六年级数学下册：行程问题中的追及应用与建模

六年级数学下册：行程问题中的追及应用与建模一、教学内容分析

追及问题是小学六年级“数与代数”领域中“常见的量”与“解决问题”的综合与深化。课标要求在此学段，学生应能在具体情境中理解常见的数量关系（路程=速度×时间），并能解决简单的实际问题。本课内容位于“比例”与“解决问题的策略”之后，是对数量关系进行更复杂、更结构化建模与应用的关键节点，旨在引导学生从单一的匀速运动问题，过渡到对两个运动物体关联性的系统分析，为初中学习一元一次方程解决实际问题奠定坚实的思维基础。从学科思想方法看，本课是“数学建模”的典型载体：学生需要从纷繁的运动情境中，抽象出“速度差”、“路程差”、“追及时间”这三个核心变量，并构建其恒等关系（路程差÷速度差=追及时间），这一过程完美体现了“从具体到抽象”的数学化思想。其素养价值在于，通过严谨的逻辑推理和符号化表达，发展学生的模型意识和应用意识，提升他们运用数学语言分析和解决现实世界中运动与变化问题的能力。

学情方面，学生已牢固掌握速度、时间、路程三者的基本关系，并具备解决单个物体匀速运动问题的能力。潜在障碍在于，学生习惯于分析单个物体的运动状态，当面对两个相关联的运动物体时，思维容易停留在分别计算其路程的层面，难以敏锐捕捉并建立起“路程差”这一关键桥梁。同时，对“同时不同地”与“同地不同时”两类追及起点的区分，以及环形跑道追及与直线追及的模型转化，将是普遍的认知难点。教学对策上，将通过可视化工具（线段图、动画演示）搭建思维脚手架，将抽象关系具象化。课堂上，将通过针对性提问、小组讨论中的观点碰撞以及分层任务单的完成情况，动态评估学生对核心关系的理解深度，并即时调整讲解节奏与支持策略，为理解吃力的学生提供更细致的图示分析步骤，为学有余力的学生引导其探索变式与推广。二、教学目标

知识目标：学生能够理解追及问题的本质是两个运动物体在速度与时间上的关联，准确说出“速度差”、“初始路程差（追及路程）”和“追及时间”三个核心概念的定义，并能够辨析“同时同向”、“同时不同地”等不同起始条件。他们能运用关系式“追及时间=初始路程差÷速度差”进行规范计算，并解释每一步计算的实际意义。

能力目标：学生能够独立或协作，将文字描述的现实追及情境（如跑步、行车）转化为清晰的线段示意图，并从中识别出关键数量。在解决稍复杂的变式问题（如中途停顿、速度变化）时，能够通过分段分析或假设，将问题化归为基本模型进行推理与解答，展现出有条理的问题分析和解决能力。

情感态度与价值观目标：在探究追及模型的过程中，学生能体验到从生活现象中提炼数学规律的乐趣，增强数学应用意识。在小组合作解题时，能主动倾听他人思路，乐于分享自己的图解方法，并在观点不一致时进行理性探讨，培养团队协作与理性交流的科学态度。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的数学模型思想与逻辑推理能力。通过系列任务，引导学生历经“具体情境—抽象数量—建立关系式—解释应用”的完整建模过程。他们将学会用“找差量（路程差、速度差）、定关系”的思维策略来统领此类问题，实现思维从算术解法向初步代数结构化思想的跃迁。

评价与元认知目标：学生能依据“图示清晰、关系明确、解答完整”的简易量规，对本人或同伴的解题过程进行评价。在课堂小结环节，能够反思“我是如何找到解题突破口的？”、“线段图对我帮助最大的地方是什么？”，从而提升对自身解题策略的监控与调节能力。三、教学重点与难点

教学重点：构建并理解追及问题的核心数量关系模型，即“追及时间=初始路程差÷速度差”。该关系式是解决一切匀速追及问题的理论基石，体现了将动态追赶过程静态化、量化的数学本质。其确立依据源于课标对“模型意识”和“应用意识”的培养要求，同时也是小升初考试中高频出现的核心考点，常作为解决复杂行程问题的关键一步，直接关系到学生分析能力的层次。

教学难点：难点一在于学生从“分别考虑单个物体运动”到“综合考量两物体相对运动关系”的思维转换。难点二在于对“初始路程差”的准确识别与确定，特别是在“同地不同时出发”或“环形跑道追及”等变式情境中，学生容易混淆实际追及路程。预设依据来自对学生常见错误的分析，他们往往直接使用“快者路程÷快者速度”或错误判定路程差。突破方向在于强化线段图的规范绘制与解读，通过对比不同情境的图示，让学生直观感知“路程差”就是追及开始瞬间两人之间的“距离缺口”。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含追及动画演示、分层练习题）；黑板/白板，准备彩色粉笔/白板笔用于画图强调。1.2学习资料：设计并印制分层学习任务单（含前测、探究任务、分层巩固题）；准备课堂小结用的思维导图模板（半成品）。2.学生准备2.1预习与物品：复习速度、时间、路程的关系；携带直尺、铅笔和彩色笔。3.环境布置3.1座位安排：学生按4人异质小组就坐，便于合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：“同学们，学校运动会4x100米接力赛，如果第一棒的同学稍微慢了一点，第二棒的同学要在接棒区等待。那么，假设第二棒的同学起跑后，需要多久才能追上正在前面奔跑的第一棒同学呢？这不仅仅是运动场上的问题，比如警车追击嫌疑车辆、我们在跑步时想超越前面的同伴，都藏着相同的数学奥秘。”1.1提出核心问题：“今天，我们就来深入研究这类‘追赶’问题。它的核心秘密到底是什么？我们能否找到一个‘万能公式’，来快速解决所有同向追赶的问题？”我们先来看一个最简单的例子，热热身。第二、新授环节任务一：感知追及，初识“差距”教师活动：呈现基础例题：“甲、乙两人相距100米，甲在后，乙在前，同时同向出发。甲速度6米/秒，乙速度4米/秒。甲多久追上乙？”首先，我会说：“请大家先别列式，用自己的话描述一下，甲是怎么追上乙的？”接着，引导画图：“抽象的问题，画个图就直观了。我们用两条线段分别表示甲和乙走的路程，怎么画才能清晰看出‘追’的过程？”我会在黑板上示范用不同颜色线段动态绘制，强调起点位置的不同（距离差）。然后提问：“大家看，从开始到追上，甲比乙多走了多少米？这个‘多走的路’在图上对应哪一段？”（指向初始距离100米）。再问：“为什么甲能多走这段路？因为他比乙快，快多少？”（引出速度差64=2米/秒）。最后引导联系：“多走的路程，靠的是更快的速度在追赶的时间里积累出来的。能把这个关系列出来吗？”学生活动：倾听情境，思考追赶的本质。尝试用语言描述“甲比乙快，所以距离在不断缩小直到为零”。模仿或自主用直尺画线段图，尝试用不同颜色或标记区分甲、乙路程。观察教师板演，修正自己的图示。在图上一眼指出“甲比乙多走的部分”就是最初的100米。计算速度差。尝试根据“多走路程=较快速度×追及时间？”产生认知冲突，在教师引导下讨论并修正为“多走路程（路程差）=速度差×追及时间”。即时评价标准：1.所画线段图是否能清晰显示两起点间的距离（路程差）和终点重合（追上）。2.在讨论“多走路程”时，能否准确指向初始距离，而非甲或乙单独的路程。3.在建立关系式时，逻辑推导是否清晰，能否说出“速度差”的累积效应。形成知识、思维、方法清单：★追及问题三要素：初始路程差（追及开始时两人距离）、速度差（快减慢）、追及时间。三者关系是本节课的基石。▲线段图是“翻译”工具：将文字语言转化为直观的图形语言，是分析复杂数量关系的关键第一步，务必养成“遇题先画图”的习惯。★核心关系推导：路程差÷速度差=追及时间。其本质是“距离缺口”被“速度优势”逐渐消磨为零所需的时间。任务二：探究关系，建立模型教师活动：承接任务一的结论，板书关系式：追及时间=路程差÷速度差。提出挑战：“这个关系是不是偶然成立？我们来当一回数学侦探，验证一下。”改变任务一中的数据（如将路程差改为150米，速度改为甲7米/秒，乙3米/秒），让学生再次计算并画图验证。追问：“如果乙在前面，但甲速度比乙慢，会出现什么情况？”（距离会越来越大，无法追上）。然后，我将关系式用字母表示：设路程差为S，速度差为Δv，追及时间为t，则t=S/Δv。“看，这就是我们从具体例子中抽象出来的数学模型！它像一把钥匙。”学生活动：使用新数据独立计算并画图，验证关系式的普适性。思考并回答反向情况，理解“速度差为正”是追及的前提。跟随教师一起用字母表示公式，体会数学的抽象性与简洁美。齐读或默记模型公式。即时评价标准：1.能否独立运用公式正确计算新例题。2.能否理解“速度差”为负（即慢追快）在现实追及问题中无解。3.是否接受并理解字母公式是对具体数量关系的一般化概括。形成知识、思维、方法清单：★模型公式：t_追=S_差÷(v_快v_慢)。这是解决匀速直线追及问题的通用工具。▲模型成立条件：两个物体必须同时、同向、同线运动，且快者在后。▲数学建模思想：从多个具体实例中发现不变的数量关系，并用抽象符号予以表达，这是数学应用于现实的核心思维方式。任务三：辨析起点，深化理解教师活动：提出变式：“如果甲、乙从同一地点出发，但乙先走3秒后甲才出发去追，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。甲多久能追上乙？”引导学生：“这次起点一样了，还有‘路程差’吗？最初的‘距离缺口’在哪里？”组织小组讨论2分钟。我巡视并提示：“想想，当甲开始跑的时候，乙已经在哪儿了？乙先走的路程可以看作什么？”请小组代表分享思路，并引导用两种线段图表示：一种是错时出发的时序图，另一种是转化为“假设两人同时出发，但乙在甲前方某处”的等效图。学生活动：小组展开热烈讨论，对“路程差”的产生感到困惑。尝试画图，发现若从同一时间点（甲出发时）画起，乙已经有一段路程了。在教师提示下，认识到“乙先走的路程（3×3=9米）”就是甲开始追时，两人之间的“初始路程差”。尝试用两种方法画图理解，并计算：追及时间=9÷(53)=4.5秒。即时评价标准：1.小组讨论是否聚焦于“甲出发瞬间，两人的位置关系”。2.绘制的线段图能否清晰体现“时间差”转化成的“路程差”。3.解答过程是否能清晰说明“9米”这个路程差的由来。形成知识、思维、方法清单：★“同地不同时”的转化：可将“时间领先”转化为“路程领先”，即先走者先走的路程=慢速×先走时间，此路程即为追及开始时的“路程差”。▲审题关键点：仔细辨别是“同时不同地”还是“同地不同时”，这直接决定了求路程差的方法。★统一观察起点：无论何时出发，都以追者开始行动的时刻为基准，确定此时两人的位置差距，即为S_差。任务四：综合应用，模型内化教师活动：呈现一道综合题：“环形跑道长300米，A、B两人从同一地点反向出发，相遇后B掉头与A同向跑，A的速度不变。已知A速5m/s，B速7m/s，问从掉头开始B多久追上A？”问题较为复杂，我说：“同学们，这道题有点‘绕’，但只要我们抓住核心模型，层层剥开。第一步，我们先忽略‘追上’，想想他们反向相遇时，各自跑了多少？”引导学生先独立分析前段相遇问题。接着问：“相遇后掉头同向，此时谁是追者？谁在前？他们之间的‘路程差’是多少？是整个跑道长吗？”组织小组攻坚。学生活动：面对复杂情境，有些畏难。在教师分步引导下，先计算相遇时间及各自路程。关键点在确定掉头瞬间的“路程差”：由于是从相遇点同时同向再出发，且B快，但A在B前面（因其原方向继续）。两人间的路程差是环形跑道长度减去A已跑的路程？经过争论和画图，最终理解此时路程差是“环形跑道总长相遇时A（或B）单独的路程”吗？不，更准确地说，是同向出发时，B要追上一圈才能遇到A，故路程差就是跑道一周300米。但需注意方向。即时评价标准：1.能否将复杂过程分解为“相遇”和“追及”两个子问题。2.在分析追及时，能否准确判断掉头后两人的相对位置，正确找出路程差（实为环形追及问题，路程差为一圈的长度）。3.小组是否进行了有效的分工与合作（如有人画图，有人计算前段）。形成知识、思维、方法清单：▲环形追及问题：在环形跑道上同向追及，无论起点如何，快者追上慢者一圈所用的时间，即“追及时间=跑道周长÷速度差”。★分解与转化策略：面对复杂情境，将其分解为几个熟悉的简单模型（相遇、追及）按顺序解决，是高级的问题解决能力。▲警惕“陷阱”：在环形问题中，路程差未必是直线距离，可能是一圈或几圈的长度。任务五：总结梳理，形成体系教师活动：引导学生回顾四个任务。我说：“经历了这几场‘头脑风暴’，我们来给追及问题画个像。它的‘骨架’（核心模型）是什么？它的‘血肉’（关键概念）有哪些？解决它的一般‘招式’（步骤）又是什么？”下发半成品思维导图模板，中心词为“追及问题”，请小组合作填充主干（三要素、公式）和分支（不同类型、解题步骤、注意事项）。学生活动：以小组为单位，回顾本节课内容，热烈讨论并填写思维导图。可能梳理出：主干→核心公式、三要素；分支一：类型（直线同时、直线错时、环形）；分支二：步骤（读题画图、找路程差和速度差、代入公式计算、作答）；分支三：易错点（单位统一、速度差方向、路程差识别）。即时评价标准：1.小组完成的思维导图是否结构清晰，涵盖了本节课的核心知识与方法。2.在分享时，能否用流利的语言解释导图中的逻辑联系。3.是否体现了对解题策略和易错点的反思。形成知识、思维、方法清单：★系统性解题步骤：一画（线段图）、二找（路程差S、速度差Δv）、三代（公式t=S/Δv）、四验（检查合理性）。▲模型思想贯通：无论问题背景如何变化，其本质都是寻找或构造“路程差”与“速度差”，并应用核心关系式。★数学学习的升华：学习不仅是记公式，更是掌握一种分析世界的思维工具（建模），并形成结构化的知识网络。第三、当堂巩固训练

基础层（全员必做）：1.两人相距200米，前慢后快同时出发，速度分别为3m/s和5m/s，求追及时间。2.同地出发，快者先行2分钟后慢者去追，已知速度，求追及时间。

“基础题是检验我们模型掌握程度的试金石，请大家独立完成，注意画图和单位。”

综合层（大多数学生完成）：3.一辆卡车以60km/h速度从甲地开往乙地，半小时后一辆轿车以80km/h速度从同地同向出发追赶。问轿车几小时后追上卡车？（需统一单位，并处理“不同时”问题）。

“综合题来了，它把生活情境和单位换算结合了，大家小组内可以小声讨论一下‘半小时后’这个条件怎么处理。”

挑战层（学有余力选做）：4.在300米环形跑道上，甲、乙同时同向出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.2米。甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？

“挑战题是为‘数学勇士’准备的，它要求你想得更多一步：追上时，两人的时间和关系是怎样的？乙的路程能否直接用他的速度乘以追及时间？”

反馈机制：学生完成后，通过投影展示不同层次的典型解答（包括可能出现的错误，如单位未统一）。基础题采用集体核对方式；综合题请学生上台讲解思路，重点讲“路程差”的确定；挑战题由教师或做出学生简要点拔关键（追及时间求法相同，但问法转向求部分量）。同伴可就解题的规范性和创新性进行简短互评。第四、课堂小结

“旅程即将到站，请大家收拾一下我们今天的‘思维行囊’。哪位同学愿意用一句话说说，你今天最大的收获是什么？”（学生可能回答：学会了追及公式、知道画图很重要、明白了找路程差是关键等）。

教师结合学生回答与之前小组完成的思维导图，进行结构化总结：“今天我们共同完成了对‘追及问题’的数学建模。核心是抓住‘路程差’和‘速度差’的关系。关键在于画图分析，化繁为简。思想上是运用了模型思想，以不变应万变。”

作业布置：1.基础性作业：完成练习册上关于追及问题的基本练习题3道（必做）。2.拓展性作业：编写一道发生在校园内的追及问题应用题，并附上详细解答过程（鼓励所有同学尝试）。3.探究性作业：研究“相遇问题”的核心关系式，并比较它与“追及问题”在模型结构上的异同（选做，下节课分享）。“期待看到大家自己编的趣味题目，也许下次课就用你的题来考大家！”六、作业设计基础性作业：1.甲、乙两车在同一直线上前后行驶，相距150千米。甲车在后，速度70千米/时；乙车在前，速度55千米/时。两车同时同向出发，甲车几小时追上乙车？2.小红和小明从同一地点去图书馆，小红步行速度60米/分，她先走5分钟后，小明骑自行车以180米/分的速度去追。小明几分钟后能追上小红？3.一个环形湖步道周长是800米，小张和小王从同一地点反向跑步，相遇后小王掉头与小张同向跑。已知小张速度3米/秒，小王速度5米/秒，问从掉头开始小王第一次追上小张需要多少秒？（提示：先求相遇前的时间）拓展性作业：请你当一回“生活数学编剧”，编一道贴合实际的追及问题。情景可以来自上学路上、运动场上、阅读进度等。题目需包含完整的条件（速度、初始距离或时间差）和问题（求追及时间或其中一者的速度/路程）。并在题目下方，用“解：”开头，写出完整的解答过程，必须包含线段图（手绘或清晰描述）和步骤说明。探究性/创造性作业：我们已经建立了追及模型：追及时间=路程差÷速度差。请回顾或研究“相遇问题”（两个物体相向而行）。请完成一份微型分析报告，内容需包括：1.相遇问题的核心关系式是什么？2.尝试用画图的方式，对比相遇与追及两种情境下，两个物体的“相对运动”有什么本质不同？3.你认为它们的数学模型在结构上有什么相似和不同之处？（提示：可以从“速度和”与“速度差”的角度思考）七、本节知识清单及拓展1.★追及问题定义：两个物体在同一路线上同向运动，快者从后方追上慢者的行程问题。其核心是研究速度、时间与路程差三者之间的关系。2.★核心三要素：初始路程差(S_差)：追及开始时，快者与慢者之间的路程差距。速度差(Δv)：快者速度减去慢者速度（v_快v_慢）。追及时间(t)：从开始追到实际追上的时间段。3.★基本数量关系式（模型）：追及时间(t)=初始路程差(S_差)÷速度差(Δv)。即t=S_差/(v_快v_慢)。这是解决所有匀速直线追及问题的万能钥匙。4.▲公式变形：由基本公式可推导出：路程差S_差=Δv×t；速度差Δv=S_差/t。用于已知其中两个量求第三个量。5.★“同时不同地”追及：这是最标准的情形。路程差即题目直接给出的初始距离。直接代入公式计算即可。6.★“同地不同时”追及：关键是将“时间差”转化为“路程差”。以慢者（或追者）出发时刻为基准，快者（或被追者）先走的路程即为两者之间的初始路程差。S_差=v_先×t_先。7.▲环形跑道追及问题：在封闭环线上同向运动，快者追上慢者一圈（或多圈）所用的时间，称为环形追及时间。此时，路程差S_差=环形跑道周长×追上的圈数。核心公式不变：t=(n×周长)÷Δv。8.★解题一般步骤（策略）：一、细读题，辨方向（是否同向、同时）。二、画线段，标数量（用图示化明确S_差）。三、找速度差，定公式。四、细计算，验答案（检查时间、速度是否合理）。9.★线段图的核心作用：线段图是抽象问题的可视化工具。它能直观呈现物体的起点、运动方向、路程长度以及最关键的路程差部分，是避免思维混乱、准确识别S_差的必备技能。10.▲单位统一原则：在计算前，务必确保速度、时间、路程的单位处于同一体系（如米、秒；或千米、时）。否则必然导致错误。11.★模型思想的应用：追及问题的学习，是一次完整的数学建模体验：从实际情境（生活追赶）→抽象为数学模型（t=S/Δv）→解释应用于更多情境。掌握这种“建模”思维比记住公式更重要。12.▲与相遇问题的对比：相遇问题是“相向而行”，核心是“速度和”（v1+v2），关系式为：相遇时间=总路程÷速度和。它和追及问题（同向而行，速度差）构成了行程问题的两大基本模型，体现了“相对运动”思想的不同侧面。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标达成度较高，通过后测练习反馈，约85%的学生能独立解决标准型追及问题。能力目标中，“画图分析”在教师多次示范与强调下，大部分学生已形成初步意识，但在处理复杂变式时，自主构图能力仍有待加强。素养层面，学生在任务四的小组攻坚中展现了良好的合作与探究意识，模型思想的种子已初步播下。我观察到，当学生自己推导出公式时，眼中闪现的光彩，比直接被告知公式要亮得多。

（二）