切线的判定与性质 专题练习题

在平面几何的学习中，圆的切线扮演着至关重要的角色。它不仅是连接直线与圆位置关系的桥梁，其判定与性质更是解决众多几何问题的关键钥匙。能否熟练掌握切线的判定方法，并灵活运用其性质，直接关系到我们对复杂几何图形的分析与求解能力。本次专题练习，我们将通过一系列精心设计的题目，帮助同学们巩固切线的核心知识，提升解题技巧，深化对几何逻辑的理解。一、核心知识点回顾在着手解题之前，让我们简要回顾一下切线的判定定理与性质定理，这是我们解决一切相关问题的基础。（一）切线的判定要判定一条直线是否为圆的切线，我们主要依据以下定理：1.切线的定义：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线就是圆的切线。（注：定义法在直接证明时较少使用，但常用于理解概念及反证法。）2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。此定理包含两个关键条件：①直线经过半径的外端（即直线与圆有公共点）；②直线垂直于该半径。二者缺一不可。当题目中未明确指出直线与圆有公共点时，我们通常会“作垂直，证半径”，即过圆心作直线的垂线，若垂足到圆心的距离等于半径，则该直线为切线。（二）切线的性质一旦确认某直线为圆的切线，我们便可运用其性质：1.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。这是切线最重要的性质，它建立了切线与半径之间的垂直关系，为我们构造直角三角形、利用勾股定理等提供了依据。2.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。这两个推论进一步揭示了圆心、切点、切线三者之间的位置关系。3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。切线长定理在涉及线段相等、角相等以及图形对称性的问题中应用广泛。二、专题练习题（一）基础巩固篇1.选择题：下列说法中，正确的是（）A.与圆有公共点的直线是圆的切线。B.垂直于圆的半径的直线是圆的切线。C.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。D.过圆的半径外端的直线是圆的切线。2.填空题：如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点D。若∠A=30°，∠D=30°，则直线CD与⊙O的位置关系是______。（提示：连接OC）3.解答题：如图2，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。（二）能力提升篇4.选择题：如图3，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，若∠P=50°，则∠ACB的度数为（）A.50°B.65°C.130°D.155°5.填空题：如图4，⊙O的半径为5，点P是⊙O外一点，OP=13，PT是⊙O的切线，T为切点，则PT的长为______。6.解答题：如图5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。（三）综合应用篇7.解答题：如图6，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接AO并延长交BC于点G，若∠BAC=100°，求∠OGD的度数。8.解答题：如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与AC交于点D（不与点A重合），且⊙O与BC相切于点E。（1）求证：△AOD∽△ABC；（2）求⊙O的半径。三、解题思路与简要解答（一）基础巩固篇1.思路：根据切线的定义和判定定理进行辨析。解答：C。解析：A项，有两个公共点时是割线；B项，未强调经过半径外端；D项，未强调垂直于半径。C项是切线判定的另一种表述方式（d=r），正确。2.思路：连接OC，利用三角形内角和及等腰三角形性质求出∠OCD的度数。解答：相切。解析：连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°。在△ABC中，∠COD=∠A+∠OCA=60°。在△OCD中，∠OCD=180°-∠COD-∠D=180°-60°-30°=90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线。3.思路：要证DE是切线，需证DE垂直于过切点的半径。连接OD，只需证OD⊥DE。可通过证明OD∥AC，结合DE⊥AC得到。解答：证明：连接OD、AD。∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。∵AB=AC，∴D是BC中点。又∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC。∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线。（二）能力提升篇4.思路：连接OA、OB，利用切线性质求出∠AOB，再利用圆周角定理求∠ACB。解答：B。解析：连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB，∠AOB=180°-∠P=130°。∴∠ACB=1/2∠AOB=65°。5.思路：连接OT，利用切线性质构造直角三角形OPT，用勾股定理求解。解答：12。解析：连接OT，则OT⊥PT。在Rt△OPT中，PT=√(OP²-OT²)=√(13²-5²)=12。6.思路：连接OC，利用切线性质得OC⊥CD，结合AD⊥CD得OC∥AD，进而利用等腰三角形性质和平行线性质证角相等。解答：证明：连接OC。∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD。∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB。（三）综合应用篇7.思路：内切圆圆心是角平分线的交点，连接OD，利用切线性质和直角三角形性质求解。解答：40°。解析：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AO平分∠BAC。∵∠BAC=100°，∴∠OAG=50°。∵OD是⊙O的半径，D是切点，∴OD⊥BC，即∠ODG=90°。在Rt△ODG中，∠OGD=90°-∠OAG=90°-50°=40°。（此处∠AOG=∠OAG，因为OD∥AC的高？或者直接在Rt△ODG中，∠DOG=∠OAG=50°，所以∠OGD=40°。更准确的是，∠DOG=180°-90°-∠OGD，而∠AOD=90°-∠OAD=40°，所以∠DOG=180°-∠AOD（需结合图形，此略，核心是利用角平分线和直角）。8.思路：（1）利用平行或两角对应相等证相似；（2）设半径为r，用勾股定理或相似比求解。解答：（1）证明：∵BC是⊙O的切线，E为切点，∴OE⊥BC，即∠OEB=90°。∵∠C=90°，∴OE∥AC，∴∠AOE=∠OAD。又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠AOE=∠ODA，∴OD∥BC，∴△AOD∽△ABC。（2）解：设⊙O的半径为r。在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。∵OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴OE/AC=BO/BA，即r/6=(10-r)/10，解得r=15/4。四、解题反思与总结通过以上练习，我们可以看出，解决切线相关问题，关键在于准确把握切线的判定与性质定理，并能灵活运用。以下几点值得同学们注意：1.辅助线添加：遇到切线，常连接圆心和切点，构造直角（切线性质）；要证明某线是切线，若已知公共点，则连接圆心和公共点，证垂直（判定定理）；若未知公共点，则过圆心作垂线，证垂线段等于半径（d=r）。2.角的转化：切线长定理、圆周角定理、圆心角定理以及三角形内角和、外角性质等，在解决与切线相关的角度计算问题中经常综合运用，要善于进行角的等量代换。3.线段计算：勾股定理、相似三角形、全等三角形、比例线段等是解决切线相关线段长度计算的常用工具。特别是在直角三角形背景下，结合切线性质能构造出更多的直