复变函数与积分变换复习重点

复变函数复习重点(一)复数的概念zxiyxy

xRez,yImz.i21.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.复数的表示x2y21）模：zx2y2幅角：在z0时，矢量与xz（多值函数；主值gz是位于(,]argz与arctany之间的关系如下：x当x0,

argzarctany；xy0,argzarctany当x0,yargz

x ；yx三角表示：zzcosisinz+”号。指数表示zz，其中z。(二)复数的运算1.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y2乘除法：1）若z2，则z1z2y2iy2；z1

iy2y2iy2。z x

x

iy

x2y2

x2y222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222）若

1,z

z2

e2,则z1z2z1

zei12；z22 zz2

ei122乘幂与方根若zz(cosisin若zz(cosisin

zei，则znzei，则

zni)

znein。n z1cos2kisin2k

(k

n1)（有n个相异的值）z n

n n （三）复变函数wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.复初等函数1）ezexcosyisiny，在z平面处处可导，处处解析；且ezez。ez是以i（注意与实函数不同）3）对数函数：

zz2k

(k,,2 )（；主值zziz（单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz1；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）乘幂与幂函数：aba

(a；zb

(z0)注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbzb1。三角函数：sinz

eizeiz

,z

eizeiz

,tgz

sin

,

cosz2 z sinzzz在z平面内解析，且sinzz,coszsinz注：有界性nz,sz1（）14）双曲函数

shz

ezez

,

ezez；2 2shz奇函数，ch是偶函数。sh,zczshzchz,chzshz。（四）解析函数的概念复变函数的导数f

=limz0

fz0zfz0；z区域可导

fz在区域内点点可导。解析函数的概念

fz在z0及其z0fz在z0点解析；

fzfz在区域内解析；f(z在z0点不解析，称z0fz的奇点；（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件函数可导的充要条件fzuxyivxy在zxiy可导uxyvxyxy可微，且在xy

处满足CR条件：, fzi。函数解析的充要条件fzuxyivxy在区域内解析ux,y

vxy

xy

DC

条件：2, ；fzi。注意uxyvxy在区域Duxyvxy在区域D明uv具有一阶连续偏导且满足CRf(z)uiv一定是可导或解析的。函数可导与解析的判别方法利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）利用充要条件 （函数以fzux,yivx,y形式给出如第二章习题2）利用可导或解析函数的四则运算定理（fz是以z的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质 k 复变函数积分的概念： fzdzlim f，c是光滑曲线。nk1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。复变函数积分的性质1）

fz

fzdz

（c1与c；2） cfzgzzcfzzcgzz,,3）若曲线c由1与c2连接而成，则cfzzcfzzc

fzdz。1 2复变函数积分的一般计算法3cfzzcxyicxy）参数方法：设曲线c

zzt(t)，其中对应曲线c的起对应曲线c的终点，则

fzzf[zt]ztt。c（七）关于复变函数积分的重要定理与结论cfz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则fzdz0复合闭路定理： 设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条相交，并且以,

cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不cn为边界的区域全含于D内，则nnfzdzfzdzc kck

fz

其中c与ck均取正向；②fzdz0，其中由c及c1(k

n)所组成的复合闭路。：一个在区域Dfz沿闭曲线c的积分，不因c在D中cfz不解析的奇点。解析函数沿非闭曲线的积分fz在单连域B内解析，Gzfz在B

z2fzG

Gz

(z,

B)1z 2 1 1 21fz时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：fz在区域Dc为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于Dz0c内任意一点，则0fzdz2ifz0czz04高阶导数公式：fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 fz dz

fnz

(n2 )0c(zz)n1 n! 00其中c为fz的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。重要结论：1 1

dz

n0。（c是包含a的任意正向简单闭曲c(za)线）

0,

n0复变函数积分的计算方法）

fz

Dcfzdzf[zt]ztdtcfz在区域D内解析，c是Dcfzz0c是Dz1z2对应曲线c的起点和终点，则有cfzz

z2fzdzFz1

2Ffz在区域D内不解析 fzdzifzczz曲线c内仅有一个奇点0

0（f(z在c内解析） fz dz

fnzc(zz)n1 n! 0 0曲线cc

nnfzdzkck

fzdz（ci内只有一个奇点zk）c

fzdz2iRes[f(z),zk]（留数基本定理）nk1n5若被积函数不能表示成 fz 则须改用第五章留数定理来计o(zz)n1o算。（八）解析函数与调和函数的关系若二元实函数(xy在D内有二阶连续偏导数且满足22 ，x2 y2 0(xy为D内的调和函数。解析函数与调和函数的关系fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与vf(z)uiv是若uv如果满足柯西—黎曼方程，则uiv一定是解析函数。fzfzuiv的方法。1）偏微分法：若已知实部uuxy，利用CR条件，得v,v；对vu两边积分，得vudygx

（*）

xyy x 再对（*）式两边对x求偏导，得udygx

（**）由CRu

v，得

gx

gx；yx

dy y 代入（*）式，可求得 虚部v udygx 。x）线积分法：若已知实部dvvdxvdyudxudy，

uux,y

C

条件可得6故虚部为vxyudxdyc；,y0 由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中y0与xy

是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部uuxy，根据解析函数的导数公式和CR条件得知，fzii将此式右端表示成z的函数Uzfz仍为解析函数，故fzUz

（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数复数列的极限1复数列n}nn（n,2

）收敛于复数abi的充要条件为a, b （同时成立）n n2）复数列{n}收敛实数列{an},{bn}同时收敛。复数项级数 复数项级数nnnin)收敛的充要条件是级数an与n同时收敛；

n0

n0

n0n级数收敛的必要条件是lim0。nn注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性7 幂级数的概念：表达式c(zz)n或czn为幂级数。幂级数的敛散性

n 0n0

nn0n幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数czn在nn0z00处收敛，那么对满足zz0的一切z，该级数绝对收敛；如果在z0z幂级数的收敛域—圆域

z0的一切z，级数必发散。收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法 如果n

0，则收敛半径R1；cncn1cn根值法 n

0，则收敛半径R1；cncn如果0，则R；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则R0；说明仅在zz0或z0点收敛；n（如cz2n）nn0幂级数的性质 1）代数性质aznbzn的收敛半径分别为R n n 1 2n0 n0Rn1,2，则当zR时，有 n n n (ab)znaznn n n

（线性运算）nn0n

n0

n0 n n 0n11 (azn)(n n 0n11

a b ab)zn

（乘积运算）n0

n0

n08n复合性质rfanzR时，gz解析ngzr，

n0zzRf[gza[gz]。nnn0n分析运算性质：设幂级数azn的收敛半径为R0，则nn0ffzaznnn0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且

ffznanzR

n0在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；zfzz

anzn10 n0n1zR（十一）幂函数的泰勒展开1.泰勒展开：fzz

nR内解析，则在此圆域内nfz可以展开成幂级数一的。

fzn0

fnz0n!0

zz0

；并且此展开式是唯fz在z0fz在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R

z0a；其中R为从z0fz的距z0最近一个奇点a之间的距离。2．常用函数在z00的泰勒展开式z 1n

z2 z3 zn1）e z1z

zn0n! 2! 3! n!2）1

zn1zz2 zn

z11z

n09sinz

3 52n z 1z z 2n z 1

z2n1

zz 1 z n0(2nz 1 z z

2n z2 z4 2n

zn0(2n)! 2! 4! (2n)!3．解析函数展开成泰勒级数的方法直接法：直接求出

1n!

fnz

，于是fzn0

z

n。0复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。0（十二）幂函数的洛朗展开cnzz0，含正幂项和负幂项。nn洛朗展开定理fz在圆环域

z

R2内处处解析，c为圆环域内绕z0的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆n环域内，有fzcnzz0 ，且展开式唯一。nn解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4fz在r

z

R内解析，c为rz

R

cfzz1c1

f(z在r

z

R

1z

的系数。0说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(zz)1的系数。0（十三）孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定义fz在z0点不解析,但在z0的0解析。

z

内102。孤立奇点的类型：1）可去奇点：展开式中不含

z

的负幂项；fzcczzczz20 1 0 2 0极点：展开式中含有限项zz0的负幂项；fz

cm

cc(zz)c(zz)2

gz,(zz)m

(zz)m1

(zz)

0 1 0 2

(zz)m0 0 0 0其中gzc c (zz) c(zz)m1c(zz)m 在z解析，m (m1) 0 1 0 0 0 0且gz00,m1,cm0；本性奇点：展开式中含无穷多项zz0的负幂项；fz

cm

cc(zz) c(zz)m(zz)m

(zz)

0 1 0 m 00 0（十四）孤立奇点的判别方法limfz常数；zz0limfzzz0limfz不存在且不为。zz0零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数0fz(zz)mz，0

fz，如果能表示成其中z在z0解析，z0m为正整数，称z0fz的m级零点；零点级数判别的充要条件f f zfz的m级零点

0(n

m1)00 fmz0

0零点与极点的关系是fz的m级零点z是 1

的m级极点；0重要结论

0 fz11若za分别是zz的m级与n级零点，则za是zz的mn级零点；当mnza是z的mn级零点；z当mnza是z的nm级极点；z当mnza是z的可去奇点；z当mnza是zz的l级零点，ln)当mnza是zz的l级零点，其中lm(n)（十五）留数的概念留数的定义：z0fzfzz0的去心邻域0z

内解析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称11icf0fz,z0

]12i

为fz在

z0（ccfz0若z0fzfzzc1c1fz在00 z的去心邻域内洛朗展开式中(zz)0 01）可去奇点处的留数：若z0fz的可去奇点，则fzz002）m级极点处的留数法则I 若z0是fz的m级极点，则fz,z]

1

m1d m1[(zzd

fz]0 (m1)!zz0dz0特别地，若z0fz的一级极点，则fzz0

]lim(zz0)fzzz012注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则II 设fzPz，Pz,Qz在z解析，Pz

0,QzQz0,Q

00，则RePzz

0Pz00 0（十六）留数基本定理

Qz 0

Qz0设fz在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2 ,zn外处处解析，c为Dcfzzie[fz,zn]n1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积fz在c内各孤立奇点处留数的局部问题。注意：当在c内的起点较多时，采用无穷点处的留数进行转换。无穷点留数的定义及计算方法需要掌握。积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念F[f(t)]f(t)ejwtdtF(w)F1[F()]1F()ejtdf(t)二、几个常用函数的傅里叶变换13F[et]

1jF[u(t)]

1()j(t)]10))0F[et]2 22三、傅里叶变换的性质位移性（时域

F[f(tt)]ejwt0F[f(t)]0位移性（频域：Fej0tft]F() F(ww)00www 00F[sinwtf(t1[F(wwF(ww)]0 2j 0 0F[coswtf(t1[F(wwF(ww)]0 2 0 0微分性（时域：F[ft()F()（t,ft)0F[f(n)(t)](jw)nF(w)，

,f(n1)(t)0微分性（频域：Fjt)ft]Fw,Fjt)nftF(n)()Ff(at

1 wF( )

(a0a af(t)]f(t)estdtF(s)0五、几个常用函数的拉普拉斯变换L[ekt]

1 ；skL[tm](msm1

m!(m是自然数sm114

1(2(

,(m1)m(m)）L[u(t)]1；s(t)]kt]

k ,s2k2

kt]

ss2k2hkt]

k ,s2k2

L[chkt]

ss2k20设fT)f(t)则 1 T0

（f(t是以T为周期的周期函数）六、拉普拉斯变换的性质

1eTs()ftdt微分性（时域：[ft]Fsf0,[fts2F(s)f)f)微分性（频域

ft

]

，L[(t)nft]F(n)s积分性（时域

L[tftdt]Fs0 s积分性（频域

ftFsds（收敛）t s位移性（时域位移性（频域

L[eatft]Fsaft]esFs（0,tf(t)0）f(at1Fs)a a七、卷积及卷积定理

(a0f(t)*

f()f

(t)d1 2 1 2F[f1(t)f2(t)](w)F[(t)

(t)]12

F1(w)F2(w)f1(t)f2(t)](s)八、几个积分公式

f(t)(t)dtf(0)f(t)(tt0)dtf(t0)15f(t)dt

L[f(t)]dsF(s)ds160 t 0 0f(t)ektdtf(t)]0

sk

模拟试卷一一.填空题1i71. 1i

. I=

zc

ez为

a向 , 则I= .ztan1能否在0z

zR内展成Lraurent级数？ c

2zc

1sinzdz= 已知Fsin

ft= 二.选择题1.fz

zRez在何处解析 (A) 0 (B)1 (D)无2sinzdz 2沿正向圆周的积分.

z2z 1 =(A)2isin1. (B)0. (C)isin1. (D)以上都不对.4nzn的收敛域为 n1644法确定

1z14.(B)1

z2

(C)

1z12.(D)无设z=a

fzm级极点,则fz在点z=a的留数是(A)m. (B)-2m. (C)-m. (D)以上都不对.三.fzu为解析函数，uvx3u

3x2y

y3设函

fzz=amnfzgz.z=a处极点如何？z0级数及其收敛半径。fz

1,zz2

1

ft（k为实数）四.证明题

4y3y

ety01的解.ezez

1e

1

zez2.若Fℱf

(a为非零常数)ℱft1

aFaaF一.填空题

模拟试卷一答案171. i 2. 0 3.否 6二.选择题1.(D) 2.(A) 3．(A) 4.(C)三.计算题

0.5,5. ft0,

t1t1t11. u3x2yy3c

fzgzz=am+n级3．fz13z2

nzn

R14． s2

6365. yt3

7et

1tet.一.填空题

4 4 2模拟试卷二C

1正向，则

= fzx2yix2l,m,n分别为 .Res

,0 z2

z2n

n1 n2

.收敛半径为-函数的筛选性质是 二.选择题18ftetes1

1es1

t es1

s1

s1

s1

以上都不对2．ℱft，则ℱ2ft (A)F2F. (B)F2F.(C)

2F. (D)以上都不对3．C

3c

dzz3z10

(A).1 (B)2 (C)0 (D)以上都不对 sinz dz 4.沿正向圆周的积分

z2z

2 =22(A).0. (B).2 (C).2+i. (D).以上都不对.三.计算题1.求sin(3+4i).a zbc

dz abc上的复常数，ab.求函

fzz1,zz1

1

处的Taylor级数及其收敛半径。19四.证明题

ft

（k为实数）nnn0

收敛，而

n0

发散，证明

Cnzn0

收敛半径为1若

ft

Fs

(a 为正常数)f

1Fsℒ a a一.填空题1.i

2.

模拟试卷二答案nm1

3.1 4.15. tftt

f0-二.选择题1．(B) 2．(C) 3．(C) 4.(A)三.计算题e43i1.

e43i2i2．当a、b 均在简单闭曲线c 之内或之外时dz czazbac之内,bc

dz i,czazb abbc之内,ac

dz i,czazb ab20z1

nz1n13．fzz11 2

R2.14． s

n0

模拟试卷三一.填空题1．z=0为

fz

z2ez

1的 级零点,2. Res1 ,0. z2

z3 a,b,c 均为复数，问abcabc吗？ .

一定相等每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？ dzcz= .二.选择题设u和v都是调和函数,如果v是u的共轭调和函数么v的共轭调和函数为 .(A)u. (B)-u. (C)2u (D)不对。级数n1

einn .(A) .发散. (B)条件收敛 (C)绝对收敛(D)无法确定21cezdzz2z293．Ccezdzz2z29(A).1 (B)2 (C)19

(D)以上都不对4．ℱft，则ℱft.(A)

Fe

(B)

Fe

(C)

Fe

(D)以上都不对三.计算题fz

dz,从而证明12cosd

0.计算

z

z2

54cosLaurent级数fz

z1,

z11z2 .利用留数计算定积分:2 d0 2cos．四.证明题

ft（k为实数）.Lnz22Lnz是否正确，为什么？tftdt

Fs0 s一.填空题

模拟试卷三答案1．4 2.1 3. 不一定 4.否 5.022二.选择题1.(B) 2．(A) 3．(C) 4．(D)zzzz2dz

z

z

z1z2

n1nzn1.323．3 3214．sk2一.填空题

模拟试卷四复 数

z1i1i

三 角 表 示 形式 .设ux

y

为调和函数，其共轭调和函数为 cn0

zi

能否在z=-2i处收敛而z=2+3i发散.4.级极点

z0 为

fz6sinz3

z3z

6 的5.卷积定理为 二.选择题1

f= (A).7 (B)1 (C)2 (D)以232.若

in

in，n为整数.n (A) 6k (B)3 (D)6C是直线OA，O为原点，A为2+i,则= c(A).0. 上都不对.

(C).2+i. (D).以

ftsint

t 331 3s

s 3

e1 se(A).s2都不对

(B) s2

(C)

31s2

(D)以上三.计算题Laurent级数fz

z,0z

z.fzz=amn级极点，那么函数fzgz.z=a极点如何？ftE,0t5;求

傅氏变换。fte2t.四.证明题24

12.若Fℱft,证明：.ℱftcos

t10 2

F0模拟试卷四答案一.填空题 y2x22isin2 2.3.否4.155.略二.

2xyc21．(B) 2.(C) 3.(C) 4．(C)三.计算题1．fzn0

nn

z2n2n1!2.m>nz=a为fzgzm≤nz=a为fzgz2E3．

5e2

sin522564．s226.四.证明题略略一.填空题

模拟试卷五1. z29i0根为 ,2.

zdzz2z

和z

zdzz

是否相等 叙述傅氏积分定理 拉氏变换的主要性质 二.选择题

n!,

n11 1.则 n

z2n的收敛圆环为0 n nn n 2

n n4(A).14

z24. (B)1

z2e

(C)

1z12.(D)无法确定w

1z将z平面上x2y24映射成w平面上的 (A).直线 (B)u+v=1 (C)u2v214

(D)以26上都不对z=0

1fzz2ez什么奇点 .可去 (B)本性奇点 (C)2 级极点(D)以上都不对t0的傅氏变换为 1 (B)(D)以上都不对

et0

(C)

et0三.计算题解方程ez

i0.利用留数计算定积分: sxx2sin2x

32利用能量积分求 x2 dx4.求Fs 122

的拉氏逆变换.s四.证明题

s1argz在原点与负实轴上不连续.下列推导是否正确？若不正确，把它改正：1z3

1zz

dz

z

zz

dz2i1

z

2i.2 2 一.填空题

模拟试卷五答案271. 3223232232i2 2 2 2 相等略略二.选择题1．(B) 2.(C) 3．(B) 4.(B)三.计算题z 2 1. 2k2 1. 2