化引起切线交点的变化是常见的轨迹问题.2.寻找切点弦运动的因素与切线交点之间的关系后，常用代入法.训练2已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2＝2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P(x0，y0).(1)求证：x0是x1与x2的等差中项；(2)若直线AB过定点M(0，1)，求证：原点O是△PAB的垂心；(3)在(2)的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程.(1)证明对x2＝2y求导得y′＝x，∴直线PA：y＝x1(x－x1)＋y1，即y＝x1x－eq\f(xeq\o\al(2,1),2).同理，直线PB：y＝x2x－eq\f(xeq\o\al(2,2),2)，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(x1x2,2)，))∴x0是x1与x2的等差中项.(2)证明设直线AB：y＝kx＋1，代入x2＝2y整理得x2－2kx－2＝0.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2k，,x1x2＝－2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝k，,y0＝－1，))∴kOP＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,k)，即AB⊥OP；kAP＝x1，kOB＝eq\f(y2,x2)＝eq\f(1,2)x2，∴kAPkOB＝eq\f(1,2)x1x2＝－1，∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，∴原点O是△PAB的垂心.(3)解设△PAB的重心G(x，y)，则x＝eq\f(1,3)(x1＋x2＋x0)＝k，y＝eq\f(1,3)(y1＋y2＋y0)＝eq\f(1,6)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)(x1＋x2)2－eq\f(x1x2＋1,3)＝eq\f(2,3)k2＋eq\f(1,3).∵k∈R，∴点G的轨迹方程为y＝eq\f(2,3)x2＋eq\f(1,3).类型三面积问题例3(2024·南京模拟)已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；(2)Q为直线y＝－1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D，E，求△QDE的面积S的最小值.解(1)设M(x，y)，由题意可得eq\f(y－4,x＋4)－eq\f(y－4,x－4)＝－2，化为x2＝4y.∴曲线C的轨迹方程为x2＝4y且(x≠±4).(2)设Q(m，－1)，切线方程为y＋1＝k(x－m)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋1＝k（x－m），,x2＝4y，))化为x2－4kx＋4(km＋1)＝0，由于直线与抛物线相切可得Δ＝0，即k2－km－1＝0.∴x2－4kx＋4k2＝0，解得x＝2k.可得切点(2k，k2)，由k2－km－1＝0.∴k1＋k2＝m，k1·k2＝－1，∴切线QD⊥QE.∴△QDE为直角三角形，S＝eq\f(1,2)|QD|·|QE|.令切点(2k，k2)到Q的距离为d，则d2＝(2k－m)2＋(k2＋1)2＝4(k2－km)＋m2＋(km＋2)2＝4(k2－km)＋m2＋k2m2＋4km＋4＝(4＋m2)(k2＋1)，∴|QD|＝eq\r(（4＋m2）（keq\o\al(2,1)＋1）)，|QE|＝eq\r(（4＋m2）（keq\o\al(2,2)＋1）)，∴S＝eq\f(1,2)(4＋m2)eq\r(（k1＋k2）2－2k1k2＋2)＝eq\f(1,2)(4＋m2)eq\r(4＋m2)≥4，当m＝0时，即Q(0，－1)时，△QDE的面积S取得最小值4.规律方法关于阿基米德三角面积的性质在选择题、填空题中可直接运用，在解答题中不能直接使用，但能帮助预先得出结果.训练3已知抛物线C：x2＝4y，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点.(1)若点N的纵坐标为－2，求证：直线AB恒过定点；(2)若|AB|＝m(m>0)，求△ABN面积的最大值(结果用m表示).(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由y＝eq\f(1,4)x2得y′＝eq\f(1,2)x，则直线NA的方程为y－y1＝eq\f(x1,2)(x－x1)，即2(y－y1)＝x1x－4y1，即x1x＝2(y＋y1)，同理，直线NB的方程为x2x＝2(y＋y2).又直线NA与直线NB都过N(x0，y0)，则x1x0＝2(y0＋y1)，x2x0＝2(y0＋y2)，从而A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线x0x＝2(y0＋y)上，故直线AB的方程为x0x＝2(y0＋y).又y0＝－2，故直线AB的方程为2(y－2)＝x0(x－0)，故直线AB过定点(0，2).(2)解联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0x＝2（y0＋y），,x2＝4y，))得x2－2x0x＋4y0＝0，Δ＝4xeq\o\al(2,0)－16y0>0，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，则|AB|＝eq\r(1＋\f(xeq\o\al(2,0),4))|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(xeq\o\al(2,0),4))·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(（xeq\o\al(2,0)＋4）（xeq\o\al(2,0)－4y0）)＝m，于是，xeq\o\al(2,0)－4y0＝eq\f(m2,xeq\o\al(2,0)＋4)，又点N到直线AB的距离d＝eq\f(|xeq\o\al(2,0)－2y0－2y0|,\r(xeq\o\al(2,0)＋4))＝eq\f(xeq\o\al(2,0)－4y0,\r(xeq\o\al(2,0)＋4))，所以S△ABN＝eq\f(1,2)·d·|AB|＝eq\f(1,2)·eq\f(xeq\o\al(2,0)－4y0,\r(xeq\o\al(2,0)＋4))·m＝eq\f(1,2)·eq\f(m3,（xeq\o\al(2,0)＋4）\f(3,2))≤eq\f(m3,16)(当x0＝0时取等号).则△ABN面积的最大值为eq\f(m3,16).【精准强化练】一、单选题1.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB又常被称作阿基米德三角形.△PAB的面积S的最小值为()A.eq\f(p2,3) B.eq\f(p2,2)C.p2 D.eq\r(2)p2答案C解析由过焦点的阿基米德三角形的性质知，△PAB的面积S的最小值为p2.2.(2024·北京海淀区模拟)阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.如图，在抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于P.给出如下结论，其中正确的为()①若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB＝90°；②点P的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2)))；③△PAB的边AB所在的直线方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0；④△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合).A.②③④ B.①②C.①②③ D.①③④答案D解析由阿基米德三角形的性质知，①④均正确，②错误；对于③，由题意设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(xeq\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(xeq\o\al(2,2),2p)))，且x1≠x2，由x2＝2py，得y＝eq\f(x2,2p)，则直线AB的斜率为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(\f(xeq\o\al(2,2),2p)－\f(xeq\o\al(2,1),2p),x2－x1)＝eq\f(x1＋x2,2p)，故直线AB的方程为y－eq\f(xeq\o\al(2,1),2p)＝eq\f(x1＋x2,2p)(x－x1)，化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故③正确，故选D.3.(2024·厦门质检)抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0答案A解析设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1，4)，所以直线PF的斜率为eq\f(4－0,－1－1)＝－2.又因为PF⊥AB，所以直线AB的斜率为eq\f(1,2)，所以直线AB的方程为y－0＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0，故选A.4.已知抛物线C：y2＝2x和点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，过C的焦点F且斜率为k的直线l与抛物线C交于A，B两点，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，则k＝()A.1 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.－eq\r(2)答案A解析由题意，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，点P在抛物线的准线上，且PA⊥PB，所以△PAB是阿基米德三角形，从而PF⊥AB，直线PF的斜率kPF＝eq\f(1－0,－\f(1,2)－\f(1,2))＝－1，故直线AB的斜率为1.5.已知点M(1，0)，从抛物线x2＝4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，且A，B为切点，则点M到直线AB的距离的最大值是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.3答案A解析抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，则切线弦AB恒过定点(0，1)，所以点M到直线AB的距离的最大值d＝eq\r(（1－0）2＋（0－1）2)＝eq\r(2).6.(2024·济南调研)设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线l1，l2，若l1与l2交于点P，且满足|PF|＝2eq\r(3)，则|AB|＝()A.5 B.6C.7 D.8答案D解析因为弦AB过焦点，故点P在准线上，从而△APB为直角三角形且PF⊥AB，设过点P的准线与x轴的交点为T，则|FT|＝3，进而可知∠PFO＝30°，又∵∠PFB＝90°，故θ＝∠AFx＝180°－(∠PFO＋∠PFB)＝60°，由焦点弦公式可得|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(6,\f(3,4))＝8.二、多选题7.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点(A在第一象限)，M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是()A.|AB|的最小值为4B.NF⊥ABC.△NAB面积的最小值为6D.若直线AB的斜率为eq\r(3)，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))答案ABD解析当AB⊥x轴时，|AB|的值最小为2p＝4，由抛物线中的阿基米德三角形的性质可得NF⊥AB，△NAB的面积的最小值为p2＝4，故A，B正确，C错误；若直线AB的斜率为eq\r(3)，设直线AB的倾斜角为α，则cosα＝eq\f(1,2)，此时eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，由焦点弦定理得|ecosα|＝eq\f(|λ－1|,|λ＋1|)，即eq\f(1,2)＝eq\f(|λ－1|,|λ＋1|)，解得λ＝3或λ＝eq\f(1,3)，由于A在第一象限，故λ＝3，故D正确.8.(2024·长沙模拟)已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0)，过其准线上的点T(t，－1)作Γ的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.p＝4B.TA⊥TBC.当t＝1时，直线AB的斜率为2D.直线AB过定点(0，1)答案BD解析因为T(t，－1)为准线上的点，所以－eq\f(p,2)＝－1，解得p＝2，故A错误；当t＝1时，T点坐标为(1，－1)，则过点T向抛物线引的两条切线，其切点弦方程为1×x＝4×eq\f(－1＋y,2)，整理得x－2y＋2＝0，其斜率为eq\f(1,2)，故C错误；由抛物线中阿基米德三角形的性质可知TA⊥TB，直线AB过定点(0，1)，故B，D正确.三、填空题9.(2024·石家庄调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，在A，B两点的切线相交于点P，若|PF|＝3，则eq\f(1,|AF|2)＋eq\f(4,|BF|2)的最小值为________.答案eq\f(4,9)解析如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB⇒|PF|2＝|AF|·|BF|＝9，所以eq\f(1,|AF|2)＋eq\f(4,|BF|2)≥2eq\r(\f(1,|AF|2)·\f(4,|BF|2))＝eq\f(4,|AF|·|BF|)＝eq\f(4,9)，当且仅当|BF|＝2|AF|时取等号.10.已知抛物线C：x2＝4y，过点P(1，－1)作抛物线C的两条切线，切点分别为A和B，则经过P，A，B三点的圆的方程为________.答案(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4)解析由题意，点P在抛物线C的准线上，则PA⊥PB，PF⊥AB，且直线AB过焦点F(0，1)，所以经过P，A，B三点的圆就是以AB为直径的圆，直线PF的斜率为eq\f(－1－1,1－0)＝－2，所以直线AB的斜率为eq\f(1,2)，其方程为y＝eq\f(1,2)x＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋1，,x2＝4y，))消去y整理得x2－2x－4＝0，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝eq\f(1,2)(x1＋x2)＋2＝3，从而AB中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，|AB|＝y1＋y2＋2＝5，所以经过P，A，B三点的圆的方程为(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).四、解答题11.如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2p