平面向量基本定理课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版2019必修第一册第6章平面向量及其应用6.3

平面向量基本定理及坐标表示

学习目标学科素养1.理解平面向量基本定理，了解向量的一个基底的含义.（重点）2.理解作为一个基底的条件，能熟练运用一个基底表示平面内的任一向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.（重难点）数学抽象逻辑推理数学运算6.3.1

平面向量基本定理

复习导入A1复习导入复习导入探究新知

问题1：我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。

类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？

图1图2探究新知探究新知

我们发现，同一个力可以根据研究的需要，进行不同的分解.只需要根据平行四边形法则，在不同的方向上进行分解即可.这提示我们：两个不共线的向量可以表示一个向量.图1图2图(2)OBACNM问题2：如图(1)，设

是同一平面内两个不共线的向量，

是这一平面内与

都不共线的向量．如图(2)，在平面内任取一点

，作.将

按

的方向分解，你有什么发现？

图(1)也就是说，与

都不共线的向量

都可以表示成

的形式。所以由共线可知,存在实数

，使得：探究新知探究新知追问（1）：如图，如果向量

是这一平面内与

中的某一个向量共线的非零向量，你能用

表示

吗？如果

是零向量呢？若

与

共线，则若

与

共线，则，则若

是零向量用信息技术展示向量分解的动态图象：探究新知

探究新知追问（2）：给定两个不共线的向量

，平面内的任一向量

都可以用形如

的向量来表示，这种表示形式是唯一的吗？【分析】假设

还可以表示成的形式，

那么

，

可得：，

又因为不共线，所以

所以，

即有且只有一对实数

，使

为什么？如果不全为0，

不妨设，则，

这与已知不共线相矛盾.

由此可得共线，

探究新知

平面向量基本定理：

任意性唯一性注意:(1)基底不唯一,只要是不共线的两个向量就可以做一个基底；(2)基底给定时，分解形式唯一，即实数λ1，λ2有且只有一对；(3)同一平面内的任一向量都可以由同一个基底唯一表示。探究新知

探究新知

选定基底，分析图形结合图形，向量运算保留结果，未完继续用基底表示向量的一般步骤：

探究新知

探究新知

探究新知证明：如图设则

，于是

因为所以因为所以因此于是

是直角三角形。

运用向量方法证明几何命题的一般步骤：选定基底，表示向量翻译命题，向量运算反译结果，得出结论

探究新知课堂小结本节课主要学习平面向量基本定理：3.能够在具体问题中适当的选取基底，使其它向量都能够统一

用这个基底来表示。如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量

，有且只有一对实数

，使注意:1.基底不唯一,只要是不共线的两个向量就可以做一个基底。

2.基底给定时，分解形式唯一，即实数λ1，λ2有且只有一对。

因此，如果

，则

。1.导学案P16-P182.课时作业（六）.作业布置

探究新知

题型3平面向量基本定理的应用如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．探究新知

题型3平面向量基本定理的应用如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．探究新知

题型